Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Investigação Operacional 2012.01.09 Exame 1 a Chamada Prova com consulta Duração: 1h30min 1. (40%) A fim de garantir cuidados médicos de emergência aos espetadores das diferentes provas, a organização dos Jogos Olímpicos de Londres 2012 pretende celebrar acordos com várias unidades de saúde de Londres. Um desses acordos, a ser celebrado com uma determinada unidade de saúde, prevê que os dois médicos que trabalham na sua UCI (unidade de cuidados intensivos) prestem igualmente assistência aos espetadores que procurem a Urgência desta unidade, abandonando a UCI sempre que seja necessário trabalhar na Urgência. A partir da análise das ocorrências em eventos passados de igual dimensão, espera-se que a afluência de espetadores à Urgência seja estável e siga um processo de Poisson com média de 2 espetadores por, e que o tempo de atendimento de cada espetador siga uma distribuição exponencial negativa com média de 30 minutos. O diretor da UCI opõe-se ao estabelecimento deste acordo, alegando que ele conduzirá à diminuição da qualidade da assistência na UCI. A qualidade da assistência na UCI é medida pela percentagem do tempo em que dois médicos estão simultaneamente na UCI. Para tomar uma decisão definitiva, a administração da unidade de saúde pediu-lhe para responder às seguintes questões (justificando as suas respostas): (a) Qual é a percentagem de tempo em que ambos os médicos estão na UCI? Qual é a percentagem de tempo em que está somente um médico na UCI? (b) Qual seria a melhoria da qualidade do serviço na UCI, caso fosse pedido o apoio de um terceiro médico de outro serviço? (Este terceiro médico teria unicamente que dar assistência à UCI, sempre que um dos outros dois médicos fosse chamado à Urgência). (c) Um dos administradores acha que a qualidade do serviço na UCI melria se, mantendo somente os dois médicos atuais, eles atendessem em equipa os espetadores na Urgência. O trabalho em equipa permitiria que o tempo médio de atendimento passasse a ser 50% do tempo médio de atendimento quando este é feito por um só médico. Diga se o administrador tem, ou não, razão. 1
2. (60%) A empresa DREAM SEAT tem a seu cargo todo o projeto de design, fabrico e colocação das cadeiras que servirão os espetadores do estádio olímpico durante os Jogos Olímpicos de Londres 2012. As cadeiras são de 2 tipos diferentes: fixas no anel inferior do estádio e temporárias no anel superior. A instalação das cadeiras fixas já está concluída, estando agora a DREAM SEAT a colocar em prática o projeto das cadeiras temporárias que, dadas as caraterísticas do equipamento, tem um nível de esforço maior. A rede seguinte mostra a relação entre as atividades definidas pela DREAM SEAT, bem como a sua duração (valor médio e desvio padrão, em semanas), para a concretização do projeto das cadeiras temporárias mesmo a tempo da abertura dos jogos.! " # $ % &$ & & ' ( ) * +,-./,0 1 &2 $ % 3,4 & ' & & 3 5!"#"$%&' &' % ()!678 (* ' & *! 9 *+ /, &2 &1 ' &!) :!* (a) Determine a duração média do projecto, preenchendo na rede as quadrículas em branco referentes às datas de início e de fim de cada atividade. (b) Calcule as folgas (livre e total) para cada uma das atividades do projeto. (c) Indique todas as atividades críticas do projecto. Represente na rede o caminho crítico. (d) Qual a probabilidade do projecto estar concluído em 38 semanas? (e) No início da semana 17 deste projecto, o ponto de situação da execução das atividades é o seguinte: Atividades concluídas: A, B, C e D. Atividades em curso: E (falta 1 semana para estar concluída) e F (faltam 4 semanas para estar concluída) Atividades por iniciar: G, H, I, J, K i) Neste momento, o prazo de conclusão do projecto previsto em a) poderá estar comprometido? Justifique a sua resposta, desenhando novamente a rede de atividades do projeto na situação atual. Assinale na rede as atividades criticas. ii) Considere agora que, por cada semana de atraso na colocação das cadeiras temporárias, a organização dos jogos incorre num prejuízo de 150 10 3 EUR, decorrentes da perda de receita com bilhetes que se deixarão de vender para as diferentes provas que se realizarão no estadio olímpico até à colocação de todas as cadeiras. Qual o valor total esperado para o prejuízo a suportar pela organização na situação atual? iii) Para minimizar o prejuízo referido na alínea anterior, a DREAM SEAT colocou à apreciação da organização a possibilidade de se comprimir uma ou mais atividades, das que podem ser comprimidas, com o respetivo acréscimo de custos para a organização, de acordo com a tabela seguinte. Qual a estratégia que recomendaria à organização? Compensa comprimir alguma destas atividades? Atividade Compressão máxima possível (sem) Custo de compressão (EUR)/semana H 2 60 10 3 I 3 50 10 3 G 1 100 10 3 2
Resolução 1. (a) Considere-se o sistema de fila de espera M/M/2, com: λ = 2 espetadores, µ = 2 espetadores e S = 2 médicos em que o estado do sistema é caraterizado por n (número de espetadores na Urgência). A percentagem de tempo em que ambos os médicos estão na UCI é dada por P 0, pois os dois médicos estão na UCI quando não há nenhum espetador na Urgência. A percentagem de tempo em que está somente um médico na UCI é dada por P 1, pois está um médico na UCI quando o outro está na Urgência. Através da tabela dos slides das aulas teóricas: λ µ 2 3 4 4 1.0 0.3333 0.3636 0.3673 0.3678 Tiramos o valor de P 0 para 2 servidores (médicos): P 0 = 0.3333. Através das expressões dos mesmos slides para cálculo das características de sistemas M/M/S: P 1 = λ µ P 0 = 2 2 0.3333 = 0.3333 Assim, a percentagem de tempo em que ambos os médicos estão na UCI é de 33,33% e a percentagem de tempo em que está somente um médico na UCI é de 33,33%. (b) A utilização do terceiro médico não altera em nada a configuração do sistema definido na alínea anterior, já que ele não presta assistência no serviço de urgência. Vai, no entanto, refletir-se na qualidade do serviço da UCI pelo fato de se garantir a qualidade máxima na UCI (presença de 2 médicos neste serviço), mesmo que um dos dois médicos originais esteja na Urgência. Então, enquanto na alínea anterior (unicamente com 2 médicos) só em 33,33% do tempo (P 0 ) tínhamos 2 médicos na UCI, agora essa percentagem passa para 33,33%+33,33% = 66,66% (P 0 + P 1 ). Com este terceiro médico, a percentagem do tempo em que temos 2 médicos na UCI passa de 33,33% para 66,66%. Concluindo, a melhoria do serviço é de 66,66% - 33,33% = 33,33%. (c) 1 µ = 0.50 30 min. = 15 min. µ = 4 espetadores, λ = 2 espetadores e S = 1. Temos de calcular a percentagem do tempo em que temos 2 médicos na UCI, para esta nova configuração M/M/1. Essa percentagem é dada por P 0. P 0 = 1 λ µ = 1 2 4 = 2 4 = 0.50 (50%). O administrador tem razão. Pondo os médicos a trabalhar em equipa, aumenta-se a percentagem do tempo em que temos 2 médicos na UCI de 33,33% para 50%. 3
2. (a) A rede do projecto está desenhada na figura seguinte:!! " " " #$ #" # %&! $! & % &! &$!! & " ' & #" #" ' %&! ( $ " ) #" &$ * %! %& + $!,-./,0! 1 &! &2! & $ &! %! 3,4 & & " " ' #" &" & %& %& & $! $ 3 #" #" 5 &$ ()*)+,-.! &' &! % & /0!678 /1 " ' #' #' & &" 1( 9 12 (0 : (1! / #! #", %! " &2 ' & &1 & ' ' #' #' & %& Duração média prevista: 40 semanas. (b) As folgas totais e livres estão indicadas na figura anterior. (c) Atividades críticas (a sombreado na rede): A, E, G e K. Caminho crítico (assinalado na rede): A E G K. (d) Duração média do projecto: Variância da duração do projecto: µ T = µ A + µ E + µ G + µ K = 40 σ 2 T = σ 2 A + σ 2 E + σ 2 G + σ 2 K = 10 A probabilidade do projeto estar concluído em 38 semanas é: P rob(d T 38) = P rob(z 38 40 10 ) = P rob(z 0, 632) 1 0, 7357 26, 43% (e) i) A rede do projeto no início da semana 17 está representada na figura seguinte.!"!!"!" "!"!# # $% $ $! %&! $ $!& ' $'!" (!"!" )!# (& * $' $' + %$,-./,0 $ ) %! ) & ) ) 1 ) 2,3 $!# '!& (& % $' $' % %$!" 2 (! (! 4 (& *+,+-./0 ) 5 ) ) 1 ) 12!678 13!" ' (! (! % (& 3* 9 34!" /!" (!, $' $ ) %5 ) $ (! % $' *2 : *3 As atividades criticas, assinaladas a sombreado na rede, são: F, H, I, J e K. Nesta situação, o prazo esperado para a conclusão do projeto passa para 43 semanas, ou seja, tem um atraso previsível de 3 semanas em relação ao inicialmente previsto. ii) A organização terá, nestas condições, um prejuízo esperado de 3 semanas 150 10 3 EUR, o que perfaz um total de 450 10 3 EUR. 4
iii) Tendo em conta que apenas as atividades H, I e G podem ser comprimidas, vamos analisar os seguintes cenários: Duração total Atividade Compressão Custo total Prejuízo com do projeto (semanas) a comprimir (semanas) de compressão (10 3 EUR) bilheteira (10 3 EUR) 43 450 I 1 50 H 1 60 42 110 300 G 1 100 I 2 100 H 2 120 41 320 150 40 Imposssível Cenário com 43 semanas: a organização tem a possibilidade de não comprimir nenhuma das atividades, o que acarreta um prejuízo de 450 10 3 EUR, conforme determinado na alínea anterior. Cenário com 42 semanas: custo total = 110 + 300 = 410 10 3 EUR. Cenário com 41 semanas: custo total = 320 + 150 = 470 10 3 EUR. Cenário com 40 semanas: não é possível reduzir a duração total do projeto para 40 semanas, tendo em conta a compressão máxima das atividades. Face a estes dados, a melhor decisão a tomar será a do cenário com 42 semanas: comprimir 1 semana ambas as atividades I e H, pois é a que corresponde a um custo menor. 5