Biologia Estrutural. Cálculo da Densidade Eletrônica. Prof. Dr. Walter Filgueira de Azevedo Jr. wfdaj.sites.uol.com.br

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1 Biologia Estrutural Cálculo da Densidade Eletrônica Prof. Dr. Walter Filgueira de Azevedo Jr.

2 Resumo Introdução Cálculo da densidade eletrônica Densidade eletrônica de um cristal unidimensional Densidade eletrônica de um cristal bidimensional Efeito da vibração térmica na densidade eletrônica Referências

3 Introdução O conteúdo da presente aula está descrito nos seguintes artigos: Delatorre, P. & Azevedo, W. F. (2001) J. Appl. Crystal. 34, Delatorre, P., Fadel, V. & Azevedo, W. F. (2001). Rev. Bras. de Ens. De Fisica. 23, 1-10.

4 Introdução

5 Introdução

6 Cálculo da Densidade Eletrônica Usamos a função abaixo para o cálculo da densidade eletrônica, esta função envolve grandezas complexas (fator de estrutura). ρ(xyz) = (1/V)Σ Σ Σ F(hkl) exp [-2πi (hx + ky+ lz)] = h k l = (1/V)Σ Σ Σ F(hkl) {cos [-2π (hx + ky+ lz)] + i sen [-2π (hx + ky+ lz)]} h k l Esta somatória estende-se tanto na parte positiva, quanto na negativa dos hkl, assim podemos separar a somatória da seguinte forma: ρ(xyz) = (1/V)Σ Σ Σ F(hkl) {cos [-2π (hx + ky+ lz)] + i sen [-2π (hx + ky+ lz)] } = = (1/V)Σ Σ Σ F(hkl) {cos [-2π (hx + ky+ lz)] + i sen [-2π (hx + ky+ lz)] + h k l h k l cos [2π (hx + ky+ lz)] + i sen [2π (hx + ky+ lz)]} (A somatória restringe-se à metade das reflexões)

7 Cálculo da Densidade Eletrônica Sabemos que sen(-x) = -sen (x) e cos(-x) = cos x, desta maneira a parte imaginária da exponencial é cancelada. Então ρ(xyz) será dada pela seguinte equação. ρ(xyz) = (1/V)Σ Σ Σ F(hkl) {cos [-2π (hx + ky+ lz)] + i sen [-2π (hx + ky+ lz)] + h k l cos [2π (hx + ky+ lz)] + i sen [2π (hx + ky+ lz)]} ρ(xyz) = (1/V)Σ Σ Σ F(hkl) {cos [2π (hx + ky+ lz)] - i sen [2π (hx + ky+ lz)] + h k l cos [2π (hx + ky+ lz)] + i sen [2π (hx + ky+ lz)]} ρ(xyz) = (2/V)Σ Σ Σ F(hkl) cos [2π (hx + ky+ lz)] h k l

8 Cálculo da Densidade Eletrônica A equação envolvendo termos reais para o cálculo da função fator de estrutura tem a seguinte forma: ρ(xyz) = (2/V)Σ Σ Σ F(hkl) cos [2π (hx + ky+ lz)] h k l A função densidade eletrônica é calculada para cada ponto x, y, z. Na prática definimos um gradeado e calculamos a função ρ(xyz) para cada ponto, depois deslocamos um x, e calculamos ρ(x+ x, y,z), onde x é o passo ao longo da direção x, repetimos o processo ao longo dos três eixos para um cristal tridimensional.

9 Cristal Unidimensional Modelo 1 (definição). Consideremos um cristal hipotético unidimensional e centrossimétrico como mostrado na figura abaixo, com cela unitária L de 17 Å. Com as posições dos átomos indicadas na tabela abaixo. Usaremos os dados desse cristal hipotético para ilustrar o cálculo da densidade eletrônica. Átomos X(Å) X/L N 0 0 Fe 2,07 0,12177 O1 3,94 0,23177 O2 5,17 0,30412

10 Cristal Unidimensional Modelo 1 (número de reflexões). Para calcularmos a função densidade eletrônica faz-se necessário o cálculo dos fatores de estrutura, como no presente exemplo não temos dados experimentais, determinaremos os fatores de estrutura usando o que aprendemos até agora. A somatória na equação da função densidade eletrônica tem que apresentar os limites para soma dos fatores de estrutura, podemos obter esses valores a partir da lei de Bragg. Consideramos a situação onde teremos o maior número de reflexões possíveis, ou seja, sen θ = 1, como segue: 2 d sen θ = h λ h = 2 d/λ h = 2.17/1,5418 = 22,05 d é o espaçamento interplanar λo comprimento de onda usado, que neste caso é 1,5418 Å Como h é inteiro temos que arredondar para o inteiro mais próximo, ou seja, h =22.

11 Cristal Unidimensional Modelo 1 (fator de estrutura). Para o cálculo da densidade eletrônica de um cristal precisamos dos fatores de estrutura, que num caso real teríamos essa informação de um experimento de difração de raios X e da solução do problema da fase. No exemplo, aqui ilustrado, determinaremos o fator de estrutura a partir das informações das posições atômicas do cristal hipotético. O fator de estrutura de um cristal tridimensional é dado pela seguinte equação. N F(hkl) = Σ f j exp [2πi (hx j + ky j + lz j )] j=1 Para o modelo 1 (cristal unidimensional) temos que determinar os F(h), visto que os outros índices são para dimensões maiores, a equação do fator de estrutura fica da seguinte forma: N F(h) = Σ f j exp [2πi (hx j )] j=1 A somatória é para todos N átomos na cela unitária.

12 Cristal Unidimensional Modelo 1 (fator de estrutura). O fator de estrutura fica da seguinte forma: N F(h) = Σ f j exp [2πi (hx j )] = f N exp [2πi (hx N )] + f Fe exp [2πi (hx Fe )] + f O1 exp [2πi (hx O1 )] + j=1 + f O2 exp [2πi (hx O2 )] Como o modelo do cristal do unidimensional é centrossimétrico, temos para cada átomo na posição x, um equivalente na posição x, sabemos que sen (-x) = -sen (x) e cos (-x) = cos (x), desta maneira a parte imaginária da exponencial é cancelada, temos então: 4 F(h) = Σ f j cos [2π (hx j )] = f N cos [2π (hx N )] + f Fe cos [2π (hx Fe )] + f O1 cos [2π (hx O1 )] + j=1 + f O2 cos [2π (hx O2 )]

13 Cristal Unidimensional Modelo 1 (densidade eletrônica). Para o caso unidimensional a densidade eletrônica fica da seguinte forma: ρ(x) = (1/L)Σ F(h)cos (2π hx) h O seu cálculo computacional implica na definição de um gradeado, ou seja, um conjunto de valores para o qual será calculado o valor da função densidade eletrônica ρ(x), esse conjunto de valores estão relacionados, na prática, com a resolução dos dados de difração de raios X, normalmente os programas que calculam densidade eletrônica, para cristais de proteínas, usam valores por volta de ¼ da resolução dos dados de difração, ou seja, quando mais preciso for o conjunto de dados de difração com maior precisão (menor passo) podemos determinar a função densidade eletrônica. Para um cristal que difrata a 1,8 Å podemos usar um passo de 0,45 Å para o cálculo da densidade eletrônica.

14 Cristal Unidimensional Modelo 1 (densidade eletrônica). No nosso caso, para um cristal hipotético unidimensional temos a seguinte função densidade eletrônica. Vemos claramente os picos de densidade eletrônica para os átomos do cristal unidimensional. Tente identificar a posição dos átomos, lembrando-se que quanto maior o número atômico, maior o pico da densidade eletrônica. ρ(x) r X

15 Cristal Unidimensional Modelo 1 (densidade eletrônica). O pico mais alto indica a posição do átomo de maior número atômico, que no caso de nosso cristal é o átomo de ferro, depois temos átomos com aproximadamente a mesma amplitude, ou seja, os dois átomos de oxigênio e o átomo de nitrogênio. Tal indefinição entre os átomos de oxigênio e nitrogênio ilustra uma situação comum encontrada em cristalografia, a dificuldade de distinguir, a partir da análise da densidade eletrônica, átomos de número atómicos próximos. ρ(x) r Fe 50 N O1 O X

16 Cristal Bidimensional Modelo 2 (definição). Consideremos um cristal hipotético bidimensional e centrossimétrico como mostrado na figura abaixo, com cela unitária a=b de 30 Å. Como as posições dos átomos indicadas na tabela abaixo. Átomos X(Å) Y(Å) X/L Y/L CA1 8,326 10,351 0,2776 0,3450 C 9,0 9,0 0,3 0,3 N 10,325 9,0 0,3442 0,3 O 8,316 7,966 0,2772 0,2656 CA2 11,096 7,766 0,3699 0,2589

17 Cristal Bidimensional Modelo 2 (número de reflexões). Como para o exemplo unidimensional, calculamos o número máximo de reflexões a partir da lei de Bragg, só que para o caso bidimensional, o espaçamento interplanar é dado por: 1 h 2 k = + 2 d 2 a 2 b 2 1 h 2 h = + 2 = 2h2 d 2 a 2 a 2 a 2 Onde d é o espaçamento interplanar e λ o comprimento de onda usado, que neste caso é 1,5418 Å. A partir da lei de Bragg temos: 2 d sen θ = λ 2 (a/2 1/2 h) sen θ = λ Como a cela unitária é quadrada temos, a=b=30 Å e h=k, portanto: 1 2 1/2 (a/h) sen θ = λ h = 2 1/2 a/λ h = 2 1/2 30/1,5418 h = 27,51 (arredondamos para h = 27)

18 Cristal Bidimensional Modelo 2 (fator de estrutura). Para o modelo 2 (cristal bidimensional) temos a seguinte expressão: N F(hk) = Σ f j exp [2πi (hx j + ky j )] j=1 Como no cristal do unidimensional o cristal bidimensional é centrossimétrico, assim eliminamos a parte imaginária do fator de estrutura, temos então: N F(hk) = Σ f j cos [2π (hx j + ky j )] j=1

19 Cristal Bidimensional Modelo 2 (densidade eletrônica). Para o caso bidimensional a densidade eletrônica fica da seguinte forma: ρ(xy) = (1/A)Σ Σ F(h)cos [2π (hx + ky)] h k O seu cálculo computacional implica na definição de um gradeado bidimensional, ou seja, um conjunto de pares ordenados (x,y) para o qual será calculado o valor da função densidade eletrônica ρ(x,y).

20 Cristal Bidimensional Modelo 2 (densidade eletrônica). Para um cristal hipotético bidimensional temos a função densidade eletrônica representada graficamente abaixo. Vemos os picos de densidade eletrônica para os átomos do cristal bidimensional, na figura da direita temos um mapa de contorno Os eixos x e y são coordenadas fracionárias Sobreposição do modelo da ligação peptídica no mapa de contorno.

21 Cristal Bidimensional Modelo 2 (densidade eletrônica). A precisão dos picos de densidade eletrônica depende do número de reflexões, que foi usado no cálculo da função densidade eletrônica. Quanto maior o número de termos (fatores de estrutura), usados no cálculo da função densidade eletrônica, mais bem definidos serão os picos da densidade eletrônica. Podemos testar esta característica usando a função densidade eletrônica do cristal bidimensional. Uma densidade eletrônica calculada, usando-se um número maior de reflexões, permite uma melhor definição dos contornos, facilitando a identificação de aspectos estruturais da molécula cristalizada, é devido a esta característica que grande esforço é feito para a obtenção de dados de difração de raios X a alta resolução, ou seja, mais reflexões para o cálculo da função densidade eletrônica.

22 Cristal Bidimensional Modelo 2 (densidade eletrônica). A figura da esquerda apresenta picos de densidade eletrônica bem definidos. A da direira foi gerada com um número menor de fatores de estrutura, na prática é isto que ocorre quando temos um número menor de reflexões, ou seja, uma pior resolução dos dados de difração de raios X A somatória dos fatores de estrutura foi até h=k=27) A somatória dos fatores de estrutura foi até h=k=14)

23 Cristal Bidimensional Modelo 2 (densidade eletrônica). O mapa de contorno também indica que a função densidade eletrônica calculada com número menor de reflexões apresenta picos pouco definidos A somatória dos fatores de estrutura foi até h=k=27) A somatória dos fatores de estrutura foi até h=k=14)

24 Cristal Bidimensional Modelo 3 (definição). Consideremos um cristal hipotético bidimensional (benzeno) e centrossimétrico, como mostrado na figura abaixo, com cela unitária a=b de 17 Å. Como as posições dos átomos indicadas na tabela abaixo. Átomos X(Å) Y(Å) X/L Y/L C ,1789 0,1679 C ,1079 0,2090 C ,1079 0,2910 C ,1789 0,3321 C ,2500 0,2910 C ,2500 0,2090

25 Cristal Bidimensional Modelo 3 (número de reflexões). Usamos o mesmo processo do cristal bidimensional do modelo /2 (a/h) sen θ = λ h = 2 1/2 a/λ h = 2 1/2 17/1,5418 h = 15,59 (arredondamos para h = k = 15)

26 Cristal Bidimensional Modelo 3 (fator de estrutura). Usaremos a mesma equação do fator de estrutura do caso co cristal bidimensional. N F(hk) = Σ f j cos [2π (hx j + ky j )] j=1

27 Cristal Bidimensional Modelo 3 (densidade eletrônica). Como já foi estabelecido, para o caso bidimensional a densidade eletrônica fica da seguinte forma: ρ(xy) = (1/A)Σ Σ F(h)cos [2π (hx + ky)] h k O seu cálculo computacional implica na definição de um gradeado bidimensional, ou seja, um conjunto de pares ordenados (x,y) para o qual será calculado o valor da função densidade eletrônica ρ(x,y).

28 Cristal Bidimensional Modelo 3 (densidade eletrônica). Para um cristal hipotético bidimensional temos a função densidade eletrônica representada graficamente abaixo. Vemos os picos de densidade eletrônica para os átomos do cristal bidimensional, na figura da direita temos um mapa de contorno r X Os eixos x e y são coordenadas fracionárias 0.4 Y Sobreposição do modelo do benzeno no mapa de contorno.

29 Cristal Bidimensional Modelo 3 (densidade eletrônica). Animação da densidade eletrônica do modelo 3. Os eixos x e y são coordenadas fracionárias

30 Cristal Bidimensional Modelo 3 (densidade eletrônica). Da mesma forma que avaliamos para o modelo 2 podemos testar o efeito da resolução na densidade eletrônica. A figura da esquerda foi gerada com h e k estendendo-se até 15, e a figura da direita com h e k estendendo-se até 10, vemos claramente que a figura da esquerda apresenta picos de densidade eletrônica mais bem definidos. r X A somatória dos fatores de estrutura foi até h=k=15) Y A somatória dos fatores de estrutura foi até h=k=10)

31 Efeito da Vibração Térmica na Densidade Eletrônica O aumento vibração térmica diminui o fator de estrutura, e consequentemente afeta a função densidade eletrônica. Levando-se em conta a vibração térmica, o fator de estrutura fica da seguinte forma para cristais bidimensionais: N F(hk) = Σ f j exp [2πi (hx j + ky j )].exp[-b j (sen θ/λ) 2 ] j=1 Calcularemos a função densidade eletrônica para o modelo 3 (benzeno) considerandose três situações: B = 0 Å 2, B = 2 Å 2 e B = 4 Å 2.

32 Efeito da Vibração Térmica na Densidade Eletrônica A densidade eletrônica da esquerda é para B = 0 Å 2, a do meio é para B = 2 Å 2 e o da direita para B = 4 Å 2. Vemos claramente uma perda da definição dos picos de densidade eletrônica para os maiores valores do fator de vibração térmica. Toda as densidades eletrônicas foram calculadas B = 0 A 2 B = 2 Å 2 B = 4 Å 2.

33 Referências Delatorre, P. & Azevedo, W. F. (2001) J. Appl. Crystal. 34, Delatorre, P., Fadel, V. & Azevedo, W. F. (2001). Rev. Bras. de Ens. De Fisica. 23, Drenth, J. (1994). Principles of Protein X-ray Crystallography. New York: Springer- Verlag. Rhodes, G. (2000). Crystallography Made Crystal Clear. 2 nd ed.san Diego: Academic Press. Stout, G. H. & Jensen, L. H. (1989). X-Ray Structure Determination. A Practical Guide. 2nd ed. New York: John Wiley & Sons.