Biologia Estrutural Espaço Recíproco e a Esfera de Ewald Prof. Dr. Walter Filgueira de Azevedo Jr.
Resumo Índices de Miller Índices de Direções Espaço Recíproco Esfera de Ewald Esfera Limite Número de reflexões Referências
Índices de Miller Consideremos uma cela unitária, como mostrada na figura ao lado, as conclusões referentes à esta cela unitária, no que tange às propriedades dos índices de Miller, valem para os outros sistemas cristalinos, com exceção do sistema hexagonal, que não discutiremos aqui. Na análise do fenômeno de difração de raios X, uma atenção especial é dada para o conjunto de planos paralelos que difratam. Tal conjunto de planos paralelos, num retículo cristalino, pode ser representado por um conjunto de inteiros, relacionados aos interceptos com os eixos x, y e z. Para simplificar a explicação consideremos os seguintes exemplos. x z y
Índices de Miller O plano ilustrado ao lado intercepta o eixo x na posição 1, e é paralelo aos eixos y e z. Os índices de Miller desse plano obtém-se com o inverso dos interceptos aos eixos x, y e z. Os interceptos são 1,, ; e o inverso é 1, 0, 0, assim o índice de Miller do plano em cinza mostrado ao lado é (100). Na verdade estes índices indicam a família de planos paralelos a ele e que interceptam o eixo x em a, 2, 3, 4,... z (100) y x 1
Índices de Miller O plano ao lado intercepta o eixo x em 1, o eixo y em 1 e é paralelo ao eixo z. O índice de Miller é (110). z (110) 1 y x 1
Índices de Miller O plano ao lado intercepta o eixo x em 1, o eixo y em 1 e o eixo z em 1. O índice de Miller é (111). z 1 (111) 1 y x 1
Índices de Miller O plano ao lado intercepta o eixo x em 1, o eixo z em 1 e é paralelo ao eixo y. O índice de Miller é (101). z 1 (101) 1 y x 1
Índices de Miller O plano ao lado intercepta o eixo y em 1, o eixo z em 1 e é paralelo ao eixo x. O índice de Miller é (011). z 1 (011) 1 y x 1
Índices de Miller O plano ao lado intercepta o eixo x em 1/2, o eixo y em 1 e é paralelo ao eixo x. O índice de Miller é (210). z ½ (210) 1 y x
Índices de Miller O plano ao lado intercepta o eixo x em 1/4, o eixo y em 1 e é paralelo ao eixo x. O índice de Miller é (410). z ¼ (410) 1 y x
Índices de Miller Ao lado temos a indicação dos planos (100), paralelo ao plano yz, (010) paralelo ao plano xz e (001) paralelo ao plano xy. z (001) (100) (010) y x
Índices de Miller Na figura ao lado temos um plano interceptando o eixo y em ½ e paralelo ao plano xy, determinamos os índices de Miller invertendo-se o intercepto em y, assim temos (020). z (020) ½ y x
Índices de Miller Na figura ao lado temos um plano interceptando o eixo y em 1/4 e paralelo ao plano xy, determinamos os índices de Miller invertendo-se o intercepto em y, assim temos (040). z (040) 1/4 y x
Índices de Miller Toda vez que o plano corta a origem, coordenadas 0,0,0; temos que lembrar que esta representação refere-se a um cristal, onde temos repetição da cela unitária em três dimensões, como mostrado ao lado. z 1 y O plano equivalente corta o eixo x em 1 e o eixo y em -1, sendo paralelo à z, os índice de Miller são (1-1 0), a notação cristalográfica usa uma barra sobre números negativos: (110) x
Índices de Miller A cela unitária ao lado tem parâmetros de cela unitária a = 4 Å, b = 8 Å e c = 3 Å, consideremos um plano que intercepta a cela unitária em x = 1 Å, y = 4 Å e z = 3 Å. Determinaremos o índices de Miller do plano seguindo-se o seguinte algoritmo. 2) Tomemos os interceptos nos eixo x, y e z: x = 1 Å, y = 4 Å e z = 3 4) Calculemos a fração do eixo de cada intercepto: ¼, 4/8 e 3/3 ou seja, ¼, ½, 1 3) Invertemos essas frações, como segue: 4, 2, 1. Os índices de Miller desse plano são (421) x z 3 Å c = 3 Å 1 Å a = 4 Å 4 Å b = 8 Å y
Índices de Direções Vetores perpendiculares a planos cristalinos de índice de Miller (hkl) recebem índices da direção [hkl], em notação cristalográfica, qualquer direção, indicada por [hkl] representa a direção de um vetor perpendicular ao plano (hkl). Na cela unitária ao lado temos as direções [100], [010] e [001] indicadas, essas direções são perpendiculares aos planos (100), (010) e (001), respectivamente. x [100] z [001] (001) (100) (010) [010] y
Espaço Recíproco Ponto do espaço recíproco O espaço recíproco pode ser definido como um conjunto de pontos, onde cada ponto é determinado como segue: considere normais a todos os planos do espaço (hkl), saindo de um ponto O, considerado como origem. Cada normal aos plano (hkl) finaliza em um ponto, a uma distância d hkl * = 1/d hkl, onde d hkl é a distância interplanar dos planos (hkl), este conjunto de pontos (terminações das normais) é que formam o espaço recíproco. Vamos ilustrar em duas dimensões. y O Ponto do espaço direto x (110)
Espaço Recíproco Ponto do espaço recíproco Consideremos o espaço direto, representado abaixo, vamos determinar alguns pontos do espaço recíproco. Seja o plano (100), representado pela linha vermelha, consideremos uma origem arbitrária, indicada por O. Vamos traçar um vetor de O, perpendicular ao plano (110), o tamanho deste vetor é d 110*, assim temos um ponto do espaço recíproco no final deste vetor. y O Ponto do espaço direto d hkl * x (110)
Espaço Recíproco Para os planos (120) e (130) temos os pontos indicados. Resumindo, aplicando-se sucessivamente este processo, teremos um conjunto de pontos dos espaço recíproco, para cada plano do espaço direto, ou seja, temos uma correspondência entre os potenciais planos refletores e pontos do espaço recíproco. O Ponto do espaço recíproco Ponto do espaço direto 130 120 110 y x (130) (110) (120)
Espaço Recíproco As propriedades geométricas de um retículo recíproco são as inversas do retículo cristalino. Consideremos uma cela unitária com parâmetros relativamente grandes (a, b, c), como o parâmetros de cela unitária de cristais de proteínas. A cela recíproca (a *, b *, c * ) é pequena (propriedade recíproca). a z c c * a * b * b y x
Espaço Recíproco Agora temos uma cela unitária direta relativamente pequena (a,b,c) a cela recíproca é grande (a *, b *, c * ). c * z c a b * a * b y x
Espaço Recíproco O espaço recíproco é um artefato matemático criado para auxiliar na interpretação do processo de difração de raios X. O espaço recíproco, determinado pelos eixos recíprocos a *, b *, c * e ângulos α *, β * e γ* está relacionado com o espaço direto, representado pelos eixos a, b, c e ângulos α, β e γ. A dimensão do espaço recíproco é o inverso do comprimento, consequentemente suas unidades são inversas das unidades de comprimento(m -1, cm -1, Å -1 e outras). As equações abaixo relacionam os eixos diretos com os recíprocos. a * = bc sen α V b * = ac sen β V c * = ab sen γ V V = 1/V * = abc(1 cos 2 α - cos 2 β - cos 2 γ + 2 cos α.cos β.cos γ ) 1/2 V * = 1/V = abc(1 cos 2 α * - cos 2 β * - cos 2 γ * + 2 cos α *.cos β *.cos γ * ) 1/2
Espaço Recíproco Os ângulos α *, β *, γ* e α, β, γ são dados pelas seguintes equações. cos α * = cos β cos γ - cos α sen β sen γ cos α= cos β * cos γ * - cos α * sen β * sen γ * cos β * = cos α cos γ - cos β sen α sen γ cos β * = cos α * cos γ * - cos β * sen α * sen γ * cos γ * = cos α cos β - cos γ sen α sen β cos γ * = cos α * cos β * - cos γ * sen α * sen β *
Esfera de Ewald Podemos interpretar o fenômeno da difração de raios X por um cristal considerando-se uma esfera centrada no cristal, de raio 1/λ, como mostra a figura, essa esfera é chamada esfera de Ewald. P P Feixe difratado Retículo recíproco Feixe de raios X C Cristal S (vetor do espaço recíproco) O Feixe direto 1/λ Esfera de Ewald
Esfera de Ewald Toda vez que um ponto do retículo recíproco cruza a esfera de Ewald, temos a produção de um ponto de difração. Na figura abaixo um ponto do retículo recíproco é representado por intesecção das linhas. P P Feixe difratado Retículo recíproco Feixe de raios X C Cristal S (vetor do espaço recíproco) O Feixe direto 1/λ Esfera de Ewald
Esfera de Ewald O ponto P produz um ponto de difração, ao girarmos o cristal giramos o retículo recíproco, trazendo novos pontos em condição de difração, como o ponto P. P Feixe difratado P Retículo recíproco Feixe de raios X C Cristal S (vetor do espaço recíproco) O Feixe direto 1/λ Esfera de Ewald
Esfera de Ewald O resultado líquido de girarmos o cristal é que podemos registra diversos pontos de difração. Normalmente, em coleta de dados, que usa a geometria da câmara de oscilação, este recurso é usado para obtenção de diversos pontos por cada imagem medida. Feixe de raios X C P P Cristal Feixe difratado Retículo recíproco S (vetor do espaço recíproco) O Feixe direto 1/λ Esfera de Ewald
Esfera de Ewald O módulo de vetor de espalhamento é d (espaçamento interplanar), a partir da análise da figura podemos determinar a relação entre o ângulo, d e o comprimento de onda (λ), como segue. P P Feixe difratado Retículo recíproco Feixe de raios X C Cristal S (vetor do espaço recíproco) O Feixe direto 1/λ Esfera de Ewald
Esfera de Ewald Considere o triângulo APO, pela geometria da figura temos que o ângulo PÂO é, assim temos: Feixe difratado sen = S 2/λ P P Retículo recíproco Feixe de raios X A C Cristal S (vetor do espaço recíproco) O Feixe direto 1/λ Esfera de Ewald
Esfera de Ewald P é um ponto do espaço recíproco, assim seu comprimento é 1/d hkl, onde hkl são os índices dos planos relacionados com P. Assim temos: sen = S 2/λ = 1/d hkl 2/λ P P Feixe difratado Retículo recíproco Feixe de raios X A C Cristal S (vetor do espaço recíproco) O Feixe direto 1/λ Esfera de Ewald
Esfera de Ewald Ou seja: 2.d sen = λ Feixe difratado P P Retículo recíproco Feixe de raios X A C Cristal S (vetor do espaço recíproco) O Feixe direto 1/λ Esfera de Ewald
Esfera de Ewald Experimentalmente observamos que os pontos do retículo recíproco apresentam volume, ou seja, eles ficam em condição de difração um certo tempo, durante a rotação do retículo recíproco. Isto deve-se a fatores como a mosaicidade do cristal, ou seja, há uma leve desordem, o que não traz todas as celas unitárias em condição de difração, para um dado ponto do retículo, ao mesmo tempo. Feixe de Raios X Esfera de Ewald Retículo recíproco -201-101 001 101 201-200 -100 000 100 200-20-1-10-1 00-1 10-1 20-1
Esfera de Ewald Podemos pensar no ponto do retículo recíproco como um nódulo, que durante a rotação do retículo recíproco entra em condição de difração (cruza a esfera de Ewald), fica um certo tempo nesta situação, durante a rotação e depois sai de condição de difração. Na animação ao lado temos um nódulo do retículo recíproco que entra em condição de difração, fica um certa tempo, e depois cessa a difração. O detector indica o registro da intensidade difratada por meio da coloração azul. Fonte: http://www.science.uva.nl/research/cmp/goedkoop/group/docs/fluctuations/scans.html
Esfera de Ewald A câmara de oscilação, ou rotação, é o principal instrumento usado para o registro do padrão de difração de raios X de cristais de macromoléculas biológicas. O diagrama esquemático abaixo ilustra as principais características da câmara de oscilação. Retículo recíproco Fonte de raios X Cristal Cabeça goniométrica Placa de imagem Padrão registrado na placa de imagem
Esfera Limite Ao girarmos o cristal, e consequentemente o retículo recíproco, podemos varrer uma ampla região do espaço recíproco. O número total de pontos do retículo recíproco, que podem cruzar a esfera de Ewald, pode ser determinado a partir da esfera limite. Girar o retículo recíproco é equivalente a girarmos a esfera de Ewald, que gera então uma esfera limite de raio 2/λ. Feixe de Raios X Esfera de Ewald 1/λ Retículo recíproco -201-101 001 101 201-200 -100 000 100 200 2/λ -20-1 -10-1 00-1 10-1 20-1 Esfera limite
Esfera Limite Os pontos do retículo reciproco dentro do volume da esfera limite podem ser trazidos em condição de difração. A determinação do número total de pontos que podem gerar padrões de difração de raios X é determinado dividindo-se o volume da esfera limite pelo volume da cela unitária recíproca, considerandose que a cela unitária é primitiva. Feixe de Raios X 1/λ Retículo recíproco -201-101 001 101 201-200 -100 000 100 200 2/λ Esfera de Ewald -20-1 -10-1 00-1 10-1 20-1 Esfera limite
Esfera Limite Seja N o número de reflexões potencialmente gerados para uma esfera limite de raios 2/λ. Retículo recíproco N = V esfera limite V * N = 4/3 π (2/λ) 3 V * Feixe de Raios X -201-101 001 101 201 1/λ -200-100 000 100 200 Sabemos que: V * =1/V cell, onde V cell é o volume da cela unitária, assim temos: Esfera de Ewald 2/λ -20-1 -10-1 00-1 10-1 20-1 N = 32 π V cell 3 λ 3 Esfera limite
Número de Reflexões Consideremos uma cela unitária ortorrômbica de dimensões 40 x 60 x 80 Å, que difrata a 2,5 Å de resolução, o volume da cela unitária é V cell = 40. 60. 80 = 192.000 Å 3. Usando-se a equação do número de reflexões temos: N = 32 π V 3 λ 3 = 32 π 192.000 / 3.(2,5) 3 = 411.775 reflexões Felizmente, por razões de simetria não é necessário coletar todas essas reflexões, 1/8 dos dados de difração de raios X, ou próximo disso normalmente é suficiente para o grupo espacial ortorrômbico primitivo ou aproximadamente 51.472 reflexões.
Referências Drenth, J. (1994). Principles of Protein X-ray Crystallography. New York: Springer- Verlag. Rhodes, G. (2000). Crystallography Made Crystal Clear. 2 nd ed.san Diego: Academic Press. Stout, G. H. & Jensen, L. H. (1989). X-Ray Structure Determination. A Practical Guide. 2nd ed. New York: John Wiley & Sons.