UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Escola de Engenharia de Lorena EEL

Transcrição

1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Escola de Engenharia de Lorena EEL LOB FÍSICA IV Prof. Dr. Durval Rodrigues Junior Departamento de Engenharia de Materiais (DEMAR) Escola de Engenharia de Lorena (EEL) Universidade de São Paulo (USP) Polo Urbo-Industrial, Gleba AI-6 - Lorena, SP durval@demar.eel.usp.br Comunidade Alunos (Página dos professores) Rodovia Itajubá-Lorena, Km 74,5 - Caixa Postal 116 CEP Lorena - SP Fax (12) Tel. (Direto) (12) / USP Lorena Polo Urbo-Industrial Gleba AI-6 - Caixa Postal 116 CEP Lorena - SP Fax (12) Tel. (PABX) (12)

2 UNIDADE 6 - Difração

3 A Sunday on La Grande Jatte Georges Seurat (French, ) A Sunday on La Grande Jatte , Oil on canvas, 81 3/4 x 121 1/4 in. (207.5 x cm) Helen Birch Bartlett Memorial Collection, Gallery 205

4 Difração: Desvio da luz da propagação retilínea. Trata-se de um efeito característico de fenômenos ondulatórios que ocorre sempre que parte de uma frente de onda, seja de uma onda sonora, de matéria, ou luminosa, é obstruída de alguma forma. Fresnel (1819)

5 Augustin Fresnel ( ) Dez anos mais nove que T. Young, Augustin Fresnel foi um engenheiro civil francês que se interessou por estudos de ótica. Ele não participava do círculo acadêmico de Paris e não conhecia o trabalho de Young. Era contrário a Napoleão e quando este retornou em 1815, Fresnel ficou em prisão domiciliar. Fresnel estudou o efeito da luz por uma fenda. Em 1817 a Academia Francesa ofereceu um prêmio ao melhor trabalho experimental sobre difração e que apresentasse um modelo teórico explicando o efeito. Fresnel apresentou um trabalho de 135 páginas; era um modelo de ondas. O júri era composto por S-D Poisson, J. B. Biot, e P. S. Laplace, todos Newtonianos ferrenhos que apoiavam a teoria corpuscular da luz. Poisson calculou, usando a teoria de Fresnel, algo que parecia inconsistente. Feito o experimento, Fresnel estava correto!!!!!

6 Se uma frente de onda é obstruída a sua forma é alterada

7 Difração

8 Difração É o fenômeno pelo qual uma onda pode contornar obstáculos ou fendas. A difração não altera V, f, T e λ. A difração ocorre com qualquer onda desde que seja satisfeita a seguinte condição: λ d ou λ >> d onde d é o tamanho do obstáculo ou a largura da fenda. Para λ << d, não ocorre difração.

9 Difração em uma fenda λ << d λ d λ >> d V V V V V V d λ Não ocorre difração Ocorre difração Ocorre difração acentuada

10 Difração A difração ocorre quando a abertura é da ordem do comprimento de onda da onda incidente, ou para λ a. λ << a λ < a λ a

11 Usando o Princípio de Huygens:

12 Exemplo de Difração em uma fenda

13 Difração em um obstáculo λ << d λ d ou λ >> d V V V V d V λ V V V

14 Difração em um obstáculo

15 Difração da Luz e do Som 1,7cm < λ SOM < 17m 0,00004cm < λ LUZ < 0,00008cm Para obtermos a difração é necessário que λ d ou λ >> d. Logo o som sofre difração com mais facilidade que a luz.

16 Difração por uma fenda Em um anteparo, obtemos um padrão de difração Franjas escuras ocorrem para: senθ = m λ a a : largura da fenda

17 Determinação da Posição dos Máximos e Mínimos Suposição: D >> a Para o primeiro mínimo, a diferença de caminho óptico é δ= a 2 senθ No anteparo as ondas devem estar fora de fase para formação da primeira franja escura: δ= λ λ = a senθ 2 δ

18 A condição que determina a segunda franja escura é encontrada dividindo a fenda em 4 partes : a 4 senθ Teremos um mínimo quando: δ = λ 2 senθ = 2 λ a Assim, para todos os mínimos : senθ = m λ ; m = 1, 2,... a

19 A posição dos mínimos é dada pela condição de que a diferença de percurso entre o raio superior e o inferior seja múltiplo de : senθ = λ m ; m = 1, a 2, 3,...

20 Observe que aumentando a largura da fenda, diminui a largura do máximo central:

21 Se colocarmos uma lente L2, com o anteparo no seu plano focal, os raios que chegam ao anteparo são originalmente paralelos. Portanto, não precisamos da condição. D

22 Determinação da Intensidade Verificaremos que: onde 2 ) ( = α α θ sen I I m ( ) θ λ π φ α sen a = = θ λ π α sen a =

23 Difração por uma fenda e Fasores Δφ Δφ φ

24 Fasores E1 (t ) = E1 sen(ω t ) = E1 sen(α ) E2 (t ) = E2 sen(ω t + φ) = E2 sen(α + φ ) r E1 r E1 r E2 r E 2 E r E2 φ r E r E1 r E2 r r r E = E1 + E2 φ E1 sen α E2 sen (α + φ ) 2π φ = k (d sen θ ) = (d sen θ ) λ (diferença de fase )

25 Intensidade da Onda Difratada Ei N Δy = φ r φ = 2α = 2π λ a sen θ Ef r Posição θ (defasagem φ) Eθ Ef Ei E0 φ Máximo central (θ=φ=0)

26 Intensidade da Onda Difratada (método dos fasores) N Δy = φ φ φ = 2α = 2π λ a sen θ φ π a α = sen θ 2 λ φ Eθ / 2 = r sen(φ / 2) φ = E0 / r ; r = E0 / φ Eθ = E0 φ / 2 sen(φ / 2) = E0 sen α α A intensidade da onda em θ será I(θ): I senα ( θ ) = Eθ = E0 α Mínimos: α =±mπ a sen θ =±mλ ; m = 1, 2,... 2 senα I( θ ) = Io α 2

27 Difração por uma Abertura Circular A posição do primeiro mínimo, para uma abertura circular de diâmetro d, é dada por: senθ 1,22 λ d

28 Resolução A imagem difratada de dois objetos pontuais, ao passar por um orifício de diâmetro d, adquire uma separação angular da ordem de: Δθ R = arcsen 1, 22 λ d d

29 Critério de Rayleigh : A separação angular mínima para que duas fontes pontuais possam ser distinguidas é aquela onde o máximo central de uma coincide com o primeiro mínimo da figura de difração da outra: λ λ Δθ R = arcsen 1,22 1, 22 d d

30 Os sistemas ópticos (microscópios, telescópios, olho humano) são caracterizados por um poder de resolução: 1 Δθ R

31 Difração por Duas Fendas No estudo do experimento de Young consideramos e obtivemos a figura da direita. Neste limite as fontes S1 e S2 irradiam (I0) de modo uniforme para todos os ângulos. Mas, se considerarmos uma razão finita, cada fonte irradiará de modo semelhante a figura da direita.

32 Intensidade da figura de interferência de duas fendas: 2 senα I( θ ) = I m cos β α onde πd πa β = senθ α = senθ λ λ d é a distância entre os centros das fendas a é a largura de cada fenda 2 cos β senα α é o Fator de Interferência 2 é o Fator de Difração 2

33 Intensidade da figura de interferência de duas fendas: 2 senα I( θ ) = I m cos β α onde πd πa β = senθ α = senθ λ λ No limite obtemos a equação para a intensidade no experimento de Young (par de fendas): 2 2 I ( θ ) = I m cos β No limite fenda única: obtemos a equação para a intensidade numa senα I( θ ) = I m α 2

34 O gráfico geral da intensidade é algo como: uma fenda duas fendas

35 Rede de Difração Somando os raios, dois a dois, teremos máximos no anteparo quando: dsenθ = mλ (m = 0,1, 2,...)

36 Representação das frentes de onda

37 A rede de difração tem uma resolução muito superior a uma fenda dupla, por exemplo: Pode ser utilizada para determinar um a partir do. desconhecido

38 Pode ser utilizada para determinar um a partir do : dsenθ = mλ desconhecido Espectrômetro de Rede de Difração

39 Largura das Linhas Verificamos no estudo da difração por uma fenda que a posição do primeiro mínimo é dada por: Para um ângulo geral (prova anexa): θ Δθ ml λ = a senθ Para determinarmos a meia largura da linha central, a = Nd basta fazermos 0 Nd senδθ = λ ml 0 Δθ λ Nd cos θ ml λ Nd

40 Redes de difração com resolução menor:

41 Dispersão (D) Dispersão é a separação das linhas de difração associadas aos comprimentos de onda que podem ser distinguidos pela rede de difração. A dispersão numa rede de difração é definida por: Δθ Δλ onde Δθ é separação angular entre duas linhas que diferem de Δλ. d senθ dλ d Vimos que λ = portanto = cosθ m dθ m Logo, temos: D = D = Δθ Δλ = m d cosθ

42 Resolução (R) Para distinguir linhas com λ próximos, é necessário que as larguras das linhas correspondentes sejam tão pequenas quanto possível. A rede de difração deve ter, então, um alto poder de Resolução R, definida por: onde Δλ é a menor diferença de comprimento de onda que pode ser resolvido e é o comprimento de onda médio. Vimos que o menor ângulo que pode ser resolvido é: Substituindo este valor na eq. da dispersão: Δ θ m λ = = 1 Δλ d cosθ Nd cosθ Δλ Assim, temos: R = λ med Δλ λ Δθ = Nd cosθ d cosθ Δ θ = m Δλ R = λmed Δλ = Nm

43 Dispersão x Resolução (Exemplo) D = Δθ Δλ = m d cosθ A dispersão melhora com a diminuição de d R = λmed Δλ = Nm Resolução aumenta com N, número de ranhuras

44 Dispersão x Resolução (Exemplo) REDE N d (nm) θ D ( /μm) R A ,4 23, B ,4 23, C ,5 46,

45 Difração de Raio X por Cristais O comprimento de onda dos Raios X é da ordem do espaçamento atômico em cristais, m = 1 Å.

46 Temos interferências construtivas quando: 2dsenθ = mλ Lei de Bragg

47 Porém, para qualquer ângulo de incidência, temos vários planos de reflexão.

48 Assim, temos uma figura de difração complexa.

49 Técnica da Difração de Raios X (DRX) 2θ

50 Análise dos dados de DRX Gráfico Intensidade x 2θ Calcula-se os dados: distância interplanar (d) e a intensidade relativa para cada reflexão. Grupo 3 Dados Experimentais % 2θ = 36,4 I = d = 2,4681 Α 7500 I(cps) ,40% 2θ = 29,5 I = 931 d = 3,0278 Α 33,72% 2θ = 42,25 I = 3340 d = 2,1389 Α 4,10% 2θ = 52,4 I = 407 d = 1,7460 Α θ( o ) ruido de fundo = 288,45

51 Análise dos dados de DRX A partir do conjunto de distâncias interplanares e intensidades relativas dos picos, identifica-se o composto pelo Método Hanawalt. Em seguida consulta-se o arquivo referente aos composto.

52 Software de Auxílio Grupo 3 Dados do Powdercell % 2θ = 36,45 I = 8390,834 d = 2,4649 Α (111) 6000 I(cps) (110) 3,60% 2θ = 29,59 I = 302,411 d = 3,019 Α 41,17% 2θ = 42,32 I = 3454,268 d = 2,1356 Α (200) 1,25% 2θ = 52,51 I = 104,726 d = 1,743 Α (211) θ(º) Gráfico Intensidade x 2θ, sem ruído de fundo.

53 Software de Auxílio Oxig Oxig Oxig Oxig Cobr Cobr Oxig Cobr Cobr a c b Oxig Oxig Oxig Oxig Po wd ercell 2.0 Visualização da estrutura cristalina da amostra estudada.

54 EXERCÍCIOS SUGERIDOS

55 Prob. 1: Prob. 3:

56 Prob. 2:

57 Prob. 4: Prob. 5:

58 Prob.6: Uma linha espectral com comprimento de onda de 4750 Å é na verdade um dubleto, de separação 0,043 Å. (a) Qual é o menor número de linhas que uma rede de difração precisa ter para separar esse dubleto no espectro de segunda ordem? (b) Se a rede tem 10 cm de comprimento, determine a direção em que será observada a linha deste espectro. (c) Qual será a separação angular entre estas duas linhas?