LEI DOS SENOS E LEI DOS COSSENOS. Seja um triângulo inscrito em uma circunferência de raio R. Se esse triângulo tem um ângulo medindo 0, seu lado oposto a esse ângulo mede a) R b) R c) R d) R. O projeto de madeiramento é fundamental para a construção de um bom telhado em uma residência. Na figura, temos a vista frontal do madeiramento de um telhado. O triângulo ABC é isósceles de base BC tal que  = 0. Observa-se também que os segmentos DE e FG são perpendiculares à base BC. a) R$ 00,00 b) R$ 0,00 c) R$ 50,00 d) R$ 500,00 e) R$ 50,00 5. Num mapa, uma estrada retilínea passa sucessivamente pelas cidades A, B e C e uma cidade D, distante 0 km de A, está localizada de tal forma que o ângulo DAB µ mede 6. Um viajante fez o trajeto AB, BD e DC, percorrendo em cada trecho a mesma distância. Se ele tivesse ido diretamente de A até C, teria percorrido uma distância de: a) 0 km b) 60 km c) (0 cos 6 ) km 0 d) km cos 6 e) 0 km 6. Certo fabricante vende biscoitos em forma de canudinhos recheados, de diversos sabores. A caixa em que esses biscoitos são vendidos tem a forma de um prisma hexagonal. A parte de cima dessa caixa tem a forma de um hexágono, com as medidas indicadas na figura: De acordo com os dados acima, a medida do ângulo é é a) 0 b) 5 c) 60 d) 75 ˆ BED. Um triângulo possui lados iguais a 6, 9 e. O cosseno do maior ângulo interno desse triângulo é: a). 5 b). 7 c) 6. d). 7 e). Considerando a aproximação racional, 7 para o valor de, a área da parte de cima dessa caixa, em centímetros quadrados, mede a) 9,6. b) 6,. c) 7,8. d) 87,.. João está procurando cercar um terreno triangular que ele comprou no campo. Ele sabe que dois lados desse terreno medem, respectivamente, 0 m e 6m e formam entre si um ângulo de 0. O terreno será cercado com três voltas de arame farpado. Se o preço do metro do arame custa R$ 5,00, qual será o valor gasto por João com a compra do arame? Dados: sen de 0 = cos de 0 =
7. Os drones e (veículos aéreos não tripulados) saem em missão de um mesmo ponto geográfico P às 0 h. Conforme a figura abaixo, o drone tem sua rota dada na direção 60 nordeste, enquanto o drone tem sua rota dada na direção 5 sudeste. Após minuto, o drone percorreu, 8 km e o drone percorreu km, ambos em linha reta. 0. Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do estado de São Paulo, que informava que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 80km e 60km. Um dos alunos observou, então, que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o mapa. A distância aproximada, considerando e aproximadamente, e, 7, respectivamente, em quilômetros, entre os dois drones, após minuto, é igual a: a),8 km. b), km. c),6 km. d), km. e),7 km. 8. Em certa cidade, a igreja está localiza no ponto A, a prefeitura no ponto B, e a livraria no ponto C, como mostra os pontos a seguir. Sabendo-se que a distância da igreja à prefeitura é de 0 metros, a distância da prefeitura à livraria corresponde a 5 metros, e que o ângulo formado por essas duas direções é 60, a distância da livraria à igreja é Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de a) 80 + 5 b) 80 5 + c) 80 6 d) 80 5 + e) 80 7 a) 7 5 m b) 5 7 m. A caminhada é uma das atividades físicas que, quando realizada com frequência, torna-se eficaz na prevenção de doenças crônicas e na melhora da qualidade de vida. Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C e retorna ao ponto A, conforme trajeto indicado na figura. c) 5 7 m d) 7 5 m 9. Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja a uma velocidade de 6 km/h em um curso de 5 em relação ao norte, no sentido horário. O segundo viaja a uma velocidade 6 km/h em um curso de 05 em relação ao norte, também no sentido horário. Após uma hora de viagem, a que distância se encontrarão separados os navios, supondo que eles tenham mantido o mesmo curso e velocidade desde que deixaram o porto? a) 0 km. b) km. c) 5 km. d) 7 km. e) km. Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer todo o trajeto? a),9. b),. c),6. d),50. e),80.
. Quadros interativos são dispositivos de interface humana que permitem ao usuário interagir com as imagens projetadas sobre uma tela grande, geradas por um computador. O uso desses quadros é cada vez mais comum em instituições de ensino, substituindo o quadro para giz ou o quadro branco. Uma das tecnologias que possibilita essa interação funciona a partir de um sensor instalado em um dos cantos da tela onde a imagem é projetada, e de uma caneta eletrônica especial que, ao ser acionada, emite dois sinais simultâneos: um pulso sonoro (ultrassom) e um pulso luminoso (infravermelho). O pulso de ultrassom é usado para calcular a distância da ponta da caneta até o sensor, enquanto o pulso de infravermelho indica ao sistema o ângulo entre a base da tela e o segmento de reta que une o sensor à ponta da caneta. Considere um quadro interativo de metros de largura por metros de altura, representado no primeiro quadrante de um plano cartesiano, com o sensor instalado na origem. Um usuário aciona a caneta em três pontos distintos da tela, gerando as leituras de distância e de ângulo apresentadas na tabela: Ponto Distância Ângulo A m 60 B m 0 C m 0 O triângulo com vértices nos pontos A, B e C é: a) escaleno. b) equilátero. c) isósceles de base BC. d) isósceles de base AB. e) retângulo em A.. Na figura estão posicionadas as cidades vizinhas A, B e C, que são ligadas por estradas em linha reta. Sabe-se que, seguindo por essas estradas, a distância entre A e C é de km, e entre A e B é de 6 km. Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em km, entre B e C é igual a a) 8 7. b) 9. c). d) 0 5. e) 0. 5. No dia de março de 0, o Japão foi sacudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 60 km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 0 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após minutos. (O Estado de S.Paulo,.0.0. Adaptado.). Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta a seguir: Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias construídas no interior da praça, sendo que AB = 80 m. De acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que a medida de R é igual a: a) 60 m b) 80 m c) 6 m d) 8 m e) m Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que cosα 0,9, onde α é o ângulo Epicentro-Tóquio-Sendai, e que 8 9, 5 00, a velocidade média, em km/h, com que a ª onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de: a) 0. b) 50. c) 00. d) 50. e) 600.
Gabarito: Teremos: Resposta da questão : Seja l a medida do lado do triângulo que é oposto ao ângulo de 0. Pela Lei dos Senos, tem-se que l R R. sen0 = l = Resposta da questão : [C] Como o triângulo ABC é isósceles e o ângulo BAC ˆ = 0, os ângulos ABC ˆ = ACB ˆ = 0. Logo, como ABC ˆ = 0 e os segmentos DE e FG são perpendiculares à base BC, ou seja, formam um ângulo reto entre a base e os segmentos, o ângulo BDE ˆ oposto pelo vértice DE, também é reto e vale 90. Desta maneira, para obter o valor de x, deve-se somar todos ângulos do triângulo BDE : x+ BDE ˆ + EBD ˆ = 80 x+ 90+ 0 = 80 x = 60. Resposta da questão : BA = BD DAB = ADB = BDC = 6 6 + ABD = 80 ABD = 08 DBC = BCD = 7 Logo: ADC = ACD = 7 AC = AD = 0 km Resposta da questão 6: [C] Como cada um dos triângulos laterais que formam o hexágono são triângulos isósceles, pode-se deduzir que, se seu maior ângulo é 0, então os dois menores ângulos serão iguais a 0. Considerando x como sendo a base do triângulo isósceles, pela lei dos senos tem-se: Note que um triangulo com tais lados não forma um triangulo retângulo, para comprovar basta aplicar o Teorema de Pitágoras. hip = cat + cat = 6 + 9 6 + 8 Nesse sentido, para obter o valor do cosseno desejado, basta aplicar a lei dos cossenos sobre os três lados. Seja θ o ângulo relativo ao lado de maior medida e a, b, c os lados do triângulo. Logo: a = b + c b c cos( θ) = 9 + 6 9 6 cos( θ) = 7 08 cos( θ) cos( θ) = 7 = cos0 cos 5 sen0 sen 5 Resposta da questão : [C] = Pela lei dos cossenos: = ( ) a = 0 + 6 0 6 cos 0 a = 6 0 a = 96 a, = (,7 ) Perímetro = 0 + 6 + = 0 m 0,5, voltas = 90 m custo = 5 90 = 50 reais Resposta da questão 5: [A] x x x = = sen 0 sen 0 sen 60 sen 0 sen 60 co x = 8 x = Assim, a área total do hexágono será igual a soma das áreas dos dois triângulos isósceles e do retângulo, ou seja: S = SV+ SX total sen 0 6 Stotal = + 9 = + 6 Stotal = Stotal ; 7,8 cm Resposta da questão 7: [A] O ângulo entre as direções das duas rotas é de 60 + 5 = 75. Logo, desde que cos75 = cos(0 + 5 ) e sendo d a distância pedida, pela Lei dos Cossenos, obtemos
d = +,8,8 cos75 = +,,6 0,5 =,58, o que implica em d=,58,8km. Resposta da questão 8: Colocando graficamente as informações dadas no enunciado: Sejam S, P, G e C, respectivamente, os pontos que representam as cidades de Sorocaba, São Paulo, Guaratinguetá e Campinas. Sabendo que SPC $ = 60 e CPG $ = 90, vem SPG $ = 50. Logo, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo SPG, encontramos SG = SP + PG SP PG cosspg $ = 80 + 60 80 60 cos50 = 600 + 5600 800 = 600 (5 + ) Aplicando-se a Lei dos Cossenos, tem-se que a distância a entre os pontos A e C será: a = b + c b c cos A a = 0 + 5 0 5 cos60 a = 5 00 0,5 a = 75 a = 75 = 5 7 m Resposta da questão 9: Depois de uma hora de viagem o navio (N ) terá percorrido 6 km e o navio (N ) terá percorrido 6 km. Temos, então, a seguinte figura: Portanto, SG = 80 5 + km. Resposta da questão : [D] Pela Lei dos Cossenos, obtemos: BC = AC + AB AC AB cosbac µ = (0,8) + 0,8 cos50 = 0,6 + 0,8,6 + 0,8,7. Logo, BC,7 e, portanto, o resultado é + 0,8+,7 =,5. Resposta da questão : [A] Considere a figura. Sendo d a distância entre os navios, temos: o d = 6 + 6 6 6 cos 60 d = 56 + 6 9 d = 96 d = km Resposta da questão 0: Sabendo que OA = m, OB = m e OC = m, temos que BC = OB OC = m. Além disso, o triângulo OAB é isósceles de base AB. Logo, OBA $ OAB µ = 75. Aplicando a lei dos cossenos no triângulo OAB, segue que 5
ES = ET + ST ET ST cosα AB = OA + OB OA OB cos0 AB = + ES = 60 + 0 60 0 0,9 AB = 8 AB = ( 6 ) m. Como AC é mediana do triângulo ABO, vem AC = (OA + AB ) OB = ( + 8 ) = (5 ) = 5 m. Portanto, como AB AC BC, segue que o triângulo ABC é escaleno. Resposta da questão : Pela Lei dos Senos, segue que: AB 80 80 80 = R R = R = = m. sen60 Resposta da questão : Aplicando a Lei dos Cossenos, obtemos BC = AB + AC AB AC cosbac µ BC = 6 + 6 BC = 96 + 576 + 86 BC = 76 = 9 km. Resposta da questão 5: [E] Considere a figura. 5 ES = 9600 + 000 9, 8 ES = 000 9, ES = 000 500 ES = 6900 ES = 0km. Portanto, como min = h, temos que a velocidade 60 média pedida é dada por 0 = 600km h. 60 Sabendo que ET = 60km, ST = 0km, cosα 0,9 e que 8 9, 500, pela Lei dos Cossenos, vem 6