1. (50%) No Estádio Olímpico de Londres decorrerão as provas de atletismo dos Jogos Olímpicos de 2012.

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1 Mestrado Integrado em Engenharia Eletrotécnica e de Computadores Investigação Operacional o Mini-teste Prova com consulta Duração: 1h30min 1. (50%) No Estádio Olímpico de Londres decorrerão as provas de atletismo dos Jogos Olímpicos de 01. O número de atletas que disputarão as primeiras eliminatórias das dez provas constantes da Tabela 1 obriga a um planeamento cuidado, de forma a garantir que as instalações necessárias estão preparadas com antecedência para a realização das mesmas. Estas provas eliminatórias serão disputadas em dois dias, cada um com 5 provas. O programa, bem como as durações esperadas para cada prova, estão presentes na Tabela 1. A sequência das provas está representada na Figura 1, sendo que as provas estão identificadas pelas letras constantes na Tabela 1. Tabela 1: Programa das provas eliminatórias de atletismo Prova Duração (horas) Prova Duração (horas) A 100 metros 4 F 110 metros 8 B salto em comprimento 5 G lançamento do disco 5 Dia 1 C arremesso do peso 7 Dia H salto com vara 6 D salto em altura 4 I lançamento de dardo 3 E 400 metros 3 J 1500 metros 3 0 B 5 a D 9 11 H f 0 X 0 0 A 4 4 E 7 11 K F g 19 J Z d Legenda 4 C G I 19 b 7 0 h 5 i j 3 3 ES m m EF m c k FL m d m FT m LS m LF m Figura 1: Rede do das provas eliminatórias de atletismo (a) No contexto descrito, explique o significado da actividade K. (b) Complete os valores em falta, substituindo as letras a, b, c, d, f, g, h, i, j e k (fundo cinzento na Figura 1). Justifique os cálculos efetuados. (c) Uma das preocupações frequentes nas provas de atletismo são as condições meteorológicas. Chuva e vento podem aumentar significativamente a duração das provas. Sendo Londres conhecida por um clima algo instável, mesmo durante o verão, a organização estimou a duração das provas para três cenários: condições adversas, condições normais e condições ótimas, representadas na Tabela. Tendo por base estas estimativas, a organização gostaria de saber qual a probabilidade de a competição terminar em menos de 0 horas? (d) A organização dos jogos está interessada em que a competição decorra no menor intervalo de tempo possível. Ora, é possível utilizar uma pista de corrida extra. Esta pista serviria as provas de corrida (A e E no dia 1, e F e J no dia ) permitindo que ocorressem em simultâneo. Essa utilização tem um custo diário de u.m. (pode ser utilizada nos dois dias ou em apenas um dos dias) e estima-se que o ganho por cada hora poupada seja de u.m.. A organização deve optar por esta opção? Justifique alterando a rede da competição. 1

2 Tabela : Durações estimadas das provas sob diferentes condições climatéricas A B C D E F G H I J condições adversas 6,0 11,0 9,0 5,5 3,5 14,0 8,0 9,0 3,5 3,5 condições normais 4,0 4,0 7,5 4,0 3,0 7,0 5,0 5,5 3,0 3,0 condições ótimas,0 3,0 3,0,5,5 6,0,0 5,0,5,5. (50%) A segurança é uma preocupação constante em qualquer evento de dimensão apreciável. Nem os Jogos Olímpicos, apesar da sua missão de colocar o desporto ao serviço do desenvolvimento harmonioso da humanidade, visando a promoção de uma sociedade pacífica preocupada com a preservação da dignidade humana (in Olympic Charter) escapa à ameaça da violência e do terrorismo. Particularmente sensível é a cerimónia de abertura dos jogos, pelo elevado número de espectadores que reúne e pela projeção mediática que tem. Nos Jogos Olímpicos de Londres 01 estão previstas revistas cuidadosas aos espectadores que assistirão à cerimónia de abertura, antes de entrarem no estádio. Toda a gente é revistada num dos 160 pontos de revista do primeiro perímetro de segurança, sendo que cada entrada no estádio é acessível a partir de pontos de revista diferentes. Os espectadores são aconselhados a chegarem ao estádio olímpico com pelo menos um hora de antecedência face à hora prevista para o início da cerimónia, 19h30 UTC. O estádio abre às 16h30 e, durante essas 3 horas que antecedem o início da cerimónia, a afluência esperada de espectadores a cada um dos pontos de revista é a indicada na Tabela 3, sendo que dentro de cada período se estima que a chegada dos espectadores seja estável e siga um processo de Poisson. Tabela 3: Afluência dos espectadores a cada um dos pontos de revista. Período Número de espectadores Período Número de espectadores 16h30-17h h00-18h h00-17h h30-19h h30-18h h00-19h30 5 Cada espectador demorará, em média, 30 segundos a ser revistado, sendo que este tempo é aleatório e segue uma distribuição exponencial negativa. O calcanhar de Aquiles de qualquer sistema de segurança é empurrar o problema para fora do perímetro de segurança. O que se pretende evitar, neste caso, é que por causa dos procedimentos de revista se formem filas significativas antes da revista, o que se tornaria novamente num problema de segurança. (a) Quantos espectadores terão que poder ser revistados em simultâneo, em cada um dos pontos de revista, para que o número médio de espectadores na fila não ultrapasse, em nenhum dos períodos que antecede a cerimónia, 10 espectadores? (b) Após alguma discussão, a direção de segurança dos jogos decidiu avaliar a solução de ter 640 pontos de revista, com uma única equipa de revista em cada ponto (um espectador revistado de cada vez). Nesta situação, as chegadas esperadas a cada ponto de revista ao longo das 3 horas anteriores à cerimónia serão, para cada período, 5% das apresentadas na Tabela 3. i) Nesta situação cumpre-se a regra de não ter, em média e em todos os períodos, mais que 10 espectadores à espera de serem revistados em cada fila? Justifique. ii) Calcule a probabilidade de um espectador chegar a um ponto de revista e ser imediatamente revistado. (c) Afinal vai-se manter a organização do perímetro de seguranças com 160 pontos de revista e a direção de segurança está agora preocupada com as entradas no estádio. Após a revista num dos pontos de revista que dão acesso a cada entrada, a entrada, propriamente dita, para o estádio é feita através de torniquetes, servidos por um sistema de validação dos bilhetes. Para evitar a falsificação de bilhetes, estes têm variados e sofisticados sistemas de segurança incorporados. No entanto, a complexidade dos sistemas de segurança implica também sistemas complexos e caros de validação. As alternativas existentes no mercado variam sobretudo na rapidez com que fazem essa verificação, sendo o seu preço inversamente proporcional à velocidade. Determine qual deve ser a velocidade mínima do sistema de validação dos bilhetes (medida em bilhetes por minuto) de forma a que o tempo médio de espera nos torniquetes não exceda os 30 segundos.

3 Resolução 1. (a) A atividade K é uma atividade fictícia representando a transição entre as provas do dia 1 e as provas do dia. Assim sendo, esta é sucessora das últimas provas a serem realizadas no dia 1 e antecede as provas iniciais do dia. Garante-se assim que as provas do dia apenas podem começar se todas as provas do dia 1 estiverem terminadas. (b) a = ES D = EF B = 5 b = F L C = ES K EF C = 0 c = LS C = LF C d C = 4 d = d K = 0, uma vez que é uma atividade fictícia f = LF H = LF J d J = 19 g = EF F = ES F d F = 19 h = F L G = ES I EF G = 0 i = F T G = LF G EF G = 3 j = F L I = ES Z EF I = 3 k = LS I = LF I d I = 19 A rede completa do decatlo é apresentada na Figura, as atividades (provas) no caminho crítico estão sombreadas a verde. 0 B 5 5 D 9 11 H X 0 0 A 4 4 E 7 11 K F J Z Legenda 4 C G I ES m m EF m FL m d m FT m LS m LF m Figura : Rede do decatlo (c) Utiliza-se o método PERT para ter em linha de conta a incerteza associada às durações das provas devido aos efeitos meteorológicos. As durações associadas a condições adversas - D a, condições normais - D n e condições ótimas - D o, representam as estimativas pessimista, mais provável e otimista, respectivamente. A Tabela 4 apresenta os valores de µ e σ para cada prova. Tabela 4: Valores de µ e σ da distribuição Beta Prova D a D n D o µ σ A ,44 B ,78 C 9 7, ,00 D 5,5 4,5 4 0,5 E 3,5 3,5 3 0,03 F ,78 G ,00 H 9 5, ,44 I 3,5 3,5 3 0,03 J 3,5 3,5 3 0,03 K A duração média da competição será igual à soma das durações médias das provas que pertencem ao caminho crítico: 3

4 µ A + µ C + µ K + µ F + µ J = = A variância da duração da competição será a soma das variâncias das durações das provas que pertencem ao caminho crítico: σ A + σ C + σ K + σ F + σ J = 0, ,78 + 0,03 = 3,5 P rob(d Z 0) = P rob(d Z 0 3,5 ) = P rob(d Z 1, 1094) 13, 36% (d) A possibilidade de realizar as provas A e E no dia 1 da competição em simultâneo não é vantajosa para a organização, uma vez que a prova E não pertence ao caminho crítico não havendo assim qualquer redução do tempo total necessário para a competição. Neste caso o proveito associado à utilização da pista extra no dia 1 é de u.m.. Já no caso do dia tanto a prova F como a prova J pertencem ao caminho crítico, assim alteremos a rede do decatlo (ver Figura 3): 0 B 5 5 D 9 11 H J X 0 0 A 4 4 E 7 11 K F 19 0 Z Legenda 4 C G I ES m m EF m FL m d m FT m LS m LF m Figura 3: Rede do decatlo com uma pista extra no dia A alteração da rede leva também a uma alteração no caminho crítico. As provas no caminho crítico são agora A-C-K-H-J e a duração da competição reduziu para 0 horas. Assim o proveito associado à utilização da pista no dia é de: (-0) * u.m u.m. = u.m.. Concluindo, a melhor alternativa para a organização é a utilização da pista extra apenas no dia da competição. 4

5 . Em todas as questões colocadas se referem sempre os valores máximos para o número de espectadores na filas ou para o tempo de espera nas filas. Sendo assim, e assumindo que a constituição das equipas de revista (configuração dos servidores) se mantém igual ao longo das 3 horas que antecedem o início da cerimónia, apenas temos que nos preocupar e fazer os cálculos para o período onde a afluência é máxima, isto é, o período 18h00-18h30, uma vez que o que for verdade para este período será necessariamente verdade para os restantes períodos, onde a afluência é menor. Para a resolução deste problema iremos tomar como unidade de tempo o minuto. (a) Nesta alínea pretende-se saber quantos espectadores devem poder ser revistados ao mesmo tempo, isto é, quantos servidores deve ter o sistema, de forma a que o tamanho médio da fila (L q ) não exceda os 10 espectadores. λ = 5 espectadores/meia-hora = 7, 5 espectadores/minuto µ = = espectadores/minuto Assim, sendo ρ = λ Sµ, o primeiro S que torna ρ < 1 é S = 4. Calculemos L q para esta situação: λ/µ = 7.5 = 3, 75 ρ = 7.5 = 0, P 0 = 0, por interpolação linear na tabela prática de P 0 L q = 0, , 754 0, ! (1 0, 9375) = 13, 15 espectadores Esta situação não respeita a condição de o número médio de espectadores à espera de serem revistados não exceder os 10. Teremos que aumentar o número de servidores para 5 (S = 5): λ/µ = 7.5 = 3, 75 ρ = 7.5 = 0, 75 5 P 0 = 0, por interpolação linear na tabela prática de P 0 L q = 0, , 755 0, 75 5! (1 0, 75) = 1, 39 espectadores Devemos então ter 5 servidores em cada ponto de revista. (b) Nesta situação passamos a ter sistemas M/M/1, com uma taxa de chegada que é 5% da anterior, mantendo-se a taxa de atendimento: λ = 0, 5 7, 5 = 1, 875 espectadores/minuto µ = espectadores/minuto ρ = λ/µ = = 0, 9375 P 0 = (1 0, 9375) = 0, 065 L q = 1, 875 = 14, 065 espectadores ( 1, 875) Com esta configuração não se respeita a regra de, em média, não ter mais que 10 espectadores à espera de serem revistados. 5

6 λ λ λ Figura 4: Rede com 3 sistemas de filas de espera. (c) Na situação descrita nesta alínea temos duas filas de espera a alimentar uma terceira fila de espera (Figura 4). Se o sistema estive em equilíbrio (todos os ρ menores do que 1) aplica-se o princípio de que tudo o que entra tem que sair, isto é, a taxa de chegada à terceira fila é a soma das taxas de chegada às duas filas anteriores: 7,5 + 7,5 = 15 espectadores por minuto. Note-se que as taxas de atendimento das duas primeiras filas não são relevantes para este problema. Apenas se tem que garantir que elas são tais que o sistema está em equilíbrio. Sendo assim, o sistema da terceira fila de espera é um sistema M/M/1 e o que nos é pedido é o valor de µ tal que W q < 30 segundos, isto é, 0,5 minutos: W q = λ µ(µ λ) 15 µ(µ 15) 0, 5 0, 5µ (µ 15) , 5µ 7, 5µ 15 0 Esta é uma equação de segundo grau com raízes: µ = 7, 5 ± 7, , , 5 Assim, dado que o coeficiente do termo de segundo grau é positivo, a equação toma valor positivo fora das raízes, isto é: µ 7, 5 7, , , 5 µ 7, 5 + 7, , , 5 µ 1, 787 µ 16, 787 Dado que µ tem que ser maior que λ, para que ρ seja menor que 1, ficamos com a condição µ 16, 787. Assim, o menor µ que garante o tempo de espera médio indicado é 16,787 bilhetes por minuto. 6