Guia do Professor: Ampliando as noções trigonométricas. Introdução

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1 Guia do Professor: Ampliando as noções trigonométricas Introdução Caro professor, O mundo está em constante mudança, dado o grande e rápido desenvolvimento da tecnologia. Máquinas de calcular, computadores, internet, etc. são assuntos do cotidiano. E todos eles têm ligações estreitas com a matemática. Essa rápida mudança faz com que nós docentes estejamos sempre preocupados com a motivação no ensino de matemática, e, contudo, além da motivação, procuramos o ensino onde explore a capacidade do aluno de compreender o mundo a sua volta, dentro de seu contexto social, além de favorecer seu entendimento e de como o conhecimento da matemática pode ajudá-lo nesta tarefa. Sabemos que numa era de tecnologia, é fundamental que os alunos se familiarizem com o computador para aprofundar mais a sua a aprendizagem matemática. Neste intuito o objeto titulado Ampliando as noções trigonométricas mostrará como o emprego da simulação computacional pode ser um meio de promover o aprendizado de forma significativa, auxiliando o aluno do ensino médio na busca de uma melhor compreensão dos valores dos senos dos ângulos maiores que 360 e negativos. Na realidade, a trigonometria em especial as funções trigonométricas é uma ciência muito antiga, mas suas aplicações sempre aparecem no nosso cotidiano, porém este objeto permitirá que o aluno utilize livremente vários ângulos e diferentes tempos. Onde eles poderão compreender através do funcionamento da máquina a vapor e o movimento realizado pela roda da locomotiva o que acontece com os ângulos maiores que 360 e negativos. O aluno sentirá motivado para investigar os conceitos e relações matemáticas existentes no cotidiano, tendo a oportunidade de construir uma visão interdisciplinar da trigonometria, principalmente ao compreender o trabalho realizado pelo pistão num motor. 1

2 Objetivos Aprender fazendo é o objetivo deste objeto. Nele a teoria será construída conforme as atividades são desenvolvidas pelos alunos. O objeto prioriza a construção do conhecimento pelo fazer e pensar do aluno, com o objetivo de auxiliar a produção de significados, o papel do professor é mais que o de orientador e facilitador. É necessária a mediação do professor instigando-o o aluno a refletir, a investigar e a descobrir. De maneira geral o objeto tem os seguintes objetivos: Interpretar e fazer uso de modelos para a resolução de problemas trigonométricos; Estudo de conceitos relacionados à Trigonometria; Desenvolver a capacidade de resolver problemas por meio de alguns modelos; Construir conceitos de ângulos maiores que 360 e ângulos negativos; Reconhecer a utilização dos ângulos maiores que 360 e ângulos negativos. Pré-requisitos Para desenvolver essa atividade, o aluno precisará ter conhecimento dos valores dos senos dos ângulos de 0 a 360, das relações entre os ângulos e lados do triângulo retângulo e das razões seno, cosseno e tangente. Para trabalhar as razões trigonométricas sugerimos que o professor trabalhe com o Objeto de aprendizagem Construindo as relações trigonométricas Tempo previsto para a atividade Na realização deste módulo sugerimos o trabalho integrado entre aulas no laboratório de informática e outras desenvolvidas na sala de aula. 2

3 A atividade necessita ser realizada no período de 1h/aula no laboratório de informática e 2h/aula na sala de aula (sendo uma antes da aula no laboratório e outra depois). Na sala de aula Na aula antes de ir para o laboratório sugerimos que o professor comente um pouco da história da trigonometria, pois está e a própria matemática apresentam muitos fatos e propriedades curiosas que podem despertar o interesse do aluno, bem como motivá-lo ao estudo da mesma. Poderá mostrar que inicialmente está era considerada como uma extensão da geometria, e que a trigonometria já era estudada pelos babilônios, que a utilizavam para resolver problemas práticos de Astronomia, de Navegação e de Agrimensura. Foi o fascínio pelos astros que levou os egípcios e dos babilônios a começarem a estudar as relações existentes entre os ângulos e os lados dos triângulos. O passo seguinte foi estudar a relação que existe entre os ângulos ao centro de uma circunferência e as suas respectivas cordas (segmento de reta que une dois pontos da circunferência). Por volta de 140 a.c. Hiparco construiu as primeiras tabelas trigonométricas, o que levou a que fosse considerado como o pai da trigonometria. Atualmente a trigonometria não se limita apenas a estudar triângulos. Sua aplicação se estende na outros campos da matemática, como a Análise, e a outros campos da atividade humana como a Acústica, a Música, a Topologia, e a quase todos os ramos da Engenharia (Elétrica, Mecânica, civil) em especial no estudo de fenômenos periódicos como a vibração do som e o fluxo de corrente alternada. Para mostrar um pouco mais da história propomos que o professor trabalhe com webquest com qual o aluno poderá melhorar a leitura e a interpretação de texto. Situar o aluno diante do assunto proposto é muito importante, pois mostra que a matemática não surgiu ao acaso e que começou a ser desenvolvida conforme a necessidade do homem. Além do mais é uma ciência viva que está em construção. O professor nesta aula também precisa falar para os alunos como será feita a avaliação e como precisa ser desenvolvido o trabalho final. 3

4 Para melhores informações sugerimos os sites: último acesso em 16/04/ último acesso em 16/04/ E os livros: 1. KENNEDY, Edward S.; trad. Hygino H. Domingues. História da Trigonometria. São Paulo: Atual Editora, (Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula; V. 5). 2.IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar, 3: trigonometria. São Paulo: Atual Editora, LIMA, Elon Lages, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner,Augusto César Morgado A Matemática do Ensino Médio Volume 2 Terceira Edição, Publicação SBM, Na sala de computadores Preparação Sugerimos que, alguns dias antes do trabalho no laboratório de informática, o professor verifique quais máquinas que estão funcionando e se optar por trabalhar sem internet instale os objetos em todos os computadores, assim estará precavendo de alguns problemas. No dia da aula, para que o tempo seja suficiente para o desenvolvimento da atividade, sugerimos que o deixem as máquinas ligadas. 4

5 Para melhor resultado da aula propomos que divida os alunos em duplas ou trios para estimular o trabalho em grupo, pois assim eles terão a oportunidade juntos de criarem e planejarem a melhor a solução, sempre trabalhando cooperativamente e com ética, respeitando as características individuais. Material necessário É necessário que o aluno disponha de papel, lápis e borracha para anotações. Livro didático para possível feedback do conteúdo abordado pelo objeto. A sala de informática, se possível, deve possuir um quadro (losa) a disposição do professor para uma eventual necessidade. O objeto possui uma calculadora e a tabela de ângulos que serão utilizados no objeto. Requerimentos técnicos Para a realização da atividade serão necessário Plugins para Flash MX, de qualquer versão superior ou igual ao flash 5.0. Também para evitar problemas sugerimos que os computadores tenham ativado o Java Web Start e seus plugins. Os softwares Java e pluguins do Flash podem ser obtidos gratuitamente nos sites dos fabricanates, que são e Durante a atividade Nossa vontade é que o objeto de aprendizagem alcance as metas traçadas. Destacamos, por isso, alguns procedimentos que poderão auxiliá-lo em seu trabalho. A segui serão descritos alguns passos gerais e outros específicos de cada atividade. O Objeto possui três atividades. As atividades serão exploradas através de dois momentos. 5

6 Atividade 1 Primeiro momento: Aparecerá na tela da atividade 1: um motor, uma tabela que fornece o ângulo e o seno desse ângulo, um círculo e alguns ângulos como opção Será mostrado o momento de explosão e compreensão do pistão, ou seja, será simulado o funcionamento do motor. Quando o aluno escolher um dos ângulos e clicar em iniciar, este movimentará o motor e juntamente com esse movimento teremos uma circunferência que descreve o ângulo caminhado pelo pistão ao longo da primeira volta. A roda irá parar quando o pistão descrever o ângulo escolhido. Porém quando o aluno escolher manual terá que clicar em iniciar, porém agora terá que clicar em parar quando desejar o pistão pare. Quando o aluno/a clicar em parar, a tabela ficará preenchida. Nesse primeiro momento o aluno poderá interagir com o objeto e é sugerido que ele trabalhe primeiro com o manual, tentando entender o caminho percorrido pelo pistão. Também poderão ser explorados os conceitos das relações fundamentais trigonométricas: senos, cossenos e tangentes, aproveitando o triângulo inscrito na circunferência. Vale ressaltar que a circunferência trigonométrica tem raio unitário. Segundo Momento: Após o primeiro momento o aluno terá que discutir com os colegas e responder uma questão, mas para isso terá que elaborar um roteiro com as algumas dicas. Manipule o motor. Você é capaz de justificar o movimento. Elabore o roteiro com as seguintes dicas: Dica1: Quando o pistão estará no inicio do cilindro? Dica 2: Quando o pistão estará no meio cilindro? Dica 3: Quando o pistão estará no fim cilindro? 6

7 Nesta atividade o aluno deverá ser capaz de perceber que quando o pistão está no inicio do cilindro o ângulo formado é 0 grau, no meio (quando o pistão está indo) é de 90 grau, no fim é de 180 e no meio (quando está voltando) é de 270 grau. Atividade 2 Primeiro momento: A tela da atividade 2 tem o desenho do motor, este agora realizará 5 voltas em um minuto, no sentido anti-horário. As animações são as mesmas da atividade 1. Tem uma caixinha onde o/a aluno/a poderá digitar o tempo entre 0 à 60 segundos. Conforme o movimento do pistão aparecerá no lado direito um círculo trigonométrico, mostrando o ângulo formado naquele instante pelo pistão. Do lado do círculo temos uma tabela que ficará preenchida. Nesse momento já poderá ser explorada a relação entre os ângulos de 360 e os maiores que 360 podendo também explorar nessa atividade a redução ao 1 quadrante. Segundo momento: Após o primeiro momento o aluno terá que discutir com os colegas e responder uma questão, mas para isso terá que elaborar um roteiro com as algumas dicas. Texto 1: Manipule o tempo. Você é capaz de justificar os valores dos ângulos maiores que 360. Elabore o roteiro com as seguintes dicas: Dica 1: Observe o movimento do pistão no tempo de 0 à 12 segundos, no sentido anti-horário: Quantas voltas o pistão percorre no tempo de 12 segundos? Qual o ângulo descrito pelo pistão no tempo de 12 segundos? Dica 2: Observe o movimento do pistão no tempo de 12 à 60 segundos. Quantas voltas o pistão percorre no tempo de 24, 36, 48 e 60 segundos? Qual o ângulo descrito pelo pistão no tempo de 24, 36, 48 e 60 segundos? 7

8 Dica 3: Observe a posição do pistão quando escolhemos o tempo de 3, 15 e 27 segundos. Os ângulos formados pelo o pistão são os mesmos? Olhe a tabela do seno e encontre o valor do seno de 90, seno de 450 e seno de 810. O que conclui? Dica 4: Observe a posição do pistão quando escolhemos o tempo de 5, 41 e 53 segundos. Os ângulos formados pelo o pistão são os mesmos? Olhe a tabela do seno e encontre o valor do seno de 150, seno de 1230 e seno de O que concluí? O objetivo dessa atividade é que o aluno entenda que de tempo em tempo o valor do seno se repete, isso, poderá se observado quando o pistão parar num mesmo ponto da roda, porém formando ângulo diferente, sendo também explorado nesse momento os arcos côngruos. Atividade 3 Primeiro momento: Na tela da atividade 3 têm dois círculos trigonométrico um girando no sentido horário e outro no sentido anti-horário. O pistão realizará 5 voltas em um minuto, em cada um dos círculos. Tem um relógio digital onde o/a aluno/a poderá digitar o tempo entre 0 à 60 segundos. Quando a pistão parar, aparecerá o ângulo descrito pelo pistão. O objetivo é que o aluno possa entender a relação do seno negativo com um seno positivo é que a soma dos módulos dos dois ângulos é 360, podendo ser novamente explorado os arcos côngruos. 8

9 Manipule o tempo. Você é capaz de justificar a relação existente entre os ângulos negativos e positivos. Elabore o roteiro com as seguintes dicas: Dica 1: Qual o ângulo formado no tempo de 11 segundos, no sentido horário? Qual seria o ângulo formado pelo pistão no tempo de 1 segundos no sentido antihorário? O que você conclui sobre o sen(-30 ) e sen(330 )? Segundo momento: Após o primeiro momento o aluno terá que discutir com os colegas e responder uma questão, mas para isso terá que elaborar um roteiro com as algumas dicas. Dica 2: Qual o ângulo formado no tempo de 15 segundos, no sentido horário? Qual seria o ângulo formado pelo pistão no tempo de 9 e 21 segundos no sentido anti-horário? O que você conclui sobre o sen(-450 ), sen(270 ) e sen(630 )? Dica 3: Qual o ângulo formado no tempo de 32 segundos, no sentido horário? Qual seria o ângulo formado pelo pistão no tempo de 4, 16 e 28 segundos no sentido anti-horário? O que você conclui sobre o sen(-960 ), sen(120 ), sen(480 ) e sen(840 )? Dica 4: Qual o ângulo formado no tempo de 46 segundos, no sentido horário? Qual seria o ângulo formado pelo pistão no tempo de 2, 14, 26 e 38 segundos no sentido anti-horário? O que você conclui sobre o sen(-1380 ), sen(60 ), sen(420 ), sen(780 ) e sen(1140 )? 9

10 O objetivo nesse momento é que o aluno consiga perceber que os valores dos senos pedidos nas questões são os mesmos. Depois da atividade O professor ao retornar sala de aula, poderá propor aos alunos um projeto. Neste os alunos pesquisarão em livros, revistas e internet algumas aplicações do cotidiano em que são utilizados os conceitos de ângulos maiores que 360 e negativos e juntamente com os relatórios feitos durante a interação com o objeto, criarão uma apresentação utilizando recurso computacional tais como power point que deverá ser exposto para a turma em uma determinada data. Avaliação A avaliação é um instrumento fundamental para fornecer informações sobre como está se realizando o processo ensino aprendizagem como um todo tanto para o professor conhecer e analisar o resultado de seu trabalho como para o aluno verificar seu desempenho. É algo bem mais amplo que medir quantidade de conteúdos que o aluno aprendeu em determinado período, por isso sugerimos outros tipos de instrumentos de avaliação, que difere de provas. Como os alunos precisam ser avaliados desde a 1 aula antes do laboratório, então o professor poderá estar pedindo para eles fazerem reflexões ou portifólios de cada aula, que não devem ser utilizados como forma de punição mais sim, como oportunidade de perceber avanços ou dificuldades dos alunos em relação ao conteúdo proposto. Estes devem ser entregues junto com o trabalho final. Sugerimos que o professor marque uma data para os alunos apresentarem os trabalhos, pois assim poderá perceber o que aprenderam e verificar se os objetivos foram alcançados. A socialização do trabalho fará com que o aluno organize a sua idéias. Para saber mais 10

11 pt.wikipedia.org/wiki/trigonometria 1. KENNEDY, Edward S.; trad. Hygino H. Domingues. História da Trigonometria. São Paulo: Atual Editora, (Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula; V. 5). 2.IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar, 3: trigonometria. São Paulo: Atual Editora, GIOVANNI, José Ruy. Matemática fundamental, 2º grau. São Paulo: FTD, GUELLI, Oscar. Matemática série brasil, 2 grau. São Paulo: Ática, LIMA, Elon Lages, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner,Augusto César Morgado; A Matemática do Ensino Médio, Volume 2, Terceira Edição, Publicação SBM, DANTE, Luís Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações. São Paulo: Ática. MACHADO, Antonio dos Santos. Matemática para o Segundo Grau. São Paulo: Atual 7.FERNANDEZ, Vicente Paz; YOUSSEF, Antônio Nicolau. Matemática para o 2o Grau. Curso completo. São Paulo: Scipione,