874 Galvão et al. Qui. Nova Qui. Nova, Vol. 4, No. 6, 874-884,. Divulgação ESTUDO COMPARATIVO SOBRE FILTRAGEM DE SINAIS INSTRUMENTAIS USANDO TRANSFORMADAS DE FOURIER E WAVELET Roberto Kawakai Harrop Galvão Divisão de Engenharia Eletrônica, Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Capos - SP Mário César Ugulino de Araújo *, Teresa Cristina Bezerra Saldanha e Valeria Visani Departaento de Quíica, CCEN, Universidade Federal da Paraíba, CP 93, 8-97 João Pessoa - PB Maria Fernanda Pientel Departaento de Engenharia Quíica, CTG, Universidade Federal de Pernabuco, Recife - PE Recebido e //; aceito e 4/3/ COMPARATIVE STUDY ON INSTRUMENTAL SIGNAL DENOISING USING FOURIER AND WAVELET TRANSFORMS. A coparative study of the Fourier (FT) and the wavelet transfors (WT) for instruental signal denoising is presented. The basic principles of wavelet theory are described in a succinct and siplified anner. For illustration, FT and WT are used to filter UV-VIS and plasa eission spectra using MATLAB software for coputation. Results show that FT and WT filters are coparable when the signal does not display sharp peaks (UV-VIS spectra), but the WT yields a better filtering when the filling factor of the signal is sall (plasa spectra), since it causes low peak distortion. Keywords: instruental signal denoising; Fourier transfor; wavelet transfor. INTRODUÇÃO No contexto de processaento de sinais, entende-se por filtrage a reoção de ruído visando elhorias na interpretação e utilização dos dados. Entre os ruídos que noralente containa respostas instruentais, pode ser citados o Johnson, o Shot, o Flicker e o abiental. Os étodos ais couente utilizados e Quíica para reoção de tais interferências são os filtros de édia boxcar, édia óvel e Savitsky-Golay. Ebora de fácil ipleentação, tais filtros tende a distorcer picos estreitos, o que pode coproeter a análise, por exeplo, de sinais espectroscópicos. Nesse contexto, elhorias pode ser obtidas através do uso da Transforada de Fourier (TF), confore descrito no recente tutorial de Cerqueira et al. Ua outra alternativa consiste no uso da Transforada Wavelet (TW) 3-9, ferraenta de processaento de sinais introduzida nos anos 8 para superar alguas liitações da TF. A literatura relata que a filtrage via TW, e contraste co étodos de suavização polinoial, não desloca ne defora pontos notáveis (áxios, ínios e inflexões) do sinal a ser filtrado, apresentando ainda vantagens sobre a TF quando o sinal possui u baixo fator de preenchiento (filling factor), isto é, apresenta picos alternados co regiões de baixa intensidade. Este trabalho te por objetivo fazer u estudo coparativo do desepenho da TF e TW e probleas de filtrage de sinais instruentais. Para tal, a teoria pertinente e os procedientos de filtrage via TF e TW são breveente descritos. A título de ilustração, é investigada a aplicação dessas técnicas a espectros de absorção olecular UV-VIS e de eissão e plasa. ASPECTOS TEÓRICOS E LIMITAÇÕES DA TRANSFORMADA DE FOURIER E sua versão discreta, a TF de u sinal f(x) co N pontos, é calculada coo * e-ail: laqa@quiica.ufpb.br N = x= F( ω ) f ( x)exp( iωx) () onde x é ua variável cuja natureza depende da técnica instruental utilizada na geração do sinal (por exeplo, copriento de onda no caso de espectroscopia). Vale ressaltar que alguns autores eprega u fator de noralização de /N na Equação, as a expressão aqui apresentada é a epregada pelo software MATLAB. O parâetro ω, denoinado freqüência, assue os seguintes valores: k ω = π, k =,,..., N - () N onde k é chaado índice de freqüência. Coo resultado da aplicação da TF, obté-se u conjunto de N coeficientes, indexados por k. Anulando os coeficientes e que a presença do ruído é preponderante (noralente e freqüências elevadas) e aplicando a Transforada de Fourier Inversa (TFI), obté-se u sinal ais lipo. Ua das liitações da TF encontra-se no fato de que ela não perite analisar e separado diferentes trechos do sinal. Assi, caso u trecho seja extreaente ruidoso ou contenha pontos anôalos, o processaento de todo o sinal é coproetido. A fi de resolver esse problea, foi introduzida a Transforada de Fourier Janelada (TFJ), que consiste e dividir o sinal e regiões e aplicar a TF a cada ua delas. Mateaticaente, a TFJ de u sinal f(x) é dada por N = x= F( p, ω ) f ( x) w( x p)exp( iωx) (3) onde w(x) é ua função de janelaento, responsável pela deliitação do trecho que está sendo considerado no sinal. A posição da janela dentro do sinal é dada pelo parâetro p. A título de ilustração, a Figura ostra u espectro dividido e 8 janelas retangulares. No exeplo da Figura, a função w(x) realiza cortes abruptos, dividindo o sinal e janelas be deliitadas. Contudo, esse procediento causa u problea conhecido coo
Vol. 4, No. 6 Estudo Coparativo sobre Filtrage de Sinais Instruentais usando Transforadas de Fourier e Wavelet 87 grande popularidade adquirida nos últios anos e a opinião de alguns autores que a reputa coo o evento ateático de aior relevância na década de 8. Forulação Mateática A TW de u sinal f(x) é expressa coo Figura. Espectro dividido e 8 regiões por janelas retangulares. efeito de borda ou fenôeno de Gibbs 3, que pode ser iniizado usando-se janelas co decaiento suave, tais coo a gaussiana: x / w( x) = e (4) Todavia, a recuperação do sinal a partir de ua TFJ que epregue janelas desse tipo é ua tarefa coplexa, o que dificulta sua aplicação à filtrage de ruído. Alé do efeito de borda, outro problea relevante é a escolha da largura para a função de janelaento. Suponha, por exeplo, que seja usadas janelas retangulares co M variáveis x. Então, cada janela dá orige a M coeficientes Fourier e, portanto, a preservação do núero total de N variáveis requer o uso de N/M janelas. Note-se que, auentando M, elhora-se a análise de cada janela (aior núero de coeficientes Fourier), as perde-se resolução espacial (enor núero de janelas). Esse problea é conhecido na área de processaento de sinais coo Princípio da Incerteza de Heinsenberg,. Para ilustrar a dificuldade e se escolher ua janela de largura conveniente, pode-se notar na Figura que a região precisaria ser dividida e janelas ais estreitas que a região 8. Para contornar os probleas de efeito de borda e escolha da largura da janela, foi introduzida a TW 3-7. Coo será visto a seguir, a TW utiliza janelas se cortes abruptos, à seelhança da gaussiana, as que, ao contrário desta, perite ua fácil reconstrução do sinal a partir dos coeficientes da transforada. Alé disso, a TW utiliza janelas de largura variável, que pode assi ser ais be ajustadas às características de cada trecho do sinal. TRANSFORMADA WAVELET Histórico Ebora desde o coeço do século a literatura registre trataentos ateáticos seelhantes à TW (Alfred Haar, 9, apud Daubechies 4 e Meyer 7 ), foi no final da década de 7 que a esa passou a ter ua identidade própria. Nessa ocasião, o francês Jean Morlet, trabalhando para a copanhia de petróleo Elf Acquitaine, propôs ua odificação na TF, para elhor tratar sinais geofísicos. Por falta de ebasaento ateático, Morlet inicialente encontrou uitos opositores. Esses, coo lebra Daubechies 9, tecia críticas do seguinte tipo: Se isso estivesse correto, já estaria nos livros de ateática. Coo não está, provavelente é inútil. No entanto, alguns anos depois, as wavelets de Morlet atraíra a atenção de Yves Meyer, u ateático que ajudou a enriquecer e aadurecer a nova teoria, encontrando paralelos surpreendentes co diversos outros capos da ateática, antes estudados separadaente 7. Logo e seguida, Stéphane Mallat, u estudante de processaento de iagens, desenvolveu u algorito para calcular a TW de fora coputacionalente eficiente, abrindo então as portas à counidade de processaento de sinais,4. Coo se vê, desde seu início, a teoria de wavelets se ostrou interdisciplinar, o que e parte explica a Wf ( a, b) = + f ( x) ψ a, b( x) dx () que, aproxiando a integral por u soatório, torna-se N = x= Wf ( a, b) f ( x) ψ ( x (6) a, b ) para u sinal discreto co N pontos. A função ψ a,b (x), chaada wavelet, é derivada de ua função ψ(x) através da seguinte transforação: x b ψ a, b( x) = ψ (7) a a Há ua apla gaa de possíveis escolhas para a função ψ(x), denoinada wavelet-ãe. Duas possíveis alternativas, que fora usadas neste trabalho, estão apresentadas na Figura. ψ(x). -. - ψ(x) Daubechies 4 (db4) 3 4 6 7 x. -. - Sylet 6 (sy6) 4 6 8 x Figura. Exeplos de wavelets epregadas neste trabalho. Coparando-se as Equações 3 e 6, vê-se que abas realiza o produto do sinal por funções que apresenta oscilações dentro de ua janela. A diferença encontra-se na natureza dos parâetros das transforadas. Na TFJ, p e w representa, respectivaente, posição e freqüência, estando fixada a largura da janela. Na TW, b tabé representa posição (ou translação da wavelet), as a (chaado parâetro de escala ) está associado à largura da janela, coo se pode ver na Figura 3.
876 Galvão et al. Qui. Nova ψ(x). -. - 4 6 8 4 x Figura 3. Efeito de odificações na escala para a wavelet db4. E tracejado, encontra-se a wavelet-ãe e, e linha cheia, a wavelet co escala a =. Algorito de decoposição e árvore Coo não é viável calcular a TW para todos os possíveis valores de a e b no conjunto dos núeros reais, é de praxe fazer a seguinte restrição: a=, b=n (8) onde e n são núeros inteiros 4. Esse procediento conduz a ua estrutura de escalas e translações chaada diádica, que guarda seelhanças co a notação usical, e que potências de dois estão relacionadas co intervalos (oitavas) e durações das notas. Nesse caso, o resultado da aplicação da TW sobre u sinal é u conjunto de coeficientes wavelet indexados por (nível de escala) e n (índice de translação). Pode-se ostrar 4 que dessa fora a inforação do sinal é preservada e o núero de coeficientes é igual ao núero original de variáveis, coo na TF. Alé disso, torna-se possível obter os coeficientes de ua fora rápida e coputacionalente eficiente, através do algorito de decoposição e árvore proposto por Mallat 4,,4,6 e representado esqueaticaente na Figura 4. Figura 4. Representação do algorito de decoposição wavelet e árvore. Nessa figura, os blocos L e H representa filtros digitais passa-baixas e passa-altas, respectivaente, que estão associados à wavelet adotada na análise. O síbolo ( ) representa a operação de sub-aostrage, ou deciação, que consiste e eliinar todos os coeficientes de índice par (,,...) de ua seqüência. A sub-aostrage garante que o núero total de pontos peraneça constante após a TW. E cada nível de escala, gera-se dois conjuntos: u conjunto d de coeficientes wavelet (tabé chaados, neste contexto, de detalhes ) e u conjunto c de coeficientes ditos de aproxiação. O conjunto c passa e seguida por ua nova divisão L/H, de aneira a gerar coeficientes c + e d + e assi sucessivaente. As operações de filtrage e deciação pode ser resuidas nas equações abaixo, e que as seqüências l(k) e h(k), de K pontos cada ua, são responsáveis, respectivaente, pela filtrage passa-baixas e passa-altas. c + d + K ( n) = l( k) c (n k + ) k = K ( n) = h( k) c (n k + ) k = A título de exeplo, as seqüências de filtrage associadas à wavelet-ãe db4 (Figura ) possue K = 8 pontos, coo ostra a Tabela. Vale ressaltar que a expressão da wavelet-ãe ψ(x) não é usada no algorito de decoposição e árvore. Co efeito, wavelets coo as apresentadas na Figura não apresenta ua forulação ateática explícita, sendo obtidas de fora nuérica 4 a partir das seqüências l(k) e h(k). A saída da árvore de decoposição depende do núero de níveis de escala (tabé chaados níveis de resolução ) epregados, coo ilustrado na Figura. f(x)... Núero de Níveis (c,d ) (c,d,d )... M (c M,d M,...,d,d ) s Resultantes Figura. Resultado da decoposição de u sinal f(x) e coeficientes wavelet, e função do núero de níveis de escala epregado. Do ponto de vista quíico, os detalhes estão associados a características be localizadas do sinal, tais coo picos estreitos, enquanto as aproxiações corresponde a ua linha édia do sinal, reovidos os detalhes. Quanto ais níveis de detalhes são reovidos, ais suavizada fica a aproxiação. U segundo algorito e árvore pode ser usado para reconstruir o sinal a partir dos coeficientes (Transforada Wavelet Inversa - TWI) coo ostra a Figura 6. Nessa árvore, o síbolo ( ) representa a operação de inserção de zeros entre os pontos de ua seqüência. A operação de reconstrução dos coeficientes c - a partir de c e d pode ser resuida pela equação N k = c ( n) = [ l ( n k + K ) c ( k) + h ( n k + K ) d ( k)] () (9) Tabela. Seqüências de filtrage associadas à wavelet-ãe db4. k 3 4 6 7 l(k) -,,33 -,3 -,87 -,8,63 -,7 -,3 h(k) -,3,7 -,63 -,8 -,87,3 -,33 -,
Vol. 4, No. 6 Estudo Coparativo sobre Filtrage de Sinais Instruentais usando Transforadas de Fourier e Wavelet 877 c L c d H d d L H f(x) Escolha:. Wavelet a ser epregada (isto é, as seqüências de filtrage l(k) e h(k)). Núero de níveis de resolução 3. Liiar de corte e cada nível de resolução Figura 6. Árvore de reconstrução wavelet co dois níveis. onde as seqüências d e c possue N pontos cada ua. É possível ostrar que, sob certas condições 4,4, as seqüências de filtrage usadas na TWI são iguais às seqüências l(k) e h(k) invertidas, isto é, l(k) = l(k k) e h(k) = h( K k) () Note-se ainda que, na Equação, considera-se l ( k) = h ( k) = para k < ou k K. U interessante paralelo pode ser traçado entre o esquea de reconstrução wavelet e processos de visão, que era o capo de pesquisa original de Mallat. Ao olharos ua pessoa à distância, é possível distinguir apenas os contornos de seu corpo (aproxiação). Contudo, ao nos aproxiaros, passaos a perceber ais características (detalhes) do indivíduo, tais coo o forato de seu rosto, depois seus olhos e assi por diante. Ou seja, nesse processo, a foração da iage passa pela incorporação sucessiva de detalhes e escalas cada vez enores. Para ais detalhes sobre a TW, recoenda-se os tutoriais de Rioul e Vetterli 6 e tabé de Alsberg et al 8 e, co aior rigor ateático, a obra clássica de Daubechies 4. Filtrage epregando TW O processo de filtrage baseado na TW (vide Figura 7) consiste e fazer iguais a zero os coeficientes de detalhe que, e ódulo, são enores que u certo liiar de corte. Ou seja, e cada nível da árvore de decoposição, d filtrado (n) d(n), se d(n) > liiar, se d (n) liiar = n =,,..., N () Note-se que pode ser usados liiares diferentes para cada nível. Após esse processo de corte, usa-se a TWI para obter o sinal filtrado. APLICAÇÃO Nesta seção, será inicialente apresentado u problea de filtrage de u espectro siulado, visando ilustrar as potenciais vantagens da TW e relação à TF. E seguida, será epregado u espectro de absorção olecular UV-VIS de ua istura dos coplexos de Co +, Cu +, Mn +, Ni + e Zn + co 4-(-piridilazo)resorcinol (PAR), obtido nas condições experientais detalhadas por Saldanha et al 7. Por fi, será considerado u espectro de eissão e plasa de ua aostra de aço-liga certificada (BCS-464) que conté Mn, Cr, Ni e Fe. Esse espectro foi obtido confore descrito por Pientel et al 8. Coo será visto, a absorção olecular e a eissão e plasa ilustra situações bastante distintas do ponto de vista de processaento de sinais. No Apêndice, é apresentado o prograa de filtrage via TW usado neste trabalho, escrito e linguage MATLAB, que eprega o MATLAB Wavelet Toolbox. A filtrage via TF foi tabé ipleentada e MATLAB, seguindo os esos passos descritos por Cerqueira et al. Faça a decoposição wavelet do sinal a ser filtrado (eq. 9) E cada nível de resolução, iguale a zero os coeficientes de detalhe cujo ódulo esteja abaixo do liiar escolhido (eq. ) Reconstrua o sinal a partir dos coeficientes wavelet (eq. ) FIM Figura 7. Fluxograa do algorito de filtrage wavelet. Filtrage de u espectro siulado Na Figura 8a, é apresentado u espectro forado por u pico triangular seguido de u período da função sen (x). A Figura 8b traz o eso espectro, acrescido de u ruído branco co desvio-padrão de,. Este prieiro exeplo te por objetivo ostrar que u problea fundaental da filtrage, qual seja, a distorção de picos estreitos, pode ser aenizado pelo uso da TW. As Figuras 9a e 9b apresenta a TF, e ódulo, para os espectros original e ruidoso, respectivaente. Vale ressaltar que, devido à sietrização dos sinais, recoendada por Cerqueira et al, a TF resulta e 3 coeficientes (o dobro do núero inicial de coprientos de onda). Contudo, as figuras apresenta apenas os prieiros coeficientes, visto que os deais são iguais a estes, e ódulo 9. Coo se vê na Figura 9b, o efeito do ruído é ais evidente e altas freqüências. Para filtrá-lo, deve-se definir ua freqüência de corte adequada, de odo a não causar distorções no sinal após a TFI. Neste caso, a dificuldade consiste no fato de que o pico triangular introduz coeficientes de alta freqüência (k = 7 a e k = 3 a, aproxiadaente), coo ostra a Figura 9a. Assi, qualquer tentativa de eliinar o ruído causará necessariaente ua distorção nesse pico. Esse problea está deonstrado na Figura, que ostra o valor do pico do sinal filtrado, e função da freqüência de corte adotada. Nota-se que, quanto ais coeficientes de alta freqüência são eliinados na filtrage, aior a distorção causada no pico. As Figuras a e b apresenta o resultado da aplicação da TW aos espectros das Figuras 8a e 8b, epregando ua wavelet-ãe da faília Sylet (sy3) 4, e dois níveis de resolução. Coo se vê, o ruído se anifesta principalente nos coeficientes de detalhe (d e d ). Coo explicado anteriorente, o processo de filtrage consiste e fazer iguais a zeros todos os coeficientes de detalhe que, e cada nível, tivere ódulo inferior a u dado liiar.
878 Galvão et al. Qui. Nova f(x).8.6.4. Pico do sinal filtrado.9.9.8.8.7.7.6.6 4 6 8 4 Freqüência de corte (k) Figura. Valor do pico do sinal filtrado e função da freqüência de corte da TF do espectro siulado. f(x).8.6.4. Figura 8. Espectro siulado antes e após a introdução de ruído.. -.. -. Detalhe (d) 3 4 6 7 Detalhe (d) 3 4 Aproxiação (c) 3 4. Detalhe (d) 4 6 8 4 Índice de freqüência (k) -.. -. 3 4 6 7 Detalhe (d) 3 4 Aproxiação (c) 4 6 8 4 Índice de freqüência (k) Figura 9. TF do espectro siulado antes e após a introdução de ruído. Contudo, assi coo na TF, a eliinação de u núero uito grande de coeficientes pode causar distorções no sinal. Esse fato está ilustrado na Figura, que ostra o valor do pico do sinal filtrado e função do liiar de corte, expresso coo ua percentage do coeficiente de aior ódulo e cada nível. 3 4 Figura. TW do espectro siulado antes e após a introdução de ruído. A fi de coparar a filtrage via TF e via TW, suponha que a aior distorção tolerável seja tal que o pico do espectro filtrado seja de,94. Nesse caso, a freqüência de corte para a TF seria k = 88 (vide Figura ) e o liiar de corte para a TW seria de 8% (vide Figura ). O resultado do corte pode ser visualizado nas Figuras 3a e 3b e os sinais reconstruídos através da TFI e da TWI, nas Figuras 4a e 4b. Coo se pode notar, para u eso nível de distorção no pico do sinal, a filtrage via TW foi visivelente elhor.
Vol. 4, No. 6 Estudo Coparativo sobre Filtrage de Sinais Instruentais usando Transforadas de Fourier e Wavelet 879 Pico do sinal filtrado.99.98.97.96.9.94.93 4 6 8 Liiar de corte (%) Figura. Valor do pico do sinal filtrado e função do liiar de corte da TW, expresso coo ua percentage do coeficiente de aior ódulo e cada nível de detalhe. f_fourier(x).8.6.4..8 f_wavelet(x).6.4. -.. -. 4 6 8 4 Índice de freqüência (k) 8% % 8% Detalhe (d) 3 4 6 7 % 8% 8% Detalhe (d) 3 4 Aproxiação (c) 3 4 Figura 3. Resultado do corte sobre a TF e TW do espectro ruidoso. A freqüência de corte está indicada por ua barra vertical tracejada e e os liiares de corte, por barras horizontais tracejadas e. Filtrage de u espectro de absorção olecular UV-VIS Na Figura a é ostrado u espectro de absorção olecular UV-VIS de ua istura contendo coplexos de Co +, Cu +, Mn +, Ni + e Zn + co PAR. A este sinal, foi artificialente adicionado u ruído branco co desvio-padrão de, (Figura b). As Transforadas de Fourier e ódulo para o espectro UV-VIS se e co ruído são ostradas, respectivaente, nas Figuras 6a e 6b. A fi de investigar quantitativaente o efeito de variações na freqüência de corte, propõe-se aqui o uso da raiz do erro quadrático édio (root-ean-square error - RMSE),. Figura 4. Espectros filtrados via TF e via TW. que ede a qualidade da filtrage coparando o espectro original f(x) co o espectro filtrado f f (x). O RMSE é expresso coo [ ] N RMSE = f ( x) f f ( x) (3) N x= A Figura 6c ostra o valor do RMSE obtido e função da freqüência de corte. Nota-se que, para freqüências de corte baixas, o RMSE é elevado, indicando ua grande diferença entre o espectro original e o filtrado. Neste caso, a filtrage causa distorção no sinal. Para freqüências de corte ais altas, o RMSE é elevado porque não se está reovendo o ruído. A freqüência de corte ótia é k = 6 (RMSE = 4,8-3 ), que está indicada na Figura 6b por ua barra vertical tracejada. Aplicando-se então a TFI, obté-se o espectro filtrado (linha cheia na Figura 6d), que não apresenta grandes diferenças e relação ao espectro original (linha tracejada na Figura 6d). Para fins de coparação, foi aplicada a Transforada Wavelet aos esos espectros apresentados nas Figuras a e b. A fi de selecionar a elhor função wavelet para o propósito de filtrage, fora testadas as faílias Daubechies (db a db8) e Sylet (sy a sy8) 4,. Para cada ua das wavelets dessas faílias, fora investigados os seguintes parâetros: núero de níveis de decoposição (até o valor áxio possível para cada wavelet, dado pela função WMAXLEV do Matlab Wavelet Toolbox) e liiar de corte (%, % ou 7% do aior coeficiente wavelet e cada nível de detalhe). O enor RMSE (4,8-3 ) foi obtido para a wavelet db4 (Figura a) co níveis de decoposição e liiar de corte de %. O resultado da transforada nessas condições para o sinal original e co ruído encontra-se, respectivaente, nas Figuras 7a e 7b. Os liiares para os detalhes d e d estão representados por barras horizontais tracejadas na Figura 7b e o resultado do corte é ostrado na Figura 7c. Aplicando-se a TWI, obté-se o espectro filtrado (linha cheia na Figura 7d), que não apresenta grandes diferenças e relação ao espectro original (linha tracejada na Figura 7d).
88 Galvão et al. Qui. Nova.3.3 Absorbância.... Absorbância...... 3 4 6 Figura. Espectro UV-VIS original e após a introdução de ruído. 3 4 6 4 4 3 3 3 4 6 Índice de freqüência (k) 3 4 6 Índice de freqüência (k) RMSE x -3 9 8 7 6 Absorbância.3..... 4 3 4 6 Freqüência de corte (k) 3 4 6 (c) (d) Figura 6. TF do espectro UV-VIS original e após a introdução de ruído. RMSE e função da freqüência de corte (c). Espectro filtrado (linha cheia) e espectro original (linha tracejada) (d). Neste exeplo, a filtrage via TW não trouxe elhorias e relação à filtrage via TF, coo se pode notar pelo RMSE, igual para os dois. A razão se encontra no fato de que o sinal estudado era suave, não apresentando uitos pontos notáveis (áxios, ínios e inflexões). Filtrage de u espectro de eissão e plasa O processo de filtrage será agora ilustrado usando u espectro de natureza substancialente diferente do espectro UV-VIS. Co efeito, o espectro de eissão e plasa possui picos de eissão pronunciados, que pode vir a ser deforados pelo processo de filtrage. Ua vez que o RMSE não é adequado para edir distorções nos picos, já que ele ede a qualidade global da filtrage, propõe-se o uso do erro absoluto áxio (EAM), expresso coo EAM = ax f(x) f f (x), x =,,...N- (4) visando quantificar a aior distorção causada no espectro pela filtrage. As Figuras 8a e 8b apresenta, respectivaente, o espectro original e o espectro acrescido de u ruído branco co desvio padrão de 8. Observando a TF do espectro original (Figura 9a), nota-se que os coeficientes e alta freqüência não se aproxia tanto de zero coo na TF do espectro UV-VIS (Figura 6a). Isso se deve à presença de picos estreitos no espectro de eissão e plasa. Neste caso, a separação entre sinal e ruído não é tão clara, coo se pode ver na Figura 9b e, portanto, a filtrage sepre acarretará ua distorção nos picos, co conseqüente perda da inforação nos esos. Toando-se por exeplo a freqüência de
Vol. 4, No. 6 Estudo Coparativo sobre Filtrage de Sinais Instruentais usando Transforadas de Fourier e Wavelet 88. Detalhe (d). Detalhe (d) -.. -. 3 3 Detalhe (d) 4 6 8 4 6 8 -.. -. 3 3 Detalhe (d) 4 6 8 4 6 8.6.4. Aproxiação (c).6.4. Aproxiação (c) 4 6 8 4 6 8 4 6 8 4 6 8. Detalhe (d).3 -.. -..6.4. 3 3 4 6 8 4 6 8 4 6 8 4 6 8 Detalhe (d) Aproxiação (c) 3 4 6 (c) (d) Figura 7. TW do espectro UV-VIS original, após a introdução de ruído e após o corte (c). Espectro filtrado (linha cheia) e espectro original (linha tracejada) (d). Absorbância..... Intensidade Intensidade 3 4 6 7 3 4 6 7 Figura 8. Espectro de eissão e plasa original e após a introdução de ruído.
88 Galvão et al. Qui. Nova corte escolhida co base no ínio do RMSE (Figura 9c) e representada por ua barra vertical na Figura 9b, obtése, após a TFI, o espectro ostrado na Figura 9d (RMSE = 6). Ao copararos o espectro filtrado (linha cheia na Figura 9d) co o espectro original (linha tracejada na Figura 9d), verifica-se que a filtrage causou achataento e alguns picos, destacados por elipses tracejadas na Figura 9d. Esse fenôeno pode ser ais facilente copreendido analisando-se as curvas das Figuras e 9c. Para a freqüência de corte selecionada, o valor do EAM é de 447. À edida que a freqüência de corte é reduzida, o EAM auenta, indicando ua aior distorção nos picos. Por outro lado, se a freqüência de corte é auentada, de odo a reduzir o EAM, o ruído não é reovido, acarretando u auento no RMSE (Figura 9c). É ostrado a seguir que este problea pode ser iniizado quando a filtrage é feita via TW. Seguindo-se u procediento seelhante ao utilizado no espectro UV-VIS, concluiu-se que a elhor wavelet para filtrage do espectro de eissão e plasa é a Sylet 6, co níveis de decoposição (Figura b) e liiar de corte de % (RMSE = 6). Possivelente, a escolha recaiu sobre essa wavelet devido a suas características de sietria, tabé apresentadas por raias de eissão. O resultado da TW encontra-se nas Figuras a e b. Os liiares de corte para d e d estão representados por barras horizontais tracejadas na Figura b e o resultado do corte é ostrado na Figura c. A Figura d apresenta o espectro filtrado após a TWI. Observa-se que, no global, a filtrage via TW (Figura d) foi elhor que a produzida pela TF (Figura 9d), o que se traduz e teros quantitativos por u RMSE de 6 contra 6. Alé disso, o EAM é agora de, contra o valor de 447 obtido co a TF, coo resultado de u enor achataento dos picos. Ua coparação final entre os resultados da filtrage via TF e TW pode ser feita observando-se a Figura. Coo se vê, a TF provoca erros elevados nos picos de eissão ais estreitos, enquanto a TW conduz a u erro de filtrage ais unifore ao longo do espectro. x 4 x 4 8 8 6 6 4 4 3 4 6 7 Índice de Freqüência (k) 3 4 6 7 Índice de Freqüência (k) RMSE Intensidade 3 4 6 7 3 4 6 7 Freqüência de corte (k) (c) (d) Figura 9. TF do espectro de eissão e plasa original e após a introdução de ruído. RMSE e função da freqüência de corte (c). Espectro filtrado (linha cheia) e espectro original (linha tracejada) (d).
Vol. 4, No. 6 Estudo Coparativo sobre Filtrage de Sinais Instruentais usando Transforadas de Fourier e Wavelet 883 8 6 Espectro Original EAM 4 8 Intensidade Erro (Fourier) Erro (Wavelet) 6 4 3 4 6 7 Freqüência de corte (k) Figura. EAM e função da freqüência de corte da TF do espectro de eissão e plasa. 3 4 6 7 Figura. Coparação entre os erros de filtrage (e ódulo) via TF e via TW. E abos os casos, os parâetros de filtrage fora ajustados de odo a iniizar a raiz do erro quadrático édio (RMSE). - Detalhe (d) - Detalhe (d) - 3 3 Detalhe (d) 4 6 8 4 6 8-3 3 Detalhe (d) 4 6 8 4 6 8 4 Aproxiação (c) 4 Aproxiação (c) 4 6 8 4 6 8 4 6 8 4 6 8 - Detalhe (d) 3 3 - Detalhe (d) 4 6 8 4 6 8 Intensidade 4 Aproxiação (c) 4 6 8 4 6 8 (c) 3 4 6 7 (d) Figura. TW do espectro de eissão e plasa original, após a introdução de ruído e após o corte (c). Espectro filtrado (linha cheia) e espectro original (linha tracejada) (d).
884 Galvão et al. Qui. Nova CONCLUSÃO Neste artigo, a filtrage de sinais instruentais usando a Transforada de Fourier e a Transforada Wavelet é apresentada de fora siples e sucinta. U estudo coparativo da aplicação destas técnicas de filtrage, ostra que, para sinais que apresenta poucos pontos notáveis, tais coo espectros de absorção olecular UV-VIS, os resultados da filtrage via TF e TW são seelhantes. Contudo, para sinais co baixo fator de preenchiento (filling factor), coo espectros de eissão e plasa, o uso da TW conduz a elhores filtragens, principalente por não distorcer o forato de picos estreitos. É iportante notar que, neste trabalho, os parâetros RMSE e EAM fora epregados co fins didáticos, isto é, para estabelecer ua base foral de coparação entre a TF e a TW. Na prática, contudo, coo o sinal se ruído não é conhecido, não é possível calcular u erro de filtrage. Assi, a escolha dos parâetros (wavelet a ser epregada, núero de níveis de resolução e liiar de corte) deve ser guiada por outros critérios. Infelizente, ebora diversas ferraentas possa ser usadas nesse sentido (gráficos de energia e histograas de coeficientes, por exeplo), não se pode prescindir da sensibilidade do analista e julgar a qualidade do sinal filtrado. Vale ressaltar, contudo, que a escolha do ponto de corte na filtrage via TF tabé não é trivial, especialente quando o ruído se espalha por ua faixa larga de freqüências. U critério ais objetivo poderia ser utilizado se o sinal instruental tiver por finalidade a deterinação quantitativa de algua grandeza, tal coo a concentração de ua espécie quíica. Nesse caso, o erro na deterinação dessa grandeza, e u conjunto de aostras de calibração, poderia ser usado coo ua edida indireta da qualidade da filtrage. Essa possibilidade será investigada e trabalhos futuros do nosso grupo de pesquisa. AGRADECIMENTOS Os autores expressa a sua gratidão pelos auxílios e bolsas da Fundação Coordenação de Aperfeiçoaento de Pessoal de Nível Superior - CAPES and CNPq (Projeto Nordeste de Pós- Graduação e Pesquisa - Processo 7/97-7). REFERÊNCIAS. Skoog, D. A.; Holler, F. J.; Niean, T. A.; Principles of Instruental Analysis;.ed.; Harcourt Brace & Co.; Philadelphia, 998.. Cerqueira, E. O; Poppi, R. J.; Kubota, L.; Mello. C.; Qui. Nova, 3, 69. 3. Depezynski, U., Jetter, K., Molt, K. e Nieoller, A.; Cheo. Intell. Lab. Sys. 999, 49,. 4. Daubechies, I.; Ten Lectures on Wavelets, SIAM; Philadelphia, 99.. Misiti, M.; Misiti, Y; Oppenhei, G.; Poggi, J. M.; Wavelet Toolbox User s Guide; The Mathworks: Natick, 996. 6. Rioul, O., Vetterli, M.; IEEE Signal Processing Magazine 99, 8, 4. 7. Meyer, Y.; Wavelets-Algoriths and Applications; SIAM; Philadelphia, 993. 8. Alsberg, B. K.; Woodward, A. M.; Kell, D. B.; Che. Intell. Lab. Sys. 997, 37,. 9. Daubechies, I.; Proc. IEEE 996, 84,.. Srcok, L.; Durik, M.; Jorik, V.; Powder Diffrac. 999, 4, 3.. Pen, U. L.; Phil. Trans. R. Soc. London A - Math. Phys. Eng. Sci. 999, 37, 6.. Qian, S.; Chen, D.; Joint Tie-Frequency Analysis- Methods and Applications; Prentice Hall PTR; Upper Saddle River, 996. 3. Gottlieb, D.; Shu, C. W.; Sia Review 997, 39, 644. 4. Strang, G.; Nguyen, T.; Wavelets and Filter Banks; Wellesley-Cabridge Press; Wellesley, 996.. Abbate, A.; Koay, J.; Frankel, J.; Schroeder, S. C.; Das, P.; IEEE Trans. Ultrasonics, Ferroeletrics, and Frequency Control 997, 44, 4. 6. Mallat, S.; IEEE Trans. Acoust., Speech, and Signal Processing 989, 37, 9. 7. Saldanha, T. C. B.; Araújo, M. C. U.; Neto, B. B.; Chae, H. C.; Anal. Lett., 33, 87. 8. Pientel, M. F.; Araújo, M. C. U.; Neto, B. B.; Pasquini, C.; Spectrochi. Acta Part B 997,,. 9. Oppenhei, A. V.; Schafer, R. W.; Discrete-Tie Signal Processing; Prentice-Hall; Englewood Cliffs, 989. APÊNDICE function ff = filtwav(f,li,wnae,niveis) % Arguentos da função: % f à Sinal a ser filtrado % li à Liiar de corte expresso coo ua fração ( a ) do aior % coeficiente e cada nível de detalhe % wnae à Noe da wavelet. Ex: db4 % niveis à Núero de níveis de resolução % Obs: Requer o MATLAB Wavelet Toolbox % Decoposição wavelet [C,L] = wavedec(f,niveis,wnae); % Obté os coeficientes de aproxiação A = appcoef(c,l,wnae); % Os coeficientes de aproxiação são antidos na filtrage Cf = A; for n = niveis:-: % Para cada nível de detalhe % Obté os coeficientes de detalhe D = detcoef(c,l,n); % Calcula o ódulo de cada coeficiente MD = abs(d); % Calcula o liiar de corte coo ua fração % do aior ódulo liiar = li*ax(md); % Encontra os coeficientes que, e ódulo, % estão abaixo do liiar i = find(md<liiar); % Zera esses coeficientes Df = D; Df(i) = zeros(,length(i)); % Guarda o vetor de coeficientes resultante Cf = [Cf Df]; end % Obté o sinal filtrado a partir dos coeficientes wavelet ff = waverec(cf,l,wnae);