Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 2016/17 MIEI+MIEB+MIEMN Slides da 1 a Semana de aulas Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 1 / 47

Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 2 / 47

O material aqui exposto serve de apoio às aulas Teóricas da Unidade Curricular de Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica, no ano lectivo de 2016/17, para os cursos de MIEI, MIEB, MIEMN Consultar restantes elementos de estudo no CLIP Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 3 / 47

Informações Apresentação Regente de MIEI+MIEB+MIEMN: Cláudio Fernandes 1 Gabinete 50, 3 o piso ed VII 2 Horário de dúvidas: Terça-feira 16:30 às 18:00 Quinta-feira 17:00h às 19:00h 3 caf@fctunlpt, http://wwwclaudiomathcom Professores Práticas: 1 Cláudio Fernandes- P3; 2 Isabel Gomes- P6, P7, P16, P17; 3 Joana Mendonça Matos- P1, P5, P11; 4 Maria Rosário Fernandes- P2, P15; 5 Philippe Laurent Didier- P4; Responsável: Maria Cecília Perdigão Silva Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 9 / 47

Informações Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 10 / 47

Informações Programa 1 Matrizes 2 Sistemas de Equações Lineares 3 Determinantes 1 o Teste 4 Espaços Vectoriais 5 Aplicações Lineares 6 Valores e Vectores Próprios 2 o Teste 7 Produto Interno, Produto Externo e Produto Misto 8 Geometria Anaĺıtica 3 o Teste Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 11 / 47

Informações Testes: T1 21 de Outubro; T2 23 de Novembro; T3 16 de Dezembro Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 12 / 47

1 Matrizes Avaliação: Consultar o CLIP Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 13 / 47

1 Matrizes Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 13 / 47

1 Matrizes Algumas definições e exemplos 11 Algumas definições e exemplos Definição R - conjunto dos números reais C - conjunto dos números complexos K - conjunto dos escalares ( K = R ou K = C) Matriz é um quadro de números, denominados entradas da matriz, dispostos em m linhas e n colunas, dizendo-se por isso que a matriz é de tipo m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = M m n(k) a m1 a m2 a mn Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 14 / 47

A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn 1 Matrizes Algumas definições e exemplos (ou abreviadamente A = [a ij ) a 21 - elemento de A situado na linha 2 e na coluna 1 a ij - elemento de A situado na linha i e na coluna j - elemento da posição (i,j) (em primeiro lugar temos o número de linhas e depois o número de colunas) linha i de A = (a i1,a i2,,a in ) coluna j de A = (a 1j,a 2j,,a mj ) M m n (K) - conjunto das matrizes do tipo m n sobre K Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 15 / 47

1 Matrizes Algumas definições e exemplos Exemplo A = C = [ 1 3 5 0 1 3 1 3 5 0 1 3 7 2 5 M 2 3 (R); B = 1 i 5 0 1 1+i 0 1 4 3 2 i M 3 3 (R) (Matriz quadrada de ordem 3) D = [1 3 5 i M 1 4 (C) (Matriz linha) 1 E = 0 0 M 4 1(R) (Matriz coluna) 3 F = [ 5 M 1 1 (R) = M 1 (R) M 4 3(C) Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 16 / 47

1 Matrizes Algumas definições e exemplos Só podem ser iguais matrizes com igual número de linhas, igual número de colunas e com elementos homólogos iguais Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 17 / 47 Definição Diz-se que as matrizes A,B M m n (K) são iguais, e escreve-se A = B, se a ij = b ij para i = 1,,m j = 1,,n Caso contrário escreve-se A B Nota: A = a 11 a 21 a 12 a 1n a 22 a 2n, B = b 11 b 21 b 12 b 1n b 22 b 2n a m1 a m2 a mn b m1 b m2 b mn A = B a ij = b ij, para i = 1,,m j = 1,,n a ij, b ij - dizem-se elementos homólogos

Exemplo 1 Matrizes Algumas definições e exemplos A = 1 0 π, B = [ e 2 5π, C = [ 2 e D = 1 3 3 2 2 Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 18 / 47

1 Matrizes Algumas definições e exemplos Alguns tipos de matrizes quadradas importantes: Definição Dada uma matriz quadrada de ordem n, A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn aos elementos a 11,a 22,,a nn chamam-se elementos diagonais de A Ao n uplo (a 11,a 22,,a nn ) chama-se diagonal principal de A Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 18 / 47

1 Matrizes Algumas definições e exemplos Definição a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n 0 0 a nn - triangular superior (a ij = 0 para i > j) a 11 0 0 a 21 a 22 0 a n1 a n2 a nn a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a nn - triangular inferior ( a ij = 0 para i < j) - diagonal ( a ij = 0 para i j) α 0 0 0 α 0 - escalar (diagonal com a ii = α, e a ij = 0, i j) 0 0 α Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 19 / 47

1 Matrizes Algumas definições e exemplos Definição À uma matriz escalar de ordem n cujos elementos diagonais são todos iguais a 1 chama-se matriz identidade de ordem n e representa-se por I n, Exemplo I 3 = A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 7 1 0 0 1 0 0 4 I n = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 [, I 2 = 1 0 0 1 Triangular superior, I 4 = Matrizes identidade, B = [ π 0 0 3 Diagonal 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 [, C = e π 0 0 e π Escalar Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 20 / 47

1 Matrizes Operações com matrizes 12 Operações com matrizes (Adição) Definição Sejam A,B M m n (K) Chama-se matriz soma da matriz A com a matriz B, e denota-se por A+B à matriz de M m n (K) cuja entrada (i,j) é a ij +b ij isto é (A+B) ij = a ij +b ij i = 1,,m j = 1,,n A+B = = a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1n a 21 a 22 a 2n + b 21 b 22 b 2n = a m1 a m2 a mn b m1 b m2 b mn a 11 +a 11 a 12 +a 12 a 1n +a 1n a 21 +a 21 a 22 +a 22 a 2n +a 2n a m1 +a m1 a m2 +a m2 a mn +a mn Atenção: Só se adicionam matrizes do mesmo tipo!!!! Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 21 / 47

1 Matrizes Operações com matrizes Exemplo Sejam A = 2 1 3 0 1 1, B = 5 2 2 2 0 1 São do mesmo tipo 3 2, logo podemos somá-las 2+5 1+2 A+B = 3+2 0+2 = 1+0 1 1 Se C = 1 0 3 1 4 0 2 3 7 A+C = 2 1 3 0 1 1 então + 1 0 3 1 4 0 2 3 7 7 1 5 2 1 0 =? (não se somam) Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 22 / 47

1 Matrizes Operações com matrizes Se A,B M m n (K), representa-se por A B a matriz A+( B) Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 23 / 47 Proposição Tem-se: 1 A,B Mm n (K) A+B = B +A (comutativa); 2 A,B,C Mm n (K) (A+B)+C = A+(B +C) (associativa); 3 0m n M m n (K) A Mm n (K) A+0 m n = 0 m n +A = A (existência de elemento neutro); 4 A Mm n (K) A Mm n (K) A+( A) = ( A)+A = 0 m n (existência de oposto) Nota: 0 m n = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Matriz nula, A = a 11 a 12 a 1n a 21 A 22 a 2n a m1 a m2 a mn Matriz oposta de A

1 Matrizes Operações com matrizes 12 Operações com matrizes (Multiplicação por um escalar) Definição Sejam α K e A M m n (K) Chama-se matriz produto do escalar α pela matriz A, e denota-se por αa, à matriz de M m n (K) cujo elemento (i,j) é αa ij, isto é, (αa) ij = αa ij, i = 1,,m j = 1,,n α K e A M m n (K) αa = α a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 A m2 a mn = αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 24 / 47

1 Matrizes Operações com matrizes Exemplo Seja 3A = A = 2 1 3 0 1 1 3 2 3 ( 1) 3 3 3 0 3 ( 1) 3 1 = 6 3 9 0 3 3 Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 25 / 47

1 Matrizes Operações com matrizes Proposição Sejam A,B M m n (K) e α,β K Tem-se 1 α(a+b) = αa+αb 2 (α+β)a = αa+βa 3 (αβ)a = α(βa) 4 1A = A 5 ( α)a = α( A) = (αa) 6 Se αa = 0 m n então α = 0 ou A = 0 m n Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 26 / 47

1 Matrizes Operações com matrizes 12 Operações com matrizes (Multiplicação de matrizes) Definição Sejam A M m n (K) e B M n p (K) Define-se produto da matriz A pela matriz B, e representa-se por AB, a matriz de M m p (K) tal que (AB) ij = a i1 b 1j + +a in b nj, i = 1,,m, j = 1,,p Assim, n (AB) ij = a ik b kj k=1 Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 27 / 47

1 Matrizes Operações com matrizes Exemplo 0 1 2 9 8 7 8 2 6 3 0 5 }{{} 1 0 4 A } {{ } B = 0 9+1 ( 8)+2 ( 1) 0 8+1 ( 2)+2 0 0 7+1 6+2 4 3 9+0 ( 8)+5 ( 1) 3 8+0 ( 2)+5 0 3 7+0 6+5 4 10 2 14 22 24 41 Pode-se sempre efectuar o produto de duas matrizes? = NÃO!!!! Da definição resulta que para se conseguir efectuar o produto temos de ter o número de colunas de A igual ao número de linhas de B Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 28 / 47

1 Matrizes Operações com matrizes Exemplo Sejam A = 1 1 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 Podemos efectuar o produto AB? e B = 1 2 1 2 2 0 2 0 Sim, A é do tipo 3 4 e B é do tipo 4 2 Assim a matriz AB será uma matriz do tipo 3 2 Efetuando o produto, AB = 1 1 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 0 2 0 = 6 0 3 2 4 4 Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 29 / 47

Nota: (Geral) 1 Matrizes Operações com matrizes Se A = [a ij M m n (K) e B = [b ij M n p (K) então: AB = [(AB) ij M m p (K); O elemento (i,j) da matriz produto AB é (AB) ij = a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj a i1 a i2 a in b 1j b 2j b nj = a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj Conclusão:(AB) ij é o produto da i-ésima matriz linha de A pela j-ésima matriz coluna de B Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 30 / 47

1 Matrizes Operações com matrizes Atenção que o produto de matrizes não é (em geral) comutativo Exemplo Sejam A = Tem-se que mas Donde, [ 1 1 0 2 AB = BA = e B = [ 1 1 0 2 [ 1 1 0 1 [ 1 1 0 1 [ 1 1 0 1 [ 1 1 0 2 AB BA = = [ 1 2 0 2 [ 1 3 0 2 Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 31 / 47

1 Matrizes Operações com matrizes Proposição Seja A M m n (K) e sejam B, C matrizes do tipo adequado de forma a que as operações indicadas estejam definidas Tem-se 1 (AB)C = A(BC) (associativa); 2 A(B +C) = AB +AC (distributiva, à esquerda), (B +C)A = BA+CA (distributiva, à direita); 3 α(ab) = (αa)b = A(αB), α K 4 AI n = I m A = A Nota: Repare-se que as anteriores propriedades são usadas sempre que efectuam cáculos em K Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 32 / 47

1 Matrizes Operações com matrizes Há no entanto algumas das propriedades da multiplicação em K que não são verificadas pela multiplicação de matrizes: 1 A multiplicação de matrizes não é comutativa (já visto no exemplo anterior); 2 AB = 0 (A = 0 ou B = 0), isto é, pode ter-se AB = 0 com A 0 e B 0 3 (AB = AC e A 0) B = C, (BA = CA e A 0) B = C Nota: Quando não for importante especificar a ordem da matriz nula, em vez da notação 0 n m usa-se simplesmente a notação 0 Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 33 / 47

1 Matrizes Operações com matrizes Definição Seja A M n n (K) Chama-se potência de expoente k de A (k N 0 ) à matriz de M n n (K), que representa-se por A k, definida, por recorrência, do seguinte modo: { A k = I n, se k = 0 A k 1 A, se k N Exemplo Seja A = [ 1 2 1 2 Tem-se que, A 0 = I 2, [ [ [ 1 2 1 2 1 6 A 2 = AA = = 1 2 1 2 3 2 [ [ [ 1 6 1 2 7 10 A 3 = A 2 A = = 3 2 1 2 5 2 Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 34 / 47

1 Matrizes Operações com matrizes Proposição Quaisquer que sejam k,l N 0, tem-se 1 A k A l = A k+l 2 (A k ) l = A kl Observação Em geral, se A,B M n n (K) e k N, então (AB) k A k B k Porquê? Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 35 / 47

1 Matrizes Matrizes invertíveis 13 Matrizes invertíveis (Só matrizes quadradas) Como é bem sabido, todo o número real, não nulo, tem um inverso para a multiplicação aa 1 = a 1 a = 1 Definição Seja A M n n (K) Dize-se que A é invertível, ou que tem inversa, se A tem oposto para a multiplicação de matrizes, isto é, se existir uma matriz B M n n (K), tal que AB = BA = I n Exemplo Se A = invertível [ 2 1 0 1 e B = [ 1 2 1 2 0 1 tem-se AB = BA = I 2, logo A é É B é invertível? Claro!!! Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 36 / 47

1 Matrizes Matrizes invertíveis Para A quantas matrizes B podem existir? Teorema Se A M n n (K) é uma matriz invertível então existe uma, e uma só, matriz B tal que AB = BA = I n Definição Se A M n n (K) é uma matriz invertível, a única matriz B tal que AB = BA = I n designa-se por a inversa de A e é denotada por A 1 Exemplo Se A = [ 2 1 0 1 então A 1 = [ 1 2 1 2 0 1 pois AA 1 = A 1 A = I 2 Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 37 / 47

Toda a matriz A 0 é invertível? Exemplo A matriz A = qualquer B = [ 1 0 5 0 [ a b c d 1 Matrizes Matrizes invertíveis Não!!! M 2 2 (R) não tem inversa porque, para M 2 2 (R), tem-se AB = [ 1 0 5 0 [ a b c d = [ a b 5a 5b I 2 Não existe assim nenhuma matriz B tal que AB = BA = I 2 Diz-se que A é não invertível (singular) Observação A matriz 0 n n também não é invertível Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 38 / 47

1 Matrizes Matrizes invertíveis Teorema 1 Se A M n n (K) é invertível então A 1 é invertível e (A 1 ) 1 = A 2 Se α K\{0} e A é invertível então αa é invertívele (αa) 1 = α 1 A 1 3 Se A,B M n n (K) são invertíveis então AB é invertível e (AB) 1 = B 1 A 1 4 Mais geralmente, se k N e A 1,,A k M n n (K) são invertíveis então A 1 A k é invertível e (A 1 A k ) 1 = A k 1 A 1 1 Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 39 / 47

1 Matrizes Matrizes invertíveis Teorema 1 Se A M n n (K) é invertível então A 1 é invertível e (A 1 ) 1 = A 2 Se α K\{0} e A é invertível então αa é invertível e (αa) 1 = α 1 A 1 3 Se A,B M n n (K) são invertíveis então AB é invertível e (AB) 1 = B 1 A 1 4 Mais geralmente, se k N e A 1,,A k M n n (K) são invertíveis então A 1 A k é invertível e (A 1 A k ) 1 = A k 1 A 1 1 Observação Não temos fórmula para a inversa de A+B Em geral, (A+B) 1 A 1 +B 1 Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 40 / 47

1 Matrizes Matrizes invertíveis Exemplo As matrizes A = A 1 = [ 2 1 0 1 [ 1 1 2 2 0 1 AB = [ 2 1 0 1 (A 1 ) 1 = A = e B 1 = [ 1 2 2 1 [ 1 2 2 1 [ 1 2 3 3 2 1 3 3 e B = [ 2 1 0 1 = [ 4 5 2 1 são invertíveis tendo-se Assim, ; e (B 1 ) 1 = B = [ 1 2 2 1 ; (AB) 1 = B 1 A 1 = [ 1 3 2 3 2 3 1 3 [ 1 2 1 2 0 1 = [ 1 6 5 6 1 3 2 3 (A 2 ) 1 = A 1 A 1 = [ 1 2 1 2 0 1 [ 1 2 1 2 0 1 = [ 1 4 3 4 0 1 Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 41 / 47

1 Matrizes Matrizes invertíveis Teorema Seja A M n n (K) uma matriz 1 Se B M n n (K) é tal que AB = I n então B = A 1 e, portanto, BA = I n 2 Se B M n n (K) é tal que BA = I n então B = A 1 e, portanto, AB = I n Dem: Difícil (neste momento) Observação A aĺınea (1) do Teorema anterior diz-nos que: se para uma matriz quadrada A se encontrar uma matriz B tal que AB = I n então já não necessitamos de ver se BA = I n (vai dar de certeza) Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 42 / 47

1 Matrizes Transposição e conjugação de matrizes 14 Matriz transposta Definição Seja A M m n (K) Chama-se matriz transposta de A, e representa-se por A, a matriz de M n m (K) tal que ( A ) ij = a ji, i = 1,,n, j = 1,,m A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn AT = a 11 a 21 a m1 a 12 a 22 a m2 a 1n a 2n a mn Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 43 / 47

1 Matrizes Transposição e conjugação de matrizes Exemplo A transposta da matriz A = [ 1 0 2 1 3 4 é a matriz A T = 1 1 0 3 2 4 Proposição Sejam α K e A, B matrizes sobre K de tipos adequados para que as operações indicadas tenham sentido Tem-se 1 ( A ) = A 2 (A+B) = A +B 3 (αa) = αa 4 (AB) = B A 5 Se A é invertível então A é invertível e ( A ) 1 ( = A 1 ) Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 44 / 47

1 Matrizes Transposição e conjugação de matrizes Definição Uma matriz A M n n (K) diz-se simétrica se A = A e hemi simétrica se A = A Exemplo A matriz A = A matriz B = A matriz 4 2 3 2 5 1 2 3 1 2 π 0 πi 2i πi 0 3 2i 3 0 1 2 2 2 0 3 2 3 7 é simétrica pois A T = é hemi simétrica pois B T = 0 πi 2i πi 0 3 2i 3 0 não é simétrica nem hemi simétrica 4 2 3 2 5 1 2 3 1 2 π = B Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 45 / 47

1 Matrizes Transposição e conjugação de matrizes 14 Matriz conjugada K = C = {a+bi : a,b R} i 2 = 1 O conjugado de z = a+bi é o número z = a bi Definição Seja A M m n (C) Define-se a conjugada de A e representa-se por A a matriz que se obtém de A substituindo cada elemento pelo seu conjugado Tem-se, pois, A M m n (C) e ( A ) ij = a ij A = a 11 a 21 a 12 a 1n a 22 a 2n A = a 11 a 21 a 12 a 1n a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a m1 a m2 a mn Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 46 / 47

1 Matrizes Transposição e conjugação de matrizes Proposição Sejam A,B M m n (C), C M n p (C) e α C Tem-se 1 A = A 2 A+B = A+B 3 αa = αa 4 AC = A C 5 A k = ( A ) k 6 Se m = n e A for uma matriz invertível então ( A ) 1 = A 1 7 ( A ) = A Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 47 / 47

1 Matrizes Transposição e conjugação de matrizes Matriz transconjugada Definição Seja A M m n (C) Define-se transconjugada de A e representamos por A a matriz ( A ) = A A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn A = a 11 a 21 a m1 a 12 a 22 a m2 a 1n a 2n a mn Definição Uma matriz A diz-se hermítica se A = A e hemi hermítica se A = A Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 48 / 47