12 Distribuições de Probabilidades

12 Distribuições de Probabilidades 12.1 Introdução Neste capítulo vamos dar continuidade ao estudo de probabilidades, introduzindo os conceitos de variáveis aleatórias e de distribuições de probabilidade. Uma variável aleatória (v.a.) associa um valor numérico a cada resultado de um fenômeno aleatório e uma distribuição de probabilidade associa uma probabilidade a cada valor de uma variável aleatória. Como exemplos, podemos citar: número de usuários que consultam um site de busca, em certo tempo do dia, o número de atletas com lesões traumáticas no joelho, o tempo de uso de um equipamento, salários de funcionários de uma empresa, a pressão sanguínea de alunos, dentre outros. Uma variável pode ser classificada como variável aleatória discreta ou variável aleatória contínua. 12.2 Variável Aleatória Discreta Uma variável aleatória que pode assumir um número finito de valores ou uma quantidade enumerável de valores, cujas probabilidades de ocorrência são conhecidas é denominada variável aleatória discreta. A função que atribui a cada valor da variável aleatória sua probabilidade é denominada função discreta de probabilidade ou função de probabilidade, isto é: P(X = xi) = p(xi) = pi, i = 1, 2,... Uma função de probabilidade satisfaz as duas condições seguintes: i) 0 pi 1; ii) pi = 1. Exemplo 1: A otite média é uma moléstia do ouvido que representa uma das causas mais freqüentes de consulta médica nos primeiros dois anos de vida de uma criança. Seja X a v.a. que representa o número de episódios de otite média nos primeiros dois anos. Então X é uma v.a. discreta que assume valores 0, 1, 2, 3,... e tenha a distribuição dada a seguir: X 0 1 2 3 4 5 6 P(X = x) 0,129 0,264 0,271 0,185 0,095 0,039 0,017 No exemplo temos: 0,129 + 0,264 + 0,271 + 0,185 + 0,095 + 0,039 + 0,017 = 1 Exemplo 2: Lançam-se três moedas. Seja x é o número de caras, x assume os valores 0, 1, 2 e 3. Determinar a distribuição de probabilidade de X (conjunto de todos os valores que podem ser assumidos pela variável aleatória, com as respectivas probabilidades). O espaço amostral do experimento aleatório é: S = {(c,c,c), (c,c,r), (c,r,c), (c,r,r), (r,c,c), (r,c,r), (r,r,c), (r,r,r)} Estatística II...100

Distribuição de Probabilidade X P(x) 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8 1 12.3 Variável Aleatória Contínua Uma variável aleatória contínua pode tomar um número infinito de valores, e esses valores podem ser associados a mensurações em uma escala contínua e as probabilidades necessárias ao seu estudo são calculadas como a área abaixo da curva da distribuição, chamada de função densidade de probabilidade. Como exemplos de variáveis aleatórias contínuas, podemos citar: o tempo de uso de um equipamento eletrônico; medidas do tórax, diâmetro de um cabo de vídeo, tempo de atendimento a clientes; altura, peso, etc. 12.4 Esperança Matemática Seja X uma variável aleatória. A esperança matemática, média ou valor esperado de X é definida por: se X for discreta, e por E(X) = x = = xi. pxi i1, E(X) = x = = x. f ( x) dx, se X for contínua. Cada quantia ou valor que a variável assume é multiplicada pela probabilidade correspondente, e a esperança matemática E(x), é dada pela soma de todos esses produtos. Exemplo 1: As probabilidades de um investidor vender uma propriedade com lucro de R$ 2500,00, de R$ 1500,00, R$ 500,00 ou com um prejuízo de R$ 500,00 são 0,22, 0,36, 0,28 e 0,14, respectivamente. Qual é o lucro esperado do investidor? x 1 = 2500 x 2 = 1500 x 3 = 500 x 4 = -500 p 1 = 0,22 p 2 = 0,36 p 3 = 0,28 p 4 = 0,14 Estatística II...101

1 i E(x) = x. P i x i E(x) = 2500(0,22) 1500(0,36) 500(0,28) 500(0,14) 1160 Exemplo 2: A agência de uma companhia aérea, em certo aeroporto, tem as probabilidades de 0,06, 0,21, 0,24, 0,18, 0,14, 0,10, 0,04, 0,02, 0,01 de receber 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8 reclamações sobre desvios de bagagem por dia. Quantas reclamações a agência espera receber por dia 12.5 Variância e Desvio-padrão A variância de uma variável aleatória X é dada por: 2 = Var(X) = E(X 2 ) - [E(X)] 2 e o desvio-padrão por: 2 12.6 Principais Distribuições de Probabilidades A distribuição de probabilidade de uma variável descreve como as probabilidades estão distribuídas sobre os valores da variável aleatória. A seguir veremos as distribuições de probabilidade Bernoulli, Binomial e Poisson para variáveis aleatórias discretas e a distribuição Normal para uma variável aleatória contínua. 12.6.1 Distribuição Binomial Vimos que uma variável aleatória associa um valor numérico a cada resultado de um experimento aleatório e uma distribuição de probabilidade associa uma probabilidade a cada valor de uma variável aleatória. Nesta seção veremos como determinar as probabilidades para uma categoria importante de distribuição de probabilidades: os experimentos binomiais. Os experimentos binomiais têm a característica de apresentarem exatamente dois resultados complementares: em processos industriais, as peças falham ou não falham. Na medicina, um paciente sobrevive um ano ou morre. Em propaganda, um consumidor reconhece um produto, ou não. Em muitos problemas aplicados, o que nos interessa é a probabilidade de um evento ocorrer x vezes em n provas. Nos problemas a serem estudados nesta seção, temos as seguintes condições: O experimento deve comportar um número fixo de provas Estatística II...102

As provas devem ser independentes. (O resultado de qualquer prova não afeta as probabilidades das outras provas) Cada prova deve ter todos os resultados classificados em duas categorias As probabilidades devem permanecer constantes para cada prova Se fazemos um experimento binomial, a distribuição da variável aleatória é chamada distribuição de probabilidade binomial. Consideremos n tentativas independentes de um mesmo experimento aleatório. Cada tentativa admite apenas dois resultados: sucesso com probabilidade p ou fracasso com probabilidade q, p + q = 1. As probabilidades de sucesso e fracasso são as mesmas para cada tentativa. Designa-se por b(n,p), onde n e p são os parâmetros. A v.a. conta o número x de sucessos em n provas. em que: n = número de tentativas (provas) x = número de sucessos p = probabilidade de sucesso q = probabilidade de fracasso P (x) = n x p x q nx P(x) denota a probabilidade de obter exatamente x sucessos em n provas Observações: n x (n n! x)! x! Estatística II...103

A média de uma distribuição Binomial é dada pela fórmula: = np e a variância é dada pela fórmula: 2 = npq Exemplo 1: Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de: a. Exatamente duas caras ocorrerem? b. Ocorrerem pelo menos 4 caras? c. Pelo menos 1 cara? Exemplo 2: Há uma probabilidade de 0,30 de que uma pessoa, ao fazer compras em um supermercado, se beneficie de uma promoção especial de sorvete. Determine as probabilidades de que, dentre seis pessoas que estão fazendo compras no supermercado, haja 0, 1, 2, 3 que se beneficiem da promoção. Exemplo 3: Há uma probabilidade de 0,80 de um chefe de família ter seguro de vida; qual a probabilidade de que, dentre cinco chefes de família: a. Nenhum tenha seguro de vida? b. Exatamente quatro tenham seguro de vida? Estatística II...104

12.6.2 Distribuição de Poisson Como aplicações da distribuição de Poisson incluem o estudo de acidentes com veículos, número de mortes por ataque de coração por ano, numa cidade, número de colônias de bactérias numa dada cultura por 0,01 mm 2, numa plaqueta de microscópio, clientes chegando ao caixa de um banco e usuários de computador ligados à Internet. A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta de probabilidade, aplicável a ocorrência de um evento em um intervalo especificado. A variável aleatória X é o número de ocorrências do evento em um intervalo. O intervalo pode ser o tempo, a distância, a área, o volume ou outra unidade análoga. A probabilidade de o evento ocorrer x vezes em um intervalo é dado a seguir e. x P(x), para x = 0, 1, 2,..., x! onde é a média de sucessos no intervalo considerado. Observações: A média e a variância de uma distribuição Poisson é. Exemplo 1: Se um banco recebe em média 6 cheques sem cobertura por dia, qual a probabilidade de receber quatro cheques sem cobertura em um dia qualquer? Exemplo 2: O número Y de pessoas que entram diariamente em uma unidade de tratamento intensivo (UTI) de um hospital apresenta distribuição de Poisson, com média de 5 pessoas por dia. Qual é a probabilidade de que o número de pessoas a entrar na UTI desse hospital, em um dia particular, seja igual a 2? E inferior ou igual a 2? Estatística II...105

Exemplo 3: Uma companhia acusa uma média semanal de 0,2 acidentes que exigem cuidados médicos. Determine a probabilidade de que, em uma semana qualquer, o número de acidentes que exigem cuidado médico seja: a. 0 b. 1 c. 2 Exercícios 1. Supondo que a tabela a seguir descreva uma distribuição de probabilidade, calcule sua média e seu desvio-padrão. x P(x) 0 0,0004 1 0,0094 2 0,0870 3 0,3562 4 0,5470 2. Se A e B são eventos independentes, P(A) = 0,20 e P(B) = 0,45, determine a. P(A B) b. P(A/B) c. P(B/A) d. P(A B) e. P(A B ) Estatística II...106

3. Sabe-se que 20% dos animais submetidos a um certo tratamento não sobrevivem. Se esse tratamento foi aplicado em 20 animais e se X é o número de não sobreviventes. Calcular: a. P(2 < x 4) b. P(x 2) c. E(x) e V(x) 4. Sabe-se que uma moeda mostra a face cara o quádruplo de vezes do que a face coroa, quando lançada. Esta moeda é lançada 6 vezes. Seja X o número de caras. Determine: a. P(x 5) b. P(1 x < 3) 5. Seja: B(10,2/5). Calcular: a. P(x = 3) b. P(x 4) c. P(3 < x 5) d. E(x) e V(x) Estatística II...107

6. Certo curso de treinamento aumenta a produtividade de uma certa população de funcionários em 80% dos casos. Se 10 funcionários quaisquer participam deste curso, encontre a probabilidade de exatamente 7 funcionários aumentarem a sua produtividade? 7. Na manufatura de certo artigo, é sabido que 1 entre 10 artigos é defeituoso. Qual a probabilidade de que uma amostra casual de tamanho 4 contenha: a. Exatamente dois defeituosos? b. Nenhum defeituoso? 8. As probabilidades de uma pessoa que entra no mercado fazer 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 compras são: 0,24 0,31 0,22 0,15 0,06 0,02 Qual o número esperado de compras a serem feitas por uma pessoa que entra naquele mercado. 9. Prepara-se um exame para admissão no serviço público, de forma que 80% de todos que tenham um diploma de curso secundário tenham chance de ser aprovados. Determine as probabilidades de que, dentre 14 pessoas com diploma de curso secundário, a. Exatamente 12 sejam aprovadas b. Sejam aprovadas de 8 a 12 pessoas 10. A fim de verificar a precisão de sua situação financeira, as companhias utilizam auditores, que verificam a escrita. Suponha que os empregados de uma companhia executem recebimentos errados 5% das vezes. Se um auditor examina aleatoriamente, 3 recebimentos: a. Calcule a distribuição de y, o número de erros detectados pelo auditor b. Calcule a probabilidade de o auditor detectar mais de um erro Estatística II...108

12.6.3 Distribuição Normal A distribuição Normal é a mais importante distribuição de probabilidade para descrever variáveis aleatórias contínuas. Isto justifica-se pelo grande número de aplicações que a utilizam tais como, altura, pressão arterial, temperatura corporal medidas de testes psicológicos, valores da hemoglobina, em pacientes sadios, pressão arterial sistólica, etc. Além disso, pela sua capacidade de aproximar outras distribuições e também pela grande aplicação na inferência estatística. A variável aleatória contínua com distribuição Normal tem função densidade de probabilidade dada por: 2 x 1 2 f x e 2 2 em que os parâmetros (lê-se mi) e (lê-se sigma) representam a média e o desvio-padrão, respectivamente. Algumas características da distribuição normal são: A curva normal tem forma de sino, é simétrica em relação à média, como representada na Figura 12.1; A média, mediana e a moda são valores coincidentes; A variável aleatória X associada a sua distribuição varia de - < x < +. Figura 12.1 Estatística II...109

Para o cálculo das probabilidades, surgem dois problemas: primeiro, a integração de f(x), pois para a sua resolução é necessário o desenvolvimento em séries, segundo, seria a elaboração de uma tabela de probabilidades, pois f(x) depende das combinações da média e variância. Para resolver esses problemas, optou-se por uma mudança de variável obtendo-se, assim, a distribuição normal padronizada que chamamos aqui de Z. 12.6.4 Distribuição Normal Padrão Denomina-se distribuição Normal padrão à distribuição normal de média zero e variância 1, usaremos a notação Z ~ N (0,1). As probabilidades associadas à distribuição normal padrão são apresentadas em tabelas. Os problemas da vida real, entretanto, não se apresentam já na forma da Normal padrão, ao contrário, são formulados em termos da variável normal original X, com média e desviopadrão. É preciso então, antes de passarmos à sua resolução, padronizar a v.a. normal X, transformando-a na v.a. Z. O resultado da padronização é a obtenção de uma escala de distribuição denominada escala reduzida, escala Z ou escore Z, que mede o afastamento das variáveis em relação à média em número de desvios-padrão. Z x Z = número de desvios padrões a contar da média x = valor qualquer da v.a. = média da distribuição = desvio padrão da distribuição A tabela que iremos utilizar fornece a probabilidade de Z tomar um valor não superior a z. Veja a Figura 12.2. Figura 12.2 Estatística II...110

Uso da Tabela da Normal Padrão P (Z 1) P (Z -1) P (Z 1,72) P (Z -0,53) P (-1 Z 1) P (1 Z 2) P (0,7 Z 1,35) P (Z 2,33) P (Z 1,8) Freqüentemente, tem-se interesse nos intervalos cujos limites são média 1 desviopadrão, média 2 desvios-padrão, média 3 desvios-padrão. Em uma distribuição gaussiana, cerca de 68,27% da população apresenta resultado entre a média e o desvio-padrão; aproximadamente 95,45% entre a média e 2 desvios-padrão e praticamente toda a população (99,73%) entre a média e 3 desvios-padrão. Estatística II...111

Exemplo 1: As vendas diárias de um pequeno restaurante têm distribuição normal, com média igual R$ 530,00 por dia e desvio-padrão igual a R$ 120,00. Qual é a probabilidade das vendas excederem R$ 700,00 em determinado dia? Exemplo 2: Se uma v.a. tem distribuição normal, com média de 80,0 e desvio-padrão de 4,8, determine a probabilidade de ela assumir um valor: a. inferior a 87,2 b. superior a 76,4 c. entre 81,2 e 86,0 d. entre 71,6 e 88,4 Estatística II...112

Exemplo 3: A tabela de áreas sob a curva normal fornece-nos: a. P (0 Z 1) b. P (1 Z 2) c. P (-1 Z 2) = Exemplo 4: Sendo X: N(50,16), determinar X tal que P (X X ) = 0,99 Estatística II...113

Exercícios: 1. Dada uma v.a. X com distribuição normal de média e desvio padrão. Qual é a porcentagem de valores no intervalo [ - 2, + 2]. 2. Uma indústria produz xícaras com peso médio de 250 g e desvio-padrão de 5 g. Qual probabilidade de uma xícara qualquer pesar: a. Entre 245 g e 255 g? b. Menos que 248 g? c. Mais de 255 g? d. Entre 240 g e 243 g? e. Entre 253 g e 259 g? Estatística II...114

3. Os depósitos efetuados no Banco da Ribeira durante o mês de março último são distribuídos normalmente, com média de 10000,00 u.m. e desvio-padrão de 1500,00 u.m.. Um depósito é selecionado ao acaso, dos depósitos referentes ao mês em questão. Encontrar a probabilidade de que o depósito seja: a. 10000,00 u.m. ou menos b. Entre 12000,00 u.m. e 15000,00 u.m. c. Maior que 14000,00 u.m. 4. Estudos têm mostrado que o consumo de gasolina por carros compactos vendidos nos Estados Unidos tem distribuição normal, com média de 25,5 milhas/galão e desvio-padrão de 4,5 milhas/galão. Que percentagem desses carros compactos permite consumir 30 ou mais milhas/galão? 5. Retorne ao exercício 4. Se o fabricante desejar desenvolver um modelo compacto capaz de um desempenho que leve a 95% de economia de gasolina, que taxa de consumo de gasolina apresentará esse novo modelo? Estatística II...115