Relação de Conjuntos Produto cartesiano A = 1,2 e o conjunto B = 2,3,4 queremos o produto cartesiano A x B A x B = { 1,2, 1,3, 1,4, 2,2, 2,3, 2,4 } A B 1 2 2 3 4
Funções Uma Relação será função se: 1. Todo elemento do conjunto domínio (A) possui um elemento correspondente no conjunto contradomínio (B); 2. Qualquer que seja o elemento do domínio (A), so existe um u nico correspondente no seu contradominio (B).
Relação de Conjuntos A: conjunto dos anos de vida de uma criança. B: conjunto dos pesos dessa criança. A (anos) B (kg) 0 3 1 4,5 2 7....
Funções A pressão do mar depende da profundidade, dizemos que a pressão é uma função da profundidade
Funções Seja a função f: A B tal que y = x 2 A = 0,1,2,3 B = { 2, 1,0,1,2} A B 0-2 1-1 0 2 1 3 2
Funções Seja a função f: A B tal que y = x 2 A = 2, 1,0,1,2 B = {0,1,2,3,4} A -2-1 0 1 2 B 0 1 2 3 4
Funções Seja a função f: A B tal que y = 2 x A = 2, 1,0,1,2 B = {, 1,2,3,4} A B -2 0,25-1 0,5 0 1 1 2 2 3 4
Domínio Imagem e Contra domínio A 0 1 2 3 Seja a função f: A B tal que y = x 2 A = 0,1,2,3 B = { 2, 1,0,1,2} B -2 D f = {0,1,2,3} -1 I f = { 2, 1,0,1} 0 CD 1 f = { 2, 1,0,1,2} 2
Funções Seja a função f: R R tal que y = x 2 Seja a função f: R R tal que y = x 2 Seja a função f: R R tal que y = 2 x
Domínio Imagem e Contra domínio Pede-se: a. o domi nio da func a o; b. o conjunto imagem da func a o; c. o ponto de ma ximo de f; d. o valor mi nimo de f; e. o intervalo onde a func a o e decrescente.
Funções Injetora Uma função é injetora quando todos os elementos do domínio possuem, respectivamente, imagens diferente: x 1 x 2 D f f(x) f(y)
Funções Sobrejetora Uma função é sobrejetora quando o conjunto-imagem é o próprio contradomínio (B) da função.
Funções Bijetora Uma função é bijetora quando for simultaneamente injetora e sobrejetora.
Funções Como identificar quando uma função é injetora ou sobrejetora a partir do gráfico Exercícios
Exercícios
Exercícios
Exercícios
Função afim Uma função é dita do primeiro grau se, e somente se, a sua lei é da forma: f x = ax + b; com a R e b R. Exemplos: a) f(x) = 3x 5 a = b = 3 5 b) f(x) = 5x a = b = 5 0 c) f(x) = 9 a = b = 0 9 Função Constante
Função afim
Função afim
Função afim Para acharmos o gráfico de uma função afim, podemos nos deparar com dois casos 1. Dois pontos 2. Um ponto e o coeficiente linear (taxa de variação) y 4 2 (1,2) (3,4) 1 3 x
Exercícios Seja a função f: R R definida por f x = ax + b, e sabendo que (1; 1) e ( 1; 3) são elementos de f, determinar f( 17) Seja f: R R uma função tal que f x + 1 = 2f x 5 e f 0 = 6. O valor de f(2) é: Sendo f(x) uma func a o tal que 5. f(x) x. f(x 1) = 10 para qualquer x real, o valor de f(1) e :
Função composta A f x = x 2 B g x = 3x + 1 C 0 1 2 x -2-1 0 f(x) -5-2 1 g(f(x)) g f x = 3x 5
Função composta Seja f: R R uma função tal que f x = 5x + 3 e um número b, tem-se f f b = 2. Então o valor de b é: Sejam f e g funções de R em R tais que: f x = 3x 2 e g x = 2x + 1, se f g m 1 1 = 3m g f m + 1, então f m + g(m) é igual a: (EsSa) Sejam as funções reais dadas por f x = 5x + 1 e g x = 3x 2. Se m = f(n), então g(m) vale:
Função composta Com base no gráfico da função y = f x, o valor de f f f 1
Função Inversa f f 1 x = f 1 f x = x 1. Consideramos a função inversível f cujo o gráfico é visto a seguir
Função Inversa f f 1 x = f 1 f x = x 2. Seja f: R R, em que b R x y = x 2 f 1 é: + b, sabendo-se que f f 4 = 2, a lei que define
Função Para produzir um objeto, uma firma gasta R$ 1,20 por unidade. Além disso, há uma despesa fixa de R$ 4000,00 independente da quantidade produzida. O preço de venda é de R$ 2,00 por unidade. Qual é o número mínimo de unidades, a partir do qua a firma começa a ter lucro? Um vendedor recebe mensalmente um salário fixo de R$800,00 mais uma comissão de 4% sobre as vendas do mês. Considerando que seu salário mensal é S e o total das vendas e V, escreva a função que representa quanto ele ganhará por mês: Um motorista de táxi cobra R$ 3,50 de bandeirada mais R$ 0,70 por quilômetro rodado. Determine o valor a ser pago por uma corrida relativa a um percurso de 18 quilômetros.
Função do segundo grau f(x) = a. x 2 + b. x + c, a 0 (forma parcelada) f(x) = a. (x x 1 ). (x x 2 ), a 0 (forma fatorada) x 1 e x 2 são as raízes
Função do segundo grau
Função do segundo grau
Função do segundo grau
Raízes f(x) = a. x 2 + b. x + c, a 0 b ± b 2 4ac 2a b ± 2a = b 2 4ac
Vértice 1. A função f x = x 2 2x + 1 tem mínimo no ponto em que x vale: 2. A função f x = x 2 + 2x + 2 tem máximo: x 1 x 2 = b 2 4ac
Exercícios Obtenha o conjunto imagem da função quadrática definida nos reais y = 2x 2 + 4x O valor de k para que a função quadrática definida por f x = x 2 2x + k tenha valor mínimo y = 1 A parábola correspondente ao gráfico da função quadrática f x = x 2 4x + m tangencia o eixo das abscissas. O valor de m é:
Exercícios Vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros. Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é: Preco Litros Arrecadação 1.50 10000 1,50.10000 1.50-0.01 10000+100.1 (1.50-0.01).(10000+100.1) 1.50-0.02 10000+100.2 (1.50-0.02).(10000+100.2)......... 1.50-0.0x 10000+100.x (1.50-0.0x).(10000+100.x)
Exercícios Preco Litros Arrecadação 1.50 10000 1,50.10000 1,50-0,01.1 10000+100.1 (1,50-0,01.1).(10000+100.1) 1,50-0,01.2 10000+100.2 (1,50-0,01.2).(10000+100.2)......... 1,50-0,01.x 10000+100.x (1,50-0,01.x).(10000+100.x) f(x) = (1.50 0.01x). (10000 + 100. x) f x = 15000 + 150. x 100x x 2 f x = x 2 + 50. x + 15000
Exercícios Deseja-se construir uma casa térrea de planta retangular. Determine as dimensões do retângulo em que a casa será construída, sabendo-se que seu perímetro é 60m e que a área deve ser máxima Um comerciante compra peças diretamente do fabricante ao preço de R$ 720,00 a caixa com 12 unidades. O preço de revenda sugerido pelo fabricante é de R$ 160,00 a unidade. A esse preço o comerciante costuma vender 30 caixas por mês. Contudo, a experiência tem mostrado que a cada R$ 5,00 que dá de desconto no preço sugerido, ele consegue vender 3 caixas a mais. Por quanto deve vender cada peça para que seu lucro mensal seja máximo?
Exercícios Um comerciante compra peças diretamente do fabricante ao preço de R$ 720,00 a caixa com 12 unidades. O preço de revenda sugerido pelo fabricante é de R$ 160,00 a unidade. A esse preço o comerciante costuma vender 30 caixas por mês. Contudo, a experiência tem mostrado que a cada R$ 5,00 que dá de desconto no preço sugerido, ele consegue vender 3 caixas a mais. Por quanto deve vender cada peça para que seu lucro mensal seja máximo? Preco Peças Arrecadação Custo Lucro 160 360 160.360 60.360 160-5.1 360+36.1 (360+36.1).(160-5.1) 60.(360+36.1) 160-5.2 360+36.2 (360+36.2).(160-5.2) 60.(360+36.2)............ 160-5.x 360+36.x (360+36.x).(160-5.x) 60.(360+36.x)
Exercícios Preco Peças Arrecadação Custo Lucro 160 360 160.360 60.360 160-5.1 360+36.1 (360+36.1).(160-5.1) 60.(360+36.1) 160-5.2 360+36.2 (360+36.2).(160-5.2) 60.(360+36.2)............ 160-5.x 360+36.x (360+36.x).(160-5.x) 60.(360+36.x) Lucro = (360 + 36. x). (160 5. x) 60. (360 + 36. x) Lucro = 180. x² + 1 800. x + 3 600