1. Suponha que o conjunto fundamental seja formado pelos inteiros positivos de 1 a 10. Sejam A = {2, 3, 4}, B = {3, 4, 5} e C = {5, 6, 7}. Enumere os elementos dos seguintes conjuntos: (a) A c B. (b) A c B (c) (A c B c ) c (d) (A (B C ) c ) c (e) (A (B C )) c 2. Quais das seguintes relações são verdadeiras? (a) (A B ) (A C ) = A (B C ) (b) (A B ) = (A B c ) B (c) A c B = A B (d) (A B ) c C = A c B c C (e) (A B ) (B c C ) = 3. Peças que saem de uma linha de produção são marcadas defeituosa (D ) ou não defeituosa (N ). As peças são inspecionadas e sua condição registrada. Isto é feito até que duas peças defeituosas consecutivas sejam fabricadas ou que quatro peças tenham sido inspecionadas, aquilo que ocorra em primeiro lugar. Descreva um espaço amostral para esse experimento. 4. Uma caixa com N lâmpadas contém r lâmpadas (r < N ) com filamento partido. Essas lâmpadas são verificadas uma a uma, até que uma lâmpada defeituosa seja encontrada. O número de lâmpadas verificadas é anotado. (a) Descreva um espaço amostral para este experimento. (b) Suponha que as lâmpadas acima sejam verificadas uma a uma, até que todas as defeituosas tenham sido encontradas. Descreva o espaço amostral para este experimento. 5. Sejam A, B e C três eventos associados a um experimento. Exprima em notações de conjuntos, as seguintes afirmações verbais: (a) Ao menos um dos eventos ocorre. (b) Exatamente um dos eventos ocorre. (c) Exatamente dois dos eventos ocorrem. (d) Não mais do que dois eventos ocorrem simultaneamente. 6. Verifique que para dois eventos quaisquer, A 1 e A 2, temos que P (A 1 A 2 ) P (A 1 ) + P (A 2 ). 7. Um certo tipo de motor elétrico falha se ocorrer uma das seguintes situações: emperramento dos mancais, queima dos enrolamentos e desgaste das escovas. Suponha que o emperramento seja duas vezes mais provável do que a queima, esta sendo quatro vezes mais provável do que o desgaste das escovas. Qual será a probabilidade de que a falha seja devida a cada uma dessas circunstâncias? 8. Suponha que A e B sejam eventos tais que P (A) = x, P (B ) = y e P (A B ) = z. Exprima cada uma das seguintes probabilidades em termos de x, y e z. (a) P (A c B c ).
(b) P (A c B ). (c) P (A c B ). (d) P (A c B c ). 9. Suponha que A, B e C sejam eventos tais que P (A) = P (B ) = P (C ) = 1/4, P (A B ) = P (C B ) = 0 e P (A C ) = 1/8. Calcule a probabilidade de que ao menos um dos eventos A, B ou C ocorra. 10. Um mecanismo pode ser posto em uma dentre quatro posições: a, b, c e d. Existem oitos desses mecanismos em um sistema. (a) De quantas maneiras esse sistema pode ser disposto? (b) De quantas maneiras esse sistema pode ser disposto se dois mecanismos adjacentes não estiverem em igual posição? (c) Quantas maneiras de dispor serão possíveis se somente as posições a e b forem usadas e o forem com igual frequência? (DICA: Permutar aaaabbbb. É necessário considerar o conceito de permutação com repetição. Exemplo: De quantas formas eu posso permutar o código 11122244? n! Use n 1!n 2!...n k! = 8! 3!3!2!.) (d) Quantas maneiras serão possíveis, se somente duas posições forem usadas, e dessas posições uma ocorrer três vezes mais frequente que a outra? 11. Duas válvulas defeituosas se misturam com duas válvulas perfeitas. As válvulas são ensaiadas, uma a uma, até que ambas as defeituosas sejam encontradas. (a) Qual será a probabilidade de que a última válvula defeituosa seja encontrada no segundo ensaio? (b) Qual será a probabilidade de que a última válvula defeituosa seja encontrada no terceiro ensaio? (c) Qual será a probabilidade de que a última válvula defeituosa seja encontrada no quarto ensaio? (d) Some os números obtidos em (a), (b) e (c). O resultado é surpreendente? 12. Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha que P (A) = 0.4 e P (A B ) = 0.7). seja P (B ) = p. (a) Para que valor de p, A e B serão mutuamente excludentes? (b) Para que valor de p, A e B serão independentes? 13. Uma moeda equilibrada é lançada duas vezes. (a) Se o seu interesse é o número de caras, qual seria o espaço amostral? (b) Apresente um outro espaço amostral mais detalhado. (c) Estabeleça uma correspondência entre os elementos dos espaços amostrais apresentados. (d) Indique as probabilidades dos elementos em cada espaço amostral. (e) Com o espaço amostral de (a ) você poderia calcular a probabilidade de ocorrer cara no primeiro ou coroa no segundo lançamento? (f) Como ficaria a resposta de (e ) utilizando o espaço amostral de (b )? 14. Quatro universidades 1, 2, 3, 4 estão participando de um torneio de futebol. Na primeira etapa, 1 jogará com 2 e 3 com 4. Os dois vencedores disputarão o campeonato e os dois perdedores também jogarão. (a) Relacione todos os resultados do espaço amostral. Page 2
(b) Represente por A o evento em que 1 ganha o torneio. Relacione os resultados de A. (c) Represente por B o evento em que 2 seja um dos finalistas do campeonato. Relacione os resultados de B. (d) Quais os resultados de A B e de B A? Quais são os resultados de A c?. 15. Um estado tem um milhão de veículos registrados e está considerando a possibilidade de utilizar placas de licenciamento com seis símbolos, sendo os três primeiros letras e os três últimos dígitos. Esse esquema é viável? 16. Uma caixa contém quatro lâmpadas de de 40W, cinco de 60W e seis de 75W. Se as lâmpadas forem selecionadas uma a uma em ordem aleatória, qual é a probabilidade de ao menos duas serem selecionadas para obter uma de 75W? 17. Demonstre as 7 propriedades de probabilidade apresentadas em sala. 18. Três casais compraram ingressos de teatro e estão sentados em uma fileira que consiste em apenas seis assentos. Se eles se sentarem de uma forma aleatória qual será a probabilidade de Carlos e Paula (marido e mulher) se sentarem nos dois assentos da esquerda? Qual a probabilidade de Carlos e Paula se sentarem um ao lado do outro? 19. A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos é de 3/4 e de seu marido é de 3/5. Calcule a probabilidade de (a) apenas o homem estar vivo; (b) pelo menos um estar vivo; (c) ambos estarem vivos. 20. O seguinte grupo de alunos de Probabilidade I está numa sala: 5 homens maiores de 21 anos, 4 homens com menos de 21 anos, 6 mulheres maiores de 21 anos e 3 mulheres menores de 21 anos. Uma pessoa é escolhida ao acaso. Seja A = a pessoa é maior de 21 anos, B = a pessoa é menor de 21 anos, C = a pessoa é homen e D = a pessoa é mulher. Calcule: (a) P (B D ). (b) P (A c C c ). 21. Em uma fábrica de parafusos as máquina A, B e C produzem, respectivamente, 25%, 35% e 40% do total produzido. Da produção de cada máquina, 5%, 4% e 2%, respectivamente, são parafusos defeituosos. escolhe-se ao acaso um parafuso e se verifica ser defeituoso. Qual será a probabilidade que o parafuso venha da máquina A? Da B? Da C? 22. Uma válvula a vácuo pode provir de três fabricantes, com probabilidades p 1 = 0.25, p 1 = 0.50 e p 3 = 0.25. As probabilidades de que, durante determinado período de tempo, a válvula funcione bem são, respectivamente, 0.1, 0.2 e 0.4 para cada um dos fabricantes. Calcule a probabilidade de que uma válvula escolhida ao acaso funcione bem durante o período de tempo especificado. 23. Três jornais A, B e C são publicados em uma cidade e uma recente pesquisa entre os leitores indica o seguinte: 20% lêem A; 26% lêem B ; 14% lêem C ; 8% lêem A e B, 5% lêem A e C ; 2% lêem A, B e C e 4% lêem B e C. Para um adulto escolhido ao acaso, calcule a probabilidade de que: (a) Ele não leia qualquer dos jornais. (b) Ele leia exatamente um dos jornais. Page 3
(c) Ele leia pelo menos um dos jornais. 24. Uma fábrica produz uma peça através de duas operações: Inicialmente a peça é moldada numa máquina M e, em seguida, passa por uma de duas impressoras, I 1 ou I 2, sendo que 70% das peças são impressas em I 1. A probabilidade de uma peça apresentar defeito de moldagem é 0,03. Além disso, a probabilidade de surgir um defeito de impressão é de 0,05 para I 1 e de 0,02 para I 2. Note que os defeitos de moldagem e de impressão são independentes entre si. No final de um dia, retira-se da produção total da fábrica uma peça ao acaso. (a) Qual a probabilidade da peça apresentar um defeito qualquer? (b) Supondo que a peça apresenta um defeito de impressão, qual a probabilidade de ter sido impressa em I 1. 25. Em uma seleção para uma vaga de estatístico de uma grande empresa verificou-se que dos 100 candidatos 40 tinham experiência anterior e 30 possuíam curso de especialização. Vinte dos candidatos possuíam tanto experiência profissional como também algum curso de especialização. Escolhendo um candidato ao acaso, qual a probabilidade de que: (a) Ele tenha experiência ou algum curso de especialização? (b) Ele tenha experiência ou algum curso de especialização, mas não ambos? (c) Ele tenha experiência anterior, dado que ele tenha algum curso de especialização? (d) Ele não tenha nem experiência anterior nem curso de especialização? (e) Os eventos ter experiência anterior e possuir curso de especialização são independentes? 26. A gaveta de um aluno de Probabilidade I possui 8 pares de meia sendo 5 brancas e 3 pretas. No cesto de roupa suja encontramos 3 pares brancas e 4 pares pretas. O aluno utilizou dois pares de meia durante a semana e posteriormente colocou-as no cesto de roupa suja. Em seguida, um par de meias é retirado do cesto para ser lavada. Qual a probabilidade do par de meias ser branca? 27. Uma peça usada na fabricação de carros podem apresentar um certo defeito de fabricação. Suponha que 95% de todas as peças passem na inspeção inicial. Das 5% com falhas, 20% possuem defeitos tão sérios que devem ser descartadas. As peças restantes são enviados para correção, onde 40% não podem ser salvas e são descartadas. As outras 60% são corrigidas e, depois, passam na inspeção. (a) Qual a probabilidade de uma peça selecionada aleatoriamente passar na inspeção inicialmente ou após a correção? (b) Dado que a peça tenha passado na inspeção, qual é a probabilidade dela ter passado na inspeção inicial e não ter precisado de correção? 28. Dentre 6 números positivos e 8 negativos, escolhem-se ao acaso (sem reposição) 4 números e multiplicamse esses números. Qual será a probabilidade de que o produto seja um número positivo? 29. Na elaboração de um algoritmo quantos códigos de quatro símbolos poderão ser formados se temos um total de seis símbolos: (a) Se nenhum símbolo puder ser repetido? (b) Qualquer símbolo puder ser repetido qualquer número de vezes? 30. Em uma sala, 10 pessoas estão usando emblemas numerados de 1 até 10. Três pessoas são escolhidas ao acaso e convidadas a saírem da sala simultaneamente. O número de seu emblema é anotado. Page 4
(a) Qual é a probabilidade de que o menor número do emblema seja 5? (b) Qual é a probabilidade de que o maior número do emblema seja 5? 31. Uma montagem eletrônica é formada de dois subsistemas A e B. De ensaios anteriores as seguintes probabilidades são admitidas conhecidas: P (A f a l ha r ) = 0.20, P (A e B f a l he m) = 0.15 e P (B f a l he s o z i nho) = 0.20. Calcule as seguintes probabilidades: P(A falhe B tenha falhado) e P(A falhe sozinho). 32. O Sport ganha com probabilidade 0.7 se chove e com 0.8 se não chove. Em setembro a probabilidade de chuva é de 0.3. O Sport ganhou uma partida em setembro, qual a probabilidade de ter chovido nesse dia? 33. Uma rede local de computadores é composta por um servidor e cinco clientes. Dos pedidos de um tipo de processamento cerca de 10% vem do cliente A, 15% do B, 15% do C, 40% do D e 20% do E. Caso o pedido não seja feito de forma adequada, o processamento apresentará erro. Usualmente ocorrem os seguintes percentuais de pedidos inadequados: 1% do cliente A, 2% do cliente B, 0, 5% do cliente C, 2% do cliente D e 8% do cliente E. (a) Qual a probabilidade do sistema apresentar erro? (b) Sabendo-se que o processo apresentou erro calcule a probabilidade de que o processo tenha sido pedido pelo cliente E. 34. Nos cursos de Estatística 5% dos homens e 2% das mulheres estão acima dos pesos ideais. Um estudante é escolhido aleatoriamente. Sabe-se também que 60% dos estudantes são homens. Sorteandose aleatoriamente um estudante, calcule a probabilidade de que ele: (a) esteja acima do peso; (b) seja mulher, sabendo que o mesmo está acima do peso. 35. Três companhias A, B e C disputam a obtenção do contrato de fabricação. A chefia do departamento de vendas de A estima que sua companhia tem probabilidade igual à da companhia B de obter o contrato, mas que por sua vez é igual a duas vezes a probabilidade de C obter o mesmo contrato. Determine a probabilidade de A ou C obter o contrato. 36. Uma caixa A contém uma bola vermelha e uma bola preta. Uma outra caixa B contém um bola branca e uma vermelha. Escolhemos, ao acaso, uma das caixas e uma bola também é retirada ao acaso. (a) Indique um espaço amostral para esse experimento, incluindo a caixa escolhida e a cor da bola. (b) Indique um outro espaço amostral, considerando somente a cor da bola escolhida. (c) Suponha que as duas caixas são agrupadas em uma só, qual é a probabilidade de, em duas retiradas ao acaso e sem reposição, obtermos bolas de cores diferentes? (d) Suponha agora que uma bola é retirada, ao acaso, da urna A e colocada em B. Determine a probabilidade de que em duas retiradas em B, ao acaso e com reposição, obtermos pelo menos uma bola vermelha. Page 5