UTILIZAÇÃO DO ÍNDICE DE MALMQUIST PARA A AVALIAÇÃO PORTUÁRIA BRASILEIRA

UTILIZAÇÃO DO ÍNDICE DE MALMQUIST PARA A AVALIAÇÃO PORTUÁRIA BRASILEIRA RENATO LEITE FERNANDES (CASOP ) RENATOFERNANDES.MB@HOTMAIL.COM O transporte marítmo de carga responde por mas de 90% do volume de comérco exteror braslero. Isso sgnfca que o setor portuáro tem uma grande mportânca para a economa do país.em um contexto de desenvolvmento naconal, onde polítcas públcas têm focado soluções para a problemátca que envolve os gargalos da nfraestrutura logístca, a questão da efcênca e produtvdade portuára vem se mostrando cada vez mas relevante. Logo, ferramentas de programação matemátca podem e devem ser utlzadas para medr o nível de efcênca e produtvdade dos portos. Este artgo se propõe a utlzar o modelo DEA do Índce de Malmqust, para fazer uma análse dos portos brasleros em relação à efcênca técnca e a varação da produtvdade, no período de 2005 a 2008. Palavras-chaves: Portos Brasleros, Efcênca e Produtvdade, Índce de Malmqust

1. Introdução De acordo com a Secretara Especal de Portos da Presdênca da Repúblca SEP/PR (2014) o transporte marítmo de carga movmenta anualmente cerca de 700 mlhões de toneladas de mercadoras, respondendo por mas de 90% do volume de comérco exteror braslero. Em um contexto de desenvolvmento naconal, onde polítcas públcas têm focado soluções para a problemátca que envolve os gargalos da nfraestrutura logístca, de acordo com Resende et al (2012), a questão da efcênca e produtvdade portuára vem se mostrando cada vez mas relevante. Ferramentas de programação matemátca podem e devem ser utlzadas para ajudar a medr o nível de efcênca e produtvdade dos portos. A revsão bblográfca sobre modelos matemátcos para o cálculo da efcênca portuára realzada por Fernandes (2010) mostra que a Análse Envoltóra de Dados (DEA - Data Envelopment Analyss) tem sdo utlzada em mutos trabalhos para dentfcar fronteras de efcênca que ajudam a verfcar as melhores prátcas em ndústras e empresas. Na Análse Envoltóra de Dados, desenvolvda por Charnes (1978), são utlzadas fronteras de efcênca delmtadas por benchmarks, chamadas fronter benchmarkng, fornecendo um escore para cada Decson Makng Unts (DMU) analsada em relação a essa frontera, possbltando a avalação da efcênca relatva e comparatva de cada DMU em relação à própra frontera. DEA também possu uma vantagem mportante sobre os demas métodos de avalação de efcênca e produtvdade: não requer a especfcação de uma função de produção ou de custo, permtndo calcular a efcênca técnca, analsando as undades em conjunto, desde que usem as mesmas entradas (nputs) e que produzam as mesmas saídas (outputs), com tecnologas smlares de produção. Este artgo se propõe a utlzar o modelo DEA do Índce de Malmqust, para fazer uma análse dos portos brasleros em relação à efcênca técnca e a varação da produtvdade, no período de 2005 a 2008, período que antecedeu a crse econômca mundal deflagrada no fnal de 2008, a fm de verfcar a efcáca desse modelo matemátco em dentfcar os portos que apresentaram melhor desempenho no período. 2

Ressalta-se que utlzando-se das defnções contdas no trabalho de Mguel et al (2012), a abordagem da metodologa utlzada neste trabalho é somente quanttatva. O artgo está estruturado da segunte forma: a Seção 2 apresenta a metodologa empregada na pesqusa, nclundo uma breve esplanação sobre os portos brasleros. A Seção 3 apresenta os dados e os resultados obtdos com a utlzação do Índce de Malmqust. Por fm, a Seção 4 apresenta as conclusões e as consderações fnas. 2. Metodologa 2.1 Portos Brasleros e Varáves Utlzadas Segundo Goulart Flho (2007), desde o período colonal, os portos braslero apresentam elevada mportânca para o desenvolvmento do país, passando ao longo de tempo por períodos de estatzação e prvatzação das suas atvdades. Em 1993, um novo modelo de prvatzação surgu com a publcação da Le nº 8.630, chamada Le de Modernzação dos Portos, que estabeleceu uma sére de mudanças vsando dnamzar as atvdades portuáras. Em 2001, a Le nº. 10.233 crou a ANTAQ, uma agênca federal responsável pela regulação, controle tarfáro, estudo e desenvolvmento do transporte hdrováro naconal. Em 2007, a Medda Provsóra nº. 369/2007 crou a Secretara Especal de Portos da Presdênca da Repúblca (SEP/PR), com o objetvo de renovar o modelo de gestão do setor portuáro braslero, no sentdo de elevar o patamar de compettvdade dos portos naconas em relação aos portos mas efcentes do mundo. De acordo com a SEP/PR (2014), o sstema portuáro braslero é composto por 34 portos públcos, entre marítmos e fluvas. Exstem anda 42 termnas de uso prvatvo e três complexos portuáros que operam sob concessão à ncatva prvada. O presente estudo examnou apenas os prncpas portos públcos brasleros: Aratu, Belém, Cabedelo, Fortaleza, Ilhéus, Imbtuba, Itaguaí, Itajaí, Itaqu, Maceó, Manaus, Natal, Paranaguá, Recfe, Ro de Janero e Ro Grande, Salvador, Santos, São Francsco do Sul, São Sebastão, Suape, Vla do Conde e Vtóra. Baseando-se na pesqusa bblográfca referente à avalação portuára realzada por Fernandes (2010), foram escolhdas as prncpas varáves que mas apareceram na lteratura e que melhor compõe a medção de produtvdade dos portos, segundo esse estudo. Sendo assm, como varáves que representam recursos, ou seja, varáves de entrada, foram consderados o 3

comprmento do cas, a quantdade de trabalhadores portuáros avulsos (TPA) e a área do porto. Como varáves de saída, resultante da operação portuára, foram consderadas as quantdades de carga geral, granés sóldos e líqudos movmentadas em 2005 e 2008. 2.2 Indce de Malmqust O prmero estudo a utlzar a metodologa DEA na avalação de desempenho de portos fo apresentado por Roll e Hayuth (1993), sendo que nos últmos anos város outros estudos foram produzdos utlzando DEA para avalar o desempenho portuáro. O conceto de índce de produtvdade de Malmqust, de acordo com Sollero (2007), fo ntroduzdo por Malmqust em 1953, sendo que Färe (1992) forneceu a fundamentação para construr o referdo índce empregando técncas de programação lnear, gerando um modelo de DEA. Em relação ao setor portuáro, Barros (2003) avala de forma ponera a evolução da produtvdade dos portos portugueses utlzando o Índce de Malmqust. Ressalta-se que o índce avala a mudança na produtvdade de uma DMU (Decson Makng Unts) entre dos períodos de tempo: t (ncal, 2005) e t+1 (fnal, 2008). O índce pode ser decomposto em duas componentes: a prmera é chamada de catch up, representando a evolução da efcênca, ou seja, a mudança na efcênca técnca entre dos períodos de tempo; a segunda componente é a fronter shft, que representa o deslocamento da frontera de efcênca, ou seja, a mudança tecnológca entre dos períodos de tempo. Mantendo os outputs constantes, a recíproca da função de Dstânca de Shephard (SHEPHARD,1970), sob a ótca dos nputs, assumndo retornos constantes de escala, serve como uma medda de efcênca de Farrell (FARRELL,1957), fornecendo uma medda de efcênca técnca. t t t Consderando que x ( x1,..., x N ) representa o vetor de nputs N e que y t ( y t 1,..., y t M ) representa o vetor de outputs M, ambos não negatvos, observados em um período t, o conjunto de nputs em um período t representa a combnação vável de nputs que podem produzr outputs e é representado como: t t t t t L ( y ) { x : x pode produzr y } (1) 4

A soquântca para o conjunto de nputs é defnda como: A função dstânca de Shephard é defnda como: XXXIV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO t t t t x t ISOQ L ( y ) { x : L ( y), para 1} (2) t t t t x t t D ( y, x ) max{ : L ( y )} (3) t t t t t As DMU efcentes usam nputs que fazem parte da ISOQ L ( y ) e tem D ( y, x ) 1. t t t As DMU nefcentes apresentam D ( y, x ) 1. O Índce de Malmqust (MALM) toma a segunte forma: D ( y, x ) D ( y, x ) MALM. (4) t 1 t 1 t 1 t t 1 t 1 x t 1 t t t t t D ( y, x ) D( y, x ) Reorganzando (4) tem-se: D ( y, x ) D ( y, x ) D ( y, x ) MALM x x (5) (, ) (, ) (, ) t 1 t 1 t 1 t t t t t 1 t 1 t t t t 1 t t t 1 t 1 t 1 D y x D y x D y x Onde a componente catch up (mudança de efcênca) é representada por D ( y, x ) EFFCH e a componente fronter shft (progresso tecnológco) é representada t 1 t 1 t 1 t t t D ( y, x ) por D y x D y x TECH. D ( y, x ) D ( y, x ) t t t t t 1 t 1 (, ) (, ) x t 1 t t t 1 t 1 t 1 A segunte relação é válda: MALM = EFFCH x TECH Valores de MALM, EFFCH e TECH menores do que 1 ndcam crescmento da produtvdade, ganho na efcênca e progresso tecnológco. Por outro lado, valores de MALM, EFFCH e TECH maores do que 1 ndcam decréscmo da produtvdade, perda na efcênca e regressão tecnológca. 5

A fgura 1 lustra a construção da função de dstânca e os componentes do índce de produtvdade de Malmqust sob a ótca dos nputs. Assume-se que a varação do tempo ocorre do 1º período (t) até o 2º período (t+1), sendo que o conjunto de possbldades de nputs no 1º período nclu todos os pontos a dreta da soquântca L 1 (y) e o conjunto de possbldades de nputs no 2º período nclu todos os pontos a dreta da soquântca L 2 (y). Fgura 1 Varação da Frontera de Efcênca entre dos períodos Fonte: Barros e Weber (2009) A DMU para a qual é calculada a varação da efcênca e de produtvdade emprega o vetor de nput A no 1º período e o vetor de nput E no 2º período. Em ambos os períodos, a DMU produz o mesmo nível de produção (y), contudo utlza uma quantdade excessva de nputs e é tecncamente nefcente. A função dstânca no 1º período é dada por D ( y, x ) OA / OB, e por 1 1 D ( y, x ) 0 E / 0D no 2 2 2º período. A dstânca entre as duas soquântcas delmtadas pelos períodos de tempo é calculada como D ( y, x ) OE / OF e 1 2 D ( y, x ) OA / OC. 2 1 Sendo assm, o Índce de Malmqust é calculado como MALM componente catch up (mudança na efcênca técnca) é calculada como 0 E / 0 D 0 / 0 x E F, a 0 A/ 0C 0 A/ 0B 0 E/ 0D EFFCH 0 A/ 0B e a 6

componente fronter shft (mudança tecnológca) é calculada como 0 A/ 0B 0 E / 0F 0C 0D TECH x x. 0 A/ 0C 0 E / 0D 0B 0F 3. Resultados 3.1 Dados dos Portos Para esta pesqusa, fo consderada uma amostra contendo os 23 prncpas portos públcos do Brasl, no período compreenddo entre o ano de 2005 e de 2008. A tabela 1 fornece os valores das varáves consderadas no modelo matemátco, para o referdo período. Tabela 1 Valores das varáves consderadas para os anos 2005 e 2008 Comprmento do Cas (m) INPUTs Área do Porto (m²) Quantdade de TPA Quant. Carga Geral (t) OUTPUTs Quant. Granel Soldo (t) Quant. Granel Líqudo (t) Porto 2005 2008 2005 2008 2005 2008 2005 2008 2005 2008 2005 2008 Aratu 767 767 288.000 311.206 197 147 0 0 2.942.565 4.108.981 25.454.768 27.492.056 Belém 1.295 1.295 248.020 268.000 437 303 1.171.412 1.091.700 17.657.961 18.311.944 1.736.028 2.050.668 Cabedelo 605 605 104.570 113.000 317 232 71.795 64.298 286.866 292.285 442.156 531.693 Fortaleza 1.050 1.050 242.920 262.497 641 433 1.662.256 841.390 1.114.179 1.101.239 1.592.481 1.812.883 Ilhéus 432 432 33.770 36.500 287 205 60.984 1.409.099 914.280 113.678 0 0 Imbtuba 577 577 508.000 550.000 496 344 563.850 407.820 787.604 1.332.454 120.097 122.228 Itaguaí 1.670 1.670 861.500 931.000 1.264 950 3.030.543 4.155.666 64.025.583 80.732.666 0 0 Itajaí 900 1.025 130.020 140.500 1.006 723 6.470.373 6.772.292 0 0 74.499 49.048 Itaqu 1.500 1.616 481.230 520.000 325 230 226.730 108.685 80.154.304 98.548.694 5.519.355 6.529.560 Maceó 950 950 262.820 284.000 944 649 483.358 440.501 1.857.194 2.400.074 2.112.841 1.939.006 Manaus 521 521 53.170 57.455 528 376 1.805.696 1.045.856 3.502.607 4.467.483 7.579.729 7.752.411 Natal 540 540 33.300 36.000 361 255 236.559 219.579 92.598 100.421 3.500.407 2.912.143 Paranaguá 2.700 2.816 2.174.790 2.350.000 4.020 2.861 7.476.998 9.799.513 17.842.274 20.246.890 3.954.547 3.971.813 Recfe 2.960 2.960 84.320 91.119 1.299 885 332.260 321.080 2.039.146 1.588.439 57.975 75.614 Ro de Janero Ro Grande 6.740 6.740 622.000 672.110 2.667 1.899 5.937.311 6.442.806 1.671.713 1.985.727 8.145.428 11.375.049 3.800 4.142 3.776.650 4.080.900 1.430 1.065 6.394.728 6.795.279 8.276.203 13.917.770 3.325.571 3.839.167 Salvador 2.085 2.085 136.040 147.000 605 427 2.483.151 3.120.060 552.671 2.713.684 0 3.515 Santos 11.042 11.042 7.125.900 7.700.000 10.678 8.023 29.205.293 33.517.821 29.661.014 35.419.219 13.036.187 14.379.147 São Francsco do Sul São Sebastão 850 981 334.850 361.820 778 569 3.404.593 3.455.889 4.065.479 4.181.015 9.512.467 9.346.877 1.267 1.267 889.380 961.031 192 142 72.650 416.970 389.538 549.103 47.248.708 47.413.053 Suape 1.500 1.908 1.931.400 2.087.000 1.634 1.206 2.057.655 3.950.147 0 637.093 2.256.013 4.067.802 Vla de Conde 714 714 453.470 490.000 359 256 1.121.870 2.510.226 8.971.763 15.664.343 1.101.767 2.297.183 Vtora 2.904 2.904 405.350 438.000 2.215 1.498 4.624.700 5.077.769 2.715.438 1.799.014 238.264 345.487 Fonte: Resultados da pesqusa do própro autor 7

Essas nformações foram colhdas junto às admnstrações portuáras por meo de contato telefônco, e-mal, bem como por meo de pesqusa nos stes dos termnas, na nternet. Outra parcela de nformações fo extraída do trabalho de BERGER (2009) e do Anuáro Estatístco no ste da ANTAQ (2009). 3.2 Avalação dos Resultados obtdos Os resultados decorrentes da aplcação do modelo matemátco são apresentados na tabela 2: valores para o Índce de Malmqust e para suas componentes catch up e fronter shft. Tabela 2 Resultados obtdos pela modelagem para o período entre os anos 2005-2008 Porto MALM EFFCH (Catch Up) TECH (Fronter Shft) 1 Aratu 0,88 1,00 0,88 2 Belém 0,81 1,09 0,75 3 Cabedelo 0,85 0,95 0,89 4 Fortaleza 1,30 1,89 0,69 5 Ilheus 0,20 0,24 0,84 6 Imbtuba 1,05 1,27 0,82 7 Itaguaí 0,78 0,95 0,82 8 Itajaí 0,86 1,00 0,86 9 Itaquí 0,72 1,00 0,72 10 Maceó 1,02 1,03 0,99 11 Manaus 1,07 1,00 1,07 12 Natal 1,22 1,23 0,99 13 Paranaguá 0,83 0,81 0,99 14 Recfe 1,28 1,30 0,98 15 Ro de Janero 0,71 0,93 0,76 16 Ro Grande 0,70 1,11 0,63 17 Salvador 0,56 0,82 0,68 18 Santos 0,76 0,83 0,91 19 São Francsco do Sul 1,02 1,12 0,91 20 São Sebastão 0,76 1,00 0,76 21 Suape 0,54 0,62 0,87 22 Vla de Conde 0,38 0,58 0,66 23 Vtóra 0,68 0,91 0,75 MÉDIA 0,82 0,99 0,84 Fonte: Própro autor Pode-se observar que os escores referentes ao Índce de Malmqust varação da produtvdade são menores do que 1 (MALM<1) para 16 portos da amostra, explctando, 8

assm, que a maor parte dos portos expermentou um aumento da produtvdade no período consderado. A pontuação méda fo de 0,82. Os portos que apresentaram redução na produtvdade são: Fortaleza, Imbtuba, Maceó, Manaus, Natal, Recfe e São Francsco do Sul. A componente catch up do Índce de Malmqust contempla a varação de efcênca técnca e, segundo Barros e Weber (2009), pode traduzr a dfusão de melhores prátcas na gestão da atvdade portuára, sendo atrbuída ao planejamento de nvestmentos, experênca técnca e organzação nos portos. No período compreenddo entre 2005 e 2008 pode-se observar, a partr dos escores gerados, que a varação da efcênca é menor que 1 (EFFCH<1) para 10 portos da amostra, sgnfcando que houve melhoras na efcênca técnca durante esse período. Para oto portos, houve retrocesso em relação à varação da efcênca (EFFCH>1), sendo que para cnco portos pratcamente não houve varação da efcênca técnca (EFFCH=1). A componente fronter shft dz respeto à mudança tecnológca e traduz o nível de novação aplcado aos portos, sto é, dz respeto à adoção de novas tecnologas baseadas nas melhores prátcas (BARROS e WEBER, 2009). Observa-se que o índce é nferor a 1 (TECH<1) para quase todos os portos brasleros, ndcando que a novação aumentou de forma relevante durante o período, provavelmente fruto de nvestmentos sgnfcatvos em novas tecnologas, bem como em novas metodologas, novos procedmentos e em novas técncas. 3.3 Classfcação dos Portos A segregação do Índce de Malmqust em suas duas componentes permtu dentfcar e classfcar os portos brasleros em relação às mudanças ocorrdas durante o período compreenddo entre os anos de 2005 e 2008. Assm, de acordo com o verfcado na Tabela 2, é possível observar as seguntes combnações: MALM <1 / EFFCH <1 / TECH <1 - Fazem parte desse grupo os portos que obtveram os melhores resultados, no período pesqusado, em termos das mudanças ocorrdas, vsto que a melhora da produtvdade global (MALM) é função dreta da elevação do nível de 9

efcênca técnca (EFFCH) e do aspecto tecnológco das atvdades dos portos (TECH). Os portos desse grupo são: Cabedelo, Ilheus, Itaguaí, Paranaguá, Ro de Janero, Salvador, Santos, Suape, Vla do Conde e Vtóra. MALM <1 / EFFCH 1 / TECH <1 - Nesse grupo, embora os resultados apresentem a melhora da produtvdade e o melhor posconamento dos portos em relação à frontera tecnológca de efcênca, o nível de efcênca técnca permaneceu nalterado para os portos de Aratu, Itajaí, Itaqu e São Sebastão, sendo que para os portos de Belém e Ro Grande houve redução do nível de efcênca técnca. MALM >1 / EFFCH >1 / TECH <1 - Fazem parte desse grupo os portos de Fortaleza, Imbtuba, Maceó, Natal, Recfe e São Francsco do Sul. Durante o período pesqusado, esses portos expermentaram uma queda de produtvdade, sendo que o nível de efcênca técnca também regredu, mesmo assm houve uma melhora em relação às mudanças tecnológcas. MALM >1 / EFFCH 1 / TECH >1 - Somente Manaus se enquadrou neste grupo, sendo que esse porto apresentou redução de produtvdade e regressão em relação às mudanças tecnológcas, permanecendo com nível de efcênca técnca nalterado. A partr das combnações possíves entre MALM, EFFCH e TECH, dentro de uma abordagem quanttatva, fo possível verfcar que a prncpal causa do crescmento da produtvdade dos portos brasleros ocorreu em vrtude do progresso tecnológco que esses portos expermentaram durante o período pesqusado. 4. Conclusões Neste estudo, a produtvdade dos 23 prncpas portos do Brasl fo estmada com a utlzação do Índce de Malmqust, para o período compreenddo entre 2005 e 2008. Os portos avalados que obtveram os melhores resultados em relação ao aumento da produtvdade foram: Cabedelo, Ilheus, Itaguaí, Paranaguá, Ro de Janero, Salvador, Santos, Suape, Vla do Conde e Vtóra. Ressalta-se que sso não sgnfca, necessaramente, que esses portos se apresentam tecncamente efcentes de acordo com o modelo matemátco, mas, tão somente, que os portos aumentaram sua produtvdade global. Destaque especal deve ser dado aos portos de Ilheus e Vla do Conde que apresentaram o maor nível de aumento de produtvdade no período. 10

A varação da produtvdade fo composta pelas duas componentes do índce: catch up, representando a evolução da efcênca técnca no período, e fronter shft, representando o deslocamento da frontera de efcênca, sto é, snalzando a mudança tecnológca entre os anos 2005 e 2008. Os resultados da aplcação do Índce de Malmqust, no geral, mostraram que os portos brasleros tornaram-se mas efcentes e que expermentaram um relevante progresso tecnológco, com um aumento da produtvdade global. Sendo assm, a utlzação do Índce de Malmqust apresentou-se como uma ferramenta matemátca efcaz para avalar e analsar a varação da produtvdade dos portos brasleros, dentro de um período de tempo determnado. 5. Referêncas Anuáro Estatístco Portuáro. Brasíla: Agênca Naconal de Transportes Aquaváros - ANTAQ, 2010. Dsponível em: <http://www.antaq.gov.br/portal/estatstcasanuaro.asp>. Acesso em: 01 ago. 2009. BARROS, C. P. The Measurement of Effcency of Portuguese Seaport Authortes wth DEA. Internatonal Journal of Transport Economcs, v.30, 335-354, 2003. BARROS, C. P.; WEBER W. L. Productvty growth and based technologcal change n UK arports. Transportaton Research Part E: Logstcs and Transportaton, v.45 n.4, pp.642-653, 2009. BERGER, A; BERGER F.R. Portos e Termnas Marítmos do Brasl. Jonvlle, SC: Edtora Bela Catarna, 2009. CHARNES, A.; COOPER, W. W.; RHODES, E. Measurng the effcency of decson makng unts. European Journal of Operatonal Research, n.2, pp.429 444, 1978. FARE, R.; S. GROSSKOP; B. LINDGREN; P. ROSS. Productvty changes n Swedsh pharmaces, 1980 1989: a non parametrc approach. Journal of Productvty Analyss, n.3, pp.85-101. FARRELL, M.J. 1957. The Measurement of Productve Effcency. Journal of the Royal Statstcal Socety Seres A, General, 120, Part 3, 253-281. FERNANDES, R. L. Avalação dos termnas que movmentam Contêneres no Brasl através da Análse Envoltóra de Dados. Dssertação de Mestrado., COPPE/UFRJ, Ro de Janero, RJ, 2010. GOULARTI FILHO, A. G. Melhoramentos, reaparelhamentos e modernzação dos portos brasleros: a longa e constante espera, Economa e Socedade, v. 16, n. 3, p. 455-489, 2007. MIGUEL, P. A. C. (Organzador). Metodologa de Pesqusa em Engenhara de Produção e Gestão de Operações. 2 ed. Ro de Janero: Elsever, 2012. RESENDE, Paulo Tarso Vlela de; SOUSA, Paulo Renato de; SILVA, Amanda Cecla Rodrgues. Obras de nfraestrutura no Brasl. Mundo Logístca, Ro de Janero, v. 5, n. 28, p. 78-80, ma./jun. 2012. ROLL, Y.; HAYUTH, Y. Port performance comparson applyng data envelopment analyss (DEA). Martme Polcy and Management, v.20, n.2, pp.153 161, 1993. SEP/PR SECRETARIA ESPECIAL DE PORTOS DA PRESIDÊNCIA DA REPÚBLICA. Sstema Portuáro Naconal. Brasíla, 2013. Dsponível em <http://www.portosdobrasl.gov.br/sstema-portuaro-naconal>. Acesso em: 01 fev. 2014. SHEPHARD, R. W. 1970. Theory of Cost and Producton Functons. Prnceton: Prnceton Unversty Press. 11

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