Trabalho 4 Espaço de Estados 0.9 0.8 0.7 0.6 I2 0.5 0.4 0.3 0.2 0. 0 0 0. 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 I Dinâmica dos Sistemas Biológicos e Fisiológicos Engenharia Biomédica Aulas práticas António Dourado/Jorge Henriques Março de 2007
. Introdução... 2 2. Absorção de Fármaco... 2 2.. Modelo... 2 2.2. Trabalho... 2 3. Relação glucose insulina... 3 3.. Modelo... 3 3.2. Trabalho... 4 4. Contaminação de população... 4 4.. Modelo... 4 4.2. Trabalho... 5 5. Referência... 5 AD/JH
. Introdução Neste trabalho pretende-se efectuar o estudo da representação de sistemas no Espaço de Estados e Curvas de Fase. São objectivos específicos do trabalho: Espaço de estados Curvas de fase Estudo de sistemas mão lineares Linearização 2. Absorção de Fármaco 2.. Modelo No trabalho 2 estudou-se o modelo de absorção de um fármaco. O modelo obtido, pode ser definido pela seguinte equação de estado: dx k k x ut ( ) dx = 2 k ( k k2) x + + 2 0 2.2. Trabalho Admita que é a concentração do fármaco na corrente sanguínea (x2) que quer observar, sendo por isso a saída do sistema. a) Identifique as matrizes A, B, C, D. AD/JH 2
b) Para k=0,mg/min/mg e k2=0,0 mg/min/mg resolva a equação de estado e a equação de saída, usando a transformada de Laplace, pondo em evidência a saída devida às condições iniciais e a saída devida à entrada. c) Analise a propriedade de estabilidade do sistema e trace as suas curvas de fase, com ajuda do PPLANE6. 3. Relação glucose insulina 3.. Modelo Considere-se a inter relação entre a glucose no sangue e a insulina. O modelo seguinte é considerado o modelo mínimo mais aceite (Marmarelis, p. 2) dg() t = pgt [ () Gb ] XtGt () () dx() t = pxt 2 () + p3[ It () Ib ] composto por duas equações diferenciais não lineares (devido ao produto X(t)G(t), uma bilinearidade). G(t) concentração da glucose no plasma, mg/dl X(t) é a acção da insulina ( min ) I(t) é a concentração da insulina no plasma (µu/ml) Gb é a concentração de glucose no plasma em estado basal, mg/dl p e p2 parâmetros característicos descritivos da cinética da acção da glucose e da insulina, em min p3 parâmetro que descreve a influência moduladora da acção da 2 insulina na dinâmica da absorção da glucose, min ml/µu Note-se que este modelo não toma em conta nem a secreção pancreática de insulina induzida pelas variações da concentração da glucose no plasma nem a eventual produção de glucose por órgãos internos. AD/JH 3
Os parâmetros fisiológicos da eficiência da glucose SG=p ( min ) e da sensibilidade da insulina SI=p3/p2 (ml min /µu) são muito utilizados para fins clínicos. Valores característicos dos parâmetros: p=0,023 p2=0,033 p3=.783.0-5 Gb=80,25 3.2. Trabalho Admitindo que entrada do modelo é I(t)-Ib e a saída é G(t). a) definindo as variáveis de estado x==x(t), x2==g(t) escreva a equação de estado e de saída do sistema )(não linear). b) considere uma entrada constante u=. Calcule o(s) estados de equilíbrio do sistema. c) Com o programa PPLANE6 trace as curvas de fase do sistema para i) u=0 ii) u= d) Linearize o sistema em torno o estado de equilíbrio e analise a sua estabilidade. 4. Contaminação de população 4.. Modelo Numa certa população coexistem duas doenças que competem uma com a outra. Sejam S fracção da população saudável e portanto susceptível a qualquer uma das doenças (um indivíduo não pode ter as duas simultaneamente) I fracção da população infectada pela doença I2 fracção da população infectada pela doença 2 AD/JH 4
As equações diferencias que descrevem a evolução dessas três categorias da população são ds = µ IS µ 2IS 2 + δi+ δ2i2 di = µ IS δi γii 2 di2 = µ 2IS 2 δ2i2+ γii 2 4.2. Trabalho a) Interprete as equações diferenciais. Qual o significado da constante? b) A soma das fracções será necessariamente S+I+I2 =. Por isso as três variáveis não são independentes. Reduza as três equações a duas, tendo em conta esse facto. c) Considere a situação γ=0. Analise o que acontece. Para isso implemente o modelo em Simulink. Admita que γ=γ2=δ=δ2=0.5. Trace as curvas de fase, com o PPlane6. Faça um estudo dos pontos singulares do sistema, em função dos parâmetros do modelo. Procure conjuntos dos seus valores que permitam obter um regime permanente, estável, com coexistência das duas doenças numa fracção não nula da população (isto é, uma singularidade estável com ambas as coordenadas não nulas e positivas). 5. Referência Marmarelis, Vasilis Z. Nonlinear Dynamic Modeling of Physiological Systems IEEE Series in Biomedical Engineering, 2004. AD/JH 5