Sebenta da Disciplina MMC, Zuzana Dimitrovová, DEC/FC/UNL, 016 Cap. 4. Deformação 1. Deslocamento. Gradiente de deslocamento.1 ranslação, rotação e deformação da vizinhança elementar. Significado físico da rotação pura 3. ensor de deformação de Lagrange 4. ensor das pequenas deformações 4.1 Caracter tensorial das deformações 4. eoria geometricamente linear 4.3 Significado físico das pequenas deformações 4.3.1 Variação relativa do comprimento (Etensão) 4.3. Variação do ângulo 4.3.3 Variação do ângulo originalmente recto (Distorção) 4.4 Representação geométrica no quadrado elementar unitário 5. Deformação volúmica 6. Medição das deformações: etensómetros, rosetas 7. Equações de compatibilidade 8. Forma matricial das equações introduzidas 9. Estados de deformação 10. Vector das deformações
Sebenta da Disciplina MMC, Zuzana Dimitrovová, DEC/FC/UNL, 016 Deformação é outra reposta do meio contínuo ao carregamento. Neste caso, a sua definição não é fictícia como no caso das tensões, mas pode-se visualizar. Cada vizinhança em torno de um ponto interior do meio contínuo, depois da aplicação do carregamento muda: - a sua posição via translação e rotação do corpo rígido - o seu volume representado pela parte volúmica do tensor das deformações - a sua forma representada pela parte desviatórica do tensor das deformações 1. Deslocamento Deslocamento define-se como o vector que liga a posição inicial, com a posição final de cada ponto do meio contínuo. Nota-se que para definição de vectores, basta falar sobre pontos e não é preciso introduzir vizinhanças, como no caso de tensores. Deslocamento é visível, porque pode-se medir pelo menos nos pontos de superfície, ao contrário de tensão, que é a nossa ficção. Vamos usar a designação u u, v, w para evitar índices. Salienta-se que é preciso ter cuidado, e de conteto, distinguir o vector de deslocamento u da sua primeira componente u.. Gradiente de deslocamento O gradiente de deslocamento M define-se usando pontos vizinhos na posição original e deformada.
Sebenta da Disciplina MMC, Zuzana Dimitrovová, DEC/FC/UNL, 016 Na figura acima representa-se um corpo na sua posição inicial, ou seja, sem o carregamento aplicado. Escolhem-se pontos vizinhos, ou seja, o ponto Q está contido na vizinhança elementar do ponto P. A figura no entanto representa os dois pontos bastante afastados para uma melhor visualização. Após a aplicação do carregamento, o corpo muda a sua posição, volume e forma. Os pontos P e Q encontram-se nas posições novas, designadas P e Q. O vector que liga os dois pontos designa-se s,, z e as componentes correspondem a Q P, Q P, z zq zp. De acordo com a definição do deslocamento, up P P e uq Q Q. Fazendo uma paralela ao vector up que passa pelo ponto Q, observa-se facilmente da figura acima, que a variação do deslocamento escrever como u s s ou seja s s u u, pode-se Caso s s P, Q verificar-se para cada escolha dos pontos P e Q diz-se que não há deformação, ou seja, no máimo pode eistir movimentos na forma do corpo rígido. No entanto, não podemos já designar o corpo como rígido, isso só seria possível no caso em que não haja deformação para qualquer carregamento. É possível aproimar a variação do deslocamento. al como no capítulo anterior, para esta aproimação usa-se o primeiro termo da epansão de alor. Neste caso, a variação efectua-se ao longo de uma direcção arbitrária, e não como no capítulo anterior, na direcção do eio cartesiano. Por esta razão é preciso efectuar as três derivadas parciais em cada componente, ou seja u u u u z z e analogamente v v v v z, z w w w w z z Na forma matricial por isso s s u s M s
Sebenta da Disciplina MMC, Zuzana Dimitrovová, DEC/FC/UNL, 016 e M chama-se gradiente de deslocamento. M u u u z v v v z w w w z Nota-se que estamos perante uma epansão em que foram utilizados apenas dois termos e outros foram desprezados. Assume-se que det M 0..1 ranslação, rotação e deformação da vizinhança elementar Para se definir a deformação, é preciso apenas a variação de forma e de volume, por isso tem que se eliminar a translação e a rotação do corpo rígido.... V D s I s M s I s I s Define-se como tensor de deformação, a parte simétrica do gradiente de deformação, ou seja / M M e como tensor de rotação a parte anti-simétrica do gradiente de deformação, ou seja / M M u u u u 1 u v 1 u w 1 u v 1 u w 0 z z z v v v v 1 v w 1 v w 0 z z z w w w w antis sim im 0 z z I, e Voltando às relações acima, o movimento do corpo rígido representa-se pela translação, rotação. A deformação volúmica do tensor e a variação de forma, envolve a variação de volume, V que designa a parte D que designa a parte desviatórica do tensor
Sebenta da Disciplina MMC, Zuzana Dimitrovová, DEC/FC/UNL, 016. Neste caso, o tensor chama-se tensor das pequenas deformações, como se vai justificar no teto seguinte.. Significado físico da rotação pura Assume-se que estamos a trabalhar no plano coordenado 0. No caso de rotação pura e assumindo ângulos infinitesimais v u u 0 tg Consequentemente 1 u v ou seja u 0 v 0 Que comprova que o tensor de rotação representa a rotação do corpo rígido e o ângulo de rotação tem o sentido oposto. Na dinâmica dos corpos rígidos, definiu-se desta forma deslocamento virtual correspondente à rotação i j k u s 0 0 z 0 Para o tensor em 3D o sinal dos ângulos é o seguinte:
Sebenta da Disciplina MMC, Zuzana Dimitrovová, DEC/FC/UNL, 016 0 z z 0 0 Pode-se comprovar que a condição de ângulo pequeno não era precisa, ou seja 1 0 0 1 cos sin 0 1 0 1 sin cos s R s e por isso s s o ângulo pode ser finito. Neste caso é preciso usar funções trigonométricas. 3. ensor de deformação de Lagrange Em alternativa, eprimindo a diferença entre os quadrados das normas dos comprimentos novos e originais, obtém-se directamente a deformação, ou seja, já com a translação e a rotação do corpo rígido eliminadas s s s u s u s s u s s u u u M s s s M s M s M s s M s s M s s M M s L s M M M M s s s Na dedução em cima usou-se o facto que a norma de um vector pode ser escrita como o produto interno deste vector consigo. Em conclusão:
Sebenta da Disciplina MMC, Zuzana Dimitrovová, DEC/FC/UNL, 016 1 L M M e M M 1 O tensor chama-se o tensor das pequenas deformações e L o tensor Lagrangiano das deformações grandes. Eistem várias definições para descrever deformações grandes nesta cadeira, apenas esta única definição será introduzida. 4. ensor das pequenas deformações O tensor das pequenas deformações contém os termos de gradiente de formação com epoente 1 e o tensor Lagragiano contém ainda os termos em que os termos de gradiente de deformação aparecem em multiplicação. Pode-se assim facilmente concluir que o tensor das pequenas deformações é possível usar sempre, quando os termos de gradiente de deformação são pequenos, ou seja, quando M 1 i, j. Neste caso, os termos de gradiente de deformação em multiplicação são desprezáveis. 4.1 Caracter tensorial das deformações ij O gradiente de deformação é definido como o gradiente do vector, e por isso corresponde ao tensor de segunda ordem (assimétrico). A soma ou a subtracção dos tensores de segunda ordem é também o tensor de segunda ordem, o que comprova que e são tensores de segunda ordem. O tensor Lagrangiano é também um tensor de segunda ordem porque o termo que se soma a representa um produto interno de dois tensores de segunda ordem, cujo resultado é também um tensor de segunda ordem. As componentes de deformação não têm unidade, visto que os números costumam ser bastante pequenos, às vezes usa-se o prefio que não é unidade. 4. eoria geometricamente linear 6 10 para aumentar a grandeza do número. Salienta-se O tensor das pequenas deformações é uma função linear dos termos de gradiente de deformação, ou seja, função linear de derivadas de componentes do vector de deslocamento. Esta linearidade chama-se linearidade geométrica. Neste caso, usa-se também o termo a teoria das pequenas deformações. Nota-se que as pequenas deformações não impedem deslocamentos grandes. Por eemplo, o movimento do corpo rígido pode representar deslocamentos grandes, no entanto, o tensor das deformações é nulo. Usa-se por isso também o termo, a teoria dos pequenos deslocamentos. A teoria dos pequenos deslocamentos implica a teoria das pequenas deformações, mas não vice-versa. Neste caso, visto que os deslocamentos são pequenos, não se costuma distinguir a
Sebenta da Disciplina MMC, Zuzana Dimitrovová, DEC/FC/UNL, 016 forma do corpo original da deformada, para a determinação das propriedades, ou para escrever as condições de equilíbrio. Salienta-se que na disciplina de estática, as equações de equilíbrio escreveram-se na posição da estrutura indeformada. Esta limitação não consegue analisar outros fenómenos como por eemplo, a instabilidade. Usam-se por isso os termos a teoria de I. ordem e a teoria de II. ordem. Na teoria de II. ordem, as equações de equilíbrio escrevem-se na fora do corpo deformada. Nota-se que a palavra deformada não corresponde ao termo deformação. O corpo na posição deformada corresponde ao corpo constituído pelos pontos na sua posição final, ou seja, aplicando o campo de deslocamento. Visto que os pontos de superfície mantém-se na superfície após aplicação do carregamento e o corpo mantém-se contínuo, a posição deformada pode-se obter como a posição deslocada de superfície, aplicando o vector do deslocamento a cada ponto de superfície. 4.3 Significado físico das pequenas deformações 4.3.1 Variação relativa do comprimento (Etensão) As componentes normais do tensor das pequenas deformações chamam-se etensões. O significado físico corresponde à variação relativa do comprimento. O valor positivo representa alongamento, e o valor negativo encurtamento. al como no caso das tenções, o sinal da componente normal não depende do referencial. Na realidade, a variação relativa do comprimento aproima-se pela variação relativa do u comprimento projectado na direcção original, ou seja. Esta interpretação só é possível na teoria dos pequenos deslocamentos. Assume-se que o comprimento L é infinitesimal e na direcção do eio cartesiano. A variação relativa da distância destes pontos (não se pode dizer comprimento, porque a ligação PQ L pode ser curva) é u L. Pode-se provar que L e assim, o significado físico descrito L acima confirma-se. Prova: De acordo com a definição
Sebenta da Disciplina MMC, Zuzana Dimitrovová, DEC/FC/UNL, 016 P u PQ PQ lim PQ0 PQ P Pretende-se provar que: lim PQ PQ PQ PQ lim PQ PQ PQ0 PQ0 Assumiu-se que: L s Por isso, a relação acima pode-se escrever como PQ PQ PQ s s s s Usando a definição do tensor de pequenas deformações s s s s s Voltando à relação anterior s s s s 1 11 1 1 1 Substituindo s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Consequentemente u f, f i, L L L L d u u i e para distribuição uniforme de deformações, mesmo para comprimentos finitos: L, L L L, 1 4.3. Variação do ângulo L L L L
Sebenta da Disciplina MMC, Zuzana Dimitrovová, DEC/FC/UNL, 016 As componentes tangenciais do tensor das pequenas deformações chamam-se distorções e correspondem às variações angulares dos ângulos. Assume-se um ângulo formado pelos braços unitários n A e n B A B A B n n n n cos sin. Pode-se provar que Para isso eprime-se o produto interno dos braços na posição nova de duas maneiras diferentes: A B A A B B n n n M n n M n A B A B A B n n n M n n M n A B n M M n A B A B n n n M M n A B A B A cos B n n n n n n Nas relações acima utilizou-se a definição do gradiente de deformação e omitiu se um termo de ordem maior, ficando apenas com o termo absoluto e de ordem 1. A B A B n n n n cos A A B B n 1 n n 1 n cos cos sin sin A B 1 n 1 n cos sin A B A B cos sin n n cos n n sin A B A B n n cos sin cos sin n n cos Nas relações acima utilizou-se a definição do produto interno que implementa o ângulo entre os dois vectores, a definição de etensão para introduzir a etensão dos braços e simplificações das funções seno e co-seno para ângulos pequenos. A última relação envolve também apenas o termo absoluto e de 1 ordem. Comparando as duas epressões pode-se concluir que A B A B n n n n cos cos sin cos A B A B n n n n sin cos ou seja, comprovou-se a relação pretendida.
Sebenta da Disciplina MMC, Zuzana Dimitrovová, DEC/FC/UNL, 016 Quando o ângulo é originalmente recto, a fórmula simplifica-se para A B n n Por eemplo em D, alinhando os braços com o referencial cartesiano A n 1,0, B n 0,1 A B n n E por isso, o dobro da componente tangencial representa a variação do ângulo originalmente recto. Note-se que foi introduzido para diminuir o ângulo e por isso a distorção positiva diminui o ângulo, e a distorção negativa aumenta-o. u v Por esta razão introduz-se a distorção de engenharia,. Assim, ou seja, corresponde à variação total do ângulo formado pelos eios cartesianos, como já dito anteriormente. u v tan tan Em resumo tem significado físico de variação angular do ângulo originalmente recto. A componente tensorial corresponde à media dos dois ângulos e 1 u v
Sebenta da Disciplina MMC, Zuzana Dimitrovová, DEC/FC/UNL, 016 O que significa que no caso de distorção pura, ou seja quando a distorção não está afectada pela rotação de corpo rígido,. Para eliminar a rotação, tem que se rodar o eio azul do ângulo que fazem os braços depois da deformação (azuis) pelo positivamente, até atingir o eio do ângulo recto (vermelho). 4.4 Representação geométrica no quadrado elementar unitário Na figura acima podem-se identificar os seguintes passos: O rectângulo elementar da sua posição inicial desloca-se para a sua posição final, os pontos que designam os vértices: A, B, C, D ocupam agora posições A, B, C, D. O rectângulo sofre a translação, a rotação e a deformação. A rotação deve assegurar que os ângulos no vértice A são iguais. A translação e a rotação correspondem ao movimento do corpo rígido, ou seja, o rectângulo não altera nem a sua forma nem o volume. A deformação poder-se-ia separar na parte volúmica (alteração do volume) e desviatórica (alteração de forma), mas neste momento isso não é importante. Na teoria dos pequenos deslocamentos as alterações de deslocamentos são pequenos e podem-se aproimar pelas primeiras derivadas. Já foi usado no capítulo
Sebenta da Disciplina MMC, Zuzana Dimitrovová, DEC/FC/UNL, 016 anterior, que quando a alteração se efectua somente na direcção do eio cartesiano, a derivada efectua-se apenas segundo esta variável. Pode-se facilmente concluir que no caso dos lados infinitesimais mas unitários, os deslocamentos correspondem directamente às deformações. Na visualização das deformações retira-se assim a parte de movimento do corpo rígido, ou seja, A A e o rectângulo representado a azul roda-se para que os lados coincidam com o referencial. Assumindo ainda os lados unitários, pode-se concluir que a visualização das deformações no quadrado elementar unitário obedece às regas da figura em baio. Nesta figura assume-se que 0. As formulas para esta representação escrevem-se u e v. Estas fórmulas podem-se deduzir facilmente do pressuposto das deformações uniformes: u u d d u F v v d d v G Visto que também é constante u v df dg d d df dg C d d dg d C G C D
Sebenta da Disciplina MMC, Zuzana Dimitrovová, DEC/FC/UNL, 016 df d C F C E Juntando as duas fórmulas u C E v C D Aplicando as condições de fronteira u0,0 0 E 0, v finalmente eigindo a rotação nula ou seja as relações acima. u v 1 0 C 0,0 0 D 0 e o que confirma Conclui-se ainda que o campo de deslocamento que corresponde à deformação uniforme é linear; neste caso as rectas mantêm-se rectas e os planos mantêm-se planos após a deformação. 5. Deformação volúmica Assume-se um paralelepípedo elementar no referencial principal. Neste caso as deformações são apenas as principais, ou seja, não há distorções. Volume inicial é V z e o volume após deformação 1 1 1 V z 1 3 1 z 1 3 1 1 3 3 1 3 Desprezando os termos de ordem maior, conclui-se que a variação do volume é V VV z V I V 1 3 1 1 3 3 1 3 1 3 1 Visto o valor ser invariante, pode concluir-se que o pressuposto do referencial principal não era necessário e que a definição da deformação volúmica é V 1 3 z Depois escreve-se V VV em conformidade com L L Recorda-se que a deformação desviatórica corresponde à alteração de forma num volume inalterado, e sim, o traço do desviador ou seja a deformação volúmica são nulos.
Sebenta da Disciplina MMC, Zuzana Dimitrovová, DEC/FC/UNL, 016 6. Medição das deformações: etensómetros, rosetas As medições de deformações efectuam-se nas superfícies de componentes. Usando a etensometria, tem que se escolher uma zona em que há deformações uniformes, porque as várias medições efectuadas nesta zona tem que corresponder ao mesmo ponto. Por esta razão os etensómetros devem colocar-se suficientemente longe de etremidades e de pontos de aplicação de carga. O tensor de deformações em D tem 3 componentes diferentes e por isso é necessário colocar pelo menos 3 etensómetros para medir 3 valores. Os 3 etensómetros formam uma roseta. Um etensómetro consegue apenas registar a variação de comprimento e por isso mede apenas a etensão na sua direcção. Os resultados das medições representam depois o problema que já foi abordado na parte de cálculo tensorial, ou seja, determinar as componentes do tensor sabendo 3 valores normais nas 3 direcções diferentes Que resulta num problema de equações para incógnitas e : b a cos sin sin cos c a cos sin sin cos Às vezes colocam-se numa roseta 4 etensómetros para reduzir os erros de medição. 7. Equações de compatibilidade
Sebenta da Disciplina MMC, Zuzana Dimitrovová, DEC/FC/UNL, 016 As equações de compatibilidade chamam-se também as equações de integrabilidade, continuidade ou admissibilidade física. O problema coloca-se da seguinte maneira: Sabendo o campo de deslocamento, é possível unicamente determinar o campo de deformação pelas derivadas. No entanto, sabendo o campo de deformações, já não é possível concluir directamente se o campo de deslocamentos eiste. O problema está no número de componentes, ou seja, a partir de 6 componentes de deformações devem-se determinar apenas 3 componentes de deslocamento, o que pode implicar contradição. Quando o campo de deslocamento não eiste, por outras palavras, não eiste na forma de uma função contínua, o resultado viola a continuidade do meio contínuo o que não é fisicamente possível, e por isso as designações de continuidade ou de admissibilidade física. O outro termo está ligado à fundamentação matemática. O campo de deslocamento determina-se pela integração, ou seja se eistir, as equações de compatibilidade representam a integrabilidade do campo de deformação. Diz-se que o campo de deformação é compatível quando as condições de compatibilidade verificam-se. Estas representam 3 equações em 3 planos coordenados, uma delas é e 3 equações que ligam uma direcção com os 3 planos coordenados, uma delas é z z z z Restantes equações obtêm-se pela permutação positiva de índices. Nota-se que todos os termos representam segundas derivadas, e por isso o campo de deformação linear é sempre compatível, porque depois de duas derivadas cada termo nas equações é nulo. Considerando as deformações apenas em D, é preciso verificar apenas uma equação de compatibilidade neste plano. Reduzindo a 1D, não há equações de compatibilidade porque a uma componente de deformação corresponde uma componente de deslocamento e não há contradição referida acima. 8. Forma matricial das equações introduzidas Verifica-se facilmente que as equações de equilíbrio do capítulo anterior podem-se escrever na forma: f 0
Sebenta da Disciplina MMC, Zuzana Dimitrovová, DEC/FC/UNL, 016 Em que a matriz de operadores é /, /, / z. No entanto, já não é possível escrever as equações deformações-deslocamento numa forma compacta usando a matriz de componentes. orna-se mais vantajoso escrever as componentes na forma vectorial e as vantagens desta formulação tornam-se ainda mais claras no próimo capítulo. Define-se:,,,,, z z z E analogamente,, z, z, z, Chama-se à atenção que a ordem das componentes de índices segue a seguinte regra: z (falta ), z (falta ), (falta z ). Chama-se ainda à atenção que as componentes de deformação de índices incluem a distorção de engenharia,, ou seja, o dobro da distorção,, que é considerada como a componente tensorial. Esta forma torna-se ainda mais vantajosa na descrição de termos usados na parte de princípios variacionais ligados à definição da energia de deformação. Com esta definição de deformações escreve-se: u A definição de matriz de operadores pode-se facilmente deduzir / 0 0 0 / z / 0 / 0 / z 0 / 0 0 / z / / 0 Para se manter a uniformidade nas designações, escrevem-se as equações de equilíbrio na forma f 0 E o equilíbrio na fronteira, em vez de p ˆ p n n
Sebenta da Disciplina MMC, Zuzana Dimitrovová, DEC/FC/UNL, 016 Em que a matriz de componentes da normal tem a forma semelhante com a matriz de operadores n 0 0 0 n n z nˆ 0 n 0 n 0 n z 0 0 n n n 0 z Para as equações de compatibilidade, eistem duas possíveis formas, no entanto nenhuma usa matrizes de operadores já introduzidos. 0 com 0 z 0 z 0 e 0 em que a matriz simplicidade. é facilmente deduzível e não se vai apresentar por razões de 9. Estados de deformação Em analogia com estados de tensão, definem-se os estados de deformação. Os mais comuns representam-se no quadrado elementar unitário nas seguintes formas: etensão pura distorção pra distorção pura com rotação
Sebenta da Disciplina MMC, Zuzana Dimitrovová, DEC/FC/UNL, 016 deformação volúmica pura 10. Vector das deformações Analogamente com o vector das tensões pode definir-se o vector das deformações: n A aplicabilidade desta definição é reduzida, porque não tem significado físico importante. Usa-se componente intrínseca normal no sentido da etensão numa dada direcção definida pelo versor n n n n n n e a variação do ângulo originalmente recto, definido pelos braços cujos versores são n e s, substitui a componente intrínseca tangencial n s s n Recorda-se que é preciso utilizar o dobo da multiplicação semelhante àquela usada na parte das tensões, porque o significado físico pode atribuir-se mais facilmente à alteração do ângulo completo, ou seja ao análogo da distorção.