PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DO EXAME NACIONAL DE MATEMÁTICA B o Ao Prova a Fase - 006 (Esta proposta de correcção também pode ser cosultada em www.apm.pt). a aa. a.. a Nº. de aluos Classificação Matemática Iformática Matemática Iformática 6 0 6 x = x = σ =, σ =,6 aa Total 0 0 Cofirma-se que as médias das classificações às duas disciplias são iguais e os desvios padrão são diferetes... Em Matemática a maioria dos aluos tem classificação igual ao valor médio () ou próximo deste ( ou ), equato que em Iformática se verifica que a maioria das classificações são mais afastadas do valor médio (6 ou 0). Logo, o Pedro cocluiu que o desvio padrão das classificações em Iformática é maior... Dos aluos que obtiveram 0 a Iformática, obtiveram, também, 0 a Matemática. Há 6 ( + ) aluos com classificação maior ou igual a valores a disciplia de Matemática. Escolhedo um destes aluos ao acaso, a probabilidade de ter 0 as duas disciplias é etão. aa.. Número de págias lidas pela Aa o dia : a 6 p = 6. A sucessão (a ) é uma progressão geométrica de razão, pelo que a soma dos primeiros termos é dada pela expressão: S = = =. Esta expressão represeta o úmero de págias que a Aa já leu ao fim de dias.
Número de págias lidas pela Fátima o dia : f + + A sucessão (f ) é uma progressão aritmética de razão, pelo que a soma dos primeiros termos, úmero de págias lidas pela Fátima ao fim de dias, é dada pela expressão: S = + + = + = ( + ) = +... a a Σa f Σf 0 a A Aa demorou dias a ler o livro; a Fátima demorou dias (mais dias do que a Aa). Assim, como a Aa acabou a de Abril, a Fátima terá termiado o dia de Abril ( + ).. Número de págias em que o úmero começa pelo algarismo : 0 0 0 0 0 págias 6 págias..... a Existem, etão, 66 págias as codições pretedidas. A probabilidade é R.: A probabilidade pedida é 6%... aa N(0) = A A N(0) = A + ( A)e 0, 0 p = 66 0, 6. A N(0) = N(0) = A. A + ( A) Verifica-se, assim, que o úmero de aves existete o istate iicial é A.. Ao fim de aos existem mais (0 ) aves do que o istate iicial. Assim, N() = A +, ou seja, A A = A + = A +. A + ( A)e 0, A + ( A)e
Iserido o editor de fuções da calculadora as fuções Y = x x + ( x) e e Y = x + e procurado as coordeadas do poto de itersecção, obtém-se x : R.: Estima-se que o úmero de aves existetes o istate iicial era.. (Outra resolução.) 0 =. Etão, N() N(0) =. Como A é um úmero iteiro positivo e meor que, temos um úmero fiito de possíveis soluções, pelo que poderemos resolver o problema por tetativa e erro. Se A = etão, e a tabela observa-se N(t) = 0, resultado N() N(0) =,. Para outros valores de A obtêm-se os resultados: ( + 0)e 0,t A = A = A = A = 0 t 0 N, 0 0 0 0,,,,6,,,6 R.: Atededo a que existe uma úica solução (de acordo com o euciado), A = parece ser o valor que melhor traduz esta situação.. a. a.. 0 < diâmetro da esfera < logo, 0 < raio da esfera <. R.: ]0, [... a Volume da esfera de raio x: πx. Aresta do cubo: a = x
Volume do cubo: ( x) Volume da escultura: πx + ( x) = V (x). Falta, agora, mostrar que esta expressão é equivalete à do euciado. Podemos fazê-lo recorredo à calculadora ou aaliticamete. Itroduzido a calculadora, editor de fuções, as expressões Y = ( ) π πx + ( x) e Y = x + x x +, verifica-se a sobreposição dos dois gráficos. Utilizado o cursor podemos cofirmar a igualdade das coordeadas de vários potos das duas fuções. A mesma igualdade também pode ser observada recorredo a uma tabela com algus valores: Duas fuções cúbicas que coicidem em, pelo meos potos são idêticas. Assim, o volume da escultura pode ser defiido pela expressão dada o euciado. Resolução aalítica. V (x) = ( ) πx + ( x + x x ) V (x) = π x + x x + ( ) π V (x) = x + x x +. Cálculos auxiliares. Como se queria mostrar. ( x) = ( x) ( x) = ( x + x )( x) = = x 6x + 6x + x x = x + x x.
.. Pela visualização do gráfico da fução volume cofirmamos que existe um míimo igual a,, para x = 0,. Assim, o volume da escultura é míimo se o raio da esfera for = 0, metros e a aresta do cubo igual a 0, metros ( 0, ).. a. a raio da esfera = 0, m; aresta do cubo = m; área da superfície esférica = π (0, ), m ; área das cico faces do cubo = = m ; área total =, m lata, m ; latas m ; latas, m (isuficiete); latas 0m ; R.: Será ecessário comprar latas de tita.. A distâcia míima da Terra ao Sol verifica-se o periélio, para x = 0. Esta distâcia é igual a d =, 6( 0, 06cos 0), milhões de quilómetros. A distâcia máxima da Terra ao Sol verifica-se para x = π, por observação da figura, e é dada por d =, 6( 0, 06cos π), milhões de quilómetros. Podemos também obter estes valores graficamete:. a.. Para x = π, tem-se πt T πt = π 0, 06se π T = π πt = πt t = T t = T. A Terra demora metade de um ao (6, /) a descrever metade da órbita.
.. a x =? π 6, = x 0, 06se x t = 0 t = Jaeiro Fevereiro Cosiderado Y = x 0, 06se x e Y = pretede-se determiar a itersecção dos dois gráficos. π 6, Obtém-se x 0, 6. quilómetros. Logo, d =, 6( 0, 06 cos(0, 6)), milhões de Cálculo de d (outro processo). Iserir a fução d em Y e procurar a ordeada do poto de abcissa x = 0, 6. 6. a, T.m.v [;,] =, =, C/mi, 6 T.m.v [,] = =, C/mi, T.m.v [;,] =, =, C/mi De acordo com os valores obtidos, estima-se que a taxa de variação istatâea da temperatura da água o istate t = possa ser, C/mi. Tedo em cota a fórmula dada o euciado e que T () = e A =,, = k( ), = 60k k =, k = 0, 0. 60 R.: k = 0.0. 6