UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DE DIFERENÇAS FINITAS DE MALHA GROSSA ANALÍTICO PARA A SOLUÇÃO NUMÉRICA DA EQUAÇÃO DE DIFUSÃO DE NÊUTRONS

UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DE DIFERENÇAS FINITAS DE MALHA GROSSA ANALÍTICO PARA A SOLUÇÃO NUMÉRICA DA EQUAÇÃO DE DIFUSÃO DE NÊUTRONS Cassiano d Soza Gimarãs DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA NUCLEAR. Aprovada por: Prof. Frnando Carvalho da Silva, D.Sc. Prof. Aqilino Snra Martinz, D.Sc. Prof. Antônio Carlos Marqs Alvim, Ph.D. Prof. Ricardo Carvalho d Barros, Ph.D. Prof. Hrms Alvs Filho, D.Sc. RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL MARÇO DE 008

GUIMARÃES, CASSIANO DE SOUZA Utilização do método d difrnças finitas d malha grossa analítico para a solção nmérica da qação d difsão d nêtrons [Rio d Janiro] 008 XII, 79p. 9,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc., Engnharia Nclar, 008) Dissrtação - Univrsidad Fdral do Rio d Janiro, COPPE. Método d difrnças finitas d malha grossa analítico. Eqação da difsão d nêtrons 3. Aclração d métodos nodais I. COPPE/UFRJ II. Títlo (séri) ii

Aos ms pais, Divina Jorg, aos ms Padrinhos, Célia Liz Antônio às minhas irmãs Márcia, Valqíria Pala. iii

Podm ntrar... aqi também habitam Dss. Hiráclito iv

Agradcimntos Aos ms pais, Divina Jorg, aos ms padrinhos, Célia Liz Antônio às minhas irmãs, Márcia, Valqíria Pala, por invstirm m mim apoiarm nas scolhas q vnho fazndo na minha vida. Aos ms orintadors, Prof. Frnando Carvalho da Silva Prof. Aqilino Snra Martinz, pla confiança q dpositaram m mim por toda a orintação na condção dsta dissrtação. Ao órgão d fomnto CAPES, Coordnação d Aprfiçoamnto d Pssoal d Nívl Sprior, pla concssão da bolsa d stdos sm a qal não consgiria finalizar a prsnt dissrtação. v

Rsmo da Dissrtação aprsntada à COPPE/UFRJ como part dos rqisitos ncssários para a obtnção do gra d Mstr m Ciências (M.Sc.) UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DE DIFERENÇAS FINITAS DE MALHA GROSSA ANALÍTICO PARA A SOLUÇÃO NUMÉRICA DA EQUAÇÃO DE DIFUSÃO DE NÊUTRONS Cassiano d Soza Gimarãs Março/008 Orintador: Frnando Carvalho da Silva Aqilino Snra Martinz Programa: Engnharia Nclar Nsta dissrtação aprsntamos m acrado ficint método q dsnvolvmos para modlar a difsão d nêtrons no núclo d m rator nclar, q srá tratado m três dimnsõs spaciais m gomtria Cartsiana a dois grpos d nrgia. Utilizamos o método d Difrnças Finitas d Malha Grossa Analítico (DFMGA) para dtrminar os coficints d difsão ftivos nvolvndo apnas as médias nodais dos flxos ntrônicos como incógnitas. O método DFMGA sa sts coficints dtrminados mpiricamnt plas atalizaçõs d m simpls balanço nodal das qaçõs, nvolvndo apnas as médias dos flxos nos nodos como variávis, tornando-s comm a prática da aplicação da itratividad do DFMGA m métodos nodais avançados para aclrar os cálclos. Os rsltados obtidos com o método DFMGA têm boa acrácia qando comparados com os valors d rfrência, além disso, st método pod sr facilmnt implmntado para rsolvr problmas d cálclos globais d rators. vi

Abstract of Dissrtation prsntd to COPPE/UFRJ as a partial flfillmnt of th rqirmnts for th dgr of Mastr of Scinc (M.Sc.) USING THE ANALYTIC COARSE MESH FINITE DIFFERENCE METHOD FOR THE NUMERICAL SOLUTION OF THE NEUTRON DIFFUSION EQUATION Cassiano d Soza Gimarãs March/008 Advisor: Frnando Carvalho da Silva Aqilino Snra Martinz Dpartmnt: Nclar Enginring In this wor w dscrib accrat and fficint comptational softwar that w dvlopd for modling ntron diffsion in nclar ractor cor, which will b tratd in thr-dimnsional Cartsian gomtry and two nrgy grops. W s th Analytic Coars Msh Finit Diffrnc (ACMFD) mthod for dtrmining ffctiv diffsion cofficints for th nodal diffsion qation involving only nod avrag flxs as nnowns. ACMFD mthod ss mpirically dtrmind ffctiv diffsion cofficints to st p a vry simpl nodal balanc qation involving only nod avrag flxs as th nnowns. It has bcom common practic to apply itrativ ACMFD to advancd nodal mthods to spd p calclation. Th rslts obtaind with th ACMFD mthod hav good accracy whn compard to th rfrnc vals for th rfrnc problm. Bsids that, it is a mthod that can b asily implmntd to solv problms of nclar ractor global calclations. vii

Índic Capítlo Introdção..... Considraçõs iniciais..... Rsmo do trabalho... Capítlo Método DFMGA... 4.. Introdção ao método DFMGA... 4.. Discrtização spacial da qação da continidad... 5 Capítlo 3 Solção Analítica da Eqação d Difsão d Nêtrons Intgrada Transvrsalmnt... 3.. Eqação da difsão d nêtrons... 3.. Eqação da difsão d nêtrons intgrada transvrsalmnt... 3 3.3. Cálclo dos atovalors ( i, j, ) da matriz g D λf Σ... 5 Capítlo 4 Obtnção dos Coficints d Difsão Eftivos... 3 4.. Dtrminação dos coficints d difsão ftivos... 3 4.. Dtrminação dos coficints d difsão ftivos no contorno... 39 4... Condição d contorno d flxo nlo... 40 4... Condição d contorno d corrnt d ntrada nla... 4 Capítlo 5 Tratamnto da Fga Transvrsal... 45 5.. DFMGA com dados do NEM... 46 5.. DFMGA com prfil d fga constant... 47 5.3. DFMGA com prfil d fga linar... 50 5.4. DFMGA com prfil d fga parabólico... 54 Capítlo 6 Dtrminação do Fator d Potência... 60 Capítlo 7 Aprsntação Anális d Rsltados d Tsts... 6 7.. Problma bnchmar da IAEA... 6 viii

7.. Problma bnchmar LMW... 68 7... Primiro caso do bnchmar LMW... 69 7... Sgndo caso do bnchmar LMW... 7 Capítlo 8 Conclsõs... 76 Rfrências Bibliográficas... 78 ix

Índic d Figras Figra. Esqma rprsntativo d ma malha m difrnças finitas... 5 Figra. Nodo gnérico n( ) ss vizinhos nas dirçõs x, y, z... 6 Figra 4. Nodo s vizinho da sqrda... 3 Figra 4. Nodo s vizinho da dirita... 33 Figra 7. Configração para simtria d /8 do bnchmar da IAEA no plano 3... 63 Figra 7. Configração do bnchmar da IAEA m m plano xz... 64 Figra 7.3 Dsvio rlativo prcntal para o flxo médio d nêtrons para o prfil d fga parabólico... 66 Figra 7.4 Difrnças rlativas prcntais do fator d potência no EC... 67 Figra 7.5 Configração para simtria d /8 do bnchmar LMW... 68 Figra 7.6 Rator LMW: gomtria axial para o Caso... 69 Figra 7.7 Dsvio rlativo prcntal para o flxo médio d nêtrons para o prfil d fga parabólico (Caso )... 7 Figra 7.8 Difrnças rlativas prcntais do fator d potência no EC (Caso )... 7 Figra 7.9 Rator LMW: gomtria axial para o Caso... 73 x

Figra 7.0 Dsvio rlativo prcntal para o flxo médio d nêtrons para o prfil d fga parabólico (Caso )... 74 Figra 7. Difrnças rlativas prcntais do fator d potência no EC (Caso )... 75 xi

Índic d Tablas Tabla 7. Parâmtros d mltigrpo do bnchmar da IAEA.... 63 Tabla 7. DFMGA com dados do NEM (IAEA).... 66 Tabla 7.3 Tmpo d xcção, difrnças rlativas médias aritméticas (IAEA)... 66 Tabla 7.4 Parâmtros d mltigrpo do bnchmar LMW.... 68 Tabla 7.5 DFMGA com dados do NEM (LMW-Caso ).... 70 Tabla 7.6 Tmpo d xcção, difrnças rlativas médias aritméticas (LMW-Caso ).... 70 Tabla 7.7 DFMGA com dados do NEM (LMW-Caso ).... 74 Tabla 7.8 Tmpo d xcção, difrnças rlativas médias aritméticas (LMW-Caso ).... 74 xii

Capítlo Introdção.. Considraçõs iniciais O objtivo fndamntal do projto opração d m rator nclar é a tilização da nrgia librada por ma ração d fissão m cadia, controlada mantida no intrior do núclo do rator. Nst procsso os nêtrons dsmpnham m papl fndamntal, pois são ls q propagam as raçõs d fissão m cadia. Portanto, é d xtrma importância q s monitor a poplação (o númro provávl dos nêtrons) para q s contabilizm stas raçõs. Prcisamos simlar o comportamnto dos nêtrons qando sts s dslocam no núclo do rator, isto é, modlar as intraçõs ntr nêtrons os núclos-alvo dos mios matriais q compõm o núclo do rator nclar. A probabilidad q as várias intraçõs nêtron-nclars ocorram no intrior d m domínio matrial é mdida fnomnologicamnt por qantidads q são dfinidas como sçõs d choq nclars são dtrminadas tórica o xprimntalmnt []. A dscrição da migração dos nêtrons no intrior do rator com a probabilidad d intração com os núclos dos átomos dst mio constiti a modlagm física q pod sr aproximada plo fnômno d difsão d nêtrons q é considrada nsta dissrtação. Uma vz dscrita sta modlagm física, o próximo passo é dsnvolvr ma modlagm comptacional dst problma físico para podrmos simlar a distribição d nêtrons no domínio d intrss. Para fazrmos a modlagm comptacional, partimos da qação d difsão d nêtrons. Esta qação rprsnta m balanço ntr prodção prda d nêtrons no caso mais gral é dpndnt d cinco variávis: três spaciais, ma da nrgia ma variávl tmporal. O q s sab na prática é q a toria da difsão tm sido largamnt aplicada m anális d rators nclars, m gral, considrada mais satisfatória do q s podria sprar toricamnt nos casos ond spostamnt la não é m bom modlo, como por xmplo, com barras d control insridas.

No método d mltigrpo, o domínio da nrgia é dividido m G intrvalos contígos dnominados grpos d nrgia (g = : G), sndo convncional considrar g crscnt para nrgia dcrscnt. Nmricamnt, o método mltigrpo rdz a qação d difsão d nêtrons a m sistma d G qaçõs difrnciais acopladas plo trmo d font (fissão /o spalhamnto). Nst modlo d difsão d nêtrons para cálclos globais d rators nclars são tilizados métodos nodais analíticos d malha grossa [7-8] por fncionarm mito bm as qaçõs nidimnsionais intgradas transvrsalmnt são rsolvidas analiticamnt sando aproximaçõs apnas para os trmos d fga transvrsal... Rsmo do trabalho Nsta dissrtação propomos a invstigação da ficiência da prcisão d m método nmérico d malha grossa, dnominado DFMGA (Difrnças Finitas d Malha Grossa Analítico) [7-8], para cálclos globais d rators nclars. Obtrmos rsltados ond tilizarmos st método sando dados d m método nodal d mais alto nívl, também, obtrmos rsltados com st método isoladamnt, isto é, sm tilizar os rsltados d m método nodal d mais alto nívl, considrando o prfil da fga transvrsal d nêtrons como constant (polinômio d gra zro), linar (polinômio d gra m) parabólico (polinômio d gra dois). A grand motivação na ralização dsta dissrtação é dvida à tilização d m método nmérico d malha grossa q rspondss mito bm às ncssidads d cálclos d projto xigidas atalmnt, como por xmplo, vlocidad na xcção dos cálclos prcisão dos rsltados, também, fazr so dst método para cálclos globais d rators nclars visando à aplicação m rcargas d combstívl qando o transint d opração for considrado longo, isto é, dias o mss como é no caso da qima d combstívl d m rator nclar m rgim normal d fncionamnto. Os chamados métodos d difrnças finitas d malha grossa, q são sados na discrtização spacial da qação da difsão d nêtrons, obtêm rsltados bastant acrados s form tilizados como frramntas d aclração d métodos nodais d mais alto nívl [5], como por xmplo, o Método d Expansão Nodal [3] (NEM sigla m inglês), também, são mito ficints s form tilizados sozinhos, tanto com rlação à prcisão dos rsltados d cálclo qanto no tmpo d xcção dos msmos.

O método DFMGA (Difrnças Finitas d Malha Grossa Analítico) tilizado aqi tm como bas a formlação dsnvolvida por Y. A. Chao [7-8], q xplora o fato d q st mantém a strtra gral d m método d difrnças finitas clássicas m rlação ao arranjo dos flxos adjacnts. Rsolvmos a qação d difsão d nêtrons m três dimnsõs spaciais m gomtria Cartsiana, a dois grpos d nrgia indpndnt do tmpo, conctamos o método DFMGA com m método nodal d mais alto nívl, chamado NEM, tilizando o atovalor, as corrnts parciais nas intrfacs dos nodos os flxos médios nos nodos, provnints da solção do método NEM. Vrificamos também as solçõs gradas através do método DFMGA sm a tilização d m método d mais alto nívl, o sja, aproximando a fga transvrsal d nêtrons plos prfis constant, linar parabólico. Nos próximos capítlos aprsntamos: o método DFMGA (capítlo ), a solção analítica da qação d difsão d nêtrons intgrada transvrsalmnt (capítlo 3), a obtnção dos coficints d difsão ftivos (capítlo 4), o tratamnto da fga transvrsal d nêtrons (capítlo 5) a dtrminação do fator d potência (capítlo 6). No capítlo 7, aprsntamos os rsltados nméricos obtidos com st método. No capítlo 8 aprsntamos as conclsõs rcomndaçõs para trabalhos ftros. 3

Capítlo Método DFMGA.. Introdção ao método DFMGA O método d Difrnças Finitas d Malha Grossa Analítico (DFMGA) tilizado aqi é m método q pod sr classificado como m método nodal, vz q st rsolv a qação d difsão d nêtrons intgrada no volm d m nodo considrado grand considra niforms os parâmtros matriais prtncnts ao nodo. Também, pod sr considrado como m método d difrnças finitas, pois tiliza as corrnts líqidas médias d nêtrons nas facs dos nodos d forma similar aos métodos d difrnças finitas clássicas. No método clássico d difrnças finitas assmimos q a corrnt d nêtrons J na fac do nodo o flxo médio d nêtrons ( n, n ) como sndo φ φ + dos nodos, são rlacionados ( + ) J = D φ φ, (.) mf n n com D mf sndo o convncional coficint d difsão ftivo d difrnças finitas d malha fina sndo dado por D = D n D n + + + ( D + D ) mf n n n n, (.) 4

ond ( n n D, D + ) ( n n+, ) são, rspctivamnt, o coficint d difsão do matrial o tamanho da malha, para ma célla n sa vizinha dirita n + m ma dirção ( x, y, z) = qalqr. Vja a Fig... φ ( ) J φ n + ( ) n Figra. Esqma rprsntativo d ma malha m difrnças finitas. No método DFMGA aqi aprsntado, sss coficints d difsão ftivos D mga são calclados d manira difrnt. Irmos rsolvr analiticamnt a qação d difsão d nêtrons intgrada transvrsalmnt após as condiçõs d contorno d intrfac podmos obtr sss coficints, como mostrarmos nos capítlos 3 4. O método sa sts coficints dtrminados mpiricamnt plas atalizaçõs d m simpls balanço nodal das qaçõs, nvolvndo apnas as médias dos flxos dos nodos como variávis, tornando-s comm a prática da aplicação da itratividad do método DFMGA m métodos nodais avançados para aclrar os cálclos. Obsrvamos q sts coficints d difsão ftivos é ma grandza adimnsional não ma propridad física do matrial, como por xmplo, o coficint d difsão do matrial q tm nidad d cm. A sgir, mostramos a discrtização spacial da qação da continidad, a qação d balanço nodal a forma das corrnts líqidas d nêtrons para o método aprsntado... Discrtização spacial da qação da continidad Como dscrito antriormnt, o método d difrnças finitas d malha grossa analítico aqi aprsntado mantém a strtra gral d m método clássico d difrnças finitas. O método sa como dados d ntrada algns parâmtros nclars médios no nodo n( ), vja a Fig.., como por xmplo, sçõs d choq 5

médias d rmoção Σ Σ + Σ G Rg ag g g g = g g coficint médio d difsão do mio matrial ( i, j, g ), spalhamnto (,, Σ i j ) gg fissão ( i, j, fg ) D. Σ Figra. Nodo gnérico n( ) ss vizinhos nas dirçõs x, y, z. Podmos conctar o método DFMGA a m método nodal d mais alto nívl, sndo st último qm fornc o atovalor ( ff ), as corrnts parciais médias na fac do nodo ( i, j, gs ) J ± para o grpo g, dirção facs sqrda ( s = l) dirita ( s r),, flxo médio no nodo ( φ i j g ) = o, como por xmplo, comptados plo método NEM. Também podmos tilizar st método sozinho sm os dados do método nodal, aproximando a fga transvrsal d nêtrons por polinômios d gra zro, m dois. dada por Sja a qação da continidad m gomtria Cartsiana a grpos d nrgia 6

J gx ( x, y, z) + J gy ( x, y, z) + J gz ( x, y, z) + Σ Rg ( x, y, z) φg ( x, y, z) = x y z = χ νσ φ + Σ φ ff ( x, y, z) ( x, y, z) ( x, y, z) ( x, y, z). (.3) g fg g gg g g = g = g g Aplicando o oprador d média V ij V ij ( ) i dv à qação (.3), obtmos: ( J J ) + ( J J ) + ( J J ) + Σ φ = gxr gxl gyr gyl gzr gzl Rg g x y z = χ νσ φ + Σ φ ff í, j, g fg g gg g g = g = g g, (.4) ond Σ, i, j, Rg νσ i, j, fg Σ são, rspctivamnt, sçõs d choq macroscópicas i, j, gg médias d rmoção, fissão mltiplicada plo númro médio d nêtrons mitidos por,, fissão spalhamnto, i j a dimnsão do nodo para a dirção. Podmos scrvr as corrnts líqidas médias nas facs dos nodos para as dirçõs x, y z, como mostram as qaçõs a sgir: 7

J = D φ D φ (.5) i, j, i, j, gxl gxr g gxl g J = D φ D φ (.6) i+, j, i+, j, gxr gxr g gxl g J = D φ D φ (.7) i, j, i, j, gyl gyr g gyl g J = D φ D φ (.8) i, j+, i, j+, gyr gyr g gyl g J = D φ D φ (.9) gzl gzr g gzl g J = D φ D φ (.0) gzr gzr g gzl g ond D é o coficint d difsão ftivo na dirção, com g = rprsntando i, j, gs a nrgia do grpo, = x, y, z a coordnada Cartsiana, s = l, r a fac sqrda dirita do nodo, rspctivamnt, m nodo gnérico. Usando na qação (.4) as corrnts dfinidas antriormnt nas qaçõs (.5) a (.0), obtmos: i j i j i j i j i j i j i j i j x,,,, +,, +,,,,,,,,,, ( Dgxr φg Dgxl φg Dgxl φg Dgxr φg ) + + i j i j i j i j i j i j i j i j y,,,,, +,, +,,,,,,,,, ( Dgyr φg Dgyl φg Dgyl φg Dgyr φg ) + + + 8

+ +,, ( Dgzr φg Dgzl φ i j g Dgzl φg Dgzr φg ) Rg φg z + + + Σ = = χ νσ φ + Σ φ ff í, j, g fg g gg g g = g = g g. (.) Rprsntando a qação (.) m forma matricial, com n rprsntando o nodo, p α os vizinhos da sqrda dirita, rspctivamnt, para a dirção x, m β os vizinhos da frnt d trás, rspctivamnt, para a dirção y, l γ os vizinhos d baixo d cima, rspctivamnt, para a dirção z, como foi mostrado na Fig.., tmos: i, j, i, j, An, lφ An, mφ An, pφ + An, nφ A φ A φ A φ = S i+, j, i, j+, + n, α n, β n, γ f ff, (.) ond: S f S S f f, com í, j, í, j, fg g Σ fg g g ' = S χ ν φ, A a Σ n, n n, n Σ an, n, com 9

a Σ + D + D + D + D + D + D ( ) ( ) ( ) g n, n Rg gxl gxr gyl gyr gzl gzr x y z A a 0 n, q n, q 0 an, q, com q ( l, m, p, α, β, γ ). S, por xmplo, q = α, ntão tmos q a D com α i +, j,. g i+, j, n, α gxl x E, também, tmos q φ φ φ. Obsrva-s q a qação (.), contabilizando todos os nodos m q o núclo do rator foi dividido as condiçõs d contorno d simtria, forma m sistma bloco hpta-diagonal, como é no caso clássico d difrnças finitas. Sndo assim, tilizam-s as stratégias d solção já bm stablcidas para st tipo d sistma m difrnças finitas clássicas, como o método d Gass-Sidl [6] para as 0

itraçõs intrnas, o Método d Potências [6] para as itraçõs xtrnas até msmo as técnicas convncionais d aclração d convrgência podm sr sadas para rsolvr o sistma. No próximo capítlo, mostrarmos a solção analítica da qação d difsão d nêtrons intgrada transvrsalmnt como part do procdimnto para a obtnção dos coficints d difsão ftivos.

Capítlo 3 Solção Analítica da Eqação d Difsão d Nêtrons Intgrada Transvrsalmnt 3.. Eqação da difsão d nêtrons Utiliza-s a qação d difsão d nêtrons [], m três dimnsõs spaciais, a dois grpos d nrgia indpndnt do tmpo, para cálclos globais d rators nclars térmicos. Esta qação é ma qação d balanço spacial m nrgia é rprsntada da sgint forma: D ( r ) φ ( r ) + Σ ( r ) φ ( r ) = χ νσ ( r ) φ ( r ) + G g g tg g g fg g ff g = G + Σ g = ( r ) φ ( r ) gg g, (3.) sndo g =,,..., G grpos d nrgia, φ g flxo d nêtrons do grpo g d nrgia, D g coficint d difsão, Σ tg sção d choq macroscópica total (absorção + spalhamnto), νσ fg sção d choq macroscópica d fissão mltiplicada plo númro médio d nêtrons mitidos por fissão, Σ gg sção d choq macroscópica rprsntando o spalhamnto d g para g, ff fator d mltiplicação ftivo χ g spctro d fissão (distribição d nêtrons mitidos por fissão com nrgia E ntr E E + de por nêtrons d fissão). O primiro trmo do lado sqrdo da qação acima rprsnta a fga spacial d nêtrons, pois, à mdida q os nêtrons s difndm m m mio matrial qalqr,

ls mdam d posição. Sndo assim, xist a prda d nêtrons na posição d origm. O sgndo trmo do lado sqrdo dsta msma qação é o trmo d colisão d partíclas, nêtron-núclo. Nst trmo stão mbtidas as possibilidads d absorção spalhamnto do nêtron. O primiro trmo do mmbro dirito da qação (3.) é o trmo d font d fissão, ond nêtrons são grados pla ração d fissão nclar. E, por último, o sgndo trmo do lado dirito da igaldad da qação dscrita é o trmo d spalhamnto d nêtrons. Nst trmo é considrada a mdança dos nêtrons d m dtrminado grpo d nrgia para otro grpo d nrgia d intrss, podndo sr: (i) font d nêtrons para o msmo grpo d nrgia; (ii) font d nêtrons para m grpo mnos nrgético; (iii) font d nêtrons para m grpo mais nrgético. Rssaltamos q nsta dissrtação não stamos considrando a opção (iii), já q stamos considrando apnas dois grpos d nrgia para o nêtron. 3.. Eqação d difsão d nêtrons intgrada transvrsalmnt Para ncontrar os coficints d difsão ftivos nas facs dos nodos, D, i, j, gs irmos rsolvr analiticamnt a qação d difsão d nêtrons intgrada transvrsalmnt. Então, para o nodo, tmos: D x y z + Σ x y z = Σ x y z + g φg Rg φg χ g ν fg φg ff g = (,, ) (,, ) (,, ) gg φg ( x, y, z), (3.) + Σ g = g g com g =,. 3

Intgrando a qação (3.) na ára transvrsal à dirção ( x, y o z) = dividindo pla ára transvrsal a sta dirção, o sja, aplicando à qação o oprador d média v w i, j, i, j, v w ( ) dv dw i, 0 0 obtmos: d D + Σ = Σ + g ψ g Rg ψ g χ g ν fg ψ g d ff g = ( ) ( ) ( ) gg ψ g ( ) Lg ( ) (3.3) + Σ g = g g com g =, = x, y, z. Ond i, j, i, j, v w g g φ g + g v w w 0 0 L ( ) D (, v, w) φ (, v, w) dv dw rprsnta a fga d nêtrons através da ára transvrsal à dirção. A qação (3.3) pod sr scrita na sgint forma matricial: 4

d d ψ λ ψ ( ) + { D F Σ } ( ) = D L ( ), (3.4) com λ, ff ψ ( ) ψ ψ ( ) ( ), L ( ) L L ( ) ( ), D D 0 0 D, ΣR Σ Σ Σ ΣR F χ νσ f f χνσ f χνσ f 5 χ νσ.

A solção gral da qação (3.4) pod sr scrita como: ( ) = ( ) + ( ) ψ ψ ψ,hom, part, (3.5) ond part ( ) ψ, nqanto ( ) ψ,hom,, é a solção particlar, dpndnt da forma fncional d L i j ( ) é a solção da qação homogêna, qal sja,, d,hom ( ) { Di, j, Fi, j, },hom ( ) 0 d ψ + λ Σ ψ =. (3.6) Exist ma matriz x, conhcida como matriz d transformação d similaridad, q dnotarmos o sja, R, q diagonaliza a matriz { D λfi, j, Σ }, { λ } 0 Ri, j, Di, j, Fi, j, R Σ =. 0 Com isso, da qação (3.6) sg q d d ξ l, ( ) ξ l l, ( ) 0 + =, (3.7) com, l = ξ ( ) dado por 6

ξ ( ) ( ) ξ R ( ). (3.8), ( ) = ψ,hom ξ, A solção gral da qação (3.7) pod sr scrita da sgint forma: ( ) A sn( ) B cs ( ) ξ = +, (3.9) l, l, l l, l ond: l, l ( ) sn l ( l ) ( ) sn > = snh l ; s l 0 ; s l < 0 ( ) cs l ( l) ( ) > = cos ; s l 0 cosh l ; s l < 0. Das qaçõs (3.5), (3.8) (3.9), obtmos 7

ψ { } ψ ( ) ( ) ( ) ( ) = R S A + C B + i, j, i, j, i, j, i, j,, part, (3.0) ond ( ) S ( ) sn 0 0 ( ) sn, A A A,,, ( ) C ( ) cs 0 0 ( ) cs B B B,,. Da xprssão (3.0), para s i, j, =, ncontramos: ψ { } = R S A + C B + ψ s s s s, part, (3.) 8

ond: ψ ψ ( ) s s, S i j ( s ) S,,, s C C i j ( s ),, s ψ ψ ( ) s, part, part s, com s 0 para s = sqrda =. para s = dirita Para cálclo dos coficints A B vamos sar as sgints qaçõs: i, j, ψ ( ) d = φ (3.) 0 9

d D ψ = J J ( ) ( ) s s s d = s. (3.3) Então, sbstitindo a qação (3.0) nas qaçõs (3.) (3.3) obtmos: i, j, i, j,,, i j Ri, j, S ( ) d A + C ( ) d B + 0 0 i, j, ψ, part ( ) d φ (3.4) 0 + = ( ) dc ( ) ds Ri, j, A + B + d d s = = s d + ψ = D d, part s = s J. (3.5) Fazndo, 0

i, j, S,, ( ) d S i j, 0 i, j, C,, ( ) d C i j, 0 i, j, ψ,,, part ( ) d ψ i j, part, 0 ds ( ),, d = s S i j s, dc ( ),, d = s C i j s, d ψ ψ d, part s, part = s, as qaçõs (3.4) (3.5) tornam-s, rspctivamnt, da sgint forma: { } R S A + C B + ψ = φ, part (3.6)

{ } R S A + C B + ψ = D J s s, part s. (3.7) Da qação (3.6) sg q B é dado por { ( φ ψ )} B = C R C S A i, j, i, j, i, j, i, j,, part. (3.8) Usando (3.8) m (3.7) ralizando algma álgbra, ncontramos: ( φ ψ ) ( ψ ) A M R N R D J = A, s, part + A, s s +, part, (3.9) com M N C C A, s A, s s ( ) N C C S S. A, s s s

Agora, sbstitindo (3.9) m (3.8) ralizando algma álgbra, obtmos: { } ( φ ψ ) ( φ ψ ) i, j, i, j, i, j, i, j, i, j, i, j, B = C Ri, j,, part C S M A, s Ri, j,, part + ( ) + N R D J + ψ A, s s s, part, (3.0) com i j ( ) M C I S M,, B, s A, s N C S N. B, s A, s Finalmnt, sando as qaçõs (3.9) (3.0) na qação (3.) fazndo algmas simplificaçõs d notação matmática, obtmos: ( ) ( ) ψ = C φ ψ + ψ + C D J + ψ s f, s, part s, part j, s s s, part (3.) ond: 3

C R S M + C M R f, s s A, s s B, s C R S N + C N R j, s s A, s s B, s. Portanto, podmos scrvr s ψ na forma ψ = C D J + C φ T s j, s s f, s s, (3.) com Ts sndo rprsntado como mostrado abaixo: T C ψ ψ C ψ s f, s s, part s, part j, s s, part. (3.3) Obsrvamos q o trmo Ts é dpndnt da solção particlar s, part ψ. E a solção particlar é dpndnt do prfil da fga d nêtrons através da ára transvrsal a ma dirção ( x, y, z),, aproximaçõs para a fga L i j ( ) capítlo 5. =. Nsta dissrtação stamos considrando três tipos d g (constant, linar parabólico) q srá visto no 4

3.3. Cálclo dos atovalors ( i, j, ) da matriz g D λf Σ Nst ponto do dsnvolvimnto algébrico pod sr ralizado o cálclo dos atovalors da matriz D λf Σ. Sja a qação d difsão d nêtrons a dois grpos d nrgia para m nodo ma dirção ( = x, y, z) rprsntada plo sistma d qaçõs abaixo: d D ψ ( ) + Σ R ψ ( ) = χ ν Σ fg ψ g ( ) + Σ ψ ( ) d ff g=, (3.4) d D ψ ( ) + Σ R ψ ( ) = χ νσ fg ψ g ( ) + Σ ψ ( ) d ff g= portanto, trmos ma qação como sndo da sgint forma: d ( ) { Di, j, Fi, j, } ( ) 0 d ψ Σ λ ψ =. (3.5) Sndo ( i, j, ) l os atovalors d { D Σ λf }, sg q { Σ } = ( ) λ ψ l ( ) l ψ l ( ) D F com l =,. Portanto, sg q 5

D ( ) ( λχν ) ( λχν f ) R λχν f D ( l ) Σ λχ νσ + Σ + Σ R f l f Σ + Σ Σ Σ + = 0, d ond obtmos: ( l ) ( l ) a + b + c = 0 (3.6) com a D D, i {( ) ( ) }, j, i, j, i, j, i, j, i, j, i, j, R λχ ν f R λχ ν f b Σ Σ D + Σ Σ D ( R f )( R f ) ( f )( f ) c Σ λχ νσ Σ λχ νσ Σ λχνσ Σ λχ νσ. Portanto, as raízs da qação (3.6) são as sgints: 6

b + b ac ( ) ( ) = a 4 4 b b ac = a. (3.7) Os atovtors l ( ) ψ, para l =,, podm sr obtidos como s sg: - Sndo ψ ψ ( ) = ( ) ( ) ψ o atovtor associado ao atovalor ( ), sg q ( ) ( ) ΣR λχν Σ f + D ψ ( ) Σ + λχν Σ f ψ ( ) = 0. ( Σ + λχνσ f ) ψ ( ) + ΣR λχνσ f + D ( ) ψ ( ) = 0 (3.8) (3.9) Da qação (3.9) obtmos q ψ ( ) = α ψ ( ), (3.30) ond α λχ ν f D ( ) i j i j ( Σ + λχνσ f ) ΣR Σ +,,,,. (3.3) - Sndo ψ ψ ( ) = ( ) ( ) ψ o atovtor associado ao atovalor ( ), sg q 7

( ) ( ) ΣR λχν Σ f + D ψ ( ) Σ + λχν Σ f ψ ( ) = 0. ( Σ + λχνσ f ) ψ ( ) + ΣR λχνσ f + D ( ) ψ ( ) = 0 (3.3) (3.33) Da qação (3.33) obtmos q ψ ( ) = α ψ ( ), (3.34) ond α λχ ν f D ( ) i j i j ( Σ + λχνσ f ) ΣR Σ +,,,,. (3.35) Com isso, para l =,, podmos scrvr: ψ α ( ) = ( ), (3.36) l l ξl ond ξ ( ) ψ ( ). (3.37) l l 8

Além disso, tmos q i j αl { D i } ( ), j, i, j, λf i, j, l,, αl Σ =. Agora, s ( ) ( ) ( ), i, j, i, j, i, j, R φ = ξ ond: ξ ξ ( ) ξ ( ), ( ) da qação (3.5) ncontramos {( ) ( ) ( ) } d ( ) R D F R ( ) 0 d ξ Σ λ ξ =. (3.38) S fizrmos R α α = 9

trmos ( ) 0 ( R ) ( D ) ( Σ λf ) R =. (3.39) 0 ( ) Sbstitindo a qação (3.39) na qação (3.38), ncontramos: d d ξ l ( ) ( ) ξ l l ( ) 0 + =, (3.40) para l =,. problma. Obsrvamos, ntão, q R é a matriz d transformação d similaridad do 30

Capítlo 4 Obtnção dos Coficints d Difsão Eftivos Nst capítlo, aprsntamos como são fitos os procdimntos para a obtnção dos coficints d difsão ftivos tilizados nas qaçõs das corrnts líqidas d nêtrons. Ests coficints são dtrminados d tal manira q prsrvm a solção analítica da qação d difsão d nêtrons intgrada transvrsalmnt m m nodo gnérico para as dirçõs x,y,z. Obsrvamos q sts coficints são adimnsionais. 4.. Dtrminação dos coficints d difsão ftivos Dpois d m simpls dsnvolvimnto algébrico consgimos mostrar q C = C C f, r f, l f para s C j, r = C j, l C j. Logo, das qaçõs (3.) (3.3) = l s = r, rspctivamnt, sg q ψ = + l Cj Di, j, Jl C f φ Tl (4.) ψ = + r C j Di, j, Jr C f φ Tr, (4.) 3

com T C C l = f ψ, part ψ l, part j ψ l, part (4.3) T C C r = f ψ, part ψ r, part + j ψ r, part. (4.4) Nst ponto, podmos obtr as corrnts médias líqidas d nêtrons para m nodo gnérico mprgando as condiçõs d intrfac q são, nst caso, continidad d flxo d corrnt. Escolhmos ma dirção qalqr ( x, y, z) o dsnvolvimnto algébrico. Façamos, ntão, = para = x mostramos na Fig. 4. m sqma para a visalização d m nodo gnérico s vizinho da sqrda i, j,. i-,j, i,j, Figra 4. Nodo s vizinho da sqrda. x Plas condiçõs d intrfac, continidads d flxo d corrnt sab-s q ψ = ψ i, j, r l J = J i, j, r l, 3

portanto, após o so das qaçõs (4.) (4.) chgamos à sgint qação: i, j, i, j, i, j, i, j, i, j, i, j, C j Di, j, Jl + C f φ Tr = C j Di, j, Jl + + C φ T f l, d ond obtmos q (,,,, ) ( φ ) i, j, i, j, i, j, i, j, i, j, Jl = Cj Di j + Cj Di j Cf Tr,,,,,, ( C i j i j i j f φ Tl ). (4.5) Mostramos na Fig. 4. m sqma para a visalização d m nodo gnérico s vizinho da dirita i +, j,. i,j, i+,j, Figra 4. Nodo s vizinho da dirita. x Plas condiçõs d intrfac, continidad d flxo d corrnt sab-s q 33

ψ = ψ + i, j, r l J = J + i, j, r l, portanto, após o so das qaçõs (4.) (4.) chgamos à sgint qação: i+, j, i+, j, i+, j, C j Di, j, Jr + C f φ Tr = C j Di +, j, Jr + + C φ T i+, j, i+, j, i+, j, f l, d ond obtmos q + + (,,,, ) + ( φ ) i, j, i, j, Jr = C j Di j + C j Di j C f Tl,,,,,, ( C i j i j i j f φ Tr ) + + +. (4.6) Fazndo B C D (4.7) j ralizando algns passos algébricos, tmos: 34

b, b, C j Di, j,, b, b, ond ( α t α t ) ( α α ) D, b, α ( t t ) ( α α ) D, b α, b ( t t ) ( α α ), D ( α t α t ) ( α α ) D, b, com 35

t l tn l, l =,, l ond ( ) tn l ( l ) ( ) tg > = tgh l ; s l 0. ; s l < 0 Então, podmos scrvr: ( ) ( φ ) ( φ ) J = B + B C T C T i, j, i, j, i, j, i, j, l f r f l + ( ) + + + ( φ ) ( φ ) J = B + B C T C T i, j, i, j, i, j, i, j, r f l f r, com i±, j, i±, j, ˆ i±, j, b, + b, b, + b, B ( B + B ) = i±, j, i±, j, b, b, b, b. + +, 36

Mas sabmos também q h h h,, f h h d, d, Bˆ C d d = ond h o i ±, j, ond tmos d ( s s ) ( s s ) ( α α ) σ α α σ h h h h h h h h h,,, h h, d ( s s ) + ( s s ) ( α α ) σ α α σ α α h h h h h h h h h h h,,, h h, d ( s s ) + ( s s ) ( α α ) σ α α σ h h h h h h h h h,,, h h d ( s s ) + ( s s ) ( α α ) σ α α σ α α h h h h h h h h h h h,,, h h h sndo σ gg, os lmntos da matriz B ˆ 37

, l =,. sn l l i j i j s,,,, ( l ) Com isso, h h h h h h d g, φg d, φ + d, φ h h g= fφ = = h h h h d, φ d, φ + h h d g, φg g= Bˆ C ainda h h h h h h σ g, Tgs σ, T s + σ, T h s g= s = = h h h h σ, T s σ, T + s h h σ g, Tgs g= Bˆ T. Sndo assim, podmos scrvr as corrnts líqidas médias do nodo, para o grpo g d nrgia, para as facs sqrda ( s = l) dirita ( s r) dirção = x, como sndo: =, para a J = D φ D φ i, j, i, j, gl gr g gl g 38

J = D φ D φ, i+, j, i+, j, gr gr g gl g como mostrado antriormnt nas qaçõs (.3) (.4), ond os coficints d difsão ftivos são dados plas sgints qaçõs D ( d, φ σ, T ) (4.8) h h h h h gl h gg g gg g l φg g = D ( d, φ σ, T ) (4.9) h h h h h gr h gg g gg g r φg g = com h o i ±, j,. É válido rssaltar q podmos ncontrar, analogamnt, as corrnts líqidas médias m m nodo gnérico nas dirçõs = y, z dsnvolvndo-s os msmos passos ralizados acima, altrando-s apnas o spr índic d J para i, j ±, na i, j, gs dirção y ± na dirção z, obtndo, assim, as qaçõs (.5) (.6), m = y, (.7) (.8) m = z. 4.. Dtrminação dos coficints d difsão ftivos no contorno Nst ponto do dsnvolvimnto tórico da dissrtação é mostrada a obtnção das corrnts líqidas d nêtrons coficints d difsão ftivos nos contornos do domínio. A sgir são mostradas das sbsçõs: (sção 4..) condição d contorno d flxo nlo (sção 4..) condição d contorno d corrnt d ntrada nla. 39

4... Condição d contorno d flxo nlo Dpois d obtida as qaçõs (4.5) (4.6) para m nodo gnérico no intrior do domínio, irmos agora obtr stas qaçõs s o nodo stivr no contorno do domínio. Então para a condição d contorno d flxo nlo tmos q ψ l 0 = ψ r 0, portanto as qaçõs (4.5) (4.6) tornam-s, rspctivamnt = (,, ) ( φ ) J = C D C T l j i j f l (4.0) (,, ) ( φ ) J = C D C T r j i j f r. (4.) Utilizando a dfinição dada pla qação (4.7), obtmos ( ) ( φ ) J = B C T l f l ( ) ( φ ) J = B C T r f r, com 40

,, b, b, ( B ) b b. Portanto, as corrnts líqidas médias no nodo tornam-s da sgint forma: J = D φ gl gl g J = D φ, gr gr g com os coficints d difsão ftivos, (4.9), rspctivamnt. D i, j, gl D gr, dados plas qaçõs (4.8) 4... Condição d contorno d corrnt d ntrada nla Obtidas as qaçõs (4.5) (4.6) para m nodo gnérico no intrior do domínio, irmos agora obtr stas qaçõs s o nodo stivr no contorno do domínio. Então para a condição d contorno d corrnt d ntrada nla tmos: sabndo-s q ψ + ( J J ) = + i,, i,, i,, s s s 4

J = J J + s s s, ntão: (i) a sqrda: ψ J + = Jl = 0 J = J l l l l, logo ψ = J l l. (ii) a dirita: ψ J = Jr = 0 J = J + r r + r l, logo ψ = J r r. 4

Como ψ = + l Cj Di, j, Jl Cf φ Tl ψ = + r C j Di, j, Jr Cf φ Tr sg q l = j + 4 f l ( φ ) J C D I C T (4.) r = j + 4 f r ( φ ) J C D I C T, (4.3) com I = δ i, j ond δ, i j 0 s i = j. s i j Os coficints d difsão ftivos, plas sgints qaçõs: D i, j, gl D gr, são dados, rspctivamnt, 43

D ( θ, φ η, T ) gl gg g gg g l φg g = (4.4) D ( θ, φ η, T ) gr gg g gg g r φg g =, (4.5) com ˆ V C j Di, j, + 4I, θ Vˆ C φ f η Vˆ T r. 44

Capítlo 5 Tratamnto da Fga Transvrsal Dpois d obtidos os coficints d difsão ftivos D no capítlo antrior, i, j, gs nos rstam agora dtrminar o trmo dpndnt Ts. Obsrvamos q st trmo é fnção da intgral, da drivada da própria solção particlar da qação (3.4), como podmos obsrvar nas qaçõs (4.3) (4.4), qais sjam, T C C l = f ψ, part ψ l, part j ψ l, part (5.) T C C r = f ψ, part ψ r, part + j ψ r, part. (5.) Notamos também, q a solção particlar,, transvrsal d nêtrons L i j ( ) s, part ψ dpnd do prfil da fga q nsta dissrtação stamos considrando as sgints possibilidads: m método d mais alto nívl, por xmplo, o método NEM, do qal obtrmos os dados d ntrada para o método DFMGA três aproximaçõs para o prfil da fga transvrsal d nêtrons, constant, linar parabólico. Vjamos a sgir, como é fito a obtnção dsts trmos. 45

5.. DFMGA com dados do NEM Nsta sção, os rsltados d m método nodal d mais alto nívl, dnominado NEM [3] (Nodal Expansion Mthod), são sados como dados d ntrada para o método DFMGA. Utilizando, ntão, as qaçõs (4.) (4.) obtmos: T C D J C φ ψ l = j l + f l (5.3) T C D J C φ ψ r = j r + f r. (5.4) Usando as corrnts parciais médias J ± s, o flxo médio φ atovalor ff prviamnts comptados plo método NEM, lmbrando-s q d nêtrons o J = J J (5.5) + gs gs gs ψ + ( J J ) = +, (5.6) i,, i,, i,, gs gs gs o trmo Ts fica dtrminado os coficints d difsão ftivos ( i, j, gs ) 46 D também.

5.. DFMGA com prfil d fga constant S o prfil da fga transvrsal d nêtrons for aproximado por ma fnção constant, o sja, ( ) L = L 0, (5.7) sg q i, j,,, ( ) = i j 0 0 L L d L. Então, lmbrando q i, j, i, j, v w v w v w v w 0 0 L ( ) J (, v, w) + J (, v, w) dv dw, tmos: { ( ) ( 0) } ( ) ( 0 i j ) { } L = J J + J J i, j, i, j, i, j, i, j, i, j, i, j, i, j, v v v,, w w w v w, d ond obtmos 47

L = J J + J J { } i j { } vr vl,, wr wl v w, (5.8) pois J J vl v ( 0), J J ( ) vr v v, J J wl w ( 0) J J ( ) wr w w. S a solção particlar for ma constant, isto é, ψ ( ) = ψ, part 0, tilizando a qação (3.4), tmos q: 48

d 0 0 d ψ + λ Σ ψ = ( ) ( ) D F D L, ntão ncontramos i j ( ) ( ),, ψ 0 = λfi, j, Σ L. (5.9) Mas, pla igaldad da qação (5.7) sabndo q sgint qação: L = L 0, ncontramos a ( ) ψ = λf Σ L 0, (5.0) Portanto, as qaçõs (5.) (5.) tornam-s ma única qação, como mostramos a sgir: T = T = T r l, (5.) ond ( )( λ ),,,, T = C I F Σ L f i j i j. (5.) 49

Utilizamos a qação (5.) para o cálclo do trmo dpndnt da fga transvrsal d nêtrons, compltando, assim, todas as qaçõs ncssárias para avançarmos no domínio chgarmos ao otro lado da xtrmidad. 5.3. DFMGA com prfil d fga linar Sja o prfil da fga transvrsal d nêtrons aproximado por ma fnção rta (polinômio do º gra) dado por: ( ) = ( υ ) + ( υ ) L L h L h 0 0 (5.3) ond υ, h0 ( υ ) ( ) h υ. Fazndo, na qação (5.3), = 0 =, vm: ( 0) L = L = L i, j, i, j, i, j, l 0 ( ) L = L = L + L r 0. 50

Portanto, sg q L = L L r l. Através das condiçõs d intrfacs, como mostradas a sgir, para ma dirção = x (podm sr obtidas para = y, z, analogamnt), sg q: L i, j, l = L r (5.4) d L d d = L d i, j, l r. (5.5) Chgamos, ntão, nas sgints qaçõs: L L + i, j, i, j, = l i j i j L,,,, ( + ) (5.6) L L + i+, j, i+, j, = r i j i j L,, +,, ( + ), (5.7) 5

no contorno, tmos q L l = lim i, j, L i, j, + L i, j, + i, j,, portanto L = L l lim L r = i+, j, L i+, j, + L i+, j, + i+, j,, portanto L = L r, com L dado pla qação (5.8). 5

S a solção particlar for m polinômio do º gra, isto é, ( ) ( ) i, j, i, j, i, j, ψ, part ( ) = ψ 0 h0 υ + ψ h υ, (5.8) sbstitirmos sta qação (5.8) na qação (3.4), obtmos: ( λfi, j, Σ ){ ψ 0 h0 ( υ ) + ψ h ( υ )} = L 0 h0 ( υ ) + L h ( υ ). (5.9) A partir da qação (5.9) ncontramos: ( ),,,, ψ = λf Σ L p i j i j p, (5.0) com p = 0,. L 0 L l Sabndo-s q = L 0 Ll assim, a qação (5.0). L L r L l =, podmos compltar, L Lr Ll Portanto, as qaçõs (5.) (5.) tornam-s da sgint forma: T = C ψ + ψ ψ C ψ l f 0 0 j (5.) 53

( ) T = C ψ + ψ ψ + ψ + C ψ r f 0 0 j. (5.) Utilizamos as qaçõs (5.) (5.) para o cálclo do trmo dpndnt da fga transvrsal d nêtrons, compltando, assim, todas as qaçõs ncssárias para avançarmos no domínio chgarmos ao otro lado da xtrmidad. 5.4. DFMGA com prfil d fga parabólico S o prfil da fga transvrsal d nêtrons for aproximado por ma fnção parabólica (polinômio do º gra), o sja, ( ) = ( υ ) + ( υ ) + ( υ ) L L h L h L h 0 0 (5.3) ond υ, h0 ( υ ), h ( υ ) h ( υ ) υ ( υ ) υ 6, tmos q L = L L L l 54

L = L + L L r. Sabndo-s q L = L 0, (5.4) L = L L ( ) r l (5.5) L = L L + L ( ) r l, (5.6), ainda, dh d = dh d 6 = +, obtmos: d L ( ) = L + 3 L d. (5.7) 55

,, ( i j r ),, Considrando na qação (5.7) a fac sqrda ( i j l ) = a fac dirita =, sbstitindo as qaçõs (5.4), (5.5) (5.6) ncontramos, rspctivamnt: d L ( ) = 3 L L L d = l r i, j, l (5.8) d L ( ) = 3 L L L d = l r i, j, r. (5.9) Aplicando as condiçõs d intrfacs, como mostram as qaçõs a sgir, para ma dirção = x (podm sr obtidas para = y, z, analogamnt), L i, j, l = L r, (5.30) L = L + i, j, r l, (5.3) d d L ( ) = L ( ) d d i, j, i, j, i, j, = l = r, (5.3) 56

d d L L d ( ) = ( ) i+, j, i+, j, i, j, = d l = r, (5.33) ncontramos, portanto, as sgints qaçõs: i, j, i+, j, L i, j, l L i, j, l L + + + l = = 3 L + L i, j, (5.34) i, j, i+, j, Lr + + L i, j, r L + + i+, j, r = = 3 L + L i+, j,. (5.35) Obsrva-s q as qaçõs (5.34) (5.35) formam dois sistmas bloco tridiagonal. Sndo assim, samos a stratégia d solção já bm stablcida para st tipo d sistma m difrnças finitas, como o Algoritmo d Thomaz [6]. 57

S a solção particlar for m polinômio do º gra, isto é, ( ) ( ) ( ) i, j, i, j, i, j, i, j, ψ, part ( ) = ψ 0 h0 υ + ψ h υ + ψ h υ, (5.36) sbstitindo a qação (5.36) na qação (3.4), obtmos: d { 0 h0 ( ) h ( ) h ( )} Di, j, ( Fi, j, ) { 0 h0 ( ) + + + Σ + d ψ υ ψ υ ψ υ λ ψ υ { } ( ) ( )} ( ) ( ) ( ) i, j, i, j, i, j, i, j, i, j, + ψ h υ + ψ h υ = Di, j, L 0 h0 υ + L h υ + L h υ. (5.37) Dsnvolvndo ma simpls maniplação algébrica para rsolvr a qação (5.37) conhcndo os vtors ncontramos: L, L 0 L, calclados antriormnt, ( ),,,, ψ = λf Σ L p i j i j p, (5.38) com p =,, ainda ψ 0 = Di, j, ( λfi, j, ) Di, j, L 0 ψ Σ +. (5.39) ( ) 58

Portanto, as qaçõs (5.) (5.) tornam-s da sgint forma: ( ) ( 3 ) T = C ψ + ψ + ψ ψ C ψ + ψ i, j, i, j, i, j, i, j, i, j, i, j, i, j, i, j, i, j, l f 0 0 j (5.40) ( ) ( 3 ) T = C ψ + ψ ψ + C ψ ψ i, j, i, j, i, j, i, j, i, j, i, j, i, j, i, j, r f 0 0 j. (5.4) Utilizamos as qaçõs (5.40) (5.4) para o cálclo do trmo dpndnt da fga transvrsal d nêtrons, compltando, assim, todas as qaçõs ncssárias para avançarmos no domínio chgarmos ao otro lado da xtrmidad. 59

Capítlo 6 Dtrminação do Fator d Potência EC ( p ) Nsta sção, aprsntamos como é ralizado o cálclo do fator d potência f no lmnto combstívl (EC). Primiramnt, tmos q dtrminar a potência média para m nodo gnérico, dada por: = gσ fg g g = p ω φ, (6.) ond ω g é a nrgia librada por fissão. Logo, podmos calclar a potência média m cada lmnto combstívl: pec p Vi, j, EC =, (6.) ond V é o volm do nodo. Prcisamos, também, dtrminar a potência média no núclo, qal sja p = c p (6.3) EC EC EC q rprsnta a soma d todas as potências médias d cada lmnto combstívl c EC dfinido como sndo o fator d contribição d cada EC para a dnsidad d 60

potência média no núclo, podndo sr igal a m (núclo intiro) difrnt d m (com simtria d núclo). Logo, para calclar o fator d potência média d potência dada por EC f p, tmos q calclar a dnsidad p EC p V EC =, EC ond V EC rprsnta o volm do EC prcisamos, também, calclar a dnsidad média d potência do núclo, dada por P P =, V ond V cecvec =. Portanto, tmos q o fator d potência é dado por: f EC p p p EC =. (6.4) 6

Capítlo 7 Aprsntação Anális d Rsltados d Tsts Nsta dissrtação tilizamos dados convrgidos prviamnts comptados plo método nodal NEM com a intnção d tstar o programa comptacional dsnvolvido. Ests dados são tilizados para a dtrminação do trmo dpndnt da fga transvrsal d nêtrons Ts, sndo assim, os coficints d difsão ftivos D ficam sndo calclados ma única vz, isto é, analiticamnt. Ests rsltados ncontrados com o método DFMGA com dados do NEM são mostrados sparadamnt dos dmais (DFMGA com prfil d fga transvrsal d nêtrons constant, linar parabólico), visto q não tmos intnção d compará-los. Com o intito d dmonstrar a ficiência do programa comptacional dsnvolvido com bas no método DFMGA, aprsntamos três casos tsts d problmas bnchmar ncontrados na litratra, qais sjam: o problma bnchmar da Agência Intrnacional d Enrgia Atômica IAEA [] o rator Langnbch, Marr Wrnr LMW [4] q foi tratado m dois casos distintos d movimntação d barras d control. A sgir, a dscrição d cada caso os rsltados obtidos são aprsntados analisados. i, j, gs 7.. Problma bnchmar da IAEA Na Tabla 7. são aprsntados os parâmtros d mltigrpos do bnchmar da IAEA aqi tilizado como primiro problma-modlo. Na configração do núclo dst rator é tilizada ma nodalização spacial com nodos d 0 cm d largra nas três dirçõs x, y, z. 6

Tabla 7. Parâmtros d mltigrpo do bnchmar da IAEA. tipo g ( ) g D cm ag ( cm Σ ) νσ fg ( cm ) Σ gg ( cm ) 3 4 5.5 0.0 0.0 0.0 0.4 0.08 0.35 0.0.5 0.0 0.0 0.0 0.4 0.085 0.35 0.0.5 0.0 0.0 0.0 0.4 0.3 0.35 0.0.0 0.0 0.0 0.04 0.3 0.0 0.0 0.0.0 0.0 0.0 0.04 0.3 0.055 0.0 0.0 Na Fig. 7. aprsntamos a configração do combstívl para simtria d /8 d núclo do problma bnchmar da IAEA m três dimnsõs spaciais (3D). 4 4 4 3 4 4 4 4 4 3 3 4 Figra 7. Configração para simtria d /8 do bnchmar da IAEA no plano 3. 63

plano xz. Na Fig. 7. aprsntamos a configração do problma bnchmar da IAEA no Figra 7. Configração do bnchmar da IAEA m m plano xz. Na Tabla 7. aprsntamos os rsltados obtidos do DFMGA com dados da xcção do NEM. Obsrvamos q os cálclos do DFMGA com dados do NEM foram fitos sando os coficints d difsão ftivos D calclados ma única vz já q i, j, gs J ± s, ff vêm do cálclo convrgido do NEM [3]. Na Tabla 7.3 são φ comparados os rsltados do método DFMGA com prfis constant, linar parabólico para a fga transvrsal. Nstas tablas são aprsntadas as difrnças rlativas no ff, sndo dadas por 64

δ ff ( DFMGA) ( R f ) ff = ff 5 0, ( R f ) ff os valors máximos das difrnças rlativas no fator d potência no lmnto combstívl (EC), sndo dados por δ max f EC( DFMGA) EC( R f ) f p f p % = max 00%, ( R ) f p ( ) EC p EC f m comparação com os valors d rfrência [], a média aritmética absolta do dsvio d EC f p, para cada método MA δ. EC f p (%) Dos rsltados aprsntados na Tabla 7. vrificamos q o método DFMGA com dados do NEM é bastant prciso. Qanto ao tmpo d xcção, st método gasta 0.3 sgndos para xctar os cálclos (não lvamos m considração o tmpo d xcção do método nodal NEM) m m comptador com as sgints caractrísticas: intl cntrino cor do d.8 Ghz d procssamnto, 4 GB d mmória ram (random accss mmory) plataforma Windows Vista ltimat. É válido rssaltar q o programa foi dsnvolvido m lingagm comptacional C. Vrificamos na Tabla 7.3 q os rsltados do método DFMGA para os três prfis scolhidos para rprsntar a fga transvrsal aprsntam praticamnt a msma prcisão, com xcção do ff do DFMGA com prfil parabólico, visto q, nst caso os valors do flxo médio d nêtrons s afastam mito do valor d rfrência, vid a Fig. 7.3, nos nodos do contorno d do rfltor. Rssaltamos q a Fig. 7.3 foi grada com os valors dos dsvios do flxo médio d nêtrons no plano d númro (rfltor infrior) d m total d 9 planos, já q sts valors são os maiors m rlação aos dmais. 65

Tabla 7. DFMGA com dados do NEM (IAEA). Tmpo d Método xcção δ ff DFMGA com (sgndos) 5 EC 0 max f p (%) MA δ δ EC (%) NEM 0.3 -.684-0.86 0.34 f p Tabla 7.3 Tmpo d xcção, difrnças rlativas médias aritméticas (IAEA). Tmpo d Método xcção δ ff DFMGA (sgndos) 5 EC 0 max f p (%) MA δ δ EC (%) constant 6.0-0.06 4.033.49 linar 6.0 9.865-3.76.338 parabólico 5.0-34.48 -.540 0.876 f p -6.99 3.85-0.83.56 9.084 5.448-5.005 -.88 7.037.03.53 4.43-3.387-0.997 4.69-0.9 4.63.879.033 3.63-0.30 -.857 4.074 0.33.90.386 4.589.440 -.355-0.40 3.466 6.073 5.08 0.69 3.45.3 3.09.4 5.793.64.453 4.583.799 4.533.05 -.50 3.58 5.76 5.53 4.64 4.69.99 6.0.548.549 3.907-4.556-0.56 -.67-0.9-3.60-3.880.537 4.86 5.73 3.973.088 5.00 Figra 7.3 Dsvio rlativo prcntal para o flxo médio d nêtrons para o prfil d fga parabólico. g = g = -7.43 -.7 -.45-0.8.943.470 -.037 -.444 plano númro d 9. Para finalizar, na Fig. 7.4 são mostradas as difrnças rlativas prcntais do fator d potência no EC, qando comparada com os valors d rfrência []. Ests 66

rsltados foram obtidos considrando-s o núclo do rator com simtria d /8 corrnt d ntrada nla como condição d contorno. Qanto aos critérios d convrgência tilizo-s flxo nas itraçõs xtrnas 6 0, tanto para o atovalor qanto para a norma máxima do 3 0 para a norma máxima do flxo nas itraçõs intrnas. Dos rsltados mostrados na Fig. 7.4 obsrvamos q o método DFMGA com dados do NEM é bastant prciso, ma vz q a difrnça rlativa prcntal máxima é mnor do q %. Vrifica-s também q qando a fga transvrsal d nêtrons é aproximada plos prfis constant, linar parabólico, o método aprsnta praticamnt a msma difrnça rlativa prcntal média, dixando os dsvios maiors nos nodos do contorno do domínio. NEM constant linar parabólico 0.554 0.77.009 0.75 0.8 -.38 -.339 -.644 0.034-0.39 0.076 0.9 0.04 -.559 -.670-0.8 0.80 -.868-0.957 -.305 0.80 0.38 0.6-0.09 0.7 -.48 -.9 0.009 0.304 -.76-0.844 -.43 0.96 -.054-0.084-0.76 0.04-0.30-0.874-0.84-0.7.83.537.6-0.036-0.334-0.65-0.33 0.95 0.639 0.79-0.04 0.004 0.68 0.776 0.8 0.36 -.893 -.98-0.088-0.3-3.97-3.76-0.39-0.86-0.430-0.950 -.540-0.70-0.3 -.479-0.6 0.008 0. -0.0 0.065-0.04 0.50 0.598 0.45-0.055.387.999 0.50 0. 0.84 -.985.49-0.94 0.64-0.583 0.790-0.5.68.457 0.930-0.69.6.89 0.77-0.00.394.868.47 0.5 3.679 0.95.07-0.39 3.679.753.56-0.0 4.033 3.463.39 Figra 7.4 Difrnças rlativas prcntais do fator d potência no EC. 67

7.. Problma bnchmar LMW Na Tabla 7.4 são aprsntados os parâmtros d mltigrpos do bnchmar LMW tilizado como sgndo problma-modlo. Na configração do núclo dst rator é tilizada ma nodalização spacial com nodos d 0 cm d largra nas três dirçõs x, y, z. Tabla 7.4 Parâmtros d mltigrpo do bnchmar LMW. tipo g ( ) g D cm ag ( cm Σ ) νσ fg ( cm ) Σ gg ( cm ) 3 4.4393 0.004006 0.00647769 0.0755555 0.356306 0.087667 0.738 0.0.456 0.009963 0.00750384 0.077768 0.350574 0.0995634 0.378004 0.0.4393 0.009506 0.00647769 0.0755555 0.356306 0.09467 0.738 0.0.6347 0.00660573 0.0 0.0759693 0.600 0.0493635 0.0 0.0 Na Fig. 7.5 aprsntamos a configração do combstívl para simtria d /8 d núclo do problma bnchmar LMW m três dimnsõs spaciais (3D). 4 4 4 3 4 4 3 3 4 Figra 7.5 Configração para simtria d /8 do bnchmar LMW. 68

7... Primiro caso do bnchmar LMW Para st caso tst (Caso ), a posição dos bancos d barras d control é mostrada na Fig. 7.6, ond o banco (BBC) stá insrido até a mtad do núclo ativo o banco (BBC) stá fora do núclo ativo. 0 9 8 7 6 5 4 3 Rfltor Infrior Rfltor Sprior BBC BBC Figra 7.6 Rator LMW: gomtria axial para o Caso. Dos rsltados aprsntados na Tabla 7.5 vrificamos q o método DFMGA com dados do NEM é bastant prciso. Qanto ao tmpo d xcção, não foi possívl mdi-lo ma vz q a fnção tilizada no programa comptacional é capaz d mdir apnas tmpos spriors a 0. sgndos. Sndo assim, pod-s conclir q nst tst os cálclos foram fitos m m tmpo infrior a st valor. Na Tabla 7.6 vrificamos q os rsltados do método DFMGA para os três prfis scolhidos para rprsntar a fga transvrsal continam aprsntando praticamnt a msma prcisão, obsrvando-s q o método com prfil parabólico para a fga aprsnta os mnors valors d tmpo d dsvios m dnsidad d potência. 69

No ntanto, o maior dsvio para o valor d ff nss prfil é dvido ao flxo médio d nêtrons s afastar mito do valor d rfrência, vid a Fig. 7.7, nos nodos do contorno do rfltor. Rssaltamos q a Fig. 7.7 foi grada com os valors dos dsvios do flxo médio d nêtrons no plano d númro (rfltor infrior) d m total d 0 planos, já q sts valors são os maiors m rlação aos dmais. Tabla 7.5 DFMGA com dados do NEM (LMW-Caso ). Tmpo d Método xcção δ ff DFMGA com (sgndos) 5 EC 0 max f p (%) MA δ δ EC (%) NEM mnor q 0. -0. 0.078 0.09 f p Tabla 7.6 Tmpo d xcção, difrnças rlativas médias aritméticas (LMW-Caso ). Tmpo d Método xcção δ ff DFMGA (sgndos) 5 EC 0 max f p (%) MA δ δ EC (%) constant.5 6. 4.85.670 linar.0-0.9 3.856.46 parabólico 0.8-8.7-3.673.03 f p 70

-5.560-5.43 g = g = -4.88-5.00 0.93 0.50-9.06-9.676 0.77-0.760-4.380-4.09-3.937-5.4 -. -.53-0.88 -.030-3.765-3.60 7.06 5.659-0.03 -.086 -.03 -.953 0.3 -.035-3.580-3.093-5.896-5.8-8.73-9.495-5.644-7.358-3.55-4.7-5.98-7.6 plano númro d 0. Figra 7.7 Dsvio rlativo prcntal para o flxo médio d nêtrons para o prfil d fga parabólico (Caso ). Na Fig. 7.8 são mostradas as difrnças rlativas prcntais do fator d potência no EC, qando comparada com os valors d rfrência [4]. Ests rsltados foram obtidos considrando-s o núclo do rator com simtria d /8 corrnt d ntrada nla como condição d contorno. Qanto aos critérios d convrgência tilizos 6 0, tanto para o atovalor qanto para a norma máxima do flxo nas itraçõs xtrnas 3 0 para a norma máxima do flxo nas itraçõs intrnas. Dos rsltados mostrados na Fig. 7.8 obsrva-s q o método DFMGA com dados do NEM é bastant prciso. Vrifica-s também q qando a fga transvrsal d nêtrons é aproximada plos prfis constant, linar parabólico, o método aprsnta praticamnt a msma difrnça rlativa prcntal média. 7

NEM constant linar parabólico 0.004 -.847 -.05-0.566 0.009 -.69-0.954-0.379 0.09 -.605 -.806-0.674-0.03-0.60 0.459-0.43 0.04-0.37-0.343 0. 0.07-0.433-0.64 0.44-0.07-0.339.95-3.67 0.049 0.85.039 0.9 0.0 0.694 0.44 0.633-0.08 0.47 0.083 0.74-0.034 4.85 3.856 0.47 0.0 4.038.850.405 0.077 3.36.84.55 0.060.455.74.377 Figra 7.8 Difrnças rlativas prcntais do fator d potência no EC (Caso ). 7... Sgndo caso do bnchmar LMW Para st caso tst (Caso ) a posição dos bancos d barras d control é mostrada na Fig. 7.9, ond o banco (BBC) stá fora do núclo ativo o banco (BBC) stá insrido até a mtad do núclo ativo. 7

0 9 8 7 6 5 4 3 Rfltor Sprior BBC BBC Rfltor Infrior Figra 7.9 Rator LMW: gomtria axial para o Caso. Dos rsltados aprsntados na Tabla 7.7 vrificamos q é mantida a boa prcisão do método DFMGA com dados do NEM. Qanto ao tmpo d xcção, também não foi possívl mdi-lo conform jstificativa dada na sção 7... Na Tabla 7.8 vrificamos q os rsltados do método DFMGA para os três prfis scolhidos para rprsntar a fga transvrsal continam aprsntando a msma prcisão, com xcção do δ ff do DFMGA com prfil parabólico, visto q o flxo médio d nêtrons s afasta mito do valor d rfrência, vid a Fig. 7.0, nos nodos do contorno do rfltor. Rssaltamos q a Fig. 7.0 foi grada com os valors dos dsvios do flxo médio d nêtrons no plano d númro (rfltor infrior) d m total d 0 planos, já q sts valors são os maiors m rlação aos dmais. 73