Pontifícia Universidade Católica de Goiás Escola de Engenharia Sistemas de Controle 2 Cap.10 Técnicas de Resposta em Frequência Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro
10. Técnicas de Resposta de Frequência 10.1 Introdução Sistemas de Controle 2 Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro Cap.10 Técnicas de Resposta em Frequência 10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode 10.3 Introdução ao Critério de Nyquist 10.4 Esboçando o Diagrama de Nyquist 10.5 Estabilidade por Intermédio do Diagrama de Nyquist 10.6 Margem de Ganho e Margem de Fase por Intermédio do Diagrama de Nyquist 10.7 Estabilidade, Margem de Ganho e Margem de Fase por Intermédio dos Gráficos de Bode 10.8 Relação entre Resposta Transitória a Malha Fechada e Resposta de Frequência a Malha Fechada 10.9 Relação entre Respostas de Frequência a Malha Aberta e a Malha Fechada 10.10 Relação entre Respostas Transitória a Malha Fechada e de Frequência a Malha Aberta 10.11 Características de Erro do Estado Estacionário a Partir da Resposta de Frequência 10.12 Sistemas com Retardo 10.13 Obtendo Funções de Transferência Experimentalmente
10.1 Introdução Cap.8 e 9 Método do lugar das raízes para o projeto da resposta transitória, do erro de estado estacionário e da estabilidade Cap. 8 Projeto através do ajuste de ganho Solução de compromisso entre a resposta transitória e o erro de estado estacionário. Cap. 9 Mudança do local das raízes para o ponto desejado através da inserção de pólos e zeros Sem a necessidade de manter uma relação de compromisso entre erro de estado estacionário e resposta transitória. Cap. 10 e 11 Projeto de sistemas de controle com retroação através do ajuste de ganho e de estruturas de compensação a partir da resposta em frequência. Os resultados das técnicas de compensação por meio de resposta de frequência não são novos ou diferentes dos resultados das técnicas de lugar das raízes.
10.1 Introdução Os métodos de resposta em frequência são mais antigos que o método do lugar das raízes. Contudo apresentam uma visão diferente do sistema e algumas vantagens em algumas situações: 1. Quando se modelam funções de transferência a partir de dados físicos. 2. Quando se projetam compensadores de avanço de fase para atender o erro de estado estacionário requerido e a resposta transitória requerida; 3. Ao se determinar a estabilidade de sistemas não-lineares 4. Na remoção de ambiguidades ao se esboçar o lugar das raízes
10.1 Introdução O Conceito da Resposta de Frequência Considerando o estado estacionário: Entradas senoidais geram Saídas senoidais - Com a mesma frequência - Diferenças de amplitude e de fase Representação de sinais senoidais Sinais senoidais Números complexos (a+jb) Fasores
10.1 Introdução Sistema - Produz alterações de amplitude e fase - Pode ser representado por um número complexo Considere o sistema com uma entrada senoidal: Fasor de entrada x sistema fasor de saída Resposta no regime permanente
10.1 Introdução Função de sistema: resposta de frequência em magnitude resposta de frequência em fase Resposta de frequência: Resposta no regime permanente
10.1 Introdução Expressões Analíticas da Resposta de Frequência Entrada do sistema no tempo: Representação da entrada como fasor:
10.1 Introdução Expressões Analíticas da Resposta de Frequência Expansão em frações parciais
10.1 Introdução Expressões Analíticas da Resposta de Frequência Cálculo das constantes Forma retangular Fórmula de Euler Conjugado de K 1
10.1 Introdução Expressões Analíticas da Resposta de Frequência Sistema Resposta em estado estacionário: Depende apenas dos pólos da entrada. Demais termos são exponenciais que decrescem a zero no estado estacionário Resposta em estado estacionário (ss = steady state)
10.1 Introdução Expressões Analíticas da Resposta de Frequência Substituindo K1 e K2: K 1 K 2 Aplicando a transformada de Laplace inversa e usando a fórmula de Euler
10.1 Introdução Expressões Analíticas da Resposta de Frequência Representação na forma de fasor: Logo: função resposta de frequência A resposta de frequência de um sistema cuja função de transferência é G(s) é:
10.1 Introdução Plotando a Resposta de Frequência Formas de se representar graficamente a resposta em frequência: 1) Gráficos separados de magnitude e de fase, em função da frequência. Magnitude em decibéis (db) Ângulo de fase em logaritmo (log ω) Diagrama de Bode Cálculos de magnitude e fase: Traçar vetores dos pólos e zeros percorrendo todo o eixo imaginário jω. Magnitude: Calcular produto das magnitudes dos vetores dos zeros dividido pelo produto das magnitudes dos pólos. Fase: Calcular soma dos ângulos dos vetores dos zeros subtraído pela soma dos ângulos dos pólos. db = 20logM M = 10 valor em db 20
10.1 Introdução Plotando a Resposta de Frequência Formas de se representar graficamente a resposta em frequência: 2) Gráfico polar, onde o comprimento do fasor é a magnitude e o ângulo do fasor é a fase. Usado para gerar o Diagrama de Nyquist Gráfico polar Para ambos os gráficos O valor de K para cada frequência é o inverso da magnitude em escala. O valor do ângulo calculado é o próprio valor da fase referente àquela frequência. Diagrama de Nyquist
10.1 Introdução 1) Substituir s=jω G s = 1 (s + 2) G jω = 1 (jω + 2) = (jω 2) (jω + 2)(jω 2) = (2 jω) (ω 2 + 4) 2) Calcular magnitude e fase Magnitude G jω = M jω = 1 (ω 2 + 4) 2 (ω 2 + 4) Ângulo de fase φ jω = tan 1 (ω/2) ω (ω 2 + 4)
10.1 Introdução Magnitude Gráficos de resposta em frequência versus Fase versus
10.1 Introdução Polar Gráficos de resposta em frequência Ainda não é o diagrama de Nyquist
10.1 Introdução É possível obter o gráfico de magnitude e fase a partir do gráfico polar, e vice versa. Exemplo 1 Exemplo: Em 1 rad/s Gráfico de magnitude = -7dB = 10 7/20 = 0.447 Gráfico de fase = 26 Gráfico polar ponto de raio 0.0447 com ângulo de 26
10.1 Introdução Exemplo: Gráfico de magnitude = -7dB = 10 7/20 = 0.447 Em 1 rad/s Gráfico de fase = 26-7dB 26
10.1 Introdução Exemplo: Em 1 rad/s Gráfico de magnitude = -7dB = 10 7/20 = 0.447 Gráfico de fase = 26 26-7dB=0.447
10.1 Introdução É possível obter o gráfico de magnitude e fase a partir do gráfico polar, e vice versa. Exemplo 2 Em 2 rad/s 45 0.35 20log(0.35)=-9.12dB
10.1 Introdução É possível obter o gráfico de magnitude e fase a partir do gráfico polar, e vice versa. Exemplo 2 Em 2 rad/s -9.12dB 45
Fim da Introdução do capítulo 10
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode Gráficos ou Diagramas de Bode Podem ser aproximados como uma sequência de linhas retas.
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode Gráficos ou Diagramas de Bode Função de transferência do sistema Cálculo da magnitude Simplificando o cálculo da magnitude pela aplicação do logaritmo (resposta em db): Sabendo a resposta de cada termo é possível traçar uma reta para cada um deles e em seguida somar a resposta no gráfico.
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode Gráficos ou Diagramas de Bode Função de transferência do sistema Cálculo da fase Soma das curvas de fase dos termos relativos aos zeros menos a soma das curvas de fase dos termos referentes aos pólos
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode Gráficos ou Diagramas de Bode Função de transferência do sistema Estudo da aproximação do Diagrama de Bode 1) Gráficos de Bode para G(s) = (s + a) 2) Gráficos de Bode para G(s) = 1/(s + a) 3) Gráficos de Bode para G(s) = s 4) Gráficos de Bode para G(s) = 1/s 5) Gráficos de Bode para G(s) = s 2 + 2ζω n s + ω n 2 6) Gráficos de Bode para G(s) = 1 s 2 +2ζω n s+ω n 2
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode Estudo da aproximação do Diagrama de Bode 1) Gráficos de Bode para G(s) = (s + a) Baixa frequência, ω 0: Em db: constante Constante reta constante Alta frequência, ω a: Em db: 20logM = 20. logω Como o gráfico é expresso em db por logω, ele se torna uma reta crescente: (20 logm) = 20. (logω)
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode Estudo da aproximação do Diagrama de Bode Cada vez que a frequência dobra (aumento de uma oitava) a função aumenta 6dB. 20 log2. ω = 20log2 + 20logω = 6dB + 20logω O aumento começa em ω = a com inclinação de 6dB/oitava Cada vez que a frequência aumenta 10 vezes (aumento de uma década) a função aumenta 20dB (inclinação equivalente a 6dB/oitava). Assíntota de alta frequência Assíntota de baixa frequência
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode Estudo da aproximação do Diagrama de Bode Diagrama de fase Frequência de quebra, ω = a: G jω = ja + a Fase 45 Baixa frequência, ω 0: Fase 0 Alta frequência, ω a: Para desenhar a curva, comece uma década (1/10) abaixo da frequência de quebra, 0.1a, com fase de 0, e desenhe uma linha de inclinação +45 /década passando por 45 na frequência de quebra e continuando até 90 uma década acima da frequência de quebra, em 10a.
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode Estudo da aproximação do Diagrama de Bode Normalização da magnitude A magnitude da função costuma ser normalizada para facilitar a comparação entre sistemas de primeira e segunda ordem pois ambos terão a mesma assíntota de baixa frequência e a mesma frequência de quebra depois de colocada em escala. Normalizando (s+a): (s+a) = a s a + 1 Nova variável de frequência: s 1 = s/a Portanto: a s a + 1 a s 1 + 1 Magnitude é dividida por a para produzir a frequência de 0dB de quebra. Função colocada em escala: (s 1 + 1) Para obter a resposta de frequência original, a magnitude e a frequência são multiplicadas pela grandeza a.
Frequência de quebra Real normalizada em 3dB
(s+a) Resposta assintótica e real normalizada de magnitude em escala Diferença máxima de 3dB
(s+a) Resposta assintótica e real normalizada de fase em escala Diferença máxima de 5.71 graus
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode Estudo da aproximação do Diagrama de Bode 2) Gráficos de Bode para G(s) = 1/(s + a) Assíntota de baixa frequência, s 0: Frequência de quebra, s = a rad/s. Alta frequência, s :
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode Estudo da aproximação do Diagrama de Bode 2) Gráficos de Bode para G(s) = 1/(s + a)
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode Estudo da aproximação do Diagrama de Bode 3) Gráficos de Bode para G(s) = s
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode Estudo da aproximação do Diagrama de Bode 4) Gráficos de Bode para G(s) = 1/s
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode O gráfico de Bode é a soma dos gráficos de Bode de cada termo de primeira ordem. Usar o gráfico normalizado para cada um dos termos exceto o do pólo na origem. Dividindo em cima por 3 Dividindo em baixo por 2 Frequências de quebra ocorrem em 1, 2 e 3
10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode Frequências de quebra ocorrem em 1, 2 e 3 O gráfico de magnitude deve começar uma década abaixo da menor frequência de quebra e se estender até uma década acima da maior frequência de quebra. Intervalo escolhido: De 0,1 a 100 radianos, ou três décadas Em baixa frequência: ω = 0 para todos os termos (s/a +1) ω = 0.1 (frequência real) para termo s no denominador. G j0.1 = 3 2 K 0.1 = 15K Escolhendo K=1 (normalização)
Início do gráfico 2 3
Início do gráfico Segundo ponto em (decréscimo de 20dB) 2 3
A fase é tratada de modo semelhante. Contudo, a existência de quebras uma década abaixo e uma década acima da frequência de corte requer um pouco mais de cálculo. 0,2 2 3 20
Estudar Exemplo 10.2 em detalhes