Convergência, séries de potência e funções analíticas Roberto Imbuzeiro Oliveira March 13, 2015 1 Algumas palavras sobre convergência em C Tudo o que descreveremos aqui é análogo ao que se define e prova em R e segue destes resultados. Por esta razão quase tudo será apresentado como exercício. 1.1 Convergência de sequências Dado um complexo z = a + bi onde a, b R, definimos a parte real de z como R(z) a. A parte imaginária de z é I(z) = b. Exercício 1 Mostre que: max{ R(z), I(z) } z R(z) + I(z) 2 max{ R(z), I(z) }. Dizemos que uma sequência {z n } n N em C converge a z C se lim n + z n z = 0. Neste caso escrevemos lim n N z n = z. Exercício 2 Isto é equivalente a exigir que as sequências de números reais {R(z n )} n e {I(z n )} n convirjam a R(z) e I(z), respectivamente. Exercício 3 Mostre que uma sequência {z n } n N C tem limite se e somente se é de Cauchy, isto é: lim m,n + z n z m =0. IMPA, Rio de Janeiro, RJ, Brazil, 22430-040. 1
1.2 Convergência de séries Seja {b n } n N uma sequência. Dizemos que a série n N b n converge se a sequência {z N } N N com termos: z 0 = 0, z N b n (N N\{0}) é convergente. Dizemos ainda que n N b n é absolutamente convergente se n N b n < +. Exercício 4 Mostre que b n 0 é condição necessária, mas não suficiente para que n N b n convirja. Exercício 5 Mostre que uma série absolutamente convergente necessariamente converge. 2 Séries de potência: fatos fundamentais Para facilitar, falaremos basicamente de séries de potência ao redor de z 0 = 0. 2.1 Fatos básicos Seja {a n } n N C uma sequência de números complexos. Defina: R 1 lim sup n N a n 1/n onde recordamos que, para uma sequencia real {x n } n N, lim sup x n = lim n N n N sup m N, m n x m = inf sup n N m N, m n e ainda definimos R = 0 se lim sup n N a n 1/n = +. Teorema 1 As seguintes condições são equivalentes: 1. R > 0 x m R {+ } 2
2. Para qualquer 0 < R < R, A série f(z) n N a n z n converge uniformemente sobre z R, isto é, não só o limite existe para todo z C com z R, como lim N N sup z R a n z n f(z) = 0. 3. Existe um z C\{0} tal que n N a nz n converge. Por causa deste teorema, R é dito o raio de convergência da série de potência + a nz n. Proof: Note que 2 3 é trivial, então provaremos apenas que 1 2 e 3 1. Começamos com a segunda afirmação. Já vimos que a convergência de uma série implica que seu termo geral vai a zero, logo, supondo 3, temos: a n z n 0. Em particular, a sequência de números reais { a n z n } n N é limitada. Portanto, existe um C > 0 tal que n N, a n z n = a n z n C. Tirando raízes dos dois lados, e usando z > 0, vemos que: n N, a n 1/n C1/n. z Em particular, lim sup n a n 1/n 1 z < + e R 1/ z > 0. Agora provaremos 1 2. Seja 0 < R < R e escolha um R < S < R. Note que 1/R < 1/S, portanto lim sup a n 1/n < 1/S. n N Segue da definição de lim sup que existe um n 0 N tal que para todo n N maior ou igual a n 0 temos: a n 1/n < 1/S, ou seja a n 1/S n. 3
Considere agora qualquer z C com z R. Afirmamos que: M N, M N : N, M n 0 a n z n a n z n (R /S) min{n,m} 1 R. (1) /S Para ver isto, suporemos sem perda de generalidade que N > M. Neste caso: M a n z n a n z n = a n z n a n z n n=m+1 n=m+1 pela desigualdade triangular. Agora recorde que para n n 0 (portanto para n M) temos a n 1/S n e z R < S. Usando a fórmula para somar progressões geométricas, vemos que o lado direito na desigualdade acima é cotado por: n=m+1 a n z n + n=m+1 (R /S) n = (R /S) M 1 R /S, o que prova a desigualdade em (1). Esta desigualdade implica tudo que precisamos. De fato, primeiro vemos que o limite f(z) existe sempre que z R, pois neste caso: 0 lim sup N,M + M a n z n a n z n (R /S) min{n,m} lim sup N,M + 1 R /S Além disto, tomando o limite em N na equação (1), temos: z R M N : M N 0 f(z) M a n z n (R /S) M 1 R /S. = 0. Como o lado direito vai a 0 uniformemente em z R quando M +, temos a convergência uniforme desejada. Exercício 6 Calcule o raio de convergência das seguintes séries de potência. 1. n N 4n z n 2. n N zn n! 3. n N ( 1) n z n n 2 4. n N 4n2 z n 4
2.2 Derivando séries de potência Seja agora f : U C com U C aberto e B(0, R) U para algum R > 0. Suponha que f tem uma expressão em série de potência: f(z) n N a n z n com raio de convergência R. A candidata natural à derivada da série de potência acima é a série obtida derivando a expressão para f termo a termo: g(z) n N c n z n onde c n (n + 1)a n+1. Mostraremos que isto é de fato verdade, mas antes propomos um exercício. Exercício 7 Mostre que a série de g tem exatamente o mesmo raio de convergência da série de f. Teorema 2 Uma função f como a dada acima é holomorfa (isto é, diferenciável) sobre todo o conjunto B(0, R). Além disso, sua derivada neste conjunto é dada pela g escrita acima. Proof: Do exercício acima segue que g é uma função bem-definida sobre B(0, R). Para terminar a prova, precisamos mostrar que para todo z B(0, R), f(z + h) f(z) lim = g(z). h 0 h Primeiro observamos a identidade: n ( ) n n N : (z + h) n z n = nz n 1 h + z n j h j. j Em particular, para n 2: Observe que: ( ) n j = n(n 1) j(j 1) (z + h) n z n nz n 1 h n j=2 j=2 ( n 2 ) ( j 2 n(n 1) n 2 (z + h) n z n nz n 1 h n(n 1) h 2 n j=2 ( ) n z n j h j. j j 2), portanto: ( n 2 j 2 = n(n 1) h 2 ( z + h ) n 2. 5 ) z (n 2) (j 2) h j 2
Note agora que: f(z + h) f(z) hg(z) = a n [(z + h) n z n nz n 1 h]. O primeiro termo do lado direito se anula, logo: f(z + h) f(z) hg(z) = a n [(z + h) n z n nz n 1 h] a n [(z + h) n z n nz n 1 h] h 2 n(n 1) a n ( z + h ) n 2. n 2 Agora considere z B(0, R). Se h é pequeno o suficiente, temos z + h < R ε para algum ε > 0. Seguindo a prova do teorema anterior, podemos concluir que existe um n 0 N tal que, para todo n N com n n 0, a n (R ε/2) n. Portanto podemos cotar: C := sup a n n(n 1) ( z + h ) n 2 (tome ρ := porque z + h <R ε n 2 n 0 1 n=2 n0 1 R ε R ε/2 ) = n=2 < + n(n 1) a n (R ε) n 2 + { } (R ε) n 2 n (n 1) (R ε/2) n n n 0 n(n 1) a n (R ε) n 2 + n n 0 n (n 1) ρ n (R ε) 2 (Análise na Reta) 0 ρ < 1, n n(n 1) ρ n < +. Deduzimos que: C > 0 z B(0, R ε) : f(z+h) f(z) hg(z) C h 2 quando h < R ε z. Dividindo por h, temos: f(z + h) f(z) g(z) h C h para h pequeno, e mandando h 0 temos o teorema quando z < R ε. Como ε é arbitrário, isto basta. 6
Exercício 8 Seguindo a prova acima, mostre que em qualquer bola fechada B[0, R], a convergência de (f(z + h) f(z))/h para g(z) é uniforme em z. Exercício 9 Deduza deste teorema que uma f como acima é infinitas vezes diferenciável em B(0, R), que sua j-ésima derivada também tem expressão em série de potência: f (j) (z) n=j n(n 1)... (n j + 1) a n z n j, e ainda que a n = f (n) (0)/n! para todo n N. Deduza que uma função tem no máximo uma expressão em série de potência ao redor de z = 0. 3 Exercícios complementares Exercício 10 Sejam f, g : B(0, R) C funções dadas por séries de potência com raio de convergência R. Mostre que a soma f + g e o produto f g também são dados por séries de potências de raios de convergência R. Exercício 11 Definimos a exponencial de um número complexo através da série de Taylor da exponencial real: e z + zn n = 0 n!. Mostre que esta série tem raio de convergência igual a + e que e z+w = e z e w para todos z, w C. Deduza disto que e z satisfaz a EDO complexa f (z) = f(z) com f(0) = 1. Exercício 12 Mostre que uma função f : U C dada por série de potência com raio de convergência positivo satisfaz f (z) = f(z) e f(0) = 1 se e somente se ela iguala e z em seu domínio. Exercício 13 Defina: L(z) ( 1) n+1 z n. n Mostre que esta série de potência tem raio de convergência 1. Prove que e L(z) = 1 + z para todo z B(0, 1). 7
Exercício 14 Usando séries de Taylor, mostre que vale a identidade de Euler: θ R, e iθ = cos θ + i sin θ. Deduza que todo z C pode ser escrito na forma z = r e iθ com r 0 e θ R. [Isto é uma forma de parametrizar o plano por coordenadas polares.] Exercício 15 Dado j N\{0}, dê uma fórmula para todos os ξ C com ξ j = 1 (isto é, as raízes j-ésimas da unidade). Exercício 16 Que condições os coeficientes a n da série de potência n a nz n para que exista uma função correspondente que mapeia R em R? Exercício 17 Seja f : B(0, R) C dada por série de potência de raio de convergência 0. Suponha que existe uma sequência {z n } n B(0, R) convergente a 0 tal que f(z n ) = 0 para todos os n N. Prove que f se anula identicamente em B(0, R). Exercício 18 Defina f(z) = 1/z para z C\{0}. Mostre que para todo z 0 0 existe uma expressão para f como série de potência ao redor de z 0. Mostre ainda que o raio de convergência de cada uma destas séries é z 0. Por que isto faz sentido? 8