Nome: ºANO / CURSO TURMA: DATA: / / 0 Professor: Paulo 0. Qual é o número cujo dobro somado com sua quinta parte é igual a? 0. Para impressionar Pedro, Lucas propôs a seguintebrincadeira: - Escolha um número qualquer. - Já escolhi, disse Pedro. - Multiplique este número por 6. A seguir, some. Divida o que você obteve por. Subtraia o dobro do número que você escolheu. O que sobrou é igual a! Pedro realmente ficou impressionado com a habilidade de Lucas. Mas não há nada de mágico nisso. Você consegue explicar o que Lucas fez? 0. Devemos ter cuidado na hora de efetuar divisões em ambos os lados de uma equação, para não cometer o erro de dividir os lados de uma igualdade por zero. Por exemplo, podemos dar uma prova (obviamente) falsa de que =, utilizando o seguinte tipo de argumento: sempre é verdade que x + x = x + x: Logo, x x = x x. Colocando (x x) em evidência:(x x) = (x x). Dividindo por (x x) os dois lados da igualdade acima, temos que =. Qual o erro? Disciplina: Matemática 0. Ao encontrar uma velha amiga (A), durante uma viagem de trem, um matemático (M) tem a seguinte conversa: (M) Como vão os três filhos da senhora? (A) Vão bem, obrigada! (M) Qual a idade deles mesmo? (A) Vou lhe dar uma dica. O produto das idades deles é 6. (M) Só com essa dica é impossível! (A) A soma das idades deles é igual ao número de janelas deste vagão. (M) Ainda não sei! (A) O mais velho toca piano! (M) Agora eu sei! Você é capaz de descobrir as idades dos três filhos da senhora? Gabarito: 0. 0. Em sala 0. Em sala 0. 0. (,) 06. g = e p = 9 07. A e A 08. a) 60 min; b) 0 min. 09. x ; x 0.,, 9 --------------- --------------- VESTIBULARES --------------- ---------------. (Uerj 0) 0. Se x representa um dígito na base 0 e a soma x + x + x = 777; quem é x? 0. João possui reais e deseja gastar esse dinheiro emchocolates e sanduíches para distribuir com seus 6 amigos, de modo que cada um fique exatamente com um chocolate ou um sanduíche. Sabendo que cada chocolate custa reais e cada sanduíche custa reais, quantos chocolates e sanduíches João deve comprar? 06. Passarinhos brincam em volta de uma velha árvore. Se dois passarinhos pousam em cada galho, um passarinho fica voando. Se todos os passarinhos pousam, com três em cada galho, um galho fica vazio. Quantos são os passarinhos? 07. Quanto medem as áreas A e A na figura abaixo, sabendo que o quadrado tem lado e as curvas são arcos de círculos com centros nos vértices V e V do quadrado, respectivamente. 08. Carlos e Cláudio são dois irmãos temperamentais que trabalham carregando e descarregando caminhões de cimento. Para Carlos e Cláudio tanto faz carregar ou descarregar o caminhão, o trabalho realizado por eles é o mesmo. Quando estão de bem, trabalham juntos e conseguem carregar um caminhão em minutos. Cláudio é mais forte e trabalha mais rápido conseguindo carregar sozinho um caminhão em 0 minutos. (a) Um dia, Cláudio adoeceu e Carlos teve que carregar os caminhões sozinho. Quanto tempo ele leva para carregar cada um? (b) Quando os dois brigam, Carlos costuma se vingar descarregando o caminhão, enquanto Cláudio o carrega com sacos de cimento. Quanto tempo Cláudio levaria para carregar o caminhão com Carlos descarregando? 09. Sabendo que x é um número real que satisfaz determine os valores possíveis de x. De acordo com os dados do quadrinho, a personagem gastou R$ 67,00 na compra de x lotes de maçã, y melões e quatro dúzias de bananas, em um total de 89 unidades de frutas. Desse total, o número de unidades de maçãs comprado foi igual a: a) b) 0 c) 6 d). (Upf 0) Dentre as alternativas a seguir, assinale aquela que representa o conjunto solução da equação abaixo. x 0 x x 6 a) b),6 c) 6 d) e). (Udesc 0) No caixa de uma loja havia somente cédulas de 0 e 0 reais, totalizando R$ 90,00. Após receber o pagamento, integralmente em dinheiro, de uma venda de R$ 90,00, o comerciante da loja notou que a quantidade inicial de cédulas de 0 www.colegiowr.com.br
reais triplicara, e a quantidade inicial de cédulas de 0 reais duplicara, sem que houvesse notas ou moedas de outros valores. Dessa forma, a quantidade total de cédulas disponíveis inicialmente no caixa da loja era igual a: a) 6 b) c) d) 9 e). (G - ifsp 0) Uma confecção tem um custo fixo com contas de água, luz e salário de funcionários de R$000,00 por mês. Cada peça de roupa produzida tem um custo de R$,00 e é vendida por R$,00. O número de peças que devem ser produzidas e vendidas para se obter um lucro igual ao custo fixo é a). b) 0. c) 60. d) 0. e) 7.. (G - cftrj 0) Se eu leio páginas por dia de um livro, eu termino de ler 6 dias antes do que se eu estivesse lendo páginas por dia. Quantas páginas tem o livro? a) 0 b) c) 0 d) 6. (G - cftmg 0) O comprimento de duas peças de tecido soma 8 metros. Sabe-se que a metade do comprimento de uma delas é igual ao triplo do da outra, menos 7 metros. O módulo da diferença das medidas das duas peças, em metros, é a). b). c) 6. d) 7. 7. (Enem 0) Uma pessoa compra semanalmente, numa mesma loja, sempre a mesma quantidade de um produto que custa R$0,00 a unidade. Como já sabe quanto deve gastar, leva sempre R$6,00 a mais do que a quantia necessária para comprar tal quantidade, para o caso de eventuais despesas extras. Entretanto, um dia, ao chegar à loja, foi informada de que o preço daquele produto havia aumentado 0%. Devido a esse reajuste, concluiu que o dinheiro levado era a quantia exata para comprar duas unidades a menos em relação à quantidade habitualmente comprada. A quantia que essa pessoa levava semanalmente para fazer a compra era a) R$66,00. b) R$6,00. c) R$8,00. d) R$6,00. e) R$,00. 8. (Uece 0) O pagamento de uma dívida da empresa AIR.PORT foi dividido em três parcelas, nos seguintes termos: a primeira parcela igual a um terço do total da dívida; a segunda igual a dois quintos do restante, após o primeiro pagamento, e a terceira, no valor de R$0.000,00. Nestas condições, pode-se concluir acertadamente que o valor total da dívida se localiza entre a) R$ 7.000,00 e R$ 90.000,00. b) R$ 90.000,00 e R$ 0.000,00. c) R$ 0.000,00 e R$ 0.000,00. d) R$ 0.000,00 e R$.000,00. 9. (G - cps 0) Um grupo de amigos, em visita a Aracaju, alugou um carro por dois dias. A locação do carro foi feita nas seguintes condições: R$ 0,00 por dia e R$ 0, por quilômetro rodado. No primeiro dia, saíram de Aracaju e rodaram 68 km para chegar à Praia do Saco, no sul de Sergipe. No segundo dia, também partiram de Aracaju e foram até Pirambu, no norte do estado, para conhecer o Projeto Tamar. Por uma questão de controle de gastos, o grupo de amigos restringiu o uso do carro apenas para ir e voltar desses lugares ao hotel onde estavam hospedados em Aracaju, fazendo exatamente o mesmo percurso de ida e volta. Nas condições dadas, sabendo que foram pagos R$ 7,80 pela locação do carro, então o número de quilômetros percorrido para ir do hotel em Aracaju a Pirambu foi a) 68. b) 6. c) 0. d) 6. e). 0. (Enem 0) Um dos grandes problemas enfrentados nas rodovias brasileiras é o excesso de carga transportada pelos caminhões. Dimensionado para o tráfego dentro dos limites legais de carga, o piso das estradas se deteriora com o peso excessivo dos caminhões. Além disso, o excesso de carga interfere na capacidade de frenagem e no funcionamento da suspensão do veículo, causas frequentes de acidentes. Ciente dessa responsabilidade e com base na experiência adquirida com pesagens, um caminhoneiro sabe que seu caminhão pode carregar, no máximo, 00 telhas ou 00 tijolos. Considerando esse caminhão carregado com 900 telhas, quantos tijolos, no máximo, podem ser acrescentados à carga de modo a não ultrapassar a carga máxima do caminhão? a) 00 tijolos b) 60 tijolos c) 00 tijolos d) 80 tijolos e) 600 tijolos. (G - cftmg 0) Ana e Beatriz compraram barras de chocolate para fazer ovos de Páscoa, sendo que Ana comprou o dobro do número de barras de Beatriz. Para que ficassem com a mesma quantidade, Ana deu 7 barras para Beatriz. Ao final, o número de barras de chocolate com que cada uma ficou é a) 8. b) 7. c). d) 8.. (Fgv 0) O par ordenado x,y que satisfaz o sistema de equações 9 x y x y é tal que sua soma x y vale a) 7 b) 6 c) d) e). (Mackenzie 0) Em uma urna há bolas verdes e bolas amarelas. Se retirarmos uma bola verde da urna, então um quinto das bolas restantes é de bolas verdes. Se retirarmos nove bolas amarelas, em vez de retirar uma bola verde, então um quarto das bolas restantes é de bolas verdes. O número total de bolas que há inicialmente na urna é a) b) 6 c) d) 6 e) 6
. (Espm 0) Considere a operação (n) que consiste em tomar um número n que está no visor de uma calculadora, somá-lo com e dividir o resultado por, aparecendo um novo número no visor. Após certo número de vezes que essa operação é repetida, nota-se que o número que aparece no visor não mais se altera, isto é, (n) = n. Esse número é: a) b) c) d) 7 e). (Uftm 0) Em uma balança de dois pratos de uma farmácia de manipulação, 0 comprimidos A estão perfeitamente equilibrados com comprimidos B. Se um dos 0 comprimidos A for colocado no prato dos comprimidos B e um dos comprimidos B for colocado no prato que anteriormente tinha somente comprimidos A, este ficará com 0 mg a menos que o outro. A relação entre as massas dos comprimidos A e B, em mg, é dada corretamente por a) B = A 0. b) B = A 0. c) A = B +. d) A = B + 0. e) A = B + 0. 6. (G - epcar (Cpcar) 0) Uma pessoa foi realizar um curso de aperfeiçoamento. O curso foi ministrado em x dias nos períodos da manhã e da tarde desses dias. Durante o curso foram aplicadas 9 avaliações que ocorreram em dias distintos, cada uma no período da tarde ou no período da manhã, nunca havendo mais de uma avaliação no mesmo dia. Houve 7 manhãs e tardes sem avaliação. O número x é divisor natural de a) b) 6 c) 0 d) 8 7. (Uespi 0) Em uma festa, cada homem dançou com exatamente h mulheres, e cada mulher dançou com exatamente m homens. Se o total de pessoas (homens e mulheres) presentes na festa era n, quantos eram os homens? a) mn/(h + m) b) mn/(h + m) c) mn/(h + m) d) mn/(h + m) e) mn/(h + m) 8. (G - ifsp 0) A soma das soluções inteiras da equação x x x x 6 0 é a). b). c). d) 7. e).. (Espm 0) Se as raízes da equação x x 0 são m e n, o valor de é igual a: m n a) b) c) d) 7 e). (Espm 0) As raízes da equação x 7x 8 0 são α e β. O valor da expressão α β αβ α β é: a) 9 b) 9 c) d) e) 6. (Enem PPL 0) Uma fábrica utiliza sua frota particular de caminhões para distribuir as 90 toneladas de sua produção semanal. Todos os caminhões são do mesmo modelo e, para aumentar a vida útil da frota, adota-se a política de reduzir a capacidade máxima de carga de cada caminhão em meia tonelada. Com essa medida de redução, o número de caminhões necessários para transportar a produção semanal aumenta em 6 unidades em relação ao número de caminhões necessários para transportar a produção, usando a capacidade máxima de carga de cada caminhão. Qual é o número atual de caminhões que essa fábrica usa para transportar a produção semanal, respeitando-se a política de redução de carga? a) 6 b) 0 c) 9 d) 6 e) 0 9. (Mackenzie 0) Seja gx 0 e a) somente b) somente c) ou 0 d) ou e) ou 0 π β, então x vale g x x xcosβ sen β. Se 0. (G - cftrj 0) Para qual valor de a a equação x ax x ax 0 tem duas raízes reais e iguais? a) b) 0 c) d)
Gabarito: Resposta da questão : Sabendo que a despesa foi igual a R$ 67,00, tem-se que x y 67 x y. Além disso, como foram compradas 89 unidades de frutas, vem 6x y 89 6x y. Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos 6x y x y x 6. Portanto, foram compradas 66 6 maçãs. Resposta da questão : Reescrevendo a equação, encontramos x 0. (x )(x 6) Portanto, como o universo das soluções é o conjunto dos números reais, tais que x e x 6, segue-se que o conjunto solução da equação é vazio. Resposta da questão : Sejam c e v, respectivamente, as quantidades iniciais das cédulas de cinquenta e de vinte reais. Logo, 0c 0v 90 c v 9 0c 0v 0 c v c 7. v Portanto, a quantidade total de cédulas disponíveis inicialmente no caixa da loja era igual a c v 7 9. Resposta da questão : Considerando que: x é o número de peças produzidas. Custo: C(x) = 000 + x Lucro: L = x Logo, L(x) C(x) = 000 x x 000 = 000 8x = 0000 x = 0. Resposta da questão : Considerando x o número de dias para a leitura do livro, temos: (x 6) x x x 80 x 0 Tamanho das peças: x e 8 x, então: x x (8 x) 7 x 7 7x 90 x 70m e 8 x = m. Portanto, o módulo da diferença é 8 = 70m. Resposta da questão 7: [B] Seja q a quantidade que era comprada antes do aumento. Assim, temos, 0 (q ) 0 q 6 q 0 q e, portanto, a quantia que essa pessoa levava semanalmente para fazer a compra era 0 6 R$ 6,00. Resposta da questão 8: Primeira parcela: x Segunda parcela: x x Terceira parcela: 0000 Temos então a equação: x x 0000 x x x 060000 x x 6x 060000 x 0.000 Portanto, o valor total da dívida se localiza entre R$ 0.000,00 e R$ 0.000,00, conforme alternativa. Resposta da questão 9: [E] Primeiro dia: 0 0, 68 R$0,0 (Ida e volta). Segundo dia: 0 0, x, onde x é o número de quilômetros rodados no segundo dia. Portanto, 0, 0 0,x 7,80 0,x 0,6 x 68 (Ida e volta). Portanto, o número de quilômetros para ir do hotel em Aracaju a Pirambu foi. Resposta da questão 0: Sejam x e y, respectivamente, o peso de uma telha e o peso de um tijolo. Logo, x 00x 00y y. Se n é o número máximo de tijolos que o caminhão pode transportar quando está carregado com 900 telhas, então Logo, o número de página do livro é 0 0. Resposta da questão 6:
x 900x ny 00x n 600x n 80. Resposta da questão : Ana comprou x barras de chocolates enquanto que Beatriz comprou x barras de chocolates. x 7 = x + 7 x x = 7 + 7 x = Logo, cada uma ficou com + 7 = 8 barras de chocolate. Resposta da questão : [B] Temos 6 9 8 x y x y x y x y 9 x y y Por conseguinte, x. y x y. 6 Resposta da questão : [E] Sejam a e v, respectivamente, o número de bolas amarelas e o número de bolas verdes que há inicialmente na urna. De acordo com as informações, obtemos (v a) v a v a 8. a v 9 v (v a 9) v Portanto, o resultado pedido é a v 8 6. Resposta da questão : n n n n n n. Resposta da questão : Sejam a e b, respectivamente, as massas dos comprimidos A e B. De acordo com as informações, obtemos o sistema 0a b, 9a b b a 0 cuja solução é a 60 e b 0. Portanto, a b 0. Resposta da questão 6: x manhãs e x tardes total de períodos x, logo x 9 7 x 0 x 0 Portanto, x é divisor natural de 0. Resposta da questão 7: Sejam x e y, respectivamente, o número de homens e o número de mulheres, tal que x y n. Assim, de acordo com o enunciado, devemos ter mn h x m (n x) h x m x mn x. h m Resposta da questão 8: Considerando a equação produto x x x x 6 0, temos; x 0 x (Não possui raízes reais) x 0 x x x ( ) x x 6 0 x x ou x Portanto, a soma de suas raízes inteiras será ( ). Resposta da questão 9: π π Sabendo que cos 0 e sen, vem π π x x cos sen 0 x 0 x. Resposta da questão 0: x ax x ax 0 (x ) (ax ax ) 0 (x ) (ax ) 0 Para que x = seja raiz dupla devemos ter a 0 a. Resposta da questão : Sendo a, b e c, das relações entre coeficientes e raízes, vem
b n m a b ( ). m n mn c c a Resposta da questão : [B] Pelas Relações de Girard, obtemos α β αβ α β αβ( α β) ( α β) Resposta da questão : ( α β) ( αβ ) 7 ( 6 ) 9. 7 e 6. Logo, Sejam n e c, respectivamente o número de caminhões e a capacidade máxima de cada caminhão. Logo, como nc 90 e (n 6) (c ) 90, segue-se que n 6n 080. Daí, como n é natural, só pode ser n 0 e, portanto, o resultado pedido é 0 6 6. 6