TÓPICO 2 APROXIMAÇÕES DA IDENTIDADE

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Valdomiro Nobre Nunes
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1 TÓPICO 2 APROXIMAÇÕES DA IDENTIDADE EMANUEL CARNEIRO 1. O operador de convolução Sejam f e g funções mensuráveis em. A convolução de f e g é a função f g definida por f g(x) = f(y) g(x y) dy. De modo geral, se f e g são funções mensuráveis não-negativas, temos f g mensurável (podendo naturalmente tomar o valor + ). Se quisermos garantir a finitude de f g, pelo menos q.t.p, deveremos ter algum decaimento em f e/ou g como veremos a seguir. Diretamente da definição podemos inferir as seguintes propriedades básicas: Proposição 1. Assumindo que as integrais em questão existam, temos: (i) O operador de convolução é bilinear e simétrico. (ii) (f g) h = f (g h). (iii) Para w temos τ w (f g) = (τ w f) g = f (τ w g), onde τ w f := f( w). (iv) Se A é o fecho do conjunto {x + y; x supp f, y supp g}, então supp(f g) A. Prova. Exercício. Talvez o fato mais interessante deste operador seja o seu caráter regularizante, e.g. se f C k c ( ) e g L 1 loc (Rn ), então f g C k ( ) e satisfaz α (f g) = ( α f) g, para todo multi-índice α com α k. Nesse caso a convolução de duas funções tem pelo menos a regularidade da função mais regular. Proposição 2. Sejam 1 p, q tais que 1/p + 1/q = 1. Se f L p ( ) e g L q ( ), então f g existe para todo x, f g é limitada e uniformemente contínua. Caso 1 < p, q <, temos f g C ( ) (funções que vão para zero no infinito). Prova. A existência de f g e sua limitação seguem diretamente da desigualdade de Hölder. A continuidade uniforme segue do fato que, se 1 p <, temos (τ y (f g) (f g) L = ((τ y f f) g) L (τ y f f) L p g L q. Caso p =, inverta os papéis de p e q acima. Finalmente, se 1 < p, q <, podemos escolher sequências {f n } e {g n } de funções com suporte compacto tais Date: 24 de março de Mathematics Subject Classification. XX-XXX. Key words and phrases. XXX-XXX. 1

Diretamente da definição podemos inferir as seguintes propriedades básicas: Proposição 1. Assumindo que as integrais em questão existam, temos: (i) O operador de convolução é bilinear e simétrico.

2 2 EMANUEL CARNEIRO que f n f L p e g n g L q. Nesse caso temos f n g n C c ( ), e a estimativa f n g n f g L f n f L p g n L q + f L p g n g L q implica que f g C ( ). Finalizando esta breve introdução aos operadores de convolução, apresentamos a desigualdade de Young, batizada em homenagem ao matemático inglês William Henry Young ( ). A forma ótima desta desigualdade funcional foi descoberta por W. Beckner em [1]. Teorema 3 (Desigualdade de Young). Sejam 1 p, q, r tais que 1 + 1/r = 1/p + 1/q. Se f L p ( ) e g L q ( ), então f g existe q.t.p. e vale f g L r ( ) f L p ( ) g L q ( ). Prova. O caso (p, q, r) = (1, 1, 1) é consequência direta do Teorema de Fubini f g 1 = f g(x) dx f(x y) g(y) dy dx = f 1 g 1. Os casos (p, q, r) = (, 1, ) ou (1,, ) são claros. Podemos então utilizar a intepolação de Riesz-Thorin (a ser provada em um tópico adiante) para concluir o resultado. Alternativamente, daremos uma prova direta da desigualdade de Young. Como f g f g, podemos assumir sem perda de generalidade que f e g são nãonegativas. O caso (p, p, ) segue diretamente da desigualdade de Hölder. Para o caso (r, 1, r), usamos a desigualdade de Minkowski para integrais [2, 6.19] ( ( ) r 1/r f g r = f(x y) g(y) dy dx) ( ) 1/r f(x y) r dx g(y) dy = f r g 1. Nos demais casos, com 1 < p, q, r < escrevemos [ f g(x) = f(y) p/r g(x y) q/r ] f(y) p(1/p 1/r) g(x y) q(1/q 1/r) dy e aplicamos a desigualdade de Hölder para estas três funções, com expoentes r, p 1 e q 1, onde 1/p 1 = 1/p 1/r e 1/q 1 = 1/q 1/r. Daí ( ) 1/r f g(x) f(y) p g(x y) q dy f p/p1 p g q/q1 q, e portanto f g r f p/p1 p g q/q1 q ( f(y) p g(x y) q dy dx = f p p/p1+p/r g q q/q1+q/r = f p g q. ) 1/r

A forma ótima desta desigualdade funcional foi descoberta por W. Beckner em [1]. Teorema 3 (Desigualdade de Young). Sejam 1 p, q, r tais que 1 + 1/r = 1/p + 1/q.

3 APROXIMAÇÕES DA IDENTIDADE 3 2. Aproximações da identidade Seja Φ uma função em e ε >. Escrevemos Φ ε (x) := 1 ( x ) ε n Φ. ε Observe que se Φ L 1 ( ) temos Φ ε (x) dx = Φ(x) dx, para cada ε >. Quando ε, a massa de Φ ε torna-se mais concentrada na origem, de modo que, heuristicamente, Φ ε está convergindo para um múltiplo do delta de Dirac. Esse é essencialmente o contexto dos próximos dois resultados. Teorema 4 (Aproximações da identidade - convergência L p ). Seja Φ L 1 ( ) com Φ(x) dx = A. Então valem as seguintes propriedades: (i) Se f L p ( ) (1 p < ) então f Φ ε Af na norma L p, quando ε. (ii) Se f é limitada e uniformemente contínua, então f Φ ε Af uniformemente quando ε. (iii) Se f L ( ) e f é contínua em um aberto U, então f Φ ε Af uniformemente em subconjuntos compactos de U, quando ε. Prova. Fazendo y = εw, temos f Φ ε (x) Af(x) = {f(x y) f(x)} Φ ε (y) dy R n = {f(x εw) f(x)} Φ(w) dw = {τ εw f(x) f(x)} Φ(w) dw. Aplicando a desigualdade de Minkowski obtemos f Φ ε Af p τ εw f f p Φ(w) dw. (2.1) Note agora que τ εw f f p 2 f p e τ εw f f p quando ε para cada w. A parte (i) então segue do Teorema da Convergência Dominada. Passemos agora à parte (ii). Dado η >, como Φ L 1 ( ), existe um compacto E tal que Φ < η. Como f é uniformemente contínua, existe ε E c tal que se ε < ε então τ εw f(x) f(x) < η, para todo w E e todo x. Portanto, por (2.1) temos f Φε (x) Af(x) τ εw f(x) f(x) Φ(w) dw R n = τ εw f(x) f(x) Φ(w) dw + τ εw f(x) f(x) Φ(w) dw E E c η Φ 1 + 2η f, para ε < ε, uniformemente em x. (2.2) A parte (iii) é similar à parte (ii). Dado η >, mantenha a escolha do compacto E tal que E c Φ < η. Seja K um subconjunto compacto de U. Escolha um aberto V e um compacto K 1 tais que K V K 1 U. Para ε suficientemente

Esse é essencialmente o contexto dos próximos dois resultados. Teorema 4 (Aproximações da identidade - convergência L p ). Seja Φ L 1 ( ) com Φ(x) dx = A.

4 4 EMANUEL CARNEIRO pequeno temos x εw V para x K e w E. Como f é contínua em U, f é uniformemente contínua em K 1 e portanto sup f(x εw) f(x) < η x K,w E para ε < ε. A estimativa (2.2) agora vale uniformemente em x K. O próximo resultado nos dá um condição suficiente para garantir a convergência pontual das aproximações para a função original. De modo geral, esse resultado aparece na literatura com algumas pequenas variações. Apresentamos aqui a versão mais geral [7, Cap. 1, Teorema 1.25]. Teorema 5 (Aproximações da identidade - convergência pontual). Seja Φ L 1 ( ) com Φ(x) dx = A. Assuma que Φ possui um majorante radial não-crescente ψ L 1 ( ). Se f L p ( ) com 1 p, temos lim f Φ ε(x) = A f(x) ε para todo x no conjunto de Lebesgue de f (em particular para quase todo ponto). Prova. Fixe um ponto x no conjunto de Lebesgue de f e escolha δ >. Podemos então encontrar η > tal que r n f(x y) f(x) dy δ, (2.3) y <r quando r η. Para todo ε > temos f Φ ε (x) Af(x) = {f(x y) f(x)} Φ ε (y) dy {f(x y) f(x)} Φ ε (y) dy + {f(x y) f(x)} Φ ε (y) dy y <η := I 1 + I 2. y η Estimativa para I 1. Com um pequeno abuso de notação, escreveremos ψ(r) = ψ(x) se x = r. Note que ψ(x) dx ψ(r) dx = c ψ(r)r n. r/2 x r r/2 x r Desta forma, a hipótese de que ψ L 1 ( ) implica que ψ(r)r n quando r ou r. Em particular existe uma constante B tal que ψ(r)r n B para < r <. Escreva g(r) = f(x rw) f(x) dσ(w), onde dσ denota a ω S n 1 medida de superfície na esfera S n 1 (note que g(r) está bem definida para quase todo r [, ), veja por exemplo [8, Cap. 6, Teorema 3.4]). A condição (2.3) é equivalente a G(r) = r s n 1 g(s) ds δr n, (2.4) dado que r η. Usando (2.4) e integração por partes, uma vez que G é absolutamente contínua (com G (r) = g(r)r n 1 q.t.p.) e ψ tem variação limitada em qualquer intervalo [η, η], temos η I 1 f(x y) f(x) ε n ψ(y/ε) dy = r n 1 g(r) ε n ψ(r/ε) dr y <η

De modo geral, esse resultado aparece na literatura com algumas pequenas variações. Apresentamos aqui a versão mais geral [7, Cap. 1, Teorema 1.25].

5 η APROXIMAÇÕES DA IDENTIDADE 5 = lim r n 1 g(r) ε n ψ(r/ε) dr η η { = lim G(r) ε n ψ(r/ε) η } η η η G(r) ε n dψ(r/ε) η { } lim δb + η { lim η δb + δ ( δ B + Porém note que η/ε η /ε η/ε η /ε G(εs) ε n d( ψ(s)) s n d( ψ(s)) ) s n d( ψ(s)). s n d( ψ(s)) = n } s n 1 ψ(s) ds = (n/ω n 1 ) ψ 1, onde ω n 1 denota a superfície da esfera S n 1. Concluímos portanto que I 1 δ (B + (n/ω n 1 ) ψ 1 ). (2.5) Estimativa para I 2. Escreva ψ ε (x) = ε n ψ(x/ε) e denote a função característica do conjunto {x ; x η} por χ η. Se 1/p + 1/p = 1, temos Como I 2 f p χ η ψ ε p + f(x) χ η ψ ε 1. (2.6) χ η ψ ε 1 = x η ψ ε (x) dx = x η/ε ψ(x) dx, a segunda parcela em (2.6) tende a zero quando ε. Mostremos que o mesmo ocorre com a primeira parcela. De fato, observe que podemos interpolar da seguinte maneira ( ) 1/p ( ) 1/p χ η ψ ε p = ψ ε (x) p dx x η χ η ψ ε 1/p χ η ψ ε 1/p 1 = ψ ε (x) ψ ε (x) p /p dx x η Como já observamos, χ η ψ ε = sup x η ψ ε (x) = η n (η/ε) n ψ(η/ε) quando ε. Portanto I 2 quando ε. Como δ > em (2.5) é arbitrário, a prova está completa. Referências [1] W. Beckner, Inequalities in Fourier Analysis, Ann. Math. 12 (1975), [2] G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley and Sons Inc., [3] L. Grafakos, Classical and Modern Fourier Analysis, Pearson Education Inc., 24. [4] E. H. Lieb and M. Loss, Analysis, Graduate Studies in Mathematics, Volume 14, 2nd edition, American Mathematical Society, 21. [5] E. M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton University Press, 197. [6] E. M. Stein, Harmonic Analysis, Princeton University Press, 1993.

5) Estimativa para I 2. Escreva ψ ε (x) = ε n ψ(x/ε) e denote a função característica do conjunto {x ; x η} por χ η. Se 1/p + 1/p = 1, temos Como I 2 f p χ η ψ ε p + f(x) χ η ψ ε 1. (2.

6 6 EMANUEL CARNEIRO [7] E. M. Stein and G. Weiss Introduction to Fourier Analysis on Euclidean spaces, Princeton University Press, [8] E. M. Stein and R. Shakarchi, Real Analysis: Measure theory, Integration and Hilbert Spaces, Princeton Lecture Series in Analysis III, Princeton University Press, 25. [9] R. L. Wheeden and A. Zygmund, Measure and Integral, Monographs and textbooks in pure and applied mathematics, Marcel Dekker, Inc., New York, [1] A. Zygmund, Trigonometric Series, Vol II, Cambridge University Press, IMPA - Estrada Dona Castorina, 11, Rio de Janeiro, RJ, Brazil address: carneiro@impa.br

Zygmund, Measure and Integral, Monographs and textbooks in pure and applied mathematics, Marcel Dekker, Inc., New York, 1977. [1] A.

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