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TECNOLOGIAS EM AULAS DE MATEMÁTICA AMBIENTES MONTESSORIANOS JOÃO VICENTE MOLON ORIENTADO POR DRA. ANDRÉIA DALCIN 1

TECNOLOGIAS EM AULAS DE MATEMÁTICA AMBIENTES MONTESSORIANOS 3

JOÃO VICENTE MOLON TECNOLOGIAS EM AULAS DE MATEMÁTICA AMBIENTES MONTESSORIANOS Porto Alegre 2015 5

João Vicente Molon Todos os direitos reservados - 2015 Ilustrações: páginas 38 e 39 Revisado por Gabriela Detoffol É proibida a reprodução total ou parcial desta obra, por qualquer meio e para qualquer fim, sem a autorização prévia dos autores. Obra protegida pela Lei dos Direitos Autorais. Contato com o autor: jvmat13@yahoo.com.br 6

Autoeducação Montessori, Pedagogia Científica (1965) 7

SUMÁRIO Introdução...11 Tecnologias propostas por Maria Montessori...13 Cubo do Binômio...14 Cubo do Trinômio...16 Teorema de Pitágoras...18 Generalização do Teorema de Pitágoras...20 Triângulos de Metal...22 Prismas Quadrados... 24 Prismas Hexagonais...26 Tecnologias propostas pelo Autor...29 Software Grafeq...30 Software Shapari...32 Software Geogebra...34 Generalização do Teorema de Pitágoras...36 Ilustrações...38 Referências...41 9

INTRODUÇÃO Este catálogo faz parte da dissertação de mestrado intitulada "UMA RELEITURA DOS PRINCÍPIOS MONTESSORIANOS PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA NOS ANOS FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL", escrita pelo mesmo autor e sob orientação da Dra. Andréia Dalcin, apresentada em 2015 e desenvolvida junto ao programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. A confecção deste material tem como objetivo apresentar algumas tecnologias propostas por Maria Montessori em seus livros e outras tecnologias propostas pelo autor, bem como suas estratégias de utilização em salas de aula, na disciplina de matemática, nos anos finais do ensino fundamental. 11

TECNOLOGIAS PROPOSTAS POR MARIA MONTESSORI - CUBO DO BINÔMIO - CUBO DO TRINÔMIO - TEOREMA DE PITÁGORAS - GENERALIZAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS - HEXÁGONOS e QUADRADOS - TRIÂNGULOS DE METAL - PRISMAS QUADRADOS - PRISMAS HEXAGONAIS 13

CUBO DO BINÔMIO Proposta de atividade - Desmontar e montar o cubo. - Expressar algebricamente o volume de cada sólido que forma o cubo. Após isso, representar algebricamente o volume total do cubo. - Criar valores para cada variável utilizada no item anterior, calcular o volume de cada peça e, posteriormente, o volume total. 14

Formado por prismas construídos com partes constantes que podem se repetir em diferentes faces e que, unidos, formam um cubo, conduz o aluno a fórmulas gerais que podem ser representadas através da Álgebra. O material é composto por dois cubos - um cubo de aresta a e outro de aresta b - três prismas de volume e mais três prismas de volume. Sendo assim, temos prismas de duas espécies: um tem face quadrada com a parte maior e na altura a parte menor, e o outro, ao contrário, tem face quadrada com a parte menor e na altura a parte maior. Esta distribuição pode ser comprovada por todas as combinações possíveis e forma a seguinte igualdade: Também pode ser comprovada pelo volume total do cubo, expresso pelo mesmo resultado: Objetivos - Representar o produto notável através de uma tecnologia. - Desenvolver os valores aritméticos e/ou geométricos de cada prisma e do cubo total. - Relacionar faces através das cores utilizadas na construção da tecnologia. 15

CUBO DO TRINÔMIO Proposta de atividade - Desmontar e montar o cubo. - Expressar algebricamente o volume de cada sólido que forma o cubo. Após isso, representar algebricamente o volume total do cubo. - Criar valores para cada variável utilizada no item anterior, calcular o volume de cada peça e, posteriormente, o volume total. Objetivos - Representar o produto notável através de uma tecnologia. - Desenvolver os valores aritméticos e/ou geométricos de cada prisma e do cubo total. - Relacionar faces através das cores utilizadas na construção da tecnologia. 16

O material Cubo do Trinômio, composto por prismas construídos com partes constantes que podem se repetir em diferentes faces e que unidos formam um cubo, conduz o aluno a fórmulas gerais que podem ser representadas através da Álgebra. O material é composto por 27 prismas, sendo três cubos um de aresta a outro de aresta b e outro de aresta c -, três prismas com volume, três prismas com volume, três prismas com volume,três prismas com volume,três prismas com volume, três prismas com volume e seis prismas com volume. A junção das peças algebricamente nos remete à igualdade e também ao volume total do cubo, que pode ser expresso por 17

TEOREMA DE PITÁGORAS Proposta de atividade Demonstração do Teorema de Pitágoras - Remover todos os quadrados vermelhos; - Remover todos os quadrados amarelos e azuis; - Misturar todos os quadrados amarelos e azuis na praça grande (anteriormente vermelha); - Dividir todo o quadrado vermelho entre os dois quadrados menores (anteriormente amarelos e azuis); - Concluir que não falta nem sobra peça alguma, provando o teorema. 18

O material consiste em três placas de metal com fundo vazado e peças que se encaixam nestes fundos. Objetivo Representar três casos do Teorema de Pitágoras: - triângulo retângulo isósceles; - os lados do triângulo retângulo na proporção 3:4:5; - caso geral (demonstração). 19

GENERALIZAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS HEXÁGONOS E QUADRADOS Proposta de atividade - Hexágono Retirar as peças azuis do hexágono maior e colocá-las exatamente nos dois hexágonos menores. Proposta de atividade - Quadrados Retirar as peças amarelas do quadrado maior e colocá-las nos dois quadrados menores. 20

Hexágonos - o material consiste em um disco com três hexágonos vazados formados através dos lados de um triângulo retângulo. Contém figuras planas que se encaixam perfeitamente tanto no hexágono contruído sob a hipotenusa do triângulo retângulo como nos dois hexágonos menores construídos sob os catetos do mesmo triângulo. Quadrados - o material consiste em um disco com três quadrados vazados formados através dos lados de um triângulo retângulo. Contém figuras planas que se encaixam perfeitamente tanto no quadrado vazado contruído sob a hipotenusa do triângulo retângulo como nos dois quadrados vazados menores construídos sob os catetos do mesmo triângulo. Perceba que as figuras planas são as peças de um tangram. Objetivo Demonstrar o Teorema de Pitágoras geometricamente, utilizando hexágonos e quadrados (formando as peças de um tangram). 21

TRIÂNGULOS DE METAL Proposta de atividade - Manipular o material para perceber que nas quatro molduras há o mesmo triângulo equilátero. - Atribuir uma medida para os lados do triângulo equilátero da moldura1. - Calcular a altura do triângulo equilátero através do Teorema de Pitágoras utilizando-se da moldura2. - Calcular a área do triângulo equilátero presente nas quatro molduras. - Apresentar e calcular o apótema do triângulo equilátero utilizando a moldura3. - Calcular a área de cada triângulo da moldura4 e comparar com a área encontrada anteriormente. 22

Composto por 4 molduras de metal com triângulos equiláteros com fundo vazado. As inserções nestes fundos são: - um triângulo equilátero indivisível; - um triângulo equilátero dividido em dois triângulos iguais; - um triângulo equilátero dividido em três triângulos iguais; - um triângulo equilátero dividido em quatro triângulos iguais. Objetivo Fazer o estudo analítico dos triângulos equiláteros. 23

PRISMAS QUADRADOS Proposta de atividade - Atribuir valores para as dimensões do prisma inteiro. - Calcular área da base, área lateral e área total. - Calcular o volume do prisma. - Montar uma tabela contendo o número de faces, vértices e arestas presentes no prisma. - Verificar a Relação de Euler. - Utilizando os mesmos valores para o prisma dividido, calcular as mesmas áreas e, somando-as, compará-las com a figura não dividida. - Calcular o volume dos prismas separadamente e compará-los com a figura não dividida. 24

Dois prismas quadrados de madeira pintadas de azul, um dividido e o outro não. OBJETIVOS - Exercitar o cálculo do volume. - Visualizar a figura na sua forma espacial tridimensional: altura, comprimento e largura. - Visualizar e calcular o número de faces, arestas e vértices. - Apresentar a Relação de Euler. 25

PRISMAS HEXAGONAIS Proposta de atividade - Atribuir valores para as dimensões do prisma inteiro. - Calcular área da base, área lateral e área total. - Calcular o volume do prisma. - Montar uma tabela contendo o número de faces, vértices e arestas presentes no prisma. - Verificar a Relação de Euler. - Utilizando os mesmos valores para o prisma dividido, calcular as áreas e, somando-as, compará-las com a figura não dividida. - Calcular o volume dos prismas separadamente e comparálos com a figura não dividida. 26

Dois prismas hexagonais de madeira pintadas de azul, um dividido e o outro não. Objetivos - Calcular o volume. - Calcular quantidades de arestas, faces e vértices. - Calcular ângulos. - Verificar a Relação de Euler. 27

TECNOLOGIAS PROPOSTAS PELO AUTOR - GRAFEQ - SHAPARI - GEOGEBRA - GENERALIZAÇÃO DOS HEXÁGONOS - TRIÂNGULOS - LOSANGOS - TRAPÉZIOS 29

SOFTWARE GRAFEQ O Grafeq é um software que trabalha com equações e inequações, em coordenadas cartesianas e polares. Com os recursos oferecidos pelo Grafeq, é possível esboçar curvas e regiões no plano cartesiano. PROPOSTA DE ATIVIDADE - Apresentar o layout do software. - Manipular livremente o software para ambientação com sua estrutura algébrica e geométrica. - Construir uma imagem de livre escolha. Se não houver ideias próprias de desenho, pode-se tentar a reprodução de alguma imagem famosa. 30

OBJETIVOS - Apresentar o plano cartesiano. - Apresentar o software Grafeq. - Identificar os elementos necessários para a construção de um gráfico de função. - Interpretar gráficos de funções. - Analisar o comportamento desses gráficos, modificando coeficientes em suas leis. - Estimular o aluno a fazer uma construção de livre escolha, que pode ser algo criado por ele ou cópia de alguma imagem conhecida. 31

SOFTWARE SHAPARI Proposta de atividade - Apresentar o layout do software. - Manipular o software livremente para ambientação com as transformações geométricas propostas. - Construir alguma imagem de livre escolha. Se não houver ideias próprias de desenho, pode-se tentar a reprodução de alguma imagem famosa. 32

O Shapari é um software através do qual podemos selecionar formas geométricas no plano e manipulá-las, seja através de transformações que já estão prontas no software, seja através de novas transformações que podem ser criadas utilizando-se matrizes quadradas 2x2. Objetivo Estudar as transformações geométricas mais simples, como: translação, compressão, reflexão e cisalhamento. 33

SOFTWARE GEOGEBRA GeoGebra é um programa de matemática dinâmica, feito com o intuito de ser utilizado em sala de aula, o qual junta aritmética, álgebra, geometria e cálculo. Possibilita o desenho de pontos, vetores, segmentos, figuras planas, sólidos geométricos, linhas e funções e, ainda, a alteração dinâmica deles, assim que terminados. PROPOSTA DE ATIVIDADE - Pesquisar algum problema de geometria espacial (sugestão: questões de vestibular ou ENEM). - Fazer a construção da questão no software. - Encontrar a solução do problema através do software. 34

(ITA - 2004) Considere um cilindro circular reto, de volume igual a 360π u.m., e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de 54 3 u.m., então, a área lateral da pirâmide mede: Objetivo Visualizar e resolver questões, apresentadas em diversos concursos, através de um software dinâmico. 35

GENERALIZAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS HEXÁGONOS - TRIÂNGULOS - LOSANGOS - TRAPÉZIOS 36

Proposta de atividade - Digitar o endereço abaixo em algum navegador de internet: http://www.grupoalquerque.es/ferias/2007/generalizarpitagoras/generapitagoras.htm - Escolher um dos quebra-cabeças disponíveis. - Seguir as instruções e se divertir! Objetivo Generalizar e demonstrar o Teorema de Pitágoras para triângulos, losangos, trapézios e hexágonos através de manipulações e transformações geométricas. 37

Ilustrações Capa - Sala de aula montessoriana - Acervo do autor. Disponível em: < http://www.colegioprovincia.com.br/ > Acesso em outubro de 2015. Página 13 - Acervo do autor. - Livros: Mente Absorvente, PsicoAritmética e PsicoGeometria (Maria Montessori). Página 14 - Cubo do Binômio - Acervo do autor. Página 16 - Cubo do Trinômio - Acervo do autor. Página 18 - Teorema de Pitágoras - Acervo do autor. Página 19 - Teorema de Pitágoras - Acervo do autor. Página 20 - Hexágonos e Quadrados - Acervo do autor. Página 21 - Hexágonos e Quadrados - Acervo do autor. Página 22 - Triângulos de Metal - Acervo do autor. Página 23 - Triângulos de Metal - Acervo do autor. Página 24 - Prismas Quadrados - Acervo do autor. Página 25 - Prismas Quadrados - Acervo do autor. 38

Prismas Hexagonais - Acervo do autor. Página 27 - Prismas Hexagonais - Acervo do autor. Página 29 - Acessos em novembro/2015. - Grafeq - Disponível: http://mdmat.mat.ufrgs.br/grafeq_guia/ - Geogebra - Disponível: http://apps.innteach.com/geogebra-2/ - Shapari - Disponível: http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/tutoriais_softwares/shapari/progra2.htm - www - http://www.sopadeideias.com.br/blog/2011/06/empresas-podem-personalizar-nome-dos-sites/ Página 30 - Layout do Grafeq - Acesso em setembro de 2014. - Disponível em: http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/midias_digitais_ii/modulo_iii/recursos33.html Página 31 - Exemplo de construção - Acervo do autor. Página 32 - Exemplo de construção - Acervo do autor. Página 33 - Exemplo de construção - Acervo do autor. Página 34 - Logo do Geogébra - Acesso em novembro/2015. - http://windleclasses.weebly.com/unit-1-foundations-for-geometry.html Página 35 - Exemplo de construção - Acervo do autor. Página 36 - Hexágonos - Triângulos - Losangos - Trapézios - Acesso em novembro/2015. - http://www.grupoalquerque.es/ferias/2007/generalizarpitagoras/generapitagoras.htm 39

REFERÊNCIAS * MONTESSORI, Maria. Mente Absorvente. Rio de Janeiro. Editora Portugália. 2ª edição. 1949. * MONTESSORI, Maria. Pedagogia científica: a descoberta da criança. São Paulo. Editora Flamboyant, 1965. * MONTESSORI, Maria. Psico-Geometria: el estudo de la geometría basado en la psicología infantil. Barcelona. 1ª edição. 1934. * MONTESSORI, Maria. Psico-Aritmética: el estudo de la geometría basado en la psicología infantil. Barcelona. 1ª edição. 1934. * Sites - Edumatec - Ufrgs - http://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/index.php Acesso em Novembro/2015 - Generalização do Teorema de Pitágoras http://www.grupoalquerque.es/ferias/2007/generalizarpitagoras/generapitagoras.htm Acesso em Novembro/2015 41