Pontos notáveis de um triângulo

MÓULO 1 - UL 9 ula 9 ontos notáveis de um triângulo Objetivos presentar os pontos notáveis de um triângulo. stabelecer alguns resultados envolvendo esses elementos. ontos notáveis de um triângulo Nesta aula veremos alguns segmentos e retas relacionados aos triângulos que são importantes no estudo da Geometria: medianas, bissetrizes, mediatrizes e alturas relativas aos lados do triângulo. lgumas das noções envolvidas já são nossas conhecidas. efinição 22 Seja um triângulo qualquer e seja o ponto médio de. O segmento é chamado mediana de relativa ao lado. (veja figura 161). ig. 161: é mediana relativa ao lado. a mesma forma, se é o ponto médio de e é o ponto médio de, os segmentos e são as medianas relativas aos lados e, respectivamente. lém das medianas, um triângulo tem outros elementos importantes que serão descritos a seguir. 109 RJ

efinição 23 Seja um triângulo e um ponto do lado tal que, Â Â. O segmento é chamado bissetriz interna relativa ao lado. a mesma forma, defini-se bissetriz interna relativa aos outros dois lados. Observe a figura 162. ig. 162: é bissetriz interna relativa ao lado.. Usaremos também a palavra bissetriz interna para designar a semi-reta efinição 24 s mediatrizes de, de e de são chamadas simplesmente de mediatrizes de. Observe a figura 163. H ig. 163: H é mediatriz. efinição 25 ado um triângulo, trace a reta r que passa por e que é perpendicular à reta. Seja R o ponto em que r e se cortam. O segmento R é chamado de altura relativa ao lado. RJ 110

MÓULO 1 - UL 9 O ponto R pode pertencer ao interior, coincidir com ou, ou estar fora do segmento, como mostrado na figura 164. le é também chamado pé da altura relativa ao lado. a mesma forma, define-se a altura relativa ao lado e a altura relativa ao lado. or simplicidade de linguagem, também chamamos de altura a medida e a reta suporte de uma altura de qualquer triângulo. R R R ig. 164: ltura relativa ao lado. issetrizes de um triângulo ado um triângulo, considere as bissetrizes internas e. stas se encontram em um ponto no interior de, como na figura 165. ig. 165: ncontro de duas bissetrizes internas. Um fato surpreendente é que a bissetriz de Ĉ também passa pelo ponto. Nosso objetivo agora é provar que, de fato, isso acontece, ou seja, mostrar que as bissetrizes internas de passam todas por. izemos que é o ponto de encontro das bissetrizes internas, ou que as bissetrizes internas são concorrentes (em ). 111 RJ

ara mostrar que, de fato, as bissetrizes internas são concorrentes, u- saremos o seguinte resultado: roposição 18 Seja  um ângulo e seja a bissetriz de Â. Se, então equidista de e de. Reciprocamente, se está no interior de  e equidista de e de, então. rova: Suponha que pertença à bissetriz de Â. Trace as perpendiculares X e Y às retas e, respectivamente, como na figura 166. X Y ig. 166: roposição 18. ompare os triângulos Y e X. Segue de L que Y X (note que é comum aos dois triângulos). aí, obtemos que X Y, ou seja, que a distância de à reta é igual à distância de à. eixaremos como exercício desta aula a prova de que, se equidista de e de, então. Q... rovaremos, agora, como se utiliza essa proposição a fim de provar que as bissetrizes internas de um triângulo são concorrentes. ara isso, retornemos à figura 165. omo pertence à bissetriz de, pela proposição 18, garantimos que equidista de e de. mesma proposição assegura que equidista de e de (pois pertence à bissetriz de Â). Logo, equidista das retas e. segunda parte da proposição 18 garante que pertence à bissetriz de Ĉ, ou seja, que a bissetriz de Ĉ também passa por. rovamos, assim, a seguinte proposição: RJ 112

MÓULO 1 - UL 9 roposição 19 s bissetrizes internas de um triângulo são concorrentes. efinição 26 O ponto de encontro das bissetrizes internas de um triângulo é chamado de incentro (veja figura 167). ig. 167: é o Incentro de. Neste ponto é oportuno você reler os axiomas e comparar as suas afirmações com a afirmação da proposição 19. rovavelmente, você não questionou nenhuma afirmação de qualquer axioma, simplesmente porque os considerou bastante naturais. Será que você aceitaria, com a mesma naturalidade, a afirmação da proposição 19? rovavelmente não. É por isso que tivemos de prová-la. o impressionante é que a prova utilizou apenas os axiomas e os resultados deles decorrentes. Segue da proposição 18 que o incentro de um triângulo é equidistante dos seus lados. Mais precisamente, se é o incentro de um triâgulo e os segmentos R, S e T são perpendiculares aos lados, e, respectivamente, então R S T ( veja figura 168). R S T ig. 168: incentro de R S T. 113 RJ

omo conseqüência, o círculo com centro em e de raio R será tangente aos três lados de. sse círculo é chamado de círculo inscrito no triângulo (veja figura 169). R S T ig. 169: írculo inscrito. Medianas de um triângulo Trataremos, agora, de mostrar que as medianas de um triângulo são também concorrentes. ara isso, considere um triângulo qualquer e trace as medianas e. ssas medianas encontram-se em um ponto G (figura 170). G ig. 170: ncontro das medianas e. Mostraremos que a mediana também passa por G. om esse objetivo, trace o segmento e considere os pontos médios H, de G, e I, de G. Trace os segmentos H, HI e I, formando o quadrilátero HI (veja a figura 171). H G I ig. 171: ncontro das medianas e. RJ 114

MÓULO 1 - UL 9 omo é o ponto médio de e é o ponto médio de, temos que é paralelo a e que m() = m(). a mesma forma, como H 2 é o ponto médio de G e I é o ponto médio de G, tem-se que HI é paralelo a e que m(hi) = m(). esses fatos resulta que HI é paralelo a 2 e que m(hi) = m(). O quadrilátero HI tem então um par de lados opostos paralelos e congruentes. Isso implica que HI é um paralelogramo. Logo, temos também H//I e H I. Segue que HÊG ÎG. omo os ângulos HĜ e ĜI são congruentes (opostos pelo vértice), segue por L... que HG GI (veja figura 172). H G I ig. 172: ncontro das medianas e. ssim, HG G e G GI. Mas não esqueça que H HG e I IG (pois H é o ponto médio de G e I é o ponto médio de G). Logo, m(h) = m(gh) = m(g) e m(i) = m(ig) = m(g). ssim, m(g) = 2m(G) e m(g) = 2m(G), ou seja, o ponto G de encontro das medianas e divide cada mediana em dois segmentos de forma que o segmento que contém o vértice mede o dobro do outro. onsidere, agora, as medianas e e seja T o ponto de encontro entre elas (figura 173). T ig. 173: ncontro das medianas e. a mesma forma que fizemos antes, prova-se que m(t ) = 2m(T ) e m(t ) = 2m(T ). Mas provamos anteriormente que m(g) = 2m(G). Isso obriga que T = G. ortanto, também passa por G. rovamos, assim, que as medianas de um triângulo são concorrentes. e fato, provamos mais que isso. Veja o que diz a proposição a seguir. 115 RJ

roposição 20 s medianas de um triângulo são concorrentes. lém disso, o ponto de encontro entre elas divide cada mediana em dois segmentos de modo que o segmento que contém o vértice mede o dobro do outro. entro de Massa, aricentro, entro de Gravidade e entróide Há várias definições para entro de Massa de um corpo. odemos definir entro de Massa de um corpo como o ponto do corpo sobre o qual poderíamos concentrar toda a massa do corpo ou o ponto do corpo pelo qual podemos pendurar o corpo de modo que fique em equilíbrio. o grego, áros (pesado) + kéntron (centro), o baricentro é o centro de massa de um corpo. sse tema, muito importante na ísica, tem seu maior conteúdo no trabalho de erdinand Möbius (1287): er aricentrische alcul. No caso do triângulo, o aricentro (e conseqüentemente o entro de Massa) está localizado no ponto de encontro das medianas do triângulo. Quando um corpo está sujeito à força da gravidade, o entro de Massa é o ponto em que podemos representar a resultante das forças que atuam sobre todos os pontos do corpo. É o ponto onde marcamos a força peso. Nesse caso o ponto é chamado de entro de Gravidade. No caso do corpo ser homogêneo, o centro de massa recebe o nome de entróide. efinição 27 O ponto de encontro das medianas de um triângulo é chamado de baricentro. (Veja figura 174). G ig. 174: G é o baricentro de. O baricentro de um triângulo tem uma propriedade física interessante: ele é o centro de massa do triângulo. Uma experiência a ser feita é a seguinte: recorte um triângulo de papelão e faça um furo no seu baricentro. asse um barbante por esse furo e estique-o na posição horizontal. Se o papelão for sempre da mesma espessura (sem pontos mais pesados que outros), você poderá girar o triângulo e pará-lo em qualquer posição, sem que ele se mexa mais. arece normal? Só que se você furar o triângulo fora do baricentro e fizer a mesma coisa, o triângulo vai ter uma posição preferida, uma parte que sempre vai tender a ficar para baixo, por ser mais pesada. O baricentro é para o triângulo, nesse sentido, como o ponto de encontro das diagonais é para o quadrado. Mediatrizes e lturas de um triângulo Nos exercícios desta aula, faremos juntos a prova da seguinte proposição: roposição 21 s mediatrizes de um triângulo são concorrentes. efinição 28 O ponto de encontro das mediatrizes de um triângulo é chamado de circuncentro. aremos também, nos exercícios desta aula, a prova da proposição: roposição 22 s alturas de um triângulo são concorrentes. RJ 116 efinição 29 O ponto de encontro das alturas de um triângulo é chamado de ortocentro.

MÓULO 1 - UL 9 Resumo Nesta aula você aprendeu... s definições de mediana, bissetriz interna, mediatriz e altura de um triângulo. Que as medianas, as bissetrizes internas, as mediatrizes e as alturas de um triângulo são concorrentes. Que todo triângulo possui um círculo inscrito. xercícios 1. (Restante da prova da proposição 18.) Na proposição 18 provamos que, se um ponto pertence à bissetriz de um ângulo, então ele equidista dos lados desse ângulo. O objetivo deste exercício é provar o inverso: se um ponto pertence ao interior de um ângulo e equidista dos lados desse ângulo, então esse ponto pertence à bissetriz desse ângulo. ara isso, considere um ângulo  e um ponto no interior de  e equidistante dos lados desse ângulo. Trace os segmentos e perpendiculares respectivamente aos lados e (veja figura 175). ig. 175: xercício 1. gora prove que a semi-reta é bissetriz de Â. 2. Na figura 176, m() = 30 cm e ˆ é reto. etermine a medida de O. O Q ig. 176: xercício 2. 117 RJ

3. Na figura 177, é um paralelogramo. etermine x. M 16 x ig. 177: xercício 3. 4. Na figura 178, é um paralelogramo. etermine x. 8 x ig. 178: xercício 4. 5. Na figura 179, é um retângulo e M é um triângulo equilátero. Se m() = 15 cm, determine m( ). M ig. 179: xercício 5. 6. Na figura 180, pertence à mediatriz de. rove que equidista de e (ou seja, m( ) = m( )). ig. 180: xercício 6. RJ 118

MÓULO 1 - UL 9 7. ste exercício é o recíproco do exercício 6. Se é equidistante dos pontos e, prove que pertence à mediatriz do segmento. 8. (ircuncentro de um triângulo.) O objetivo deste exercício é mostrar que as mediatrizes de um triângulo são concorrentes, ou seja, passam pelo mesmo ponto. ara isso, considere as mediatrizes r e s dos lados e, respectivamente, as quais encontram-se em um ponto (figura 181). Use os exercícios 6 e 7 para mostrar que pertence à mediatriz de. r s ig. 181: xercício 8. 9. (írculo circunscrito.) O objetivo deste exercício é provar que todo triângulo possui um círculo circunscrito. Seja um triângulo e seja o circuncentro de (figura 182). ig. 182: xercício 9. rove que. ntão o círculo com centro em e de raio passa pelos três pontos de. sse círculo é chamado de círculo circunscrito ao triângulo (figura 183). ig. 183: xercício 9 (írculo circunscrito). 119 RJ

10. (Ortocentro de um triângulo.) O objetivo deste exercício é mostrar que as alturas de um triângulo são concorrentes. ara isso, considere um triângulo e, por cada vértice, trace a reta paralela ao lado oposto. ssas retas determinam um triângulo (figura 184). t r s ig. 184: xercício 10. rove que, e são os pontos médios de, e, respectivamente. m seguida, mostre que as alturas de são as mediatrizes de. Use o exercício 8 para concluir que as alturas de são concorrentes. 11. Seja O o centro do círculo circunscrito a um triângulo. rove que O pertence ao interior de se e somente se o triângulo é acutângulo. RJ 120