COQ-86 Méodos Nuércos para Ssas Dsrbuídos Explos Ilusravos d EDO co Problas d Valors o Cooro -) Modlo sacoáro do raor co dsprsão soérco Coo o obvo ds sudo d caso é lusrar o ovo procdo avalar o su dspo cosdraros u xplo qu aprsa solução aalíca Ass o odlo é cosuído por ua quação drcal ordára d sguda ord qu dscrv a varação co da cocração do rag: dy( ) d y( ) Da y() dda o doío: << sua às codçõs d d d cooro: dy( ) CC: a rada do raor: =: y ( ) d dy( ) CC: a saída do raor: = : d Os valors caracríscos do probla são as raís d: Da = Da 4 P Da Da Da 4 c Ass: y c c sdo: c Da : y quado Para rsolvr urca as quaçõs drcas dss xplo d-s as dy( ) sgus varávs d sado: y u y d rsulado : dy( ) dy( ) y u y u d d du( ) du( ) Da y Da y d d CC: a rada do raor: =: u() CC: a saída do raor: = : y() u() Rsolução por aproxação poloal global+ éodo dos oos Cosdrado a aproxação poloal d grau d y: () y( ) y ( ) l y Sasado as codçõs d cooro orgas: CC: = A y y CC: = A y A subsução da aproxação y xprssão do rsíduo: () a quação drcal orgal dá org à
COQ-86 Méodos Nuércos para Ssas Dsrbuídos B () l A y Da y qu é abé ua ução poloal d grau + d Aplcado o éodo dos oos copuado as gras corrspods por quadraura d Lobao obé-s: B x A y Da y para Dado org ao ssa algébrco lar d dsão +: A y y B x A y Da y para A y Quado a úla la da ar caracrísca do ssa algébrco aca é ula orado ass a ar sgular o ssa ão aprsa solução Rsolução por aproxação poloal global aplcada às varávs d sado+ éodo dos oos Cosdrado a aproxação poloal d grau d u: () u( ) u ( ) l u co u Subsudo ssa aproxação a quação: Essa úla quação aprsa a solução aalíca: qu os valors d A dy ( ) y () u d y ( ) a l v v são calculados aravés da rsolução do ssa algébrco lar: v v u para Alé dsso coo: y u a u a u : () () v v rsulado ( ) y u v l v Quado obê-s v u para cosquêca: y ( ) u ( ) l y y u As subsuçõs das xprssõs d org a xprssão do rsíduo: u () y () du() d Da y dão
COQ-86 Méodos Nuércos para Ssas Dsrbuídos v v ( ) l A u Da Da u Cosdrado o oo d ord do rsíduo: copuado por quadraura d Gauss-Lobao a ora: () d qu pod sr ( ) Aulado os prros oos obé-s o ssa algébrco: A v v u para A u Da v Da u v I para E qu: u I I d I d I Qu é u ssa algébrco lar d dsão 3 cuas cógas são: v para u para Quado obé-s: ( ) A u Da v rsulado o ssa algébrco lar: v u para co u A u Da v para Qu é u ssa algébrco lar d dsão 3 ão sgular! -) Explo uérco Da 5 Co 4 a aproxação dos prs d cocração é basa boa rao a gral do rro quadráco do éodo dos oos covcoal é gual a 54 7 o do éodo dos oos aplcado às aproxaçõs poloas das varávs d sado é gual a 8 7 Oura vaag dss úlo éodo é a aulação dos rsíduos cco poos o lugar dos quaro poos do prro éodo as rsíduos são aprsados a gura a sgur 6 -) Explo uérco Da Co a aproxação dos prs d cocração é basa boa rao a gral do rro quadráco do éodo dos 3
COQ-86 Méodos Nuércos para Ssas Dsrbuídos oos covcoal é gual a 996 8 o do éodo dos oos aplcado às aproxaçõs poloas das varávs d sado é gual a868 8 Oura vaag dss úlo éodo é a aulação dos rsíduos o poos o lugar dos d poos do prro éodo as rsíduos são aprsados a gura a sgur O ao d o úlo procdo aular o rsíduo + poos pod sr xplcado plo ao das gras () d sr ulas para o côpuo dssas gras por quadraura d Lobao quval a aproxar o rsíduo () por u polôo d grau coo o polôo d Lgdr d aprsa a proprdad: () srá ulo as P P ( ) d para o rsíduo raís d Sdo ass o éodo pod sr cosdrado coo quas quval ao éodo d colocação adoado coo poos d colocação as + raís do polôo d Lgdr d grau + Dado org ass às quaçõs algébrcas: A v v u para ˆ ( ˆ ) l ˆ A u Da v Da u v = para E qu: u ˆ ˆ ˆ são as + raís do polôo d Lgdr d grau + Nas guras abaxo os dos éodos d calcular os oos ulos dos dos xplos uércos arors são coroados Os poos as guras são as + raís do polôo d Lgdr d grau + -) Modlo ras da parda d u raor ubular co dsprsão soérco Ns caso o odlo é cosuído por ua quação drcal parcal d sguda ord qu dscrv a varação co da cocração do rag: 4
COQ-86 Méodos Nuércos para Ssas Dsrbuídos y( ) y( ) y( ) Da y( ) dda o doío: << > Sua às codçõs: y( ) CC: a rada do raor: =: y( ) y( ) CC: a saída do raor: = : E à codção cal: y( ) y( ) Co a dção da varávl: u( ) y( ) rscrv-s as quaçõs do probla a ora: y( ) y( ) u( ) y( ) u( ) Da y( ) Suas às codçõs: CC: a rada do raor: =: u( ) CC: a saída do raor: = : u( ) y( ) E à codção cal: y ( ) u( ) Rsolução por aproxação poloal global+ éodo dos oos Cosdrado a aproxação poloal d grau d y( ) : y( ) y ( ) l y Sasado as codçõs d cooro orgas: CC: = A y y CC: = A y Obê-s da sa ora qu a do probla sacoáro as quaçõs drcas ordáras: d d para sdo: Da D y D C E qu: y para Para calcular os valors d y lar: rsolv-s o ssa algébrco 5
COQ-86 Méodos Nuércos para Ssas Dsrbuídos A y y y = para A y Rsolução por aproxação poloal global aplcada às varávs d sado+ éodo dos oos Cosdrado a aproxação poloal d grau d u( ) : co u( ) u ( ) l u u y ( ) Subsudo ssa aproxação a quação: y ( ) u ( ) Essa úla quação aprsa a solução aalíca: v qu os valors d y ( ) a l aravés da rsolução do ssa algébrco lar: A v v u para v são calculados Alé dsso coo: u ( ) y ( ) a u a u v v rsulado : y ( ) u v l v As subsuçõs das xprssõs d u ( ) y ( ) y( ) u( ) Da y( ) dão org à xprssão do rsíduo cada u dos poos d rpolação: dy () A u Da y ( ) d qu: y ( ) u v v Cosdrado o oo d ord do rsíduo: ( ) qu d pod sr copuado por quadraura d Gauss-Lobao a ora: ( ) gualado a ro os + prros oos ddo as varávs: 6
COQ-86 Méodos Nuércos para Ssas Dsrbuídos v v y ( ) d= u I + para qu: I I d I d I Rsula: d d para para sdo Da B u B A A ssas quaçõs drcas ordáras assoca-s as quaçõs algébrcas: A v v u para co u u v I + v = para Qu é u ssa algébrco lar! Aulado os rsíduos as + raís do polôo d Lgdr d grau + rsula : d d para sdo ˆ Da B u B l A A ssas quaçõs drcas ordáras assoca-s as quaçõs algébrcas: A v v u para co u ˆ u v l ˆ v = para E qu ˆ ˆ ˆ são as + raís do polôo d Lgdr d grau + Rsolução por aproxação parabólca los os aplcada às varávs d sado+ éodo dos oos ( ) u p a p ( ) ( ) Co: u u para () ( ) () y u p u p ( ) y ( ) u p a p E qu = Rsolvdo aalca ssa quação rsula: 7
COQ-86 Méodos Nuércos para Ssas Dsrbuídos ( ) y b p a p 3 y ( ) b p a p ( ) y b p a p 3 ( ) y b p a p y ( ) b p a p 6 3 6 ( ) q y d b p a p 3 6 3 3 6 Para qu: y ( ) y ( ) dv-s r: 3 b p a p 3 b p a p Rarraado a xprssão: p 3 p p b b a a para Tdo sdo oda as xprssõs aca a dpdêca co a varávl dpd Alé dsso: 3 y ( ) b p a p u ( ) p 3 p p b a Rsulado o ssa r-dagoal: 8
COQ-86 Méodos Nuércos para Ssas Dsrbuídos p p 3 p p b b a a para 3 p p b a Tdo vsa: () u p a p obrgado aos dos prros oos da quação: sr ulos rsula: dy Da y p p d dq p a p d 3 Sdo: Da q y ( ) u ( ) Da y ( ) para y ( ) b p a p 6 3 6 q b p a p 3 6 3 3 6 Ou sa: 3 a y () 6 6 p q b p 3 6 3 6 3 rdo xprssar: a v u () s r y q p p b v u s r Ass: b b a a y y q q p p p 3 4 3 9
COQ-86 Méodos Nuércos para Ssas Dsrbuídos b a y q ˆ p ˆ p 4 3 Mado a aura rdagoal do ssa orgal a ora: p a p b p c p y y 3 q 4 q para a p ˆ b p y 4 q Rsulado u ssa algébrco-drcal o qual a par algébrca é lar aprsa ua sruura rdagoal! No caso sacoáro -s: 3 a 6 Da 6 Da p b p 4 3 6 3Da 3 6 3Da 3 3Da rdo xprssar: a s r p p b s r Ass: b b a a p p p E b a p p 3 Mado a aura rdagoal do ssa orgal a ora: p a p b p c p para a p ˆ b p É pora rssalar qu a dração das varávs: 3 a b p ao o caso ras coo o sacoáro é obda aravés d u ssa lar rdagoal so s o probla orgal or ão lar 3-) Modlo sacoáro do raor co dsprsão axal adabáco d dy( ) y( ) Da y xp d d d ( ) dy( ) ( ) y( ) y d d Ddas o doío: < < suas às codçõs d cooro:
COQ-86 Méodos Nuércos para Ssas Dsrbuídos dy( ) CC: a rada do raor: =: y() y d dy( ) CC: a saída do raor: = : d CC3: balaço global d rga: () y y() Rsolução por aproxação poloal global+ éodo dos oos dy( ) d y( ) Da y xp d d d ( ) dy( ) ( ) y y( ) d d Ddas o doío: < < suas às codçõs d cooro: dy( ) CC: a rada do raor: =: y() y d dy( ) CC: a saída do raor: = : d CC3: balaço global d rga: () y y() Cosdrado a aproxação poloal d grau d y: () y( ) y ( ) l y qu s cosdra por splcdad: y ( ) y A rodução dssa aproxação o balaço d rga pr calcular a solução aalíca da quação d acordo co: ( ) A y l p qu os valors d p são drados aravés da rsolução do ssa algébrco lar: p A p A y y para A cosa A é drada plo balaço global d rga ass: () A y p y y A p y p p Rsulado : ( ) y l y O rsíduo do balaço d assa cada poo d rpolação é dado por: B A y Da y xp C y Da y xp Sdo: dl d l B A B C A d d
COQ-86 Méodos Nuércos para Ssas Dsrbuídos A aplcação do éodo dos oos copuado as gras por quadraura d Gaus-Lobao dá org ao ssa algébrco: y A y y C y para A y Sdo : Da y xp y p p y p A p A y y para Rsolução por aproxação poloal global aplcada às varávs d sado+ éodo dos oos dy( ) d ( ) Usado as varávs d sado: u y( ) v ( ) d d -s: du( ) Da y xp d assocadas a: v( ) u y CC: =: u() y u( ) y( ) y y D ara sla aos xplos arors propõ-s: u( ) u ( ) l u co u y CC3: v ( ) v ( ) y l u l v sdo v y u dy( ) d ( ) u y( ) ( ) obê-s: d d E vsa d v y y ( ) u l y v ( ) l E qu:
COQ-86 Méodos Nuércos para Ssas Dsrbuídos A A u para co u y = y y v v As subsuçõs das xprssõs d u () y () do balaço d assa dão org a xprssão do rsíduo: y () l A u E qu: v () () a quação Da u y l y xp v l Cosdrado o oo d ord dos rsíduos: sr copuados por quadraura d Gauss-Lobao a ora: ( ) () d qu pod Aulado os prros oos obé-s o ssa algébrco: A y y u para co u y A v para co v B u C para Sdo : Da u xp y y v C B C A D ora quas quval aulado-s os rsíduos as + raís do polôo d Lgdr d grau + rsula : 3
COQ-86 Méodos Nuércos para Ssas Dsrbuídos y A y u para co u y A u para co u y B u C para C l ˆ B C A Sdo s caso 4-) Modlo ras do raor co dsprsão axal adabáco y( ) y( ) y( ) Da y( ) xp ( ) ( ) ( ) Da y( ) xp Ddas o doío: < < > Suas às codçõs: Codçõs cas: y( ) ( ) y( ) y( ) y CC: a rada do raor: =: ( ) ( ) y( ) CC: a saída do raor: = : ( ) y( ) ( ) Adoado: u y( ) v ( ) rsula: y( ) u( ) Da y( ) xp ( ) v( ) Da y( ) xp Codçõs cas: y u u( ) y u y CC: =: ( ) ( ) ( ) v v CC: = : v Cosdrado as aproxaçõs poloas: u( ) u ( ) l u co u y 4
COQ-86 Méodos Nuércos para Ssas Dsrbuídos v( ) v ( ) l v co v Rsula : ( ) y u y l y ( ) v l As subsuçõs das xprssõs d y ( ) ( ) as quaçõs drcas dão org aos rsíduos: dy () y A u Da y ( ) xp d d () A Da y ( ) xp d v E qu: ( ) ( ) y u y y v Aulado os prros oos obé-s o ssa: d A u d para d A d v sdo Da y ( ) xp Co: y d d d A ssas quaçõs drcas ordáras assoca-s as quaçõs algébrcas: A y y u para co u y A v para co v u y I y = para v I = para 5
COQ-86 Méodos Nuércos para Ssas Dsrbuídos E qu I d I d (copuados d ora rcursva aáloga à aror aprsada) D ora quas quval aulado-s os rsíduos as + raís do polôo d Lgdr d grau + rsula : d l ˆ A u d d l ˆ A d v para A y y u para co u y A v para co v ˆ u y l ˆ y = para ˆ v l ˆ = para E qu ˆ ˆ ˆ são as + raís do polôo d Lgdr d grau + 6