DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E ARQUITECTURA SECÇÁO DE HIDRÁULICA E RECURSOS HÍDRICOS E AMBIENTAIS HIDRÁULICA I Resoluções dos problemas HIDRÁULICA I 1
5 HIDRODINÂMICA: FORMA DIFERENCIAL. FLUIDO PERFEITO E ESCOAMENTOS IRROTACIONAIS PROBLEMA 5.1 Considere o seguinte campo de velocidades: V = axi ayj Admitindo que o fluido é incompressível, verifique a continuidade do escoamento com base na equação de conservação da massa na forma diferencial. Resolução Forma diferencial da equação da continuidade (ou da conservação da massa): ρ + ( ρ v ) = t ρ t + v ( ) i ρ + ρ iv = d ρ + ρ iv = dt Como o fluido é considerado incompressível, ρ = cte dρ = dt iv = v = a x i a y j v = a x a y = a a = y i ( ) ( ) Como iv = o escoamento respeita a equação da continuidade, c.q.d. PROBLEMA 5. Considere as duas seguintes hipóteses de campos de velocidade de escoamentos permanentes planos de um fluido incompressível: a) u = x + y b) u = 9xy + y v = 4xy v = 8xy + x Utilizando a forma diferencial do princípio da conservação da massa, verifique, para ambos os casos, se há conservação da massa. Represente graficamente os vectores velocidade plausíveis nos pontos (,); (,) e ( 3,3). HIDRÁULICA I
Resolução No caso de escoamentos de fluidos considerados incompressíveis, a equação da continuidade reduz-se a: u v iv = + = y Para a alínea a): ( ) ( ) u v + = x + y + 4xy = 4x 4x = y y ou seja, o campo de velocidades conduz à conservação da massa pelo que representa um escoamento plausível. Para a alínea b) u v + = ( 9xy + y) + ( 8xy + x) = 9y + 8x y y para todo o 8 y x 9 o campo de velocidades não conduz incondicionalmente à conservação da massa pelo que não representa um escoamento plausível. Os vectores velocidade plausíveis (alínea a) são os seguintes: HIDRÁULICA I 3
PROBLEMA 5.3 Para recolher contaminantes superficiais indesejáveis, como é o caso do óleo derramado na superfície do mar, pode utilizar-se um dispositivo do tipo tapete rolante, que os recolhe para um navio apropriado. Quando o tapete opera em regime permanente, com velocidade U, a espessura da película de óleo é uniforme e igual a a. Admitindo que a velocidade do óleo é induzida unicamente pelo tapete (velocidade da água do mar nula), determinar: a) O perfil da velocidade na película de óleo em função de U, a, θ e das propriedades do óleo e µ. b) O caudal de óleo transportado pelo tapete por unidade de largura. c) A espessura da película, a, para a qual o caudal é máximo. Resolução As equações de Navier-Stokes podem escrever-se na seguinte forma geral ( j = 1,, 3) u j u j p u ρ + = + λ k u u + µ k j u + + ρ k f t xk x j x j xk xk x j xk j Como o óleo pode ser considerado incompressível, o termo x j u λ x k k é nulo (porque u k x k = pela equação da continuidade). Por outro lado, considerando µ = cte, obtem-se u u k j u u j u k j µ + = µ + = µ x k x j xk x j xk xk xk x k xk HIDRÁULICA I 4
Ou seja, as equações de Navier-Stokes para fluidos incompressíveis de viscosidade constante podem ter a seguinte forma u j u j p u j ρ + u = + µ + ρ k f t xk x j xk xk u j No caso de o escoamento ser permanente, =, pelo que t u j p u j ρ uk = + µ + ρ f u x x x k j i i j j Se o escoamento for bi-dimensional, as equações de Navier-Stokes tomam a seguinte forma: Segundo x: u u p u u ρ u + w = + µ + + ρ f x z x x z x (1) Segundo y: w w p w w ρ u + w = + µ + + ρ f x z z x z z () a) a aplicação das equações (1) e () ao caso em estudo permitirá encontrar a solução desejada. Sistema referencial x z equação da continuidade ρ ρ ρ uk dρ uk + ( ρ uk ) = + uk + ρ = + ρ = t t dt k k k k Para fluidos incompressíveis d ρ u = k = dt k ou seja: u + w = z (em todos os pontos do escoamento) Integrando a equação da continuidade, obtém-se HIDRÁULICA I 5
a u w + d z = z a u d z + w a w = No fundo, a velocidade na normal à fronteira é, necessariamente nula: w = (condição de aderência). A equação de fronteira da superfície livre é w a a a = + u t a Como a espessura do escoamento é constante, a = t vertical normal na superfície livre é nula, e a =. Assim, a velocidade w =, a e a u d z = u = (porque a ). u Como =, então w = e w = cte segundo z. Como z = w = (condição z de aderência), então w = para qualquer z. A força de massa (peso) por unidade de massa é g, pelo que f = g senθ e f = g cos θ x z u u Tendo em conta que = ; w = ; = Stokes segundo x assume a seguinte forma: ou seja: p u + µ ρg senθ = z e f = g senθ, a equação de Navier- x u p µ = + ρg senθ z equação de Navier-Stokes segundo x Como w w w w w = = = e = = z z Stokes segundo z tem a seguinte forma: pelo que a equação de Navier- HIDRÁULICA I 6
p ρg cos θ = z p = ρ g cos θ z eq. de Navier-Stokes segundo z A integração da equação de Navier-Stokes segundo z conduz a p( x, z) = ρg cos θ z + p( x ) Na superfície livre, z p( a) = ρg cos θ a + p ( x) = p = a e a pressão é igual à pressão atmosférica atm Assim, a função p ( x ) é p ( x) = patm + ρg cos θ a e a distribuição de pressões segundo z é hidrostática: p( x, z) = p + ρg cos θ ( a z ) atm Determinação de p Derivando a pressão em ordem a x obtém-se p a = ρg cos θ como a p = = cte, obtém-se A equação de Navier-Stokes segundo x aplicada ao caso em estudo pode finalmente escrever-se do seguinte modo: u µ = ρg senθ z (3) A integração da equação (3) conduz a u ρg senθ = z + C z µ ρg senθ u = z + C z + C µ 1 1 para z = tem-se pela condição de aderência u = U HIDRÁULICA I 7
ou seja C = U para z = a tem-se τ = µ du dz = pelo que ρg senθ a + C1 = µ ρg senθ C1 = a µ ou seja, o perfil de velocidades é o seguinte ρg senθ ρg senθ u( z) = z a z + U µ µ ρg senθ z u( z) = U z a µ perfil de velocidades pretendido z = u = U ρg senθ a z = a u = U µ z x z = a b) Cálculo do caudal escoado por unidade de largura Q = u n da = b u n A z dz a b = 1 q = u n dy u n = + u a ρg s e n θ ρg s e n θ ρg s e n θ 3 ρg s e n θ q = z a z + U dz = z a z + Uz = µ µ 6µ µ ρg s e n θ 3 ρg s e n θ 3 = a a + au 6µ µ s e n θ 3 q = Ua a 3µ c) espessura a para a qual o caudal é máximo a HIDRÁULICA I 8
q ρg s e n θ = a + U = a µ q ρg s e n θ = a a µ Como q q < = a a fornece um máximo ρg s e n θ Uµ U a = a = µ ρg s e n θ U a = µ ρ g s e n θ PROBLEMA 5.4 O recipiente cilíndrico de raio R representado na figura junta, tem um tubo inserido radialmente e dobrado em L. O trecho vertical do tubo está a uma distância R 1 do eixo do recipiente. Sabendo que, quando em repouso, o recipiente contém um líquido até à altura a determine a altura h 1 atingida pelo líquido no tubo quando se imprime ao recipiente um movimento de rotação em torno do seu eixo, de velocidade angular ω. Despreze o volume de líquido no tubo. HIDRÁULICA I 9
Resolução As equações de Euler, em coordenadas intrínsecas, são as seguintes: ( u ) p 1 us 1 + z = + s g t s p 1 un u + z = + n g t r p + z = b us un Para um escoamento permanente = = t t p u + z = s s g p 1 u + z = n g r p + z = b na bi-normal pressões) p + z = cte = cota da superfície livre (lei hidrostática das Num vórtice forçado, u = s g porque a velocidade se mantém constante ao longo de cada trajectória circular e, de acordo com o Teorema de Bernoulli (ª Forma), p + z também constante ao longo de cada trajectória. é Em consequência disso, p + z só varia segundo n, ou seja, a resolução do problema (variação de h na superfície livre) implica a integração da equação segundo n : d p 1 u + z = dn g r HIDRÁULICA I 1
como d = d, vem dn dr d p 1 u + z = dr g r como d p w r u = wr + z =, pelo que dr g B A p rb w r d + z = dr ra g ( ) pb pa w + z + z = r r g h h B B A B A A ( ) h h = w r r g B A B A fazendo rb = r ra = hb = h ha = h vem h w r = h +. É necessário determinar o valor de g h. No caso em estudo, o volume de líquido em repouso é rep = Π R a Em movimento permanente o volume é dado por mov = Π R h + ' O volume ' é o seguinte: HIDRÁULICA I 11
R h ' = r dr dh dθ = h π d = r dθ dr dh R r h h dr ( ) = Π = w r R 3 4 Π w r Π w r Π w R = dr = = = ' (4) g g r 4g R 4 Ou seja, mov (volume total) é o seguinte: 4 Π w R mov R h = Π + = 4g Π R + = 4g w R h mov (5) Como mov = rep, então w R Π R h + = Π R a 4g h w R = a (6) 4g Tendo em conta que, para r = R1, se obtém h = h1 (eq. 1) e substituindo h pelo seu valor (eq. 6), obtém-se, finalmente w R1 w R h1 = a + 4g g h w R h1 = a + R1 (7) g HIDRÁULICA I 1
PROBLEMA 5.5 Numa tubagem com m de secção que transporta um caudal de 3 1 m s de água, insere-se um estreitamento localizado, a montante do qual a pressão absoluta é de, 15 MPa. Indicar qual a pressão mínima teórica do estreitamento para o qual não se verifique perturbação do escoamento. Considere nulas as perdas de carga no estreitamento, uniforme a distribuição de velocidades em qualquer secção e admita que a temperatura do líquido é C. Resolução Não há perdas de carga H1 = H a secção mínima teórica é aquela as que corresponde o início da vaporização do líquido. Consequentemente, a pressão na secção é, nesse caso, igual à tensão de saturação do vapor de água a C, isto é, p = t v = 33. H p1 U1 1 = + z1 + g constante ao longo da trajectória (fluido perfeito) p1 =, 15 M Pa =, 15 1 Pa = 15 Pa U 1 Q = = = 1 m s A 1 15 1 H 1 = + z1 + m 98 19, 6 6 p U 33 U H = + z + = + z + m g 98 19, 6 HIDRÁULICA I 13
15 1 33 U H1 = H + z1 + = + z + 98 19, 6 98 19, 6 z 15 1 33 U = z + = + 98 19, 6 98 19, 6 1 U 15 1 33 = + 19, 6 = 17, 1ms 98 19, 6 98 Q = U A Amin = m =, 116 m 17, 1 1 A =, 116 m Para áreas inferiores o líquido vaporizará (cavitação). min PROBLEMA 5.6 Considere uma albufeira com o volume R de água e secção transversal média A R. A barragem está munida com uma descarga de fundo com secção transversal A estando o respectivo eixo à distância H da superfície livre da albufeira. Determine o tempo de esvaziamento da albufeira no caso de se abrir totalmente a descarga de fundo. Despreze as perdas de carga (fluido perfeito) e as forças de inércia. Z R H R descarga de fundo Resolução De acordo com o Teorema de Bernoulli associado à aproximação de fluido perfeito pode obter-se a velocidade do escoamento na secção de saída da descarga de fundo (fórmula de Torricelli): V = g H HIDRÁULICA I 14
sendo a H a carga hidráulica no eixo duma secção. Admitindo que a albufeira é suficientemente grande para a velocidade e aceleração serem muito pequenas pode aplicar-se a equação de continuidade no reservatório: d R = QE dt Q S com Q E =. Considerando uma secção transversal média de albufeira com área A R constante pode escrever-se a seguinte relação: A R dz dt R = Q S em que Q = V A = A g H. S D D Fixando como eixo de referência o eixo da descarga de fundo H = z e R dz dt R A = A D R g z R Integrando esta equação z R dz z R R T = α dt com α = A D A g R, obtém-se a seguinte expressão aproximada para o tempo de esvaziamento T zr AR R T = = g A g z A D R ou ainda Sendo R T =, 5 Q So Q So = caudal de descarga inicial com a velocidade de Torricelli. T corresponde ao tempo de esvaziamento com base num caudal médio de saída. Não se consideraram as perdas de carga na descarga de fundo (fluido perfeito) nem as forças de inércia. Trata-se de uma solução aproximada. Sugestão: determinar valores de T para valores reais de albufeiras. HIDRÁULICA I 15
PROBLEMA 5.7 Admitindo a aproximação do fluido perfeito, determine a expressão matemática que permite determinar o peso P de um corpo equilibrado, na atmosfera, por um jacto de água vertical à distância h 1 da saída do bocal com secção S. Considere a carga H à saída do jacto para a atmosfera. atmosfera H P h 1 Resolução P I z 1 c Q, U 1 HIDRÁULICA I 16
O corpo sólido estará em equilíbrio quando o respectivo peso P for equilibrado pela impulsão I resultante do impacto do jacto. Considerando o volume de controlo c indicado na figura e aplicando o princípio da conservação da quantidade de movimento linear segundo a direcção vertical obtém-se (considerando β = 1): ou I = ρ QV 1 I = ρ QV 1 (despreza-se o peso do jacto líquido no interior de tangenciais). c e consideram-se nulas as tensões O caudal Q é igual a V1 S, admitindo que a distância h 1 é muito pequena. Para determinar o valor de V 1, aplica-se a ª Forma do Teorema de Bernoulli entre um ponto A de superfície livre do reservatório e a saída do bocal ( B ). A + ha + A = B + hb + B P V P V g g Considerando a pressão atmosférica nula P A = P = e V A =, obtém-se: B B V ha hb H g = = VB = g H (F. de Torricelli) V = V 1 B donde ( ) P = ρ QV = ρ S g H 1 ou P = S H HIDRÁULICA I 17
Observação: na realidade, a constante numérica poderá ser diferente de para atender aos efeitos desprezados! PROBLEMA 5.8 Para a instalação representada na figura, obtenha a expressão que relaciona o caudal escoado com as variáveis assinaladas na mesma figura, desprezando as perdas de carga entre as secções 1 e (fluido perfeito). Resolução Desprezando as perdas de carga entre as secções (1) e () vem p1 U1 p U 1 = + 1 + = + + H H z z g g com = ρ g Como Q = U1A1 = U A 1 Q p Q + z1 + = + z + g ( A1 ) g ( A ) p Q 1 1 p p1 = + z + z1 g A1 A Q = p p1 g + z + z1 1 1 A1 A Como em escoamentos rectilíneos a linha piezométrica é única na secção recta (equação de Euler segundo s ). Então HIDRÁULICA I 18
p1 p + z = + 3 1 z3 e p p 4 + z = + z4 e p p1 p4 p3 + z + z1 = + z4 + z3 Por outro lado: p3 p5 + z3 = + z5 p4 p6 + z4 = + z6 p5 p6 p6 p5 + z5 = + z6 = z5 z6 = R m = ρm g m m m m p4 p3 p6 p5 + z4 + z 3 = + z 6 + z 5 Como e então p p1 p4 p3 + z + z1 = + z4 + z3 p4 p3 p6 p5 + z4 + z3 = + z6 + z5 p p1 p6 p5 + z + z1 = + z6 + z5 p6 p5 p6 p5 = + z6 z5 = + R Já vimos que p p 6 5 m = R ou seja p6 p5 = R m pelo que p p1 m m + z + z1 = R + R = R 1 Donde se conclui que Q = m g R 1 1 1 A1 A com 1 Π D A1 = e 4 Π D A = 4 HIDRÁULICA I 19
PROBLEMA 5.9 Numa secção a montante do descarregador representado na figura junta, a velocidade do escoamento é 1 1ms e a altura de água sobre o fundo é, m. Considerando irrotacional o escoamento na vizinhança do descarregador e que a pressão no ponto P é a atmosférica, determine a velocidade nesse ponto. Resolução Como o escoamento se pode considerar irrotacional na vizinhança do descarregador (escoamento fortemente acelerado), p u + z + = cte g em todos os pontos do fluido contidos nessa vizinhança (3ª Forma do Teorema de Bernoulli). Considerando os pontos A (superfície livre p. atmosférica) e P H H A P A pa U = + za + g P pp U = + zp + g 1 U P + za + = + zp + 19, 6 g ( ) U P 1 1 za zp = 1m 1= U P = 19, 6 + 1 ms 19, 6 UP = 4, 54 ms 1 HIDRÁULICA I
PROBLEMA 5.1 Através do difusor de uma turbina, com a forma e dimensões indicadas na figura, escoa-se um caudal de 3 1 m s. Calcular a pressão existente na secção 1, em atmosferas, sabendo que na secção 3, em que o difusor descarrega para um lago de grandes dimensões, se dá uma perda de energia igual à energia cinética nesse ponto. Admitindo que o escoamento no difusor é irrotacional, calcular a pressão na soleira na secção. Considerar a distribuição de velocidades uniforme nas diferentes secções do difusor. Resolução Admitindo que o escoamento é irrotacional, H1 = H = H3 p U reservatório = + + = 5 H z m g ( ) ( ) U H3 = Hres. + H = 5 + = 5 + = 5, 51m mont. g 19, 6 ( 5) p1 p H1 = H3 + 5 + = 5, 51 =, 765 m 19, 6 1 p1 = 75 Pa 75 p1 = atm =, 74 (pressões relativas) 5 1, 1 1 5 1atm =1,1 1 Pa p1 =, 74 atm (p.relativas) p1 =, 96 atm (p.absolutas) HIDRÁULICA I 1
na soleira da secção () ( 1) p p + + = 5, 51m = 4, 847 m 19, 6 p = 475 Pa PROBLEMA 5.11 Sabendo que um ciclone pode ser considerado como sendo um vórtice potencial rectilíneo e que, num dado ciclone, a velocidade do vento a 5 km do centro é de 1 km h, determinar o valor da componente radial do gradiente da pressão nesse ponto. Qual é a diferença de pressão entre este ponto e outro situado a 5 km do centro, à mesma cota? Resolução Um vórtice potencial rectilíneo é um vórtice livre (escoamento irrotacional): p U H = + z + g é igual em todos os pontos: A velocidade (tangencial) é inversamente proporcional à distância ao eixo do vórtice, isto é K u = em que K é a constante do vórtice. r Componente radial do gradiente de pressão: Equações de Euler (fluido invíscido sem efeitos de viscosidade). ( us ) p 1 u S 1 + z = s g + t s p 1 un u S + z = + n g t r p + z = b A componente radial do gradiente de pressão é, obviamente, dada pela ª equação de Euler HIDRÁULICA I
para escoamentos permanente, como é o caso, a ª equação de Euler, escrita em r, vem: p 1 u + z = + r g r uma vez que us = u como K p 1 K u = + z = r r g r 3 a componente radial da pressão obtém-se para z = cte pelo que a equação anterior vem: p 1 K p p = = r r g 3 r r A constante K do vórtice é dada por 1 1 6 1 K = u r = km h 5 km = 1 km h =, 77 1 ms pelo que p para r = 5 km vem: r HIDRÁULICA I 3
(, 77 1 ) 3 ( 5 1 ) 6 4 p 1 m s = = 6, 6 1 r 9, 8 4 3 ms m ou seja: p p 3 5 = = 1, 671 Nm 6, 6 1 m r r m p = 7, 93 1 r 4 ar Pa m 5 m m Diferença de pressão p 1 K p K K = = p = r r g 3 r g 3 g 3 r r r r 1 p = K p = K + C = u + C g 3 g r r g r1 = 5 km p1 = ( u1 ) + C g r = 5 km p = ( u ) + C g p p p u u g ( ) ( ) 1 = = 1 1 1 km h 1 1 u = = km h = 55, 55 ms 5 km 1 1 u1 = km h = 5, 555 ms p = 1975Pa PROBLEMA 5.1 O escoamento irrotacional, num canal munido de uma comporta com abertura inferior, tem a rede isométrica (rede de escoamento) que se representa na figura. Efectuar uma análise qualitativa da distribuição de pressões na soleira e no plano vertical da comporta. HIDRÁULICA I 4
Resolução a) Distribuição de pressões no plano vertical da comporta No ponto (1) Este ponto é um ponto de estagnação, em que u = p H = + z. p Como se trata de um ponto à superfície, = e H = z. Na zona () Nesta zona, a curvatura das linhas de corrente é a seguinte: pelo que p + z n é, num dado ponto, proporcional a p + z, i.e., z p 1 u p + z = + z n g r z p Consequentemente, + z > z pelo que p + z decresce quando z decresce e viceversa. À medida que se desce ao longo da comporta, o valor de sucessivamente menor do que o valor hidrostático. p + z vai sendo HIDRÁULICA I 5
No ponto (3) Este ponto está à pressão atmosférica. Na zona (4) Nesta zona, a curvatura das linhas de corrente é a seguinte Por isso, p p + z + z n z Como p 1 + z = u n g r, então p 1 + z u z g r p, ou seja + z < z Como tal, ao contrário do que acontecia na zona (), o valor de hidrostático. b) Distribuição de pressão na soleira p + z é maior do que o valor A montante da comporta Nesta zona, a curvatura das linhas de corrente é a seguinte HIDRÁULICA I 6
pelo que p p p 1 u + z + z + z > n z z g r Nesta situação a pressão no fundo, a montante da comporta, é inferior à pressão hidrostática. A jusante da comporta, como a curvatura das linhas de corrente é contrária à que ocorre a montante, a pressão no fundo é superior à hidrostática. HIDRÁULICA I 7