Física para Engenharia II 430196 (FEP196) Turma 01111 Sala C-13 3as 15h00 / 5as 9h0. Prof. Antonio Domingues dos Santos Depto. Física Materiais e Mecânica IF USP Ed. Mário Schemberg, sala 05 adsantos@if.usp.br Página do curso (Stoa -> Cursos -> IF -> Poli -> 430196) http://moodle.stoa.usp.br/course/view.php?id=7
Módulo 3 Ondas e Referenciais não inerciais Módulo 3 (9 aulas): Ondas. Forças de Inércia, referenciais não inerciais, sistemas de coordenadas curvilíneas. Bibliografia: H. Moisés Nussenzveig, Curso de Física Básica, vol. Capítulo 5 (Ondas) e Capítulo 6 (Som). P. Boulos e D.L. Zagottis, Mecânica e Cálculo, vol 1 (Ed. Edgard Blücher, 000) Capitulo 17 (Sistemas de coordenadas curvilíneas). H. Moisés Nussenzveig, Curso de Física Básica, vol. 1 - Capítulo 13 (Forças de Inércia).
Ondas Oscilações em meios quaisquer se constituem em ondas. Existem ondas mecânicas, acústicas, eletromagnéticas, sísmicas,... Os meios podem ser uni, bi ou tridimensionais. Onda é qualquer sinal que se transmite de um ponto a outro de um meio, com velocidade definida. Onda transporta energia e momento, sem o transporte direto de matéria. Onda longitudinal Onda transversal
Ondas unidimensionais No referencial O, vamos considerar uma corda e um pulso (onda progressiva) com formato y(x,t) caminhando como um todo para a direita. Para um outro referencial (O ) que se desloca com a mesma velocidade v da onda, o formato da onda é fixo y ( x, t) = y ( x,0) = f( x ) Onde: x = x vt Assim, temos: y( xt, ) = f( x vt) Solução geral y( xt, ) = f( x vt) + g( x+ vt) Para um pulso no sentido inverso: y( xt, ) = g( x+ vt)
Ondas unidimensionais - ondas harmônicas Uma solução particular e muito comum é o perfil senoidal. f( x ) = Acos( kx + δ) y( xt, ) = Acos[ k( x vt) + δ] Onde a frequência angular é ω= kv= πf = π/ τ Assim, temos y( xt, ) = Acos( kx ωt+ δ) para x= 0 τ = λ/v Período da oscilação ϕ( xt, ) = kx ωt+ δ É a fase da onda. para x= π Temos o comprimento de onda π λ = k Onde k é o número de onda
Ondas unidimensionais - ondas harmônicas Fase da onda. ϕ( xt, ) = kx ωt+ δ Para uma fase constante ϕ( xt, ) = ϕ = const. temos dϕ dx = k ω= dt dt 0 0 dx ω = = v= fλ dt k v é chamado de velocidade de fase A onda harmônica também pode ser expressa com notação complexa y xt i( kx ωt+ δ) (, ) = Re{ Ae } τ = λ/v
Ondas unidimensionais - equação de onda Uma solução geral y( xt, ) = f( x ) x = x vt d velocidade y( xt, ) = v dt df dx mas dy df dx df = = dx dx dx dx d y d f = dx dx aceleração d d df y( xt, ) = v ( ) = dt dt dx d df dx = v ( ) = v dx dx dt dx d f portanto d y d y = v dt dx Válida para +v e v.
Ondas unidimensionais - cordas vibrantes Vamos considerar oscilações transversais em um corda distendida por uma tensão T, homogênea ao longo da corda. Os deslocamentos transversais são pequenos e não afetam a tensão T. A densidade linear de massa na corda é M m µ = = L x Equação de ondas = v d y d y dt dx A componente transversal da tensão em um ponto é y Tsinθ Ttgθ = T x Um trecho Dx fica submetida a uma força transversal y y T ( x+ xt, ) T ( xt, ) = x x y y ( x+ xt, ) ( xt, ) T x x x = = x y = T ( xt, ) x x
Ondas unidimensionais - cordas vibrantes Usando a segunda lei de Newton, temos y y Fy = m ( xt, ) = T ( xt, ) x t x y y µ x ( xt, ) = T ( xt, ) x t x µ y y = T t x Portanto: T v= µ Equação de ondas = v d y d y dt dx Forma alternativa (no referencial que se desloca com o pulso): l Tsin θ+ Tsin θ T θ = T r o trecho Dl fica submetido a uma força centrípeta l v v T = m = µ l r r r Portanto: v = T µ
Ondas unidimensionais - cordas vibrantes Solução geral Vamos considerar as condições iniciais: y( x,0) = y ( x) 0 y ( x,0) = y 1( x ) t Onde: y( xt, ) = f( x vt) + g( x+ vt) Particularizando para v inicial nula: y( x,0) = y ( x) = f( x) + g( x) 0 y d d ( x,0) = v f( x) + v g( x) = t dt dt d = v ( f( x) g( x)) = 0 dt Portanto: 1 f( x) = g( x) = y0( x) Portanto, a solução geral envolve a composição de ondas se propagando para a esquerda e a direita. Equação de ondas = v d y d y dt dx Exemplo:
Ondas unidimensionais - cordas vibrantes Princípio da superposição A combinação linear de duas soluções particulares da equação de onda, também é uma solução desta equação. y( xt, ) = ay( xt, ) + by ( xt, ) 1 demonstração: d d d y d y dt dt dt dt d d d y d y dx dx dx dx 1 y= [ ay 1+ by] = a + b 1 y= [ ay 1+ by] = a + b Exemplo: Equação de ondas = v d y d y dt dx
Ondas unidimensionais - cordas vibrantes Intensidade de uma onda Uma onda progressiva transporta energia. Para um MHS, qual a energia possível de ser transferida em um ponto qualquer da corda? A força transversal é restitutiva y Fy = T ( xt, ) x A potência disponível é: Considerando-se uma onda harmônica, temos: P xt ωkta ω (, ) = sin ( kx t+ d) Definimos a Intensidade (I) da onda como a média sobre um período, da potência. I P kta = = ω ω + sin ( kx t d) Portanto: 1 1 I = P= ω kta = µ vω A Equação de ondas = v d y d y dt dx Usando-se: kv= ω T =µ v
Interferência de Ondas Ondas no mesmo sentido y( xt, ) = Acos( kx ωt+ δ) 1 1 1 y ( xt, ) = A cos( kx ωt+ δ ) y( xt, ) = Acos( kx ωt+ δ) A = A + A + AA cos( δ ) 1 1 1 com: δ1 = δ δ1 Como w é o mesmo, temos para a Intensidade: I = I + I + II cos( δ ) 1 1 1 δ δ Para: = mπ( m= 0, ± 1,...) I = I = ( I + I ) 1 max 1 = (m+ 1) π( m= 0, ± 1,...) I = I = ( I I ) 1 min 1
Interferência de Ondas Ondas em sentido oposto y( xt, ) = Acos( kx ωt) 1 y ( xt, ) = Acos( kx+ ωt) y( xt, ) = Acos( kx)cos( ωt) É uma onda estacionária!
Interferência de Ondas Ondas no mesmo sentido, mas com frequências ligeiramente diferentes y( xt, ) = Acos( kx ωt) 1 1 1 y ( xt, ) = Acos( k x ωt) ( ω + ω )/= ω 1 ( ω ω ) = ( ω) 1 ( k + k )/= k 1 ( k k ) = ( k) 1 É uma onda estacionária! y( xt, ) = a( xt, )cos( kx ωt) k ω a( xt, ) = Acos( x t) Batimentos! ω ϕ( xt, ) = kx ωt vϕ = k k ω ω dω ϕ( xt, ) = x t vg = = k dk Velocidade de fase e de grupo
Reflexão de Ondas Consideremos um pulso: y( xt, ) = g( x+ vt) Solução geral y( xt, ) = f( x vt) + g( x+ vt) Mas como y(0,t)=0 f( vt) = g( vt) generalizando f( x vt) = g( vt x) (0, t ) = dy Fy(0, t) = T (0, t) = 0 dx y( xt, ) = g( x+ vt) + g( vt x) Solução geral y( xt, ) = g( x+ vt) g( vt x)
Modos normais de vibração Corda presa nos dois extremos: ω d A Ax ( )cos( ωt+ δ) = cos( ωt+ δ) v dx Os modos normais são as ondas estacionárias que se estabelecem com as condições de contorno (para qualquer t) y(0, t) = ylt (, ) = 0 Todos os pontos da corda oscilam com as mesmas frequência e fase y( xt, ) = A( x)cos( ωt+ δ) Aplicando-se na equação de onda, temos 1 d y d y = v dt dx ω d A Ax ( ) = v dx d A 0 k A dx + = Solução geral Com k=ω/v Ax ( ) = acos( kx) + bsin( kx) com as condições de contorno A(0)= A(l)= 0 A(0) = acos(0) + bsin(0) = 0 a= 0
Modos normais de vibração d A 0 k A Com k=ω/v dx + = Solução geral Ax ( ) = bsin( kx) Al () = bsin( kl) = 0 kl= nπ nπ kn = n= 1,,... l π l λ n = = k n n Como k=ω/v nπ ω n = vkn = v n= 1,,... l ωn nv fn = = π l Solução geral para a corda y ( xt, ) = b sin( k x)cos( ωt+ δ ) n n n n n nπ nπ yn( xt, ) = bnsin( x)cos( vt+ δn) l l Para n= 1,, 3,... Importante: Para N osciladores acoplados, existem N modos normais de vibração.
Análise de Fourier Solução geral para a corda y( xt, ) = y ( xt, ) n= 1 n nπ nπ yn( xt, ) = bnsin( x)cos( vt+ δn) l l Para n= 1,, 3,... Condições iniciais e de contorno, permitem a definição de b n e δ n. Importante: Quanto maior for o n, melhor é a aproximação para a função considerada.
Som O Som se caracteriza por efeitos ondulatórios que se propagam através de meios materiais, como fluídos (líquidos e gases) e sólidos. Ondas sonoras são ondas longitudinais, associadas a variações de pressão