CEEJA MAX DADÁ GALLIZZI

Transcrição

1 CEEJA MAX DADÁ GALLIZZI MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO APOSTILA 03

2 Parabéns!!! Você já é um vencedor! Voltar a estudar é uma vitória que poucos podem dizer que conseguiram. É para você, caro aluno, que desenvolvemos esse material. Foi pensando em seu sucesso e em auxiliá-lo nas redescobertas da arte matemática que elaboramos o conteúdo e os exercícios contidos nesta coleção de apostilas. Ela foi escrita em linguagem simples e com a preocupação de transmitir os assuntos importantes de matemática da forma mais clara possível. Todos nós usamos matemática diariamente, mesmo sem perceber. Em uma compra, ao pagar e ao receber o troco, estamos fazendo matemática. Até para utilizarmos corretamente uma máquina de calcular, precisamos saber matemática. Para isto, em cada aula, você encontrará ferramentas matemáticas que passarão a fazer parte da sua vida para enriquecê-la e facilitála. A matemática não é um conjunto de regras que devam ser decoradas. O importante é compreender o que está por trás de cada regra; é compreender os conceitos. Assim você poderá utilizar os seus conhecimentos em situações novas, resolvendo os problemas que surgirem na sua casa, no seu trabalho, na sua vida. Uma parte fundamental dessa apostila são os Exercícios. Não se aprende matemática apenas lendo um texto. É preciso praticar. É preciso gastar lápis e papel resolvendo exercícios. Só assim ganhamos segurança no que aprendemos e ficamos preparados para a aula seguinte. Portanto, tente fazer os exercícios de cada aula. Talvez você não consiga resolver todos, mas o importante é tentar fazer. Também aprendemos muito com nossos próprios erros. Resolva todos os exercícios em seu caderno (não responder na apostila, pois a mesma será utilizada por outros alunos no decorrer do curso). Procure-nos assim que surgirem as primeiras dificuldades, nós estaremos sempre prontos para ajudálo. No fim do curso você terá adquirido uma série de conhecimentos de matemática que serão suas ferramentas para compreender melhor o mundo que nos cerca, tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado. Mas, acima de tudo, você vai descobrir que pensar é divertido. Raciocinar é estimulante. Resolver desafios, questionar, encontrar soluções nos dá prazer, desenvolve a nossa mente e torna mais ágil o nosso raciocínio. Adquirindo o hábito de pensar de forma organizada, você terá aprendido a mais importante das lições e nós teremos cumprido o nosso objetivo. Página 2

3 A Álgebra nas Profissões Introdução Nesta aula, você vai perceber que, em diversas profissões e atividades, surgem problemas que podem ser resolvidos com o auxílio da álgebra. Alguns problemas são tão freqüentes que existem fórmulas prontas para sua rápida resolução. Outros, por não serem tão freqüentes, vão necessitar de maior raciocínio e criatividade. Mas, em todos eles, você poderá perceber a força dessa nova ferramenta que é a álgebra. A álgebra é utilizada para resolver problemas muito diferentes. Mas não se esqueça: ela é apenas uma ferramenta. O mais importante é sempre o raciocínio. A habilidade de resolver problemas se desenvolve aos poucos. Com a prática. Com persistência. A álgebra na medicina Na medicina, os médicos utilizam muitas fórmulas matemáticas. Principalmente para calcular as quantidades certas de remédios que devem ser dados aos doentes e para outros cálculos. São fórmulas que não podemos entender porque não somos médicos. Mas existem algumas que são simples e úteis para todos, como esta que vamos mostrar agora. Página 3

4 EXEMPLO 1: Como calcular a altura de uma criança? A altura de uma criança depende de sua idade e de muitos outros fatores. Entretanto, os médicos examinaram uma quantidade muito grande de crianças brasileiras e tiraram uma média. Essa pesquisa deu origem a uma fórmula que você mesmo pode usar para verificar o desenvolvimento dos seus filhos. A fórmula - que vale para crianças de 4 a 13 anos - é a seguinte: Nessa fórmula: y = 5,7 x + 81,5 x é a idade da criança (em anos) y é a altura da criança (em centímetros) Por exemplo, se uma criança tem 5 anos podemos calcular sua altura, substituindo o x da fórmula por 5. Veja: y = 5, ,5 y = 28,5 + 81,5 y = 110 cm O resultado indica que, em geral, as crianças de 5 anos devem estar medindo por volta de 110 cm de altura. Em geral, como o desenvolvimento da criança depende de outros fatores, como a altura dos pais, a alimentação etc., são consideradas crianças normais as que tiverem altura até 10 cm a mais ou a menos que o valor dado pela fórmula. o Para você saber mais Cada criança tem seu jeito de crescer. Em geral, as meninas crescem de forma muito próxima aos valores dados pela fórmula. Já os meninos crescem um pouco menos dos 10 aos 12 anos e passam a crescer mais depois dos 12 anos. Com a fórmula que apresentamos, você pode fazer previsões. Suponha que uma menina tenha 115 cm de altura aos 5 anos. Essa criança tem, portanto, 5 cm a mais que o valor dado pela fórmula. Se tudo correr normalmente, essa diferença deve se manter (ou até aumentar um pouco) ao longo dos anos. Assim, se você quiser saber que altura ela terá aos 10 anos, aplique a fórmula e acrescente esses 5 centímetros. Página 4

5 A álgebra em uma pequena empresa Mesmo em pequenas empresas surgem freqüentemente problemas relacionados com a produção, com os custos, com os investimentos, com a divisão dos lucros etc. Vamos mostrar um deles e sua solução, com o auxílio da álgebra. EXEMPLO 2: Como fazer uma divisão proporcional? Em uma confecção trabalham 16 costureiras, 2 supervisoras e 1 diretora. Cada supervisora ganha 25% a mais que uma costureira, e a diretora ganha 50% a mais que uma costureira. Todos os meses, uma pequena parte do faturamento é colocada numa poupança para ser distribuída no fim do ano. É a caixinha do Natal. Pois bem, no fim do ano, essa poupança tinha R$ 1.440,00. Como deveremos fazer a distribuição dessa caixinha mantendo-se a mesma proporção dos salários? Temos aqui uma excelente oportunidade para usarmos a álgebra. Como já vimos nas aulas anteriores, é preciso escolher o significado da nossa incógnita. Vamos então representar com a letra x a quantia que cada costureira deverá receber. Costureira = x Cada supervisora ganha 25% a mais que uma costureira. Portanto, cada uma receberá: Supervisora = 125% de x = 1,25.x A diretora ganha 50 % a mais que uma costureira. Portanto, ela receberá: Diretora = 150% de x = 1,50.x Veja, então, o resumo no quadro abaixo. 16 costureiras 16. x 16x 2 supervisoras 2. 1,25x 2,5x 1 diretora 1. 1,50x 1,5x Vamos somar tudo e igualar o resultado ao total da poupança: 16 x + 2,5 x + 1,5 x = 1440 Para encontrar o valor de x basta, então, resolver essa equação. Observe: 16 x + 2,5 x + 1,5 x = x = 1440 Portanto: x = 72 o Costureira = x = 72 o Supervisora = 1,25 x = 1,25 72 = 90 o Diretora = 1, 5 x = 1,5 72 = 108 Assim, cada costureira deverá receber R$ 72,00, cada supervisora deverá receber R$ 90,00 e a diretora, R$ 108,00. Foi feita então a divisão proporcional da caixinha do Natal. Página 5

6 Exercícios Questão 01: Um pediatra anotou as alturas das meninas de 8 anos que foram ao seu consultório em determinada semana: 125 cm, 128 cm, 130 cm, 123 cm, 132 cm e 126 cm a) Qual a altura média dessas crianças? Observação: A média de vários números é igual à soma desses números dividida pela quantidade de números dados. b) Qual o valor fornecido pela fórmula das alturas das crianças? y = 5,7 x + 81,5 Questão 02: Toda mãe sabe que deve levar seu filho, freqüentemente ao pediatra. Buscando saber se a criança está desenvolvendo-se bem, o pediatra utiliza uma fórmula para ter idéia do peso ideal de acordo com a idade da criança: P = 2.i + 8 (onde: P = peso ; i = idade) a) Qual o peso ideal de uma criança com 5 anos? b) E de uma criança com 7 anos? Questão 03 : Você certamente já reparou que os calçados são medidos por números: 35, 36 e 37 para as mulheres e 39, 40 e 41 para a maioria dos homens. Mas, existem, é claro, pés maiores. O número do sapato depende do comprimento do pé, e a fórmula para calcular o número do calçado é a seguinte: onde: o N é o número do sapato o c é o comprimento do pé, em centímetros a) Que número calça uma pessoa cujo pé mede 20 cm? b) E uma pessoa cujo pé mede 26 cm? Página 6

7 Questão 04: Na Europa, existem empresas em que o salário mais alto é, no máximo, 4 vezes o salário mais baixo. Vamos imaginar uma empresa dessas e considerar que ela seja formada por operários, técnicos, engenheiros e diretores. Cada técnico ganha o dobro de um operário. Cada engenheiro ganha o triplo de um operário e cada diretor ganha o quádruplo de um operário. Sabe-se que nessa empresa trabalham 80 operários, 20 técnicos, 4 engenheiros e 2 diretores. Se a folha de pagamento dos salários é de R$ ,00, pergunta-se: a) Quanto ganha cada operário? b) Quanto ganha cada diretor? Sugestão: Represente o salário de cada operário por x e complete o quadro abaixo: 1 operário ganha:...1x operários ganham:... 1 técnico ganha: técnicos ganham:... 1 engenheiro ganha: engenheiros ganham:... 1 diretor ganha: diretores ganham:... Descubra a equação que resolve esse problema e mãos a obra. Questão 05: Ao alugar um veículo, geralmente há duas partes a pagar. Uma depende do número de dias que você fica com o carro. A outra do número de quilômetros que você roda com ele. Uma pessoa locou um carro por 10 dias e andou 500Km. Quanto deverá desembolsar, essa pessoa, sabendo que é cobrado R$ 30,00 por dia locado e R$ 1,50 o quilômetro rodado? Total a pagar = R$ 80,00. d + R$ 1,50. Km Onde: o d = número de dias; o Km = número de quilômetros rodados. Página 7

8 Introdução Operações com potências Quando um número é multiplicado por ele mesmo, dizemos que ele está elevado ao quadrado, e escrevemos assim: a a = a² (a elevado a 2 ou a ao quadrado) Se um número é multiplicado por ele mesmo várias vezes, temos uma potência. a a a = a³ (a elevado a 3 ou a ao cubo) a a a a = a⁴ (a elevado a 4) De uma forma geral, se o fator a aparece n vezes escrevemos a n (a elevado a n). O número a é a base da potência e n é o expoente. Nas ciências, para escrever números muitos grandes ou muito pequenos usamos potências. Por exemplo, um bilhão é o número , que é igual a: = 10 9 Os astrônomos medem as distâncias entre as estrelas em uma unidade chamada ano-luz, que é a distância percorrida pela luz durante um ano. Essa imensa distância vale, aproximadamente, km, ou seja, nove trilhões e quinhentos bilhões de quilômetros. Para facilitar, escrevemos esse número assim: 1 ano-luz = 9, km Acontece que essa distância é ainda pequena se olharmos para o universo conhecido. A estrela mais próxima de nós (que está na constelação do Centauro) fica a 4 anos-luz de distância. Mas, existem estrelas que estão a bilhões de anosluz de distância de nós. Imagine que número gigantesco deve representar essa distância em quilômetros. Podemos então perceber que só é prático representar números desse tamanho usando potências e, além disso, é preciso saber fazer cálculos com elas. Página 8

9 O produto de potências de mesma base Começamos com um exemplo. Vamos multiplicar a 4 por a 3 a 4 a 3 = a a a a a a a = a 4+3 = a 7 Como cada expoente representa o número de fatores então o número total de fatores é a soma dos expoentes. Concluímos então que para multiplicar potências de mesma base devemos conservar a base e somar os expoentes. Esse resultado, escrito de forma geral, fica assim: a m a n = a m+n A divisão de potências de mesma base Começamos também com um exemplo para descobrir o caso geral. Vamos dividir a 6 por a 2. Cada fator do denominador é cancelado com um fator do numerador. Então o número de fatores do resultado é a diferença entre o número de fatores do numerador e o número de fatores do denominador. Concluímos então que, para dividir potências de mesma base, devemos conservar a base e subtrair os expoentes. Esse resultado, escrito de forma geral fica assim: Observação: Nesta identidade existe uma restrição para a letra a: ela pode representar qualquer número, exceto o zero. Isso acontece porque é impossível a divisão por zero. Página 9

10 A potência de uma potência Vamos, mais uma vez, descobrir o caso geral a partir do raciocínio usado em um exemplo. Calculemos então (a 3 ) 4. (a 3 ) 4 = a 3 a 3 a 3 a 3 = a = a 3 4 = a 12 É claro que a letra a apareceu como fator 12 vezes, que é o produto dos expoentes. Concluimos então que quando uma potência está elevada a algum expoente, devemos manter a base e multiplicar os expoentes. (a m ) n = a m.n O expoente zero O que acontece se o expoente for zero? Essa é uma pergunta freqüente, e a resposta é a seguinte. Quando definimos a n, o expoente n é o número de vezes que a letra a aparece como fator. Então, n pode ser 1, 2, 3, 4 etc, e o caso n = 0 não está incluído na nossa definição. Portanto, a expressão a 0 precisa ser definida, ou seja, precisamos dar um significado para ela. Definimos, então: a 0 = 1 para todo a 0 Por que isso? Porque, com essa definição, as propriedades anteriores continuam válidas. Observe. Inicialmente os nossos expoentes eram inteiros positivos, e agora o zero foi incluído. O leitor curioso poderá então perguntar o que acontece se o expoente for negativo. Realmente, expoentes negativos existem; mas, como eles não estão incluídos na definição original de potência, precisamos criar um significado para eles. Isso é o que veremos a seguir. Página 10

11 O expoente negativo Devemos definir potências de expoentes negativos, de forma que as propriedades anteriores permaneçam válidas. A definição conveniente é a seguinte: Observe que, com essa definição, as propriedades que vimos continuam a ser usadas. Veja: Então: Nas ciências, potências de base 10 com expoente negativo são usadas para representar números muito pequenos. Observe: Página 11

12 Notação científica Notação cientifica é uma maneira de representar um número muito grande ou muito pequeno de uma forma mais fácil de se trabalhar. Observe os exemplos de números grandes e pequenos: ,0004 0, , , A representação desses números, como apresentada, traz pouco significado prático. Pode-se até pensar que esses valores são pouco relevantes e de uso quase inexistente na vida cotidiana. Porém, em áreas como a física e a química, esses valores são frequentes. Por exemplo, a distância da terra até o sol é de km ou que a massa do átomo de hidrogênio é 0, g. Você já parou para pensar como seria trabalhoso efetuar a multiplicação ou qualquer outra operação com este números. Para valores como esses, a notação científica é mais adequada, pois apresenta a vantagem de poder representar adequadamente a quantidade de algarismos significativos. Escrevendo um número em notação científica Para escrevermos um número na forma de notação cientifica precisamos ficar atento a seguinte prática, o número a ser escrito será representado na forma de um produto de dois fatores, lembrando que um deles é um número maior que 1 e menor que 10 e o outro número é uma potência de 10, positiva ou negativa. Vamos exprimir os números dados usando números decimais e potências de 10. Observe que: 1 mil = = 10 3 Então, 1 milhão = = bilhão = = trilhão = = ,2 milhões = 1, ,5 trilhões = 9, Página 12

13 EXEMPLO 1: Transformando um número em notação científica: a) 200 = (a vírgula deslocou 2 casas para a esquerda) b) = 1, (a vírgula deslocou 11 casas para a esquerda) c) = 9, (a vírgula deslocou 17 casas para esquerda) d) 0,005 = (a vírgula deslocou 3 casas para a direita) e) 0, = 4, (a vírgula deslocou 16 casas para a direita) Lembrete: Observe que quando a vírgula se desloca para a direita o expoente do número 10 é negativo e quando a vírgula se desloca para a esquerda o expoente do número 10 é positivo. Não esqueça que o número que multiplica a potência de 10 é maior que 1 e menor que 10. EXEMPLO 2: Certa estrela está a 1,2 milhões de anos-luz do sol. Sabendo que 1 ano-luz é igual a 9,5 trilhões de quilômetros, determine, em quilômetros, a distância entre essa estrela e o sol. Pense um pouco antes de ver a solução. Procure exprimir os números dados usando potências de 10. Para calcular a distância entre o sol e a outra estrela, devemos multiplicar esses dois números. Observe que vamos multiplicar os números decimais e as potências de 10. Veja: 1, , = 1,2 9, = 11, = 11, km Quando representamos um número por um decimal seguido de uma potência de 10, estamos usando o que se chama de notação científica. É assim que os cientistas representam números muito grandes. Entretanto, eles também combinaram o seguinte: para que todos escrevam da mesma forma nunca escreverão mais de um dígito na parte inteira do número decimal. Assim, um verdadeiro cientista não escreveria a distância 11, km. Ele faria assim: 11, km = 1, km Página 13

14 Exercícios Questão 06: Observe os exemplos e resolva as potências: 3 2 = 3.3 = = = 64 a) 4 2 = b) 13 2 = c) 31 2 = d) 5 3 = e) 10 3 = 5 4 = = =12.12=144 f) 11 3 = g) 3 4 = h) 4 5 = i) 2 7 = j) 1 10 = Questão 07: Escreva, em notação científica, os números dados : a) 300 = b) 2000 = c) = d) = e) = f) 0,9 = g) 0,04 = h) 0,007 = i) 0,00025 = j) 0, = Questão 08: Com aproximadamente 191 milhões de habitantes, o Brasil é um país de dimensões continentais. São km 2. Os quilômetros de costa litorânea são banhados pelo Oceano Atlântico. a) Escreva, em notação científica, a superfície aproximada do Brasil em km 2. b) Escreva, em notação científica, a extensão de nossa costa litorânea em km. c) Quantos somos nós, se escrevermos a população brasileira aproximada em notação científica? Página 14

15 Questão 09: Determine, em notação científica, a massa do átomo de hidrogênio que é igual a 0, g. Questão 10: O planeta Plutão, o mais afastado do sistema solar, está a 5900 milhões de quilômetros de distância do Sol. Escreva essa distância: a) em quilômetros usando a notação científica; b) em anos-luz. Página 15

16 Gabarito Questão 01: a) 127,33 cm b) 127,1 cm Questão 02: a) 18 kg b) 22 kg Questão 03: a) 32 b) 39,5 Questão 04: a) R$ 530,00 b) R$ 2120,00 Questão 05: R$ 1550,00 Questão 06: a) 16 c) 961 e) 1000 g) 81 i) 128 b) 169 d) 125 f) 1331 h) 1024 j) 1 Questão 07: a) c) 4, e) 9, g) i) 2, b) d) f) h) j) 8, Questão 08: a) 8, km² b) 7,367.10³ km c) 1, habitantes Questão 09: 1, g Questão 10: a) 5, km b) 1,61.10³ Página 16

17 Bibliografia Os textos e os exercícios foram retirados e/ou pesquisados nos seguintes livros: Telecurso 2000 Matemática: Volumes 1,2 e 3 Ensino Médio. - São Paulo: Editora Globo, Matemática: Aula por Aula: Volume Único: Ensino Médio / Benigno Barreto Filho, Cláudio Xavier Barreto. - São Paulo: FTD, Matemática: Contexto & Aplicações: Volumes 1, 2 e 3: Ensino Médio. - São Paulo: Ática,1999. Matemática Fundamental, 2º grau: Volume Único / José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr. São Paulo: FTD, Coleção Base: Matemática: Volume Único / Manoel Paiva. São Paulo: Moderna, Curso Prático de Matemática: Volumes 1, 2 e 3 Ensino Médio / Paulo Bucchi. São Paulo: Moderna, Matemática: Temas e Metas: Volumes 1,2 e 3 / Antônio dos Santos Machado. São Paulo: Atual, Praticando Matemática: 6º ao 9º ano /Álvaro Andrini, Maria José Vasconcellos. São Paulo: Editora do Brasil, A Conquista da Matemática Nova: 6º ao 9º ano / José Ruy Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. São Paulo: FTD, Página 17

18 Este conjunto de apostilas foi elaborado pelos professores da Área de Matemática do CEEJA Max Dadá Gallizzi, com base nos livros didáticos descritos na Bibliografia, ora transcrevendo exercícios e teorias, ora criando com base nos conteúdos observados. Professores Ednilton Feliciano Francis Mara C. Sirolli Paulo Teles de Araújo Jr Satie Sandra Soares Taira 2010 Página 18