Universidade Federal do Rio de Janeiro. As Fronteiras de Shilov e de Bishop

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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Rafael Monteiro dos Santos As Fronteiras de Shilov e de Bishop Rio de Janeiro 2008

2 Rafael Monteiro dos Santos As Fronteiras de Shilov e de Bishop Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação do Instituto de Matemática, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Matemática. Orientadora: Luiza Amália de Moraes Rio de Janeiro 2008

3 À minha família. À minha noiva, Giselle. ii

4 Agradecimentos A Deus, acima de tudo. À minha orientadora, Luiza Amália de Moraes, por ser a principal responsável pela minha formação matemática e por sua paciência, sempre aliada à boa vontade. Ao professor Antônio Roberto da Silva, pelo aprendizado em vários aspectos, especialmente o profissional. Ao professor Nilson da Costa Bernardes Junior, pelas contribuições decisivas na solução de problemas relativos a esta dissertação. À minha noiva, Giselle, pela motivação nos momentos de desânimo, por seu amor e companherismo. À minha família, pelo apoio incondicional. Aos meus amigos, sempre dispostos a me ajudar. Aos professores do IM-UFRJ, pela atenção e pelos cursos ministrados com competência, na graduação e na pós-graduação. Ao CNPq, pelo suporte financeiro. iii

5 Ficha Catalográfica Santos, Rafael Monteiro dos. As Fronteiras de Shilov e de Bishop / Rafael Monteiro dos Santos. Rio de Janeiro, vii, 82 p., 1cm. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, Referências Bibliográficas: p O Teorema Shilov. 2. O Teorema de Bishop. 3. Fronteiras em Espaços de Funções. I. Moraes, Luiza Amália de. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, Programa de Pós-graduação do Instituto de Matemática. III. Título. iv

6 As Fronteiras de Shilov e Bishop Rafael Monteiro dos Santos Orientadora : Luiza Amália de Moraes Um resultado clássico de Shilov estabelece que se X é um espaço topológico compacto de Hausdorff e se A é uma subálgebra de C(X) que separa os pontos de X e que contém a unidade, então existe um conjunto minimal fechado M X tal que max f(x) = max f(m) x X m M para toda f A. Este conjunto é conhecido como a fronteira de Shilov de A. Cinco anos após o artigo de Shilov, Bishop provou que se A é uma álgebra de Banach de funções contínuas definidas em um espaço metrizável compacto X que separa os pontos de X, então existe um conjunto minimal M X (não necessariamente fechado) que satisfaz a seguinte condição : Para cada f A, existe m M tal que f(m) = max x X f(x). O principal objetivo deste trabalho é apresentar os Teoremas de Shilov e de Bishop. Em conexão com estes, apresentamos um resultado devido a H. G. Dales sobre a densidade de pontos de pico na fronteira de Shilov. Um exemplo (devido a K. Jarosz) de conjunto de pico sem pontos de pico conclui o trabalho. v

7 As Fronteiras de Shilov e Bishop Rafael Monteiro dos Santos Supervisor : Luiza Amália de Moraes A classical result of Shilov states that if X is a compact Hausdorff topological space and A is a separating subalgebra of C(X) with unit then there is a minimal closed set M X such that max f(x) = max f(m) x X m M boundary of A. for every f A. This set is known as the Shilov Five years after Shilov s paper, Bishop proved that if A is a separating Banach algebra of continuous functions on a compact metrizable space X, then X has a minimal subset M (not necessarily closed) satisfying the following condition : For each f A, there exists m M such that f(m) = max x X f(x). The main purpose of this work is to present the Shilov s Theorem and the Bishop s Theorem. In connection, we present a result due to H. G. Dales about the density of peak points in the Shilov boundary. We finish the work with an example (due to K. Jarosz) of a peak set without peak points. vi

8 Sumário 1 Noções de Topologia Geral, Análise Funcional e Álgebras de Banach Topologia Geral Análise Funcional Álgebras de Banach O Teorema de Shilov Conjuntos Maximais e Fronteiras O Teorema de Bishop O Teorema de Bishop Exemplo de um Conjunto de Pico sem Ponto de Pico vii

9 Introdução Sejam X um espaço topológico compacto e H um subconjunto do espaço C(X) das funções contínuas de X em IC (ou IR ). Um subconjunto F de X é uma fronteira para H se para toda f H existe x 0 X tal que f(x 0 ) = max f(x). Um exemplo trivial de x X fronteira é o próprio conjunto X, mas outras fronteiras podem estar contidas propriamente em X. Um exemplo simples e capaz de ilustrar esta situação ocorre quando H é o conjunto das funções complexas contínuas definidas em = {z IC : z 1} que são analíticas no interior de. fronteira para H. Pelo Teorema do Módulo Máximo, a fronteira topológica de é uma Em 1954, Shilov mostrou (consulte a referência [15] ) um importante teorema sobre a existência e a unicidade de fronteira minimal fechada para álgebras de Banach comutativas. O Teorema de Shilov motivou um grande desenvolvimento no estudo das álgebras de Banach comutativas, sobretudo das subálgebras fechadas de C(X) com a norma do supremo que contém a unidade e separam os pontos de X. A demonstração que apresentamos para o Teorema de Shilov está baseada na demonstração deste teorema apresentada em [13]. Devido à importância deste teorema, convencionou-se chamar Fronteira de Shilov de A à fronteira minimal fechada de A, quando esta existe e é única. Em 1959, Bishop provou a existência de uma, e só uma, fronteira minimal para uma subálgebra A de C(X) munida da norma do supremo que separa os pontos de X, quando X, além de ser compacto, é metrizável (consulte a referência [1] ). Sob estas condições, o Teorema de Bishop prova que a fronteira minimal para A é o conjunto dos pontos de pico para A. Como conseqüência imediata dos Teoremas de Bishop e de Shilov, temos que se a álgebra A satisfaz as hipóteses do Teorema de Bishop, a fronteira de Shilov de A é o fecho da fronteira de Bishop de A.

10 Neste trabalho, apresentamos os Teoremas de Shilov e de Bishop e diversos resultados relacionados a eles. Exemplos enriquecem e ilustram o texto, destacando a importância de algumas hipóteses de ambos os teoremas centrais. No primeiro capítulo, enunciamos sem demonstração alguns teoremas da Topologia Geral e da Análise Funcional. Em seguida, exploramos timidamente a teoria das álgebras de Banach, apresentando alguns resultados e dando exemplos de álgebras de Banach. No segundo capítulo, após definir conjunto de pico, ponto de pico e fronteira, demonstramos o Teorema de Shilov e alguns dos seus corolários, dentre eles uma caracterização dos pontos da fronteira de Shilov. Em seguida, finalizando o capítulo, retomamos alguns dos exemplos do capítulo anterior, a fim de determinar as fronteiras de Shilov de álgebras apresentadas e mostramos, através de um exemplo, que se A é uma subálgebra real de C(X, IC), então a fronteira de Shilov de A pode não existir. O terceiro capítulo trata da existência de fronteira minimal não necessariamente fechada. O teorema central deste capítulo é o Teorema de Bishop e dois de seus corolários motivam outros resultados abordados neste capítulo. Um deles é apresentado por meio de um teorema devido a H. G. Dales (consulte a referência [2] ) que, sob condições um pouco mais gerais que as exigidas no Teorema de Bishop, prova que o conjunto dos pontos de pico é denso na fronteira de Shilov da álgebra em questão. Posteriormente, apresentamos um exemplo, devido a Jarosz, de um conjunto de pico sem ponto de pico (consulte a referência [6]). A apresentação deste exemplo foi motivada por um corolário do Teorema de Bishop que mostra que, uma vez satisfeitas as hipóteses do Teorema de Bishop, todo conjunto de pico para a álgebra considerada possui ponto de pico. 2

11 Capítulo 1 Noções de Topologia Geral, Análise Funcional e Álgebras de Banach Apresentaremos, neste primeiro capítulo, algumas definições e resultados básicos de Topologia Geral, Análise Funcional e Álgebras de Banach, capazes de dar-nos suporte nos próximos capítulos. Durante todo o texto, IN denotará o conjunto dos números naturais, IR o corpo dos números reais e IC o corpo dos números complexos. Além disso, assumiremos conhecidas as definições e os resultados básicos das Análises Real e Complexa e da Álgebra Linear. O corpo de escalares dos espaços vetoriais com os quais trabalharemos será sempre IR ou IC, e na maioria dos resultados e definições será indiferente trabalhar com um ou outro. Portanto, reservaremos o símbolo IK para representar o corpo dos reais ou dos complexos, nas situações onde ambos podem ser o corpo de escalares do espaço vetorial em questão. Se X é um conjunto arbitrário e Y X, denotaremos o complementar de Y em X, ou seja, o conjunto {x X : x / Y }, por X \Y ou por Y c. Para definições e resultados sobre espaços métricos e espaços normados, sugerimos as

12 referências [10] e [16], respectivamente. 1.1 Topologia Geral Antes de introduzir as noções de topologia geral, fixaremos algumas notações que usaremos neste trabalho. Se X for um conjunto arbitrário e d for uma métrica em X, o espaço métrico (X, d) será denotado apenas por X desde que d esteja clara no contexto. Analogamente, denotaremos um espaço normado (E,. ) por E se não houver dúvida quanto à norma em questão. Dado um espaço métrico X, um ponto x X e um real positivo r, a bola aberta e a bola fechada de centro x e raio r serão denotadas, respectivamente, por B(x, r) e B(x, r). Se E for um espaço normado, denotaremos a esfera unitária de E por S E. Dados dois espaços métricos (X 1, d 1 ) e (X 2, d 2 ), uma isometria de X 1 em X 2 é uma aplicação f : X 1 X 2 tal que d 1 (x, y) = d 2 (f(x), f(y)), para todo par x, y X 1. Se f é bijetiva, então a inversa de f também é uma isometria e, neste caso, dizemos que X 1 e X 2 são isométricos. A seguir apresentamos as noções sobre Topologia Geral que consideramos essenciais a um bom entendimento dos principais teoremas deste texto. Definição 1.1. Se X é um conjunto arbitrário, uma topologia em X é uma coleção T formada por subconjuntos de X que satisfaz as seguintes condições : i) e X são elementos de T ; ii) a união de qualquer coleção de elementos de T está em T ; 4

13 iii) a interseção de qualquer coleção finita de elementos de T pertence a T. Neste caso, o par (X, T ) é dito um espaço topológico. Quando não houver dúvidas quanto à topologia considerada, esta será omitida e representaremos o par (X, T ) somente pela letra X. Se (X, T ) for um espaço topológico, então chamaremos os elementos de T de conjuntos abertos e, dado x X, diremos que um conjunto V X é uma vizinhança de x se existir A T tal que x A e A V. Em particular, toda vizinhança de um ponto x X contém x e todo aberto contendo x é uma vizinhança deste ponto. Exemplo 1.1. Se (X, d ) é um espaço métrico, então d gera uma topologia em X. De fato, seja T a coleção formada pelos conjuntos A X tais que para todo ponto a A existe r a > 0 satisfazendo B(a, r a ) A. Não há dificuldades em provar que T satisfaz as condições de i) a iii) da definição 1.1, e, portanto, é uma topologia em X. Neste caso, diremos que a topologia T é proveniente da métrica d. Em particular, todo espaço normado é um espaço topológico com a topologia proveniente da métrica definida a partir de sua norma. Por estas observações, IR e IC munidos da topologia proveniente do valor absoluto são exemplos de espaços topológicos. Definição 1.2. Dizemos que X é um espaço metrizável, se este é um espaço topológico cuja topologia é proveniente de alguma métrica definida em X. Durante este trabalho, a menos que haja menção contrária, nossos espaços métricos e normados serão considerados espaços topológicos munidos da topologia proveniente de sua métrica ou norma. Definição 1.3. Sejam X um espaço topológico e F X. Dizemos que F é um conjunto fechado se seu complementar X \F é um conjunto aberto. Seja F a coleção formada pelos conjuntos fechados de um espaço topológico X. Não é difícil ver que F satisfaz as condições abaixo : 5

14 i) e X estão em F ; ii) a interseção de qualquer coleção de elementos de F está em F ; iii) a união de qualquer coleção finita de elementos de F pertence a F. É possível definir uma topologia num conjunto X através de seus conjuntos fechados e, para isto, basta que uma coleção F de subconjuntos de X satisfaça as condições listadas acima. Se isto ocorrer, a família T formada pelos complementares dos elementos de F será a topologia desejada. Definição 1.4. Sejam X um espaço topológico, Y X e w, x, y, z X. Dizemos que w é um ponto interior de Y se existe uma vizinhança U w deste ponto contida em Y. O conjunto dos pontos interiores de Y é chamado de interior de Y e contém todos os abertos contidos em Y. Dizemos que x é um ponto de fronteira de Y se para cada vizinhança U x de x, temos que Y U x e (X \Y ) U x. O conjunto dos pontos de fronteira de Y é chamado de fronteira de Y. Dizemos que y é um ponto de acumulação de Y se para toda vizinhança U y de y, existe t U y Y tal que t y. Finalmente, z é um ponto aderente de Y se para toda vizinhança U z deste ponto, temos que Y U z. O conjunto dos pontos aderentes de Y é chamado de fecho de Y e está contido em todos os fechados que contém Y. Denotaremos o interior de Y por int Y, a fronteira de Y por FrY e o fecho de Y por Y. Quando houver mais de uma topologia definida no mesmo conjunto X, especificaremos em qual delas o fecho, o interior ou a fronteira de um subconjunto de X está sendo tomada. Se for este o caso, quando usarmos as notações introduzidas na definição acima, da mesma forma não deixaremos dúvidas quanto à topologia considerada. Definição 1.5. Sejam Y e Z dois subconjuntos de um espaço topológico X. Dizemos que Y é denso em Z quando Y Z. 6

15 Seja X um espaço topológico e sejam Y e Z subconjuntos de X. Não é difícil verificar que Y é fechado se, e somente se, Y = Y, assim como Z é aberto se, e somente se, Z = int Z. Além disso, int Y Fr Y = e Y = int Y Fr Y. Definição 1.6. Um espaço topológico X é um espaço de Hausdorff se para dois pontos distintos x, y X quaisquer, existem vizinhanças V x e V y de x e y, respectivamente, tais que V x V y =. É fácil ver que num espaço de Hausdorff todo conjunto finito é fechado e que todo espaço métrico é um espaço de Hausdorff. Definição 1.7. Sejam T 1 e T 2 duas topologias no mesmo conjunto X. A topologia T 1 será dita mais fina que T 2, ou T 2 menos fina que T 1, se todo elemento de T 2 for também elemento de T 1. Definição 1.8. Seja C uma família de subconjuntos de X e seja I c a coleção formada pelas interseções finitas de elementos de C. O conjunto formado pelas uniões arbitrárias de elementos de I c é uma topologia em X denominada topologia gerada por C. Neste caso, dizemos que C é uma subbase ou um sistema de geradores para esta topologia. A topologia gerada por C é a menos fina contendo esta família, ou, equivalentemente, é a menos fina segundo a qual os elementos de C são abertos. Definição 1.9. Se (X, T ) é um espaço topológico, então uma coleção B T é uma base para T (ou para X, quando a topologia for omitida) se todo aberto de T é uma união de elementos de B. Neste caso, os elementos de B são chamados de abertos básicos. Claramente, se B é uma base para a topologia T, então esta é a topologia gerada por B. Além disso, se S é uma subbase para T, a coleção formada pelas interseções finitas de elementos de S é uma base para T. Também é fácil ver que toda topologia possui pelo menos uma base, a formada por todos os seus elementos. 7

16 Uma conseqüência imediata desta definição é a seguinte caracterização : B é uma base para um espaço topológico X se, e somente se, para cada aberto A X e cada a A, existe B B tal que a B A. Segue desta caracterização que em todo espaço metrizável, a coleção das bolas abertas é uma base. Definição Consideremos os espaços topológicos (X, T 1 ) e (Y, T 2 ). Uma aplicação f : X Y é dita contínua se para todo conjunto aberto A na topologia T 2, a imagem inversa de A por f, ou seja, o conjunto f 1 (A) = {x X : f(x) A}, é um conjunto aberto na topologia T 1. Se além de ser contínua, f for bijetiva e sua função inversa for contínua, então dizemos que f é um homeomorfismo. O resultado a seguir segue diretamente da definição Proposição 1.1. Sejam X, Y e Z espaços topológicos. Se as aplicações f : X Y e g : Y Z são contínuas, então a composta g f : X Z é contínua. A próxima proposição oferece formas alternativas para verificação da continuidade de uma função e sua demonstração será omitida por ser uma conseqüência imediata das definições anteriores. Proposição 1.2. Sejam (X, T 1 ) e (Y, T 2 ) espaços topológicos. Se B 1 e B 2 são bases para T 1 e T 2, respectivamente, e f é uma aplicação de X em Y, então as condições abaixo são equivalentes : i) f é contínua ; ii) f 1 (A) é aberto para todo A B 2 ; iii) para cada x X e cada A 2 B 2 com f(x) A 2, existe A 1 B 1 contendo x tal que f(a 1 ) A 2. 8

17 Definição Sejam X um conjunto e {Y j } j J uma família de espaços topológicos. Para cada j J, sejam f j uma aplicação de X em Y j, O j a coleção formada pelos abertos do espaço Y j e C j a coleção das imagens inversas dos elementos de O j pela aplicação f j. Se S = j J C j, então a topologia gerada por S é a topologia fraca definida pela família F = {f j } j J em X, que denotaremos por σ(x, F). Esta topologia recebe este nome por ser a topologia menos fina em X que torna todas as aplicações da família {f j } j J contínuas. A seguir apresentaremos alguns exemplos importantes de topologias fracas que serão utilizados posteriormente. Exemplo 1.2. Sejam X um espaço topológico e Y X. Se f : Y X é a aplicação definida, em cada y Y, pela equação f(y) = y, então a topologia fraca definida em Y pela família unitária {f} é a topologia induzida em Y pela topologia de X. Neste caso, diremos que Y com a topologia induzida é um subespaço topológico de X. Os abertos na topologia induzida são as interseções dos abertos de X com Y, assim como seus fechados são as interseções dos fechados de X com Y. Equivalentemente, poderíamos definir a topologia induzida por X em Y diretamente por seus abertos, dizendo apenas que esta é a topologia formada pelas interseções dos abertos de X com Y. Exemplo 1.3. Sejam {X j } j J uma família de espaços topológicos, X = j J X j e, para cada índice j em J, π j : X X j a projeção de X sobre X j, isto é, a aplicação definida em cada x = {x i } i J X por π j (x) = x j. A topologia fraca definida em X pela família {π j } j J é chamada de topologia produto. Esta é a topologia menos fina em X na qual as projeções são contínuas. A coleção formada pelos conjuntos da forma j J A j, onde cada A j é um aberto em X j e apenas para um número finito de índices i tem-se que o aberto A i não é o espaço X i, é uma base para a topologia produto. Se X é o produto cartesiano finito de espaços topológicos, digamos X 1,..., X n, e B é a coleção dos subconjuntos de X da forma U 1... U n, onde cada U i 9 é um aberto em X i, então

18 B é uma base para a topologia produto. Exemplo 1.4. Sejam X um conjunto e F uma família de funções f : X IK. Consideremos em X a topologia fraca σ (X, F) definida por F. O objetivo deste exemplo é, além de apresentar uma topologia útil, determinar uma base para σ (X, F). Para isto, sejam B a coleção das imagens inversas das bolas abertas de IK pelas funções de F e U o conjunto formado pelas interseções finitas de elementos de B. Como a coleção das bolas abertas é uma base para a topologia de IK, U é uma base para σ (X, F). Além disso, para cada W B, existe uma bola aberta B(y, ɛ) IK f F tais que W = f 1 (B(y, ɛ) ). e uma função Logo, se U U, então existe um número finito de bolas abertas B(y 1, ɛ 1 ),..., B(y n, ɛ n ) IK e de funções f 1,..., f n F tais que U = f 1 1 (B(y 1, ɛ 1 ) )... f 1 n (B(y n, ɛ n ) ). Agora, sejam V a coleção dos conjuntos V X para os quais existem uma família finita F V F, x v X e ɛ > 0 tais que V = {x X : f(x) f(x v ) < ɛ, para toda f F V }. Verificaremos que a topologia gerada por V é a topologia σ (X, F). Seja T a topologia gerada por V em X, que, pela definição 1.8, é a topologia menos fina contendo esta coleção. Por U ser uma base para σ (X, F) e V U, temos que os elementos de V estão em σ (X, F), e, conseqüentemente, σ (X, F) é mais fina que T. Por outro lado, sejam f F e w X. Dado ɛ > 0, o conjunto V f = f 1 (B(f(w), ɛ ) ) = {x X : f(x) f(w) < ɛ} satisfaz f (V f ) B (f(w), ɛ ) e é um aberto em T, já que V f V. Em outras palavras, f é contínua em T. Decorre da arbitrariedade de f que todas as funções de F são contínuas na topologia T, e pela definição 1.11, isto significa que T é mais fina que σ (X, F), provando que estas topologias, de fato, coincidem. Resumindo, demonstramos que se X é um conjunto e F é uma família de funções f : X IK, então a coleção de subconjuntos de X da forma V (x 0 ; f 1,..., f n ; ɛ) = {x X : f i (x) f i (x 0 ) < ɛ, i = 1,..., n}, onde x 0 X, {f i } n i=1 é uma subfamília 10

19 finita de F e ɛ > 0, é uma base para a topologia fraca gerada por F em X. Definição Um conjunto J é um conjunto dirigido se nele está definida uma relação binária que satisfaz as seguintes condições : i) α α, para todo α J ; ii) se α, β, λ J são tais que α β e β λ, então α λ ; iii) para todo par α, β J, existe η J tal que α η e β η. Neste caso, um subconjunto K de J é cofinal em J, se para todo α J existe ξ K satisfazendo α ξ. Segue das definições acima que se J é um conjunto dirigido e K J é cofinal em J, então, com a ordem parcial herdada de J, K é um conjunto dirigido. Definição Dado um conjunto X, uma seqüência generalizada em X é uma aplicação f de um conjunto dirigido J em X. Para cada α J, denotaremos f(α) por x α e a seqüência generalizada f por (x α ) α J. Quando não houver dúvidas quanto ao conjunto de índices J, escreveremos apenas (x α ). Se X é um espaço topológico, dizemos que uma seqüência generalizada (x α ) α J em X converge para um ponto x neste espaço, se para cada vizinhança V de x existe α J tal que x β V sempre que α β. Neste caso, x é o limite de (x α ) α J. Uma seqüência generalizada (x α ) α J em um espaço topológico X é dita convergente se ela converge para algum ponto de X. Quando julgarmos útil, usaremos a notação x α x para indicar que (x α ) α J converge para x. A partir das definições anteriores, prova-se, sem dificuldades, as duas proposições abaixo : 11

20 Proposição 1.3. Se (x α ) é uma seqüência generalizada convergente em um espaço de Hausdorff X, então seu limite é único. Proposição 1.4. Sejam Y um subconjunto de um espaço topológico X e (x α ) uma seqüência generalizada em Y. Se (x α ) converge para um ponto x X, então x Y. Em particular, se Y é fechado, então x Y. Definição Seja f : I X uma seqüência generalizada e, para cada α I, seja f(α) = x α. Se J é um conjunto dirigido, cuja ordem parcial será denotada pelo mesmo símbolo da de I, e g : J I é uma aplicação tal que g(j) é cofinal em I e g(i) g(j) sempre que i j, então a composta f g : J X é uma subseqüência generalizada de (x α ). Por J ser dirigido, f g é uma seqüência generalizada. Adaptando a notação usada para seqüências generalizadas, podemos denotar a subseqüência generalizada f g por ( x g(j), mas quando o desconhecimento de g não causar problemas, em analogia )j J à notação usual para subseqüências, escreveremos ( x αj )j ou, apenas, ( ) xαj J. Proposição 1.5. Se X é um espaço topológico e (x α ) uma seqüência generalizada neste espaço que converge para x X, então toda subseqüência generalizada de (x α ) também converge para x. Demonstração. Consulte a referência [17], Teorema 11.5, p.75. Proposição 1.6. Se X e Y são espaços topológicos e f é uma aplicação de X em Y, então f é contínua em x X se, e somente se, f(x α ) f(x) para toda seqüência generalizada (x α ) em X tal que x α x. Demonstração. Consulte a referência [17], Teorema 11.8, p.75. A partir dos resultados e definições anteriores, prova-se a proposição abaixo sem muitas dificuldades. 12

21 Proposição 1.7. Sejam Y um espaço topológico e F uma família de funções de um conjunto X em Y. Se X está munido da topologia σ(x, F) e (x α ) α J é uma seqüência generalizada em X, então x α x se, e somente se, f(x α ) f(x) para toda f F. Definição Se X é um conjunto e Y X, então uma cobertura para Y é uma família {Y α } α J de subconjuntos de X tal que Y α J Y α. Neste caso, uma subcoleção de {Y α } α J é dita subcobertura para Y se é também uma cobertura para este conjunto. Caso X seja um espaço topológico e todos os elementos de {Y α } α J sejam abertos, dizemos que esta é uma cobertura aberta para Y. Definição Um subconjunto K de um espaço topológico X é compacto se toda cobertura aberta para K admite subcobertura finita para o mesmo. Proposição 1.8. Todo espaço compacto e metrizável possui base enumerável. Demonstração. Consulte a referência [17], Teorema 16.11, p As demonstrações das próximas quatro proposições não são complicadas e podem ser vistas na referência [12], seções 3-5 e 3-6. Proposição 1.9. Todo subconjunto fechado de um espaço compacto é compacto. Proposição Todo subconjunto compacto de um espaço Hausdorff é fechado. Proposição Sejam X e Y espaços topológicos. Se f : X Y é uma aplicação contínua, então a imagem de um compacto por f é compacta. Proposição Se X é um espaço compacto e f : X IR é contínua, então existem pontos a e b em X tais que f(a) f(x) f(b), para todo x X. Em outras palavras, f atinge máximo e mínimo em X. 13

22 Definição Sendo X um conjunto qualquer, uma coleção E de subconjuntos de X possui a propriedade da interseção finita, resumidamente P.I.F., se toda subcoleção finita de E possuir interseção não-vazia. Teorema 1.1. Se X é um espaço topológico, então são equivalentes : i) X é compacto ; ii) todo família E de subconjuntos fechados de X com a P.I.F. possui interseção não-vazia ; iii) toda seqüência generalizada em X possui subseqüência generalizada convergente. Demonstração. Consulte a referência [17], Teorema 17.4, p.118. Definição Sejam A e B conjuntos quaisquer e F uma família de aplicações de A em B. Se para todo par de pontos distintos a, b A existe f F satisfazendo f(a) f(b), dizemos que F separa os pontos de A. Lema 1.1. Sejam X um espaço compacto, Y um espaço de Hausdorff e F uma coleção de aplicações contínuas de X em Y. Se F separa os pontos de X, então a topologia σ(x, F) coincide com a topologia original de X. Demonstração. Seja T (x α ) α J em X. a topologia original de X e fixemos uma seqüência generalizada Se (x α ) α J converge para x X na topologia T, então, como toda aplicação f F é contínua, (f(x α )) α J converge para f(x), para toda f F. Pela Proposição 1.7, isto significa que (x α ) α J converge para x na topologia σ(x, F). Reciprocamente, suponhamos que (x α ) α J convirja para x X na topologia σ(x, F). Neste caso, se (x α ) α J não converge para x na topologia T, existe uma vizinhança aberta V de x na topologia T tal que para cada α J temos um índice β J satisfazendo 14

23 β α, tal que x β / V. Logo, existe uma subseqüência generalizada (y β ) β I de (x α ) α J contida em X \V. Pela compacidade X \V na topologia T, (y β ) β I possui uma subseqüência generalizada convergente nesta topologia. Sejam (w λ ) λ Λ esta subseqüência e w X \V o seu limite. Por F separar os pontos de X, existe g F tal que g(x) g(w). Como g é contínua na topologia T, por um lado temos que (g(w λ )) λ Λ converge para g(w) e por outro, lembrando que (x α ) α J converge para x na topologia σ(x, F), temos que g((x α )) α J converge para g(x). Conseqüentemente, (g(w λ )) λ Λ converge para g(x), uma vez que (w λ ) λ Λ é também subseqüência generalizada de (x α ) α J. Finalmente, temos que (g(w λ )) λ Λ possui dois limites distintos, o que contradiz o fato de Y ser de Hausdorff. Observação 1.1. Se F é uma família de aplicações contínuas de um espaço topológico X em um espaço topológico de Hausdorff Y, que separa os pontos de X, então X é um espaço de Hausdorff. Para verificar este fato, fixemos t 1, t 2 X tais que t 1 t 2. Como F separa os pontos de X, existe f F tal que f(t 1 ) f(t 2 ). Por Y ser de Hausdorff, existem vizinhanças V 1 e V 2 de f(t 1 ) e f(t 2 ), respectivamente, tais que V 1 V 2 =. Logo, pela continuidade de f, os conjuntos f 1 (V 1 ) e f 1 (V 2 ) são vizinhanças de t 1 e t 2, respectivamente, cuja interseção é vazia. Teorema 1.2. (Tychonoff) Um produto arbitrário de espaços compactos é compacto na topologia produto. Demonstração. Consulte a referência [12], Teorema 1.1, p.232. O próximo exemplo será usado após um dos principais resultados deste trabalho, o Teorema de Bishop, com o objetivo de destacar a importância de uma de suas hipóteses. Exemplo 1.5. Seja Λ um conjunto não-enumerável e, para cada λ neste conjunto, seja I λ o espaço topológico formado pelo intervalo real fechado [ 0, 1 ] munido da topologia 15

24 induzida pela topologia usual de IR. Como todo I λ é compacto, sendo X = λ Λ I λ, o Teorema de Tychonoff nos diz que X com a topologia produto é compacto. Baseados na referência [12], exemplo 2, p.131, temos que X não é metrizável. Definição Se X é um espaço topológico onde os conjuntos unitários são fechados, dizemos que X é normal se para cada par A, B de subconjuntos fechados e disjuntos de X, existem abertos disjuntos U, V X tais que A U e B V. Proposição Todo espaço compacto de Hausdorff é normal. Demonstração. Consulte a referência [12], Teorema 2.4, p.198. Teorema 1.3. (Lema de Urysohn) Sejam A e B subconjuntos fechados e disjuntos de um espaço normal X. Se [a, b] é um intervalo real fechado, então existe uma função contínua f : X [ a, b ] tal que f(x) = a para todo x A e f(x) = b para todo x B. Demonstração. Consulte a referência [12], Teorema 3.1, p Análise Funcional Nesta seção, enunciaremos alguns resultados bem conhecidos que usaremos posteriormente. Para não carregar a notação, ao trabalharmos com mais de um espaço normado, usaremos a notação. para todas as normas envolvidas, desde que isto não comprometa a clareza das informações. Antes da próxima proposição lembraremos duas definições. Definição Uma seqüência (x n ) em um espaço normado E é uma seqüência de Cauchy se para cada ɛ > 0 existe k IN tal que x n x m < ɛ sempre que n k e m k. 16

25 Um espaço de Banach é um espaço normado E tal que toda seqüência de Cauchy em E converge para um ponto de E. Seja f uma aplicação de um espaço topológico X em um espaço normado E. Se existe M > 0 tal que f(x) M para todo x X, então dizemos que f é limitada. Proposição Se E e F são espaços normados e f é uma aplicação linear de E em F, então as condições abaixo são equivalentes : i) f é contínua na origem ; ii) f é contínua ; iii) existe um número positivo M tal que f(x) M x, para todo x E. Demonstração. Consulte a referência [5], Proposições 1 e 2, p.36. Se E é um espaço normado sobre IK e f : E IK é linear, então dizemos que f é um funcional linear. Definição Seja f um funcional linear contínuo definido em E. Definimos a norma de f, que denotaremos por f, pela igualdade f = inf {M > 0 : f(x) M x, para todo x E}. A Proposição 1.14 garante a existência deste ínfimo. A seguir, definiremos um espaço vetorial onde, de fato, esta é uma norma, justificando a nomenclatura. Definição Seja E um espaço normado sobre IK e E o conjunto dos funcionais lineares contínuos definidos em E. Considere em E a soma e o produto por escalar definidos ponto a ponto, isto é, para cada par f, g E e cada λ IK, (f + g)(x) = f(x) + g(x) e (λf)(x) = λf(x), para todo x E. Com as operações assim definidas e a norma da definição anterior, afirmamos que E é um espaço de Banach, que chamaremos de dual 17

26 de E. A prova desta afirmação pode ser vista na referência [5], capítulo 1, p. 52. É fácil verificar que f também é igual ao supremo do conjunto { f(x) : x S E }. Quando considerarmos um espaço normado E com a topologia σ(e, E ), diremos apenas que E está munido da topologia fraca, omitindo a família de funcionais que gera esta topologia. Definição Seja (x n ) uma seqüência num espaço de Banach E. Dizemos que a série é absolutamente convergente, se a série de números reais x n converge. x n n=1 n=1 O teorema a seguir caracteriza os espaços de Banach através das séries absolutamente convergentes. Teorema 1.4. Se E é um espaço normado, então E é um espaço de Banach se, e somente se, toda série absolutamente convergente em E converge. Demonstração. Consulte a referência [16], Teorema 4.3, p. 67. Definição Seja E um espaço normado sobre IK e, para cada x em E, seja δ x : E IK definida por δ x (f) = f(x). A topologia fraca definida pela família {δ x } x E em E é chamada de topologia fraca estrela e é denotada por σ(e, E). 1.3 Álgebras de Banach Definição Um espaço vetorial A sobre IK é uma álgebra se nele estiver definida uma operação de A A em A, chamada multiplicação e denotada por justaposição, tal que : i) x (yz) = (xy) z ; 18

27 ii) x (y + z) = xy + xz e (y + z) x = yx + zx ; iii) λ (xy) = (λx) y = x (λy), para x, y, z A e λ IK. Um subespaço vetorial B da álgebra A é uma subálgebra de A se xy B, para todo x, y B. Dizemos que A é uma álgebra comutativa se xy = yx, para todo x, y A, e que A é uma álgebra com unidade se existir um elemento 1 A tal que 1x = x1 = x, para cada x A. Em geral, denotaremos a unidade de uma álgebra, quando ela existir, por 1. Definição Sejam H um subconjunto de uma álgebra A e H 0 o conjunto formado pelos pontos x A para os quais existe um número finito de elementos h 1,..., h n H satisfazendo x = h 1 h 2... h n. Não há dificuldades em provar que o conjunto H A das combinações lineares finitas dos elementos de H 0 é uma subálgebra de A que contém H e que está contida em qualquer álgebra contendo este conjunto. Neste caso, dizemos que H é a álgebra gerada por H. Definição Um espaço normado (A,. ) sobre IK é uma álgebra normada se A for uma álgebra sobre o mesmo corpo de escalares IK e xy x y, para todo x, y A. Se, além disso, (A,. ) for um espaço de Banach, diremos que A é uma álgebra de Banach. Assim como na definição de espaço topológico, omitiremos a norma na notação de álgebra normada desde que isto não gere dúvidas quanto à norma considerada. Definição Sejam A 1 e A 2 álgebras sobre o mesmo corpo IK. Dizemos que uma aplicação ϕ : A 1 A 2 é um homomorfismo, se esta preserva a estrutura algébrica de A 1, ou seja, se ϕ é linear e multiplicativa ( ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), para todo x, y A 1 ). Um isomorfismo é um homomorfismo bijetivo. Se existe um isomorfismo ϕ de uma álgebra A 1 em outra A 2, então a inversa ϕ 1 de A 2 em A 1 é também um isomorfismo, e, neste caso, dizemos que A 1 e A 2 são isomorfas. 19

28 Retornando à definição 1.25, é fácil ver que a unidade de uma álgebra normada A é única. Além disso, se A = {0} e 1 é sua unidade, então, como = 1 2, temos que 1 1. Na referência [8], seção 1.3, como conseqüência do Teorema 1.3.1, temos que é possível definir uma norma. u em A equivalente a original e tal que 1 u = 1. Portanto, em nossas álgebras normadas com unidade, quando não especificarmos com qual norma trabalharemos, a norma da unidade será sempre igual a 1. Resultados obtidos em álgebras normadas com unidade, nem sempre pemanecem válidos nas álgebras sem unidade, e mesmo quando isto ocorre, normalmente as demonstrações tornam-se mais complicadas. Vejamos como imergir isometricamente uma álgebra normada qualquer em outra com unidade : seja A uma álgebra normada sobre IK e considere no produto cartesiano A [ e ] = A IK as operações soma, produto por escalar e produto definidas, respectivamente, da seguinte forma : i) (x, a) + (y, b) = (x + y, a + b) ; ii) b(x, a) = (bx, ba) ; iii) (x, a)(y, b) = (xy + ay + bx, ab), quaisquer que sejam x, y A e a, b IK. As verificações que A[e] com estas operações é uma álgebra sobre IK e que o elemento e = (0, 1) A [e] é a unidade desta álgebra, são imediatas. É claro que com a norma (x, a) = x + a, A[e] torna-se uma álgebra normada e definindo ϕ : A A [e] em cada x A por ϕ(x) = (x, 0), é fácil verificar que ϕ é um isomorfismo isométrico entre A e a subálgebra ϕ(a) de A[e]. Além disso, se A é uma álgebra de Banach, então A[e] também o é. Deste momento em diante, nossas álgebras serão sempre comutativas e com unidade. Vejamos alguns exemplos de álgebras : Exemplo 1.6. O corpo dos números complexos IC com as operações usuais e munido do 20

29 valor absoluto é uma álgebra de Banach sobre IC comutativa e com unidade, assim como o corpo dos reais é uma álgebra de Banach sobre IR comutativa e com unidade. Exemplo 1.7. Sejam X um conjunto e E uma álgebra de Banach sobre IK. Se B(X, E) é o conjunto de todas as aplicações limitadas de X em E, então é fácil verificar que com as operações soma, produto por escalar e produto definidas ponto a ponto, B(X, E) é uma álgebra sobre IK. A álgebra B(X, E) é comutativa uma vez que E é comutativa e se 1 é a unidade de E, a aplicação f 1 1 será a unidade de B(X, E). fácil verificar que a aplicação. : B(X, E) IR f f = sup f(x) x X é uma norma em B(X, E), a norma do supremo, e que com ela, B(X, E) é uma álgebra normada. Provemos que B(X, E) é completo. Seja (f n ) uma seqüência de Cauchy em B(X, E). Neste caso, dado ɛ > 0, existe n 0 IN tal que para todo n, m n o f n (x) f m (x) f n f m < ɛ, para todo x X. temos É Logo, para cada x X, a seqüência (f n (x)) é uma seqüência de Cauchy em E, que é um espaço de Banach. Portanto, (f n (x)) é convergente para cada x X e, assim, está bem definida a aplicação f : X E x limf n (x). n Por (f n ) ser uma seqüência de Cauchy, existe k IN tal que para todo n, m k temos que f n (x) f m (x) < 1, para todo x X. Fazendo m tender a infinito, temos que f k (x) f(x) 1, para todo x X. Com isto, f(x) f k (x) + 1 f k + 1 < +, para todo x X, o que implica f B(X, E). 21

30 Agora, verifiquemos que {f n } converge para f na norma do supremo. Dado ɛ > 0, existe p IN tal que para todo n, m p, f n (x) f m (x) < ɛ/2, para todo x X. Mais uma vez, fazendo m tender a infinito, obtemos, para cada n p fixado, f n (x) f(x) ɛ/2, para todo x X. f n f ɛ/2 < ɛ, para todo n p. Conseqüentemente, sup f n (x) f(x) = x X Em outras palavras, (f n ) converge para f na norma do supremo. Portanto, B(X, E) com a norma do supremo é uma álgebra de Banach sobre IK. Exemplo 1.8. Seja X um espaço topológico. Se E e B(X, E) são como no exemplo anterior, então o subconjunto de B(X, E) formado pelas aplicações contínuas, que denotaremos por B c (X, E), é uma subálgebra fechada de B(X, E). A partir disto, decorrerá imediatamente do fato de B(X, E) ser um espaço completo, que B c (X, E) com a topologia induzida pela topologia de B(X, E) é uma álgebra de Banach. Além disso, de forma análoga ao exemplo anterior, B c (X, E) é comutativa e possui unidade. Provaremos apenas que B c (X, E) é um subconjunto fechado de B(X, E), uma vez que a verificação das outras afirmações acima é simples. Seja (f n ) uma seqüência em B c (X, E) que converge para uma aplicação f em B(X, E). Dados w X e ɛ > 0, existe k IN tal que f n f < ɛ/3, para todo n k. Além disso, como f k é contínua, existe vizinhança W de w tal que f k (W ) B(f k (w), ɛ/3). Logo, para todo x W, f(x) f(w) f(x) f k (x) + f k (x) f k (w) + f k (w) f(w) f f k + f k (x) f k (w) + f k f < ɛ/3 + ɛ/3 + ɛ/3 = ɛ. Com isto, f B c (X, E), donde segue que B c (X, E) é fechado. 22

31 Exemplo 1.9. Sejam X um espaço topológico e C o conjunto das funções constantes de X em IK. É fácil verificar que C com as operações definidas ponto a ponto e com a norma do supremo é uma subálgebra fechada de B c (X, IK) que contém a unidade. Assim, C com a norma do supremo é uma álgebra de Banach sobre IK, comutativa e com unidade. Exemplo Se X é um espaço compacto e E é uma álgebra de Banach sobre IK, então o conjunto C (X, E) das aplicações contínuas de X em E, com as operações definidas ponto a ponto e com a norma do supremo, é uma álgebra de Banach sobre IK, comutativa e com unidade. De fato, pela Proposição 1.12, toda f C (X, E) é limitada e, com isto, estamos num caso particular do exemplo 1.8 onde B c (X, E) = C (X, E). A partir deste ponto, se X e Y são espaços topológicos, denotaremos por C(X, Y ) o conjunto de todas as aplicações contínuas de X em Y. Pelo exemplo 1.10, quando X é compacto e Y é uma álgebra de Banach, C(X, Y ) = B c (X, Y ). Neste caso, a menos que seja dito o contrário, consideraremos C(X, Y ) munido da norma do supremo, e se Y = IK, escreveremos apenas C(X). Entretanto, nas situações válidas somente para Y = IR, ou somente para Y = IC, nossas notações serão C(X, IR) e C(X, IC), respectivamente. Segundo esta notação, se X é compacto, a álgebra de Banach C do exemplo 1.9 é uma subálgebra de C(X). Exemplo Seja U o subconjunto de C( [0, 1], IC ) formado pelas funções f tais que f(x) = f(1 x), para todo x [0, 1]. É fácil ver que U com as operações definidas ponto a ponto e munido da norma do supremo, é uma subálgebra real de C( [0, 1], IC ) que contém a unidade desta álgebra, a função constante e igual a 1. Verifiquemos que com a norma do supremo, U é completa : seja {f n } uma seqüência de Cauchy em U. Pelo 23

32 exemplo 1.10, C ( [0, 1], IC ) é completo e, conseqüentemente, {f n } converge para uma função f C ( [0, 1], IC ). Basta provar que f U para concluir o que queremos. Se x [0, 1], então f(x) = lim n f n (x) = lim n f n (1 x) = lim n f n (1 x) = f(1 x), já que a função que associa cada número complexo ao seu conjugado é contínua. Logo, f U e a partir disto, U com as operações ponto a ponto e com a norma do supremo é uma álgebra de Banach comutativa e com unidade sobre IR. Exemplo Sejam = {z IC : z < 1} munido da topologia herdada de IC e A ( ) o subconjunto de C(, IC ) formado pelas funções que são analíticas em. Como é um espaço compacto, pelo exemplo 1.10, C(, IC ) com as operações definidas ponto a ponto e munido da norma do supremo, é uma álgebra de Banach sobre IC, comutativa e com unidade. Vejamos que com as operações e a norma herdadas de C(, IC ), A ( ) é também uma álgebra de Banach comutativa e com unidade sobre IC. Pelo fato da soma, do produto por escalar e do produto de funções analíticas serem funções analíticas, temos que A ( ) é, de fato, uma álgebra normada e comutativa sobre IC. Além disso, como a função constante e igual a 1 está em A ( ), esta álgebra possui unidade. Para concluir que A ( ) é um conjunto completo, basta verificar, como no exemplo 1.8, que A ( ) é uma subálgebra fechada de C(, IC ), uma vez que esta última é completa. Mas isto não nos exigirá trabalho algum, pois sabemos que toda função complexa definida num subconjunto aberto de IC que é limite uniforme de uma seqüência de funções analíticas definidas no mesmo aberto, é analítica. Isto conclui o exemplo. 24

33 Exemplo Sejam A ( ) como no exemplo 1.12, F r munido da topologia herdada de IC e H o subconjunto de C(F r, IC) formado pelas funções f para as quais existe f A ( ) tal que f (0) = f (1) e f (z) = f(z), para todo z F r. Não há dificuldades em verificar que H com a norma do supremo é uma álgebra normada sobre IC, comutativa e com unidade. Para provar que H é uma álgebra de Banach, seja (f n ) uma seqüência de Cauchy nesta álgebra e, para cada n IN, seja f n uma função em A( ) cuja restrição a F r coincide com f n e tal que f n (0) = f n (1). Como para todo par n, m IN, a restrição de f n f m a F r coincide com f n f m, pelo Teorema do Módulo Máximo, fn f m = f n f m. Logo, ( f n ) é uma seqüência de Cauchy em A( ), que pelo exemplo 1.12, é uma álgebra de Banach. Conseqüentemente, ( f n ) converge para uma função f A( ) na norma do supremo. Em particular, dado ɛ > 0, existe k IN tal que f n (z) f (z) < ɛ, para todo z F r, sempre que n k. Além disso, do fato de f n (0) = f n (1) para cada natural n, segue que f (0) = lim (0) = lim (1) = f (1). Com isto, temos que a n fn n fn restrição de f a F r pertence a H e é o limite da seqüência ( f n ) na norma do supremo, provando que H é uma álgebra de Banach. No próximo exemplo e sempre que julgarmos conveniente, faremos uma identificação entre cada número complexo z = x + yi com o par (x, y) IR 2. Quando esta identificação for feita, consideraremos IR 2 munido da norma euclideana. A partir deste ponto, para simplificar a notação, dados A IR 2, k IN e uma função f : A IR 2, denotaremos por f x e f y, respectivamente, as derivadas parciais de f com relação à primeira e à segunda variáveis. Além disso, usaremos a notação da norma do supremo para aplicações definidas em conjuntos distintos. Em todos os casos, esta notação denotará o supremo do conjunto formado pelos módulos (ou pelas normas) dos valores assumidos pela aplicação em questão, ao percorrermos o domínio da mesma. Para o próximo exemplo, precisaremos do seguinte teorema : 25

34 Teorema 1.5. Seja (h n ) uma seqüência de funções diferenciáveis definidas num intervalo fechado [a, b ] IR e tomando valores em IR. Se existe x 0 [a, b ] tal que (h n (x 0 )) converge e se (h n) converge uniformemente em [a, b], então (h n ) converge uniformemente em [ a, b ] para uma função diferenciável h : [ a, b ] IR e todo t [a, b]. Demonstração. Consulte a referência [14], Teor. 7.17, p lim n h n(t) = h (t), para Exemplo Sejam como no exemplo 1.12 e C 1 ( ) o conjunto das funções de { C(, IC ) que quando vistas como funções de (x, y) IR 2 : } x 2 + y 2 1 em IR 2, possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas e limitadas no interior de seu domínio. Provaremos que com as operações definidas ponto a ponto e munido da norma f = f x + f y + f, C 1 ( ) é uma álgebra de Banach sobre IC, comutativa e com unidade. Pela observação feita antes deste exemplo, os supremos f x e f y são tomados nos conjuntos onde as funções f x e f y estão definidas, ou seja, em { (x, y) IR 2 : } x 2 + y 2 < 1 ( ou, equivalentemente, em ). Inicialmente, precisaríamos verificar que a soma, o produto por escalar e o produto de elementos de C 1 ( ) pertencem a C 1 ( ), mas a soma e o produto por escalar claramente satisfazem esta propriedade e, portanto, verificaremos apenas o produto. Sejam f, g C 1 ( ), tais que f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) e g(x, y) = (g 1 (x, y), g 2 (x, y)), { onde (x, y) (x, y) IR 2 : } x 2 + y 2 1. Como fg = (f 1 g 1 f 2 g 2, f 1 g 2 + f 2 g 1 ) e cada uma das funções coordenadas de f e g possui derivadas parciais de primeira ordem { contínuas e limitadas em (x, y) IR 2 : } x 2 + y 2 < 1, f g também terá. Aliando isto ao fato de, pelo exemplo 1.10, fg C(, IC), concluímos que C 1 ( ) é fechado para o produto. Conseqüentemente, C 1 ( ) é uma álgebra sobre IC. Além disso, pela definição do produto, C 1 ( ) é comutativa e possui unidade, a função constante e igual a 1. Em analogia ao exemplo 1.7, é fácil verificar que a norma acima definida é de fato uma 26

35 norma em C 1 ( ). Agora, veremos que com esta norma, C 1 ( ) é uma álgebra de Banach. Seja (f n ) uma seqüência de Cauchy em C 1 ( ). Se denotarmos por f n a restrição de cada f n ao conjunto, teremos que fn f n, ( f n ) x = (f n ) x e que ( f n ) y = (f n ) y para todo n IN, já que as derivadas parciais destas funções estão definidas apenas em. Como (f n ) é uma seqüência de Cauchy, para cada ɛ > 0, existe n 0 IN tal que (f n ) x (f m ) x + (f n ) y (f m ) y + f n f m = f n f m < ɛ, para n, m n 0. Logo, f n f m < ɛ, fn f m < ɛ, ( f n ) x ( f m ) x < ɛ e ( f n ) y ( f m ) y < ɛ, sempre que n, m n 0. Pelo exemplo 1.8, existem funções f C(, IC) e f, α, β B c (, IC) tais que as seqüências (f n ), ( f n ), (( f n ) x ) e (( f n ) y ) convergem na norma do supremo, respectivamente, para f, f, α e β. É fácil ver que a restrição de f a é a função f, uma vez que fixando x, fn (x) = f n (x) para todo n IN, e portanto, as seqüências ( f n (x)) e (f n (x)) convergem para o mesmo limite, o que implica f (x) = f(x). Com o objetivo de provar que f possui derivadas parciais em, que f x = α e que f y = β, fixemos z 0 = (x 0, y 0 ). Decorre do fato de ser aberto, a existência de r > 0 tal que B(z 0, r). Com isto, se I x0 é o intervalo real fechado [x 0 r/2, x 0 +r/2], então I x0 {y 0 }. Para cada n IN, sejam ϕ n, ψ n : I x0 IR tais que f n (t, y 0 ) = (ϕ n (t), ψ n (t)), para t I x0. Como ( f n ) x existe em todos os pontos de I x0 {y 0 }, temos que ϕ n e ψ n são diferenciáveis em I x0 e que ( f n ) x (t, y 0 ) = (ϕ n (t), ψ n (t) ). Lembrando que ( f n ) x converge para α na norma do supremo, fixado ɛ > 0, existe m 0 IN tal que sup ( f n ) x (t, y 0 ) α(t, y 0 ) ( f n ) x α < ɛ, t I x0 sempre que n m 0. Neste caso, se α = (α 1, α 2 ), então 27

36 e sup ϕ n (t) α 1 (t, y 0 ) sup ( f n ) x (t, y 0 ) α(t, y 0 ) < ɛ t I x0 t I x0 sup ψ n (t) α 2 (t, y 0 ) sup ( f n ) x (t, y 0 ) α(t, y 0 ) < ɛ, t I x0 t I x0 para todo n m 0. Conseqüentemente, (ϕ n ) e (ψ n ) convergem uniformemente para as restrições de α 1 e α 2 ao conjunto I x0 {y 0 }, que denotaremos por α 1 e α 2. Por y 0 estar fixado, podemos considerar α 1 e α 2 definidas em I x0. Pelo Teorema 1.5, (ϕ n ) e (ψ n ) convergem uniformemente em I x0, respectivamente, para funções diferenciáveis ϕ, ψ : I x0 IR. Além disso, Como para cada t I x0 lim ϕ n (t) = ϕ (t) e n lim ψ n (t) = ψ (t), para todo t I x0. n f (t, y 0 ) = lim f n (t, y 0 ) = lim (ϕ n(t), ψ n (t) ) = (ϕ(t), ψ(t)), n n f possui derivada parcial com relação à primeira variável em todos os pontos t do interior de I x0 e nestes pontos, f x (t, y 0 ) = ( f ) x (t, y 0 ) = (ϕ (t), ψ (t)) = ( α 1 (t), α 2 (t)) = (α 1 (t, y 0 ), α 2 (t, y 0 )) = α(t, y 0 ). Em particular, a derivada parcial de f com relação à primeira variável existe no ponto z 0 e f x (z 0 ) = f x (x 0, y 0 ) = α(x 0, y 0 ) = α(z 0 ). A demonstração de que a derivada parcial de f com relação à segunda variável existe no ponto z 0 e que f y (z 0 ) = f y (x 0, y 0 ) = β(x 0, y 0 ) = β(z 0 ) é completamente análoga. A arbitrariedade de z 0 nos permite concluir que f possui derivadas parciais em todos os pontos de e que f x α, assim como f y β. Lembrando que α e β são funções contínuas e limitadas em, temos que f C 1 ( ). Finalmente, vejamos que (f n ) converge para f, na norma definida em C 1 ( ) : dado η > 0, existem n 1, n 2, n 3 IN tais que f n f < η /3, ( f m ) x α < η /3 e ( f k ) y β < η /3, sempre que, 28