homogeneizac~ao da equac~ao da onda com condic~oes de dirichlet relaxadas

SeminarioBrasileirodeAnalise-SBA InstitutodeMatematicaeEstatatstica-USP Edic~aoN067 Maio 2008 homogeneizac~ao da equac~ao da onda com condic~oes de dirichlet relaxadas j. s. souzay & j. q. chagasz Resumo problemasdedirichletrelaxados,denidospormeiodemedidaspositivas, Nessetrabalhoestudamosahomogeneizac~aodaequac~aodaondapara paraoperadoreselpticosdesegundaordemnaformadediverg^encia,em queseuscoecienteseosseusrespectivosdomniosvariamsimultaneamentecom. 1 Introduc~ao Nestetrabalho,estudamosahomogeneizac~aodaequac~aodaonda u00 Au=f; ondeaeumoperadorelpticolineardesegundaordemcomcoecientesmensuraveislimitadosem.consideramosumasequ^enciadeproblemasdeevoluc~ao comcondic~oesdedirichletrelaxadasdaforma 8>< >: 00 div(a Du )=femq = (0;T); T>0 =0em = (0;T); =@ u (x;0)=u(x)eu0 (1.1) (x;0)=u(x)em ; ondeasmatrizesa eosdomniosvariaveis 0 1 dependemdopar^ametroxado. (Oumaisgeralmente,consideramosumasequ^enciadeproblemasdeDirichlet relaxados,denidospormedidaspositivas,paraoperadoreselpticoslinearesde segundaordemsobaformadediverg^enciacommatrizesdecoecientestambem variaveis). Osconjuntos,xo,abertoelimitado,easmatrizesA,abertos,s~aotodoscontidosemumconjunto,denidassobrecomcoecientes mensuraveis,s~aocoercivaselimitadas.oprocessodehomogeneizac~aoconsiste R n emestudarocomportamentodassoluc~oesu quandotendeparazero. Key words: Homogeneizac~ao, Condic~oes de Dirichlet relaxadas, Domnios variaveis. y Centro de Ci^encias Fsicas e Matematicas, UFSC, SC, Brasil, jsouza@mtm.ufsc.br z Departamento de Matematica e Estatstica, 1 UEPG, PR, Brasil, jocemarchagas@uepg.br

2 Homogeneizac~ao eq. onda com condic~oes de Dirichlet relaxadas 67 0 SBA Nocasoespecialonde =,existeumasubsequ^encia,aindadenotada por(a ),eumamatriza,chamadadeh-limitede(a ),talqueparacada f 2L1(0;T;L ()),assoluc~oesv 0 2 ( dosproblemas 2L1(0;T;H0()); v 00 div(a Dv 1 )=f; eml1(0;t; D0()); convergemfraco-estrelaeml1(0;t;h ( 0())paraasoluc~aov de v 1 0 v00 2L1(0;T;H0()); 0 div(adv )=f; 1 eml1(0;t; D0()); esatisfazemtambem 0 0 0 A Dv *ADv ; fracamenteeml1(0;t;l(; )): 0 0 2 R Semfazerqualqueroutrahipoteseadicionalsobreosconjuntosabertos n, prova-sequeexisteumasubsequ^encia,aindadenotadapor( ),talquepara cadaf 2L1(0;T;L()),assoluc~oesu de(1.1)convergemparaasoluc~aou doproblema 2 8>< ddt Z u00ydx ZADuDydx+ Z uyd =<f;y>; 0 em D0(0;T); 8y2H 0 0() \L(;); >: u(x;0)=u(x)eu0(x;0)=u(x)em; (1.2) 1 2 0 u 2L1(0;T;H 0 0() \L(; 1 )); onde 1 0(),umaclassedemedidasdeBoreln~aonegativasque 2 0 tendemparazerosobrequalquerconjuntodecapacidadezero,masquepodem 0 pertenceam + assumirovalor+1sobrealgunssubconjuntosde. Problemasdotipo(1.2)s~aochamadosdeproblemasdeDirichletrelaxados, et^emsidoestudadosparadescreveroslimitesdassoluc~oesde(1.1),quandoas matrizesa n~aodependemde.poroutrolado,problemasdotipo(1.1)podem serescritoscomoproblemasdedirichletrelaxadosconsiderando-seasmedidas,denidaspor: (B)= ( 0; secap(bn )=0; +1; casocontrario. (1.3) Pode-seconsiderarn~aosomenteoproblemadeDirichlet(1.1)referenteas medidas denidasem(1.3),masnumcasomaisgeral,estudarumasequ^encia deproblemasdedirichletcommedidasarbitrarias 0(). 2 M + 2 Denic~oes e Notac~oes Daremosnessasec~aoalgumasdenic~oesbasicas:

67 0 SBA J. S. Souza & J. Q. Chagas 3 SejaE2.Denimossuacapacidadecomo: cap(e):= inf dx;u 1q.s.emumavizinhancadeE. u2h1 0 () Z DizemosqueumapropriedadeP(x)valeem jduj2 parte(q.e.)eme,se P(x)valeemtodox2E,excetoparaumsubconjuntoN quase toda E,comcap(N)=0. Dizemos que u : Re se > 0; E, com neecontnua.! quase contnua 8 9 cap(e)<,talqueuj DizemosqueU e quase abertose 8>0; 9V,comcap(V 4U)<, ondev eabertoe4denotaadiferencasimetrica. Observamosquetodau 2H ()possuiumarepresentantequasecontnua, queeunicamentedenidaamenosdeumconjuntodecapacidadenula,ouseja, 1 seu 2H (),ent~ao 1 u =v;vjneecontnua,comcap(e)=0: Uma negativasobreeumafunc~aodeconjuntoaditiva contaveldenidasobreossubconjuntosdeboreldecomvaloresem[0;+1]. medida n~ao Uma negativasobreeumamedidadeboreln~ao negativaqueenitasobretodoconjuntocompactode. medida de Radon n~ao (E)=inff(B); Beboreliano,EB g. 0()eoconedetodasasmedidasdeBoreln~aonegativassobre,tais que: ( M + (a)(b)=0; 8B; comcap(b)=0; Bboreliano. (b)(b)=inff(u); Uquaseaberto;B Ug; 8B; boreliano. M0()denotaoconjuntodasmedidasdeBoreln~aonegativasquesomente satisfazemacondic~ao(a). por ParatodoconjuntoquaseabertoU,denimosamedidadeBorel U (B)= ( 0; secap(bnu)=0 U +1; casocontrario: OconedetodasasmedidasdeRadonsobreseradenotadopor M(). O cone de todos os elementos n~ao negativos de H 1()e denotado por H 1(). Como todo elemento de H 1() e uma medida de Radon n~ao + +

4 Homogeneizac~ao eq. onda com condic~oes de Dirichlet relaxadas 67 0 SBA negativaquepertencetambema 0(),temosainclus~ao H 1() M + M() 0(): + \ M + 3 H-Converg^encia Sejam; R,com0<<+1. 2 DenimosM()comooconjuntodetodasasmatrizesA 2L1(; ) taisque R n n A(x) I; (A(x)) 1 1I; q.s.em: (3.4) Em(3.4),Ieamatrizidentidadeem,easdesigualdadess~aonosentido R n n. (3.4)implicatambem dasformasquadricasdenidaspora(x)para2 que R n q.s.em (3.5) eque,necessariamente,. ja(x)j Denic~ao 1 Uma sequ^encia(a) de matrizes emm() H-converge para uma matriza emm 8f 2H 0 (), se, 1(), a sequ^enciau ( de soluc~oes dos problemas u 2H0(); div(a 1 Du)=f; D0() (3.6) em u *u satisfaz 0 fracamente emh0() ADu *ADu 1 0 0 fracamente eml(; ); 2 R ondeu n 0 ( e a soluc~ao do problema: u 2H0(); 0 div(a 1 Du)=f; D0(): 0 0 em Observac~ao 1 Toda sequ^encia de matrizes emm () possui uma subsequ^encia que H-converge para uma matriz emm (). Teorema 1 Seja(A) uma segu^encia de matrizes emm() que H-converge para uma matriza( emm eu 0 (), uma sequ^encia emh () u *u 1 tal que 0 fracamente emh () div(adu)=f D0(); 1 8 0: (3.7) em ( Assumindo quef =g +v (g ), para todo>0, onde e relativamente compacta emw (); 1;p loc para algump>1; (v) 0; D0(): (3.8) em ent~ao f *f 0 fracamente eml(; ): 2 R n

5 67 0 SBA J. S. Souza & J. Q. Chagas Nestetrabalho,esteteoremaserausadocom(g)relativamentecompacto (oumesmoconstante)emh 1(). 4 Problemas de Dirichlet Relaxados DadosA 2M(), 2M 0()ef 2H 1(),chamamosdeproblemade Dirichletrelaxadooproblemadeencontrarutalque + 8< : ZADuDydx+ u 0() \L(;); Z 2H1 2 uyd=<f;y>; 8y2H0() \L(;): (4.9) 1 2 Porumaaplicac~aodolemadeLax-Milgram,oproblema(4.9)temumaunica soluc~aou(ver[3]),quesatisfazaestimativa Z dx+ Z d 1 jduj2 juj2 jjfjj 2 H 1(): (4.10) 4.1 Fixemos Reconstruc~ao da medida A 2M(); 2M 0(); 2H 1() (4.11) + + eumasoluc~aowparaoproblema 8< : w ZADwDydx+ () \L(;); Z 2H1 2 wyd= Z yd; 8y2H0() \L(;); (4.12) 1 2 quesatisfaz w 0q.e.em: (4.13) Observac~ao 2 Do Teorema de Lax-Milgram, existe uma unica soluc~ao de (4.12) que pertence ah 1 0(); pelo princpio da comparac~ao, esta soluc~ao satisfaz (4.13), de modo que o conjunto de tais func~oes e n~ao vazio. Proposic~ao 9v 2H 1() 1 + Assuma que (4.11), (4.12) e (4.13) s~ao verdadeiras. Ent~ao tal que div(adw)+v= D0(): (4.14) em Porraz~oestecnicas, areconstruc~aodamedida dewrequeraseguinte hipotese:partatodoconjuntoquaseabertouem,temos cap(u fw=0g)>0)(u)>0: (4.15) \

6 Homogeneizac~ao eq. onda com condic~oes de Dirichlet relaxadas 67 0 SBA Proposic~ao 2 u Assuma 2H0() as \L hipoteses (;) (4.11), )u=0 (4.12), (4.13) fw=0g: e (4.15). Ent~ao (4.16) 1 2 q.e. em Alem disso, para conjuntos de BorelB cap(b fw=0g)>0)(b)=+1:, vale (4.17) \ Proposic~ao 3 Assuma as hipoteses (4.11), (4.12), (4.13) e (4.15), e seja v a medida deh 1() + denida em (4.14). Ent~ao para todo conjunto de Borel B, temos (B)= 8 < dv : ZB w ; secap(b fw=0g)=0 +1; secap(b fw=0g)>0; (4.18) \ \ e v(b fw=0g)= Z Bwd: (4.19) quev=w \ Em particular, isso implica sobre fw>0g. 4.2 Naproximaproposic~ao,assumiremosque Resultados de unicidade e densidade w 2L1(): (4.20) Proposic~ao 4 Assuma que (4.11) - (4.13), (4.15) e (4.20) s~ao verdadeiras. Ent~ao o conjunto fw':'2c1 c ()g e denso emh 1 0() \L 2 (;). Oseguinteresultadodeunicidadeecrucialparaosteoremas2e4. Proposic~ao 5 Assuma as hipoteses (4.11) - (4.13), (4.15) e (4.20). Seja u uma soluc~ao do problema 8< : u ZAD'Duwdx 0() \L1(); ZADwD'udx+ Z 2H1 u'd=0; 8' 2C1(): (4.21) 0 Ent~ao,u=0 q.e. em. 5 Um resultado de converg^encia global Paratodo 0,consideramosumamatrizA emm()eumamedida emm 0(),queseraxadaaolongodorestodestetrabalho.Assumimosque + (A)H-convergeparaA: (5.22) Nestasec~aousamosoargumentodedualidadeparaprovarque,sobhipoteses 0 adequadassobre()(quesempres~aosatisfeitasparaumasubsequ^encia),as soluc~oesu deproblemasdedirichletrelaxados(4.9)para A=A e= convergemparaasoluc~aou doproblemadedirichletrelaxado,coma=a, e=. 0 0 0

67 0 SBA J. S. Souza & J. Q. Chagas 7 5.1 Paratodo Denic~ao 0,denimosasfunc~oesw testes especiais ew comoasunicassoluc~oespara osproblemas 8< : ZA 2H0() \L(;); w Dw 1 Dydx+ Z 2 w yd = Z ydx; 8y2H0() \L(;); (5.23) e8< 1 2 w : ZA 2H0() \L(;); Dw 1 Dydx+ Z 2 w yd = Z ydx; 8y2H0() \L(;): (5.24) 1 2 Alemdisso,peloprincpiodomaximo,temostambem supjjw e supjjw jj L 1()<+1 jj L 1()<+1: (5.25) Pelaproposic~ao1,existemduasmedidasv ev emh 1() taisque div(a Dw )+v =1; e div(a Dw )+v =1; em D0(): + (5.26) Finalmente,de(4.10)obtemos sup dx<+1; sup dx<+1; (5.27) 0 Z jdw j 2 0 Z jdw j 2 d <+1; sup d <+1: (5.28) Z jw j 2 Z jw j 2 sup 0 5.2 Dadas,paratoda O principal resultado 0,f ef emh de converg^encia 1(),consideramosassoluc~oesu e u paraosseguintesproblemas: 8< : Z 2H () \L(;); u A Du 1 Dydx+ Z 2 u yd =<f ;y>; 8y2H0() \L(;); 1 2 (5.29) e 8< u : Z 2H0() \L(;); A Du 1 Dydx+ Z 2 u yd =<f ;y>; 8y2H0() \L(;): 1 2 (5.30) Teorema 2 Admita (5.22), e sejamw ew as soluc~oes para (5.23) e (5.24). As seguintes condic~oes s~ao equivalentes: (a)w *w 0 fracamente emh (b)w *w 1 0 fracamente emh0(); 1 (c) para toda(f ) e(u ) satisfazendo (5.29), sef!f H 0 fortemente em ent~aou *u 1(), 0 fracamente emh0(); 1 (d) para toda(f ) e(u ) satisfazendo (5.30), sef!f H 0 fortemente em ent~aou *u 1(), 0 fracamente emh0(). 1 0

8 Homogeneizac~ao eq. onda com condic~oes de Dirichlet relaxadas 67 0 SBA 5.3 Um resultado de compacidade () 0() Teorema 3 Admita (5.22). Para toda sequ^encia >0 em M + existe uma subsequ^encia, ainda denotada por( ), e uma medida 0() 0 em M + tal que as condic~oes equivalentes (a)-(d) do Teorema 2 s~ao satisfeitas. 5.4 Introduzimosagoraumafamliamaisgeraldefunc~oestestes(w Func~oes testes ). Paratodo 0,seja 2H 1(),esejaw umasoluc~aodoproblema 8< : Z 2H 1() \L(;); w 2 A Dw Dydx+ Z w yd = Z yd ; 8y2H0() \L(;): 1 2 (5.31) Assumimosque 2H 1() ; 8 0; (5.32) +!; fortementeemh 1(); (5.33) 0 w 0q.e.em8 0; (5.34) w *w fracamenteemh (): (5.35) 0 1 Tambemassumimosque,paratodoconjuntoquaseabertoUem,temos que e cap(u fw =0g)>0)(U)>0; (5.36) \ 0 0 w 0 2L1(): (5.37) Teorema 4 Admita que vale (5.22), e que(w ) ) 0 e( 0 satisfazem (5.31) - (5.37). Ent~ao as condic~oes equivalentes (a)-(d) do Teorema 2 s~ao cumpridas. 6 ProblemasdeDirichletemdomniosvariaveis VamosconsideraragoraocasoparticulardoproblemadeDirichletclassico emdomniosvariaveis. Seja( ) umasequ^enciadeconjuntosabertos,com,eseja umamedidaem 0 >0 0(). Paracada>0,sejamw ew asunicassoluc~oes dosproblemas M + ( w 2H0( ); div(a 1 Dw )=fem D0( ); (6.38)

9 67 0 SBA J. S. Souza & J. Q. Chagas e ( w 2H0( ); div(a 1 Dw )=fem D0( ); (6.39) esejamw ew assoluc~oesde(5.23)e(5.24)com=0. 0 0 Dadasf ef emh 1(),para>0,consideremosu eu soluc~oesdos problemas: ( u u00 2H0( ); div(a 1 Du )=f em D0(0;T; D0( )); (6.40) e ( u u00 2H0( ); div(a 1 Du )=f em D0(0;T; D0( )): (6.41) Dadasf ef emh 1(),sejamu eu assoluc~oesde(5.29)ede(5.30), com=0. 0 0 0 0 Corolario 1 Assuma (5.22) e sejamw ew soluc~oes de (6.38) e de (6.39) para>0, e de (5.23) e de (5.24) para =0. As seguintes condic~oes s~ao equivalentes: (a)w *w 0 fracamente emh 1 0(); (b)w *w 0 fracamente emh 1 0(); (c) para toda(f ) e(u ) satisfazendo (6.40) para>0e(5.29) para =0, sef!f 0 fortemente emh 1(), ent~aou * u 0 fraco-estrela em L1(0;T;H 1 0()); (d) para toda(f ) e(u ) satisfazendo (6.41) para>0e(5.30) para =0, sef!f 0 fortemente emh 1(), ent~aou * u 0 fraco-estrela em L1(0;T;H 1 0()). Seja( )umasequ^enciaem H 1() + e, paracada > 0, sejaw uma func~aoemh 1 ()talquew =0q.e.emn,e div(a Dw )= em D0( ): Seja 0 2H 1() +,esejaw 0 umasoluc~aode(5.31)com=0.seascondic~oes (5.32)-(5.37)s~aosatisfeitas,ent~aoascondic~oesequivalentes(a)-(d)docorolario 1s~aosatisfeitas. Umexemploquemostraqueamedida 0 queaparecenoproblemalimite alem de depender da sequ^encia ( ) e da matriz A 0, depende tambem das sequ^encias(a ),podeserencontradoem[3]

10 Homogeneizac~ao eq. onda com condic~oes de Dirichlet relaxadas 67 0 SBA Refer^encias [1] DALMASO,G.;GARRONI,A. New domains.math.modelsmethodsappl. results on the asymptotic behaviour Sci.4,1994.373-407. of Dirichlet problems in perforated [2] DALMASO,G.;MOSCO,U. Wiener's criterion and -convergence.appl. Math.Optim.15,1987.15-63. [3] DALMASO,G.;MURAT,F. Comportament asymptotique et correcteurs pour des problemes simultainement.ann.i.h.poincare-an21, de Dirichlet lineaires avec des operateurs et des 2004. domaines 445-486. qui varient [4] CIORANESCU,D.; DONATO,P.; MURAT,F.; ZUAZUA,E. Homogenization and correctors for the wave equation in domains with small holes. Ann.ScuolaNorm.Sup.Pisa.18,1991.251-293. [5] CIORANESCU,D.;MURAT,F. Un terme etrange Applications.collegedeFrance venu d'alleurs. Nonlinear Seminar,vol.IIeIII,ResearchNotesinMathematics.vol.60e70,Pitman, Partial Dierential Equations and their 1982.93-138e154-178.