CEEJA MAX DADÁ GALLIZZI

CEEJA MAX DADÁ GALLIZZI MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO APOSTILA 14

Parabéns!!! Você já é um vencedor! Voltar a estudar é uma vitória que poucos podem dizer que conseguiram. É para você, caro aluno, que desenvolvemos esse material. Foi pensando em seu sucesso e em auxiliá-lo nas redescobertas da arte matemática que elaboramos o conteúdo e os exercícios contidos nesta coleção de apostilas. Ela foi escrita em linguagem simples e com a preocupação de transmitir os assuntos importantes de matemática da forma mais clara possível. Todos nós usamos matemática diariamente, mesmo sem perceber. Em uma compra, ao pagar e ao receber o troco, estamos fazendo matemática. Até para utilizarmos corretamente uma máquina de calcular, precisamos saber matemática. Para isto, em cada aula, você encontrará ferramentas matemáticas que passarão a fazer parte da sua vida para enriquecê-la e facilitála. A matemática não é um conjunto de regras que devam ser decoradas. O importante é compreender o que está por trás de cada regra; é compreender os conceitos. Assim você poderá utilizar os seus conhecimentos em situações novas, resolvendo os problemas que surgirem na sua casa, no seu trabalho, na sua vida. Uma parte fundamental dessa apostila são os Exercícios. Não se aprende matemática apenas lendo um texto. É preciso praticar. É preciso gastar lápis e papel resolvendo exercícios. Só assim ganhamos segurança no que aprendemos e ficamos preparados para a aula seguinte. Portanto, tente fazer os exercícios de cada aula. Talvez você não consiga resolver todos, mas o importante é tentar fazer. Também aprendemos muito com nossos próprios erros. Resolva todos os exercícios em seu caderno (não responder na apostila, pois a mesma será utilizada por outros alunos no decorrer do curso). Procure-nos assim que surgirem as primeiras dificuldades, nós estaremos sempre prontos para ajudálo. No fim do curso você terá adquirido uma série de conhecimentos de matemática que serão suas ferramentas para compreender melhor o mundo que nos cerca, tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado. Mas, acima de tudo, você vai descobrir que pensar é divertido. Raciocinar é estimulante. Resolver desafios, questionar, encontrar soluções nos dá prazer, desenvolve a nossa mente e torna mais ágil o nosso raciocínio. Adquirindo o hábito de pensar de forma organizada, você terá aprendido a mais importante das lições e nós teremos cumprido o nosso objetivo.

Trigonometria Um pouco da História A palavra trigonometria (do grego trigono=triangular e metria=medida) teve origem na resolução de problemas práticos relacionados principalmente à navegação e à Astronomia. Acredita-se que, como ciência, a Trigonometria nasceu com o astrônomo grego Hiparco de Nicéia (190 a.c.-125 a.c.). Este grande astrônomo criou uma matemática aplicada para prever os eclipses e os movimentos dos astros, permitindo a elaboração de calendários mais precisos e maior segurança na navegação. Hiparco ficou conhecido como pai da Trigonometria, por ter estudado e sistematizado algumas relações entre os elementos de um triângulo. A trigonometria, que relaciona as medidas dos lados de um triângulo com as medidas de seus ângulos, é de grande utilidade na medição de distâncias inacessíveis ao ser humano, como a altura de montanhas, torres e árvores, ou a largura de rios e lagos. Por esse motivo, a Trigonometria foi considerada em sua origem, como uma extensão da Geometria. Ela não se limita ao estudo de triângulos. Encontramos aplicações da Trigonometria na Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina, na Astronomia e até na Música. Há indícios de que os babilônicos (habitantes da antiga Mesopotâmia, hoje Iraque) efetuaram estudos rudimentares de trigonometria. Mais tarde, a Astronomia, estudada por egípcios e gregos, foi a grande impulsora do desenvolvimento da Trigonometria. Hiparco de Nicéia (190 a.c.-125 a.c.)

Trigonometria e suas Aplicações Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo, assunto comum na oitava série do Ensino Fundamental. Também dispomos de uma página mais aprofundada sobre o assunto tratado no âmbito do Ensino Médio. A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns. Algumas aplicações da trigonometria são: Determinação da altura de um certo prédio. Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples.

Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples. Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos. Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa. Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.

Triângulo Retângulo É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180, então os outros dois ângulos medirão 90. Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90, estes ângulos são denominados complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares.

Lados de um triângulo retângulo Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos. Termo Cateto Hipotenusa Origem da palavra Cathetós: (perpendicular) Hypoteinusa: Hypó(por baixo) + teino(eu estendo) Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações: Letra Lado Triângulo Vértice = Ângulo Medida a Hipotenusa A = Ângulo reto A=90 b Cateto B = Ângulo agudo B<90 c Cateto C = Ângulo agudo C<90 Simplificando: Num triângulo retângulo, chamaremos os lados que formam o ângulo reto de catetos. O lado oposto ao ângulo reto (lado de maior medida) chama-se hipotenusa. o Lados que formam o ângulo reto = CATETOS o Lado oposto ao ângulo reto = HIPOTENUSA

Nomenclatura dos catetos Você já sabe que, em todo triângulo retângulo, os lados são chamados hipotenusa (o maior lado) e catetos (lados perpendiculares). Precisamos, em função do ângulo, diferenciar a nomenclatura dos catetos. Ângulo Lado oposto Lado adjacente C c cateto oposto b cateto adjacente B b cateto oposto c cateto adjacente Simplificando: O cateto que fica em frente ao ângulo agudo que estamos utilizando chama-se cateto oposto, e o cateto que está sobre um dos lados desse ângulo chama-se cateto adjacente. Cateto oposto a α Hipotenusa α Cateto adjacente a α Observe que, se o ângulo do problema for o outro ângulo agudo do triângulo, a nomenclatura oposto e adjacente troca de posição (veja a figura abaixo), pois depende do ângulo utilizado. Cateto adjacente a α α Hipotenusa Cateto oposto a α

Funções trigonométricas básicas As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra α(alfa). Função Notação Definição seno sen(α) ( ) cosseno cos(α) ( ) tangente tg(α) ( ) No triângulo retângulo, teremos:

Relações trigonométricas As relações que acabamos de generalizar são chamadas relações trigonométricas e recebem nomes especiais. A primeira é chamada seno do ângulo α e escreve-se: A segunda é chamada cosseno do ângulo α e escreve-se: A última denomina-se tangente do ângulo α e escreve-se:

EXEMPLO 1: Você já conhece o triângulo pitagórico. Vamos obter as relações trigonométricas para um de seus ângulos agudos. a) Seno; b) Cosseno; c) Tangente. 3 5 α 4 Resolução: Cateto oposto a x 3 5 Hipotenusa a) 4 α Cateto adjacente a x b) c)

Exercícios Questão 01: Usando os triângulos retângulos a seguir, determine as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente para o ângulo α. a) b c a α b) 10 α 6 8 c) 5 13 12 α

Construindo a tabela trigonométrica Como vimos, para calcular o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo agudo, basta desenhar um triângulo retângulo que possua esse ângulo, medir com bastante precisão os seus lados e calcular as razões: Vejamos como calcularíamos essas razões para um ângulo de 32º. Vamos utilizar um papel milimetrado (papel quadriculado onde os lados de cada quadradinho medem 1 milímetro = 1 mm) para tentar ser bastante precisos. Observe que construímos um ângulo de 32º e o triângulo OPQ. Medindo seus lados temos: OP = 50 mm, PQ = 31 mm, OQ = 59 mm No entanto, esses valores, obtidos por processos gráficos, por melhor que seja nosso desenho, apresentam sempre imprecisões. Além disso, seria muito trabalhoso obter os valores de senos, cossenos e tangentes de ângulos graficamente, cada vez que precisássemos desses valores. Existem processos para calcular senos, cossenos e tangentes com muitas casas decimais exatas. Hoje em dia, muitas calculadoras já trazem teclas com essas funções. Para usá-las, basta digitar a medida do ângulo e depois a tecla correspondente à função desejada. Outro recurso muito utilizado é consultar uma tabela trigonométrica.

Tabela trigonométrica Nessa tabela, podemos encontrar os valores de seno, cosseno e tangente com uma aproximação de 4 casas decimais para todos os ângulos com medidas inteiras entre 1 e 90

Consulte a tabela e confirme que: sen 41 = 0,6561 cos 41 = 0,7547 tg 41 = 0,8693 sen 80 = 0,9848 cos 80 = 0,1736 tg 80 = 5,6713 Exercícios Questão 02: Consulte a tabela trigonométrica e dê os valores de: a) sen 52, cos 52, tg 52 b) sen 38, cos 38, tg 38 c) sen 20 e cos 70 d) sen 70 e cos 20 Questão 03: Nos itens (c) e (d) da questão anterior, você encontrou na tabela o seno e o cosseno dos ângulos 20 e 70, que são ângulos complementares (20 + 70 =90 ). Encontre na tabela os valores de seno e cosseno de outros ângulos complementares como: 30 e 60, 40 e 50... O que podemos concluir a partir da observação desses valores? Questão 04: Com auxílio da tabela e dos exercícios anteriores, responda: a) A tangente de um ângulo agudo pode ser igual a 1? Em caso afirmativo, para que ângulo isso acontece? b) A tangente de um ângulo agudo pode ser maior do que 1? Em caso afirmativo, para que ângulos isso acontece? Questão 05: a) Com os valores que você anotou na questão 02, calcule, agora com o auxílio da máquina de calcular, o valor das frações: b) Comparando esses resultados com o valor da tangente desses ângulos, o que podemos concluir?

Ângulos Notáveis O estudo da trigonometria é fundamentado nas relações existentes entre ângulos e medidas. No triângulo retângulo, essas relações são constantemente trabalhadas e alguns ângulos presentes nesse tipo de triângulo são usados com maior frequência, eles recebem o nome de ângulos notáveis e seus valores são de 30º, 45º e 60º. Vamos relembrar as relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo: seno, cosseno e tangente. Com base em algumas deduções geométricas e cálculos matemáticos, conseguimos calcular as relações trigonométricas seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30º, 45º e 60º do triângulo retângulo. A partir dos cálculos efetuados construímos a seguinte tabela de relações trigonométricas:

Aplicação das razões trigonométricas no triângulo retângulo EXEMPLO 1: Uma rampa lisa de 10m de comprimento faz ângulo de 30 com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe essa rampa inteira eleva-se quantos metros verticalmente? Resolução: hipotenusa cateto oposto cateto adjacente Pelo desenho, temos Como nesse triângulo temos o valor da hipotenusa e o cateto oposto é o valor a ser determinado, deveremos então utilizar a fórmula do seno. Observando a tabela trigonométrica verificamos que, sendo o cateto oposto o valor x a ser determinado e a hipotenusa medindo 10m, substituindo na fórmula do seno, resolveremos assim a seguinte regra de três: R: A rampa eleva-se 5m verticalmente.

EXEMPLO 2: Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4 m do solo, forma com essa parede um ângulo de 60. Qual é o comprimento da escada em metros? Solução: hipotenusa cateto adjacente cateto oposto Pelo desenho, temos Como nesse triângulo temos o valor do cateto adjacente e a hipotenusa é o valor a ser determinado, deveremos utilizar a fórmula do cosseno. Observando a tabela trigonométrica verificamos que, sendo o cateto adjacente medindo 4m e a hipotenusa o valor y a ser determinado, substituindo na fórmula do cosseno, resolveremos assim a seguinte regra de três: R: A escada tem 8m de comprimento.

Exercícios Questão 06: Determine o valor de x em cada um dos seguintes triângulos: a) x 20 30 b) x 60 c) 3,5 45 x 5

Questão 07: Uma escada rolante liga dois andares de uma loja e tem uma inclinação de 30. Sabendo que a escada rolante tem 10m de comprimento, qual é a altura entre os dois andares? Questão 08: Na figura abaixo, qual é a altura do avião, em relação ao chão? Questão 09: Observe a figura a seguir e responda: a) Qual é o comprimento da escada? b) Qual é o ângulo formado pela escada e o chão?

Questão 10: Durante um incêndio de apartamentos, os bombeiros utilizaram uma escada Magirus de 50m para atingir a janela do apartamento sinistrado. A escada forma um ângulo de 60 com o chão. Qual é a altura do apartamento sinistrado em relação ao chão? x 30 50m Questão 11: Ao chegar em Praia Grande com a família, o pai de Fernando precisou fazer uma ligação de luz na casa, que alugaram para passar as férias. A ligação foi feita a partir de uma caixa, situada a 16m de um poste e formando um ângulo de 60 com o chão, como mostra a figura. Quantos metros de fio o pai de Fernando usou? x 16 m 60 Questão 12: A plataforma do caminhão dista 80 cm do chão. Para conseguirem carregar facilmente a betoneira, a tábua que serve de rampa não deve fazer com o chão um ângulo superior a 30. Qual o comprimento que a tábua deve ter?

Questão 13: O ângulo de elevação do pé de uma árvore, a 50 m da base de uma encosta, ao topo da encosta é de 60. Que medida deve ter um cabo para ligar o pé da árvore ao topo da encosta? Questão 14: Queremos fazer a ligação de um cabo de 40m de comprimento num edifício, de modo que ele forme um ângulo de 60 com o solo. A que distância da parede devemos colocar esse cabo no solo? Questão 15: Determine o comprimento do escorregador, sabendo que ele tem 2,5m de altura e forma um ângulo de 60 com o chão.

Questão 16: Do alto de uma torre de 50m de altura, localizada numa ilha, avista-se a praia sob um ângulo de 45 em relação ao plano horizontal. Para transportar material da praia até a ilha, um barqueiro cobra R$ 2,00 por metro navegado. Quanto ele recebe em cada transporte que faz? Questão 17: Em um exercício de tiro, o alvo se encontra numa parede e sua base está situada a 20 m do atirador. Sabendo que o atirador vê o alvo sob um ângulo de 10 em relação à horizontal, calcule a que distância a mosca do alvo se encontra do chão. (Dados: ) Questão 18: Um avião levanta vôo em A e sobe fazendo um ângulo constante de 15 com a horizontal. A que altura estará e qual distância percorrida quando sobrevoar uma torre situada a 2 km do ponto de partida? )

Gabarito Questão 01: a) sen = ; cos = ; tg = b) sen = ; cos = ; tg = c) sen = ; cos = ; tg = Questão 02: a) sen 52 = 0,788 ; cos 52 = 0,6157 ; tg 52 = 1,2799 b) sen 38 = 0,6157 ; cos 38 = 0,788 ; tg 38 = 0,7813 c) sen 20 = cos 70 = 0,342 d) sen 70 = cos 20 = 0,9397 Questão 03: Podemos observar que seno e cosseno de ângulos complementares possuem mesmo valor. Questão 04: a) Sim, para um ângulo de 45 0. b) Sim, para os ângulos maiores de 45 0. Questão 05: a) b) Questão 06: a) x = 10 b) x = 7 c) x = 5 Questão 07: h = 5m Questão 08: h = 2500m

Questão 09: a) 8 metros b) Questão 10: x = 25 m Questão 11: x= 32m Questão12: 160cm Questão 13: 100m Questão 14: 20m Questão 15: Aproximadamente 2,9 m. Questão 16: R$100,00 Questão 17: 3,6 metros Questão 18: h = 540 m ; d 2061,8m

Bibliografia Os textos e os exercícios foram retirados e/ou pesquisados nos seguintes livros: Telecurso 2000 Matemática: Volumes 1,2 e 3 Ensino Médio. - São Paulo: Editora Globo, 2000. Matemática: Aula por Aula: Volume Único: Ensino Médio / Benigno Barreto Filho, Cláudio Xavier Barreto. - São Paulo: FTD, 2000. Matemática: Contexto & Aplicações: Volumes 1, 2 e 3: Ensino Médio. - São Paulo: Ática,1999. Matemática Fundamental, 2º grau: Volume Único / José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr. São Paulo: FTD, 1994. Coleção Base: Matemática: Volume Único / Manoel Paiva. São Paulo: Moderna, 1999. Curso Prático de Matemática: Volumes 1, 2 e 3 Ensino Médio / Paulo Bucchi. São Paulo: Moderna, 1998. Matemática: Temas e Metas: Volumes 1,2 e 3 / Antônio dos Santos Machado. São Paulo: Atual, 1986. Praticando Matemática: 6º ao 9º ano /Álvaro Andrini, Maria José Vasconcellos. São Paulo: Editora do Brasil, 2002. A Conquista da Matemática Nova: 6º ao 9º ano / José Ruy Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. São Paulo: FTD, 1998.

Este conjunto de apostilas foi elaborado pelos professores da Área de Matemática do CEEJA Max Dadá Gallizzi, com base nos livros didáticos descritos na Bibliografia, ora transcrevendo exercícios e teorias, ora criando com base nos conteúdos observados. Professores Ednilton Feliciano Francis Mara C. Sirolli Paulo Teles de Araújo Jr Satie Sandra Soares Taira 2010