Evolução de Curvas em Visão Computacional

Evolução de Curvas em Visão Computacional Ralph Costa Teixeira 3deNovembrode2009 Resumo É dada uma curva Γ no plano parametrizada por Q(s,0). Esta curva evolui com o tempo t de acordo com uma das seguintes velocidades: Reação : Q t=n(s,t) Difusão : Q t=k(s,t)n(s,t) onde N é a normal unitária à curva e K é a sua curvatura. Nestas notas, analisamos várias propriedades matemáticas interessantes destas duas evoluções. Discutimos brevemente algoritmos que as calculam, e apresentamos aplicações destas evoluções ao reconhecimento de formas visuais(visão Computacional), e à limpeza de ruídos em imagens(processamento de Imagens). 1 Evoluindo Curvas em Visão Computacional Um dos objetivos principais da Visão Computacional é criar algoritmos que ensinem computadores a ver (isto é, não só capturar imagens mas também interpretá-las). Parte deste processo consiste em separar uma imagem em diversas regiões (cada uma correspondendo a algum objeto) para depois analisá-las. Não discutiremos aqui como encontrar tais regiões(que já é um problema bastante complicado por si só), mas estamos interessados em algumas técnicas matemáticas simples que nos permitam analisá-las. Nestesentido,éútildefiniralgumtipodeesqueletodeumaregiãodoplano istoé,algumobjetounidimensionalque funcionaria como uma espécie de eixo de simetria da região(mesmo que a região não seja exatamente simétrica). Também é útil classificar a região apresentada em pedaços distintos, para facilitar a sua análise. Figura1: Umaregiãodoplanoeseu"esqueleto" Para descrever matematicamente objetos deste tipo, a linguagem natural é a da Geometria Diferencial. Assim, suponha que Q(s) = (x(s),y(s)) (com s [0,B]) é a parametrização de uma curva simples e fechada Γ do plano, que limita a região R em questão (para facilitar, suporemos que esta parametrização percorre a curva no sentido anti-horário). Sendo esta parametrização regular (isto é, Q (s) 0 para todo s), denotaremos por T(s)(ouT(s))ovetor unitário tangente a estacurvae N(s)(ouN(s))ovetorunitárionormalqueapontapara"dentro"daregião. Para ser mais exato, vamos a seguir evoluir(ou deformar, propagar) esta curva paulatinamente(com o objetivo não só de encontrar o esqueleto ou subdividir a região original, mas com a esperança de que a matemática desta deformação seja bonita e interessante). Esta evolução pode ser representada por Q(s,t) = (x(s,t),y(s,t)) onde t é o tempo da evolução e séoparâmetroque percorrecadauma das muitascurvas geradas(abusaremosanotaçãoedenotaremosacurvainicial por Q(s) = Q(s,0)). Assim, Q s =(x s,y s ) representa a direção tangente à curva em cada ponto, enquanto Q t = (x t,y t ) representa a velocidade que cada ponto segue durante a propagação. 1

2 Evolução por Reação e Função Distância 2.1 Evolução por Reação A primeira evolução que gostaríamos de estudar é Q t (s,t)=n(s,t) ouseja,emcadapontoavelocidadedepropagaçãoéanormalunitáriaàcurvanaqueleponto. Quepropriedadestemesta evolução? Resolver esta equação vetorialmente é simples: convidamos o leitor a notar que Q(s,t)=Q(s)+tN(s) éumasoluçãodestapropagação. Afinal, ésimplesderivarestaequaçãoeencontrarqueq t =N(s) ficafaltandoapenas mostrarquen(s)=n(s,t),istoé,queanormalunitáriaàcurvaγoriginalsemantémparasfixoàmedidaquetvaria. Exercício1 DetermineasoluçãodestaevoluçãoquandoacurvainicialΓéaelipseQ(s)=(acoss,bsins)coma b. Qualomenorvalordetquefazcomqueaparametrizaçãoemsdeixedeserregular? ( ) bcoss [Resposta: acoss a t,bsins asins 2 sin 2 s+b 2 cos 2 s a t. Aparametrizaçãodeixadeserregularquandot= b2 2 sin 2 s+b 2 cos 2 s a.] AfiguraabaixoàesquerdamostraaevoluçãodaelipseQ(s)=(2coss,sins)parat=0:0.1:0.7. Notecomoacurva deixa de ser regular quando t=0.5 (destacada), formando umbico sobre o eixo x. Isto ocorre pois em t =0.5 no ponto (0.5, 0) temos o primeiro choque da propagação, quando a frente de propagação do primeiro quadrante se choca com a frente de propagação do quarto quadrante. De fato, se permitíssemos t > 0.5, as frentes de propagação se cruzariam. y 1.0 y 0.2 0.5 0.1-2 -1 1 2-0.5 x 0.0-0.1 1.3 1.4 1.5 1.6 x -1.0-0.2 O leitor atento vai perceber que a distância do ponto Q(s,t) ao ponto Q(s,0) é exatamente t; mais ainda, como o segmentoqueuneq(s,0)aq(s,t)énormalàcurvaoriginal,entãoadistânciadeq(s,t)àcurvaoriginalét(pelomenos antesdoprimeirochoque). Emoutraspalavras,fixadoumponto(x 0,y 0 )doplano,aevoluçãochega(pelaprimeiravez)ao ponto(x 0,y 0 )notempotqueéigualàdistânciade(x 0,y 0 )àcurvaoriginal. Em suma: as curvas obtidas por esta evolução são exatamente as curvas de nível da função distância, pelo menos até os choques. Então vamos redefinir nossa evolução de uma forma mais implícita, evitando os entrecruzamentos que aparecem na figura àdireitaacima: dadaacurvaoriginalγ=c 0,definimosacurvaΓ(t)comosendooconjuntodetodosospontosdaregião R (interior a Γ) cuja distância à Γ seja t. Ou seja, sempre que houver um choque, descartamos os entrecruzamentos, e continuamos com curvas simples e fechadas(ainda que tenham bicos). Uma segunda vantagem deste nova definição é que ela não precisa da definição do vetor normal e, portanto, independe da curva original ser diferenciável. Assim, a figura inicial pode até mesmo ser um polígono, se desejarmos. Outro detalhe desta evolução: se a curva inicial não for convexa, esta evolução poderá dividir a curva propagada em pedaços desconexos, como no exemplo abaixo. 2

Exercício2 Sejam n 1 e n 2 os vetores unitários normais a dois lados consecutivos de um polígono convexoqueestá se movendodeacordocomaevoluçãoporreação. Mostrequeovérticeentreestesladossemovecomvelocidade v= n1+ n2 1+ n 1, n 2 = n 1 + n 2 1+sinθ ondeθéoângulointernodopolígononaquelevértice. Enquanto não é realmente necessário definir esta evolução para valores negativos de t, isto pode ser feito sem grande dificuldade. Definição3 DadaumacurvasimplesfechadaΓlimitandoumaregiãoR,definimosafunçãodistânciacomsinalf como { d(x,γ) sex R f(x)= d(x,γ),casocontrário Esta função distância tem várias propriedades interessantes. Em particular, as figuras devem convencer o leitor de que ogradientedestafunçãodistânciaf éexatamenteovetornormalunitárioàcurva(excetonospontosdechoqueondeela nem é diferenciável). Em suma, temos uma outra caracterização da função distância via E.D.P.s: a função distância deve ser, em algum sentido, a solução do seguinte problema com a Equação Eikonal: { f(x) =1excetonoschoques f(x)=0sex Γ Por outro lado, fazer esta caracterização rigorosa é surpreendentemente sutil; em primeiro lugar,"exceto nos choques"é vago demais; em segundo lugar, há casos patológicos(que não nos interessam) que"as figuras"acima não representam bem. Os exercícios a seguir mostram que f = 1, exceto em alguns casos patológicos. Exercício4 Mostrequeafunçãodistânciaf éumacontraçãofraca 1,istoé,dadosdoispontosAeB doplano,tem-se f(a) f(b) d(a,b) Exercício5 Mostrequeafunçãodistânciaf(x,y)satisfazaEquaçãoEikonal,asaber f =1 emtodosospontosdointeriorderondeelaédiferenciável. [Dica: oproblemaanteriormostraque f 1;agora,dado XnointeriordeR,encontreY sobreγtalquef(x)=d(x,y);usandopontosnointeriordosegmentoxy seaproximando dex,mostreque f(x) 1]. Exercício6 SejaΓacurvadefiniday= x cos ( 1 x) parax ( 1,1)(emx=0,tomey=0;longedaorigem,fechea curvadamaneiraquevocêpreferir). Mostreque,se X <r,então f(x) 4πr 2. Concluaque f(o)= 0(naorigem). 2.2 Choques: Eixo Medial Estamos agora prontos para apresentar uma primeira definição de "esqueleto"de uma região delimitada por uma curva fechada. Definição7 O eixomedialdeumaregiãodelimitadarporumacurvaγéo(fechodo)conjuntodepontosondeafunção distânciaassociadaaγnãoédiferenciável. Emoutraspalavras,oeixomedialéoconjuntodospontosdechoquedaevolução por reação associada à região R. 1 E,porconseqüência,f édiferenciávelq.t.p. 3

Deumamaneiramaisgeométrica,consideretodososcírculoscontidosnaregiãoRquesejammaximais 2. Oconjuntodos centros destes círculos é o eixo medial. Exemplo 8 SearegiãoRéumretângulo,seueixomediallembraumtelhadovistodecima;adicionepequenasindentações e o eixo medial cria ramos inteiros naquelas direções: Exemplo 9 Searegiãoéaelipse x2 a 2 + y2 b 2 =1coma b,oeixomedialéumsegmentosobreeixomaiordecomprimento 2a 2b2 a. Claramente, o eixo medial de um círculo é um ponto isolado, seu centro. O eixo medial tem várias propriedades interessantes, como por exemplo: Os extremos do eixo medial são centros de curvatura correspondentes a pontos de curvatura máxima(ou mínima) do bordo; Oeixomedialéco-varianteporisometrias 3 ; 2 Essencialmente,estessãooscírculosque sãotangentesàcurva Γem doisoumaispontosdistintos;"essencialmente"porque,paracompletaro eixomedial,temosdeincluirtambém centrosdecírculosquesãotangentesaγem apenasum ponto,mascom ordem detangênciamaior sãoos pontos A 3 da figura aseguir. 3 Em outraspalavras,se Rgirarou transladar,oeixo medialgira ou translada "junto". 4

Quando bem definida, a direção tangente ao esqueleto num ponto é bissetriz das direções tangentes nos pontos correspondentes de Γ; Maisainda,épossívelreconstruiraregiãoRsearmazenarmosoesqueletoeoraiodocírculobitangenteemcadaumde seus pontos(de fato, a região R é simplesmente a união destes círculos). Esta é uma maneira interessante de representar a regiãor oesqueletocapturaadireçãogeral daregiãor,enquantoosraiosdoscírculoscapturamagrossuradecadaparte der. Istodito,arepresentaçãodeumaregiãoporseueixomedialefunçãoraiotemproblemas;oprincipaldeleséasensibilidade a ruídos(vide retângulo com indentações) pequenos ruídos na região R ou no seu bordo Γ levam a representações bastante distintas com eixos mediais. Por este motivo, aplicações práticas que se utilizam de esqueletos costumam passar por alguma espécie de suavização da curva Γ ou poda do eixo medial, para eliminar seus trechos irrelevantes. 2.3 Computação e Aplicações Para computar o eixo medial, há várias abordagens: Para polígonos, o eixo medial é uma espécie de diagrama de Voronoi (mas, ao invés de usarmos distâncias a pontos como é usual, usaríamos distâncias aos lados). Assim, é possível adaptar algoritmos que calculam diagramas de Voronoi para calcular eixos mediais; Há métodos que consistem em primeiro resolver o problema f = 1emR f = 0emΓ= R paraencontrarafunçãodistânciaf mascuidadodevesertomadopoissingularidadesdef sãopermitidasemr(que serão exatamente o eixo medial!). Para grids discretos, computar a função distância é um problema simples de Programação Dinâmica. Para ver algumas aplicações de eixos mediais em Visão Computacional, consulte, por exemplo, os sites The Hypermedia Image Processing Reference 4 ou o exemplo de classificação de peças (aplicação industrial) do MMach/Khoros no site da Unicamp 5 ambosestãonosslidesdestecurso. 4 Em http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/hipr2/;exemplosdeesqueletosestão em http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/hipr2/skeleton.htm. 5 Em http://www.dca.fee.unicamp.br/projects/khoros/;eixosmediaisem http://www.dca.fee.unicamp.br/projects/khoros/mmach/tutor/application/industrial/pieces/pieces.html 5

3 Evolução por Difusão Nesta seção, definiremos uma segunda evolução de curvas que tem suas próprias aplicações e propriedades interessantes. O leitor que precise relembrar as propriedades das curvaturas de curvas planas deve consultar o apêndice. Para referência, todas as nossas curvas são simples, fechadas, orientadas no sentido anti-horário, e, portanto, com normal unitária apontando paradentrodacurva. Nanossanotação,Q(s,t)éafamíliadecurvas,cadaumaparametrizadapors,ondetéotempoda evolução;amétricadacurvaég(s,t)= Q s (s,t),eacurvaturaék(s,t). Notequesnãoénecessariamentecomprimento dearco denotamosoparâmetrocomprimentodearcoporl,ouseja,dl=g.ds. 3.1 Movimento por Curvatura Vamos agora estudar uma nova evolução, denominada evolução por difusão ou movimento por curvatura: Q t (s,t)=k(s,t)n(s,t) ouseja,emcadapontoavelocidadedepropagaçãoéacurvaturavezesanormalunitária. Em primeiro lugar, façamos algumas experiências; as figuras abaixo mostram a deformação de uma curva por esta lei(a primeira para valores pequenos de t, e a segunda para valores maiores). Convidamosoleitoraverecriarseusprópriosexemplos; paratanto, visiteossitesdoprof. J. Sethian(Berkeley) 6 ou interajacomojava2dclosed CurveSimulator doprof. ShinYoshizawa(Aizu) 7,quegerouasfigurasacima. Notecomo os trechos da curva que são pontudos desaparecem rapidamente, e a curva acaba se transformando numa bolha redonda que, por sua vez, desaparecerá em tempo finito. Exercício10 Se a curva inicial for um círculo de raio R 0, como a curva evolui por este movimento? [Resposta: será umcírculoderaior(t)= R 2 0 2t,que,portanto,desapareceapóst= R2 0 2.] Que propriedades tem esta evolução? Comecemos então por fazer alguns cálculos interessantes: Exercício11 UmacurvaregularfechadasimplesQ(s,t)=(x(s,t),y(s,t))éparametrizadapors [0,B]eevoluicom otempotdeacordocomaleiq t (s,t)=k(s,t)n(s,t). a)usequeq st =Q ts paramostrarqueamétricasatisfaz g t = gk 2 T t = K s g N en t= K s g T b)sendol(t)ocomprimentodacurvaea(t)aáreaporeladelimitada,mostreque L (t) = A 0 A (t) = 2π K 2 dl (ondedl=g.dséoelementodecomprimentodearco)pelomenosenquantoacurvaforc 1. c) Mostre que K t =K LL +K 3 6 http://math.berkeley.edu/~sethian/ 7 O endereço da Universidade de Aizu parece estar desatualizado. Uma cópia deste Applet está em https://php.radford.edu/~ejmt/resources/curvesimulator/curvesimulator.html. 6

Uma consequência desta última equação é uma espécie de princípio do mínimo para K: se K(s,t 0 ) > 0 para todo s, entãok(s,t 1 )>0(ondet 1 >t 0 )paratodostambém. Emsuma: Teorema 12 No movimento por curvatura, curvas convexas permanecem convexas. O arredondamento da curva também pode ser descrito de maneira mais precisa. Afinal, um interessante teorema da Geometria Diferencial[1] diz que: Teorema 13 (Desigualdade Isoperimétrica) Seja Γ uma curva plana, simples e fechada. Suponha que L é seu comprimentoeaéaáreaqueeladelimita. Então L 2 A 4π eaigualdadesóseverificaseγforumcírculo. IstosugereousodarazãoP = L2 A paramedirquãoredondaumaregiãoé. Noentanto,apartirdoscálculosdeL ea acima,éfácilverque: ( ) B P (t)= 2P K 2 dl πp É possível mostrar que o lado direito desta equação é sempre negativo[5]. Aliás, com estimativas mais cuidadosas, é possível mostrar que no movimento por curvatura tem-se L 2 lim t t F A =4π 0 ondet F éotempofinaldaevolução. Ouseja,àmedidaqueacurvaencolhe,elaseaproximadeumcírculo. Maisainda,oleitorpodeestarpreocupadocomofatodequetaiscálculosacimasóvalemenquantoacurvaforsuavee simples. Uma série absolutamente notável de artigos por Gage e Hamilton([5],[6],[4]) mostra os seguintes fatos: Teorema 14 No movimento por curvatura: a) Se a curva inicial for convexa, ela permanece convexa; b)seacurvainicialnãoforconvexa,elasetornaconvexaemtempofinito; c) A curva é instantaneamente suavizada, e permanece suave até seu colapso; d) Em suma, curvas imersas permanecem imersas e convergem para um ponto circular, sem nunca apresentarem qualquer espécie de auto-interseção! LembrandoqueA (t)= 2π,istoé,A(t)=A 0 2πt,éentãoimediatonotarqueocolapsodacurvasedáemt= A0 2π. 3.2 Choques: que ponto? Em suma, esta evolução não apresenta choques, exceto pelo ponto final de colapso. Até onde sabemos, a localização deste ponto de colapso é desconhecida, isto é, não sabemos em geral uma maneira simples de escrevê-lo em função da curva original (porexemplo,elenãoéocentrodemassadacurvanemdaregião). 3.3 Computação e Aplicações 3.3.1 Level Set Method(Método por Curvas de Nível) Considereumafunçãoz=F(x,y)eumadesuascurvasdenívelΓ:z=0. SeafunçãoF variacomotempo(entãodefato F =F(x,y;t)),acurvadeníveltambémvariaránoplanoz=0. Paraserexato,suponhaquez=F(x(t),y(t),t)=0. Derivandocomrelaçãoaotempo: F x x +F y y +F t =0 F t = F, v onde véavelocidadedeumponto(x(t),y(t))deγnoplanoz=0. Emparticular,se v=vn onden éanormalunitária aγ,ficamoscom F t = F v ondesupusemosque F apontaparadentrodacurva,istoé, F = F N. EstaéaidéiaprincipaldoMétodoporCurvasdeNível(LevelSetMethod);ainvésdedeformardiretamenteumacurva noplano,representamo-lacomoumacurvadeníveldeumafunçãodeduasvariáveisf(x,y;0) podemosusar,porexemplo, F(x,y;0)=d(x,y) onde déafunção distãncia comsinal discutida anteriormente! Agora aplicando a E.D.P. acimaaf, fazemos a curva variar implicitamente. Se escolhermos v cuidadosamente, podemos fazer com que a curva evolua da maneira desejada. 7

( Porexemplo,lembreque,dadaumafunçãoF(x,y),acurvaturadesuascurvasdeníveléK=div fazerv=k (queéexatamenteomovimentoporcurvatura),bastaevoluirf segundoalei ( ) F F t = F div F F F ). Se quiseremos ondeogradiente edivergentesãotomados apenas nas coordenadasxey. De fato, nãosóacurvaγ:f =0evoluirá por curvatura,mastodasascurvasdeníveldef farãoomesmo! ImplementarumaversãodiscretadestaE.D.P.nãoémuitodifícil algumcuidadotemquesertomadoempontosonde F 0,ondeaexpressãoàdireitaéindefinida; emtaispontos, pode-semostrar([3])queavelocidadecorretaparaque ocorra o movimento por curvatura desejado é: { deth se deth 0 F t = 0se deth<0 onde deth = F xx F yy Fxy 2 é o determinante da Hessiana de F. Em suma, pontos de sela não se movem verticalmente, enquantomáximoslocaissemovemcomavelocidade deth parabaixo. Maisdetalhessobreestealgoritmoestãoem[2]. 3.3.2 Aplicação: Image Denoising Umaaplicaçãodestaevoluçãoéaeliminaçãoderuídosdeimagensdigitais. Umaimagememtonsdecinzapodesermodelada porumafunçãoz=f(x,y), onde(x,y)denotaumpontodatelaezéasuacor(tipicamente, 0=pretoe255=branco). Neste contexto, ruídos tipicamente correspondem a valores de F que são muito diferentes de seus vizinhos, isto é, extremos locaisdef cujascurvasdeníveltemáreamuitopequena. Aplicandoomovimentoporcurvaturaàimagemtoda,taiscurvas de nível de pequena área desaparecem rapidamente, sem deformar demais as de área maior. Paraexemplosdestaaplicação,vejanovamenteositedoProf. Sethian(Berkeley) 8. 3.3.3 Aplicação: Espaço de Reação-Difusão Outra aplicação destas evoluções em análise de formas(shape Analysis) é o espaço de Reação-Difusão apresentado em[7]. Antes de descrever matematicamente as idéias deste espaço, pensemos um pouco sobre como é difícil classificar formas visuais computacionalmente. Por exemplo, quase todos os humanos concordam que um corpo pode ser razoavelmente bem dividido em cabeça, tronco e membros. Mas, como criar um algoritmo que faça esta divisão automaticamente a partir de um esboço2ddeumcorpohumano? AidéiadoespaçodeReação-DifusãoéconsiderarumacurvaQ(s,t)evoluindosegundoaleimaisgeral Q t =(α+βk)n Se α=0, temos a evolução por difusão. Por mais que a curva original Γ seja não convexa, nunca há uma quebra a curvaevoluisuavemente,semcriarnemmesmoumbico,atéocolapsofinal. Começancoporumesboço2Ddeumcorpo,os dedos simplesmente encolhem, assim como os outros membros do corpo e a cabeça, em direção ao torso central. Os pescoços inicialmente se alargam, até que o corpo se torna uma grande bolha convexa, que então encolhe até sumir. Poroutrolado,seβ=0,temosaevoluçãoporreação;qualquerpescoçoouafinamentoqueacurvaΓapresenteresultará em uma quebra da evolução emduas curvas distintas. Agora, as mãos se separam dos braços quando os pulsos quebram, os pés se separam das pernas pelas canelas; em algum momento, estes membros desparecem completamente, e permanecem apenas uma versão reduzida de uma cabeça, provavelmente separada de uma versão reduzida do torso quando o pescoço quebra. Emseguida,acabeçasomeeficaapenasotorso. Oprocessoésanguinolento,mas,nãosóestaevoluçãoproduzuma subdivisão da região inicial, mas ela produz também uma hierarquia dependendo do tempo que cada região sobrevive. Agora, se desejarmos não somente detectar os afinamentos da forma visual, mas também classificá-las quando à sua "pescoçudez", podemos variar os valores de α e β. Para cada pescoço (pulso/canela/afinamento), deve haver uma razão exataβ/αquefazcomqueestepescoçonãomaiscrieumaquebranaevoluçãodacurva. Estaquantidadeindicariaentãoo "grau de pescoçudez"deste pescoço da região R. A figura abaixo, retirada de [8], exemplifica o processo acima. O eixo horizontal representa a quantidade β/α e o eixo vertical representa o tempo da evolução. 8 Novamente,em http://math.berkeley.edu/~sethian/. 8

Figura 2: Espaço de Reação-Difusão 9

4 Apêndice: Curvatura de Curvas Planas 4.1 Definição de Curvatura Dadaumacurvaplanaparametrizadapor(x(s),y(s)),oseuvetorvelocidade v=x (s) ı+y (s) jformaumcertoângulo θ(s)comahorizontal(eixo Ox). DefinimosacurvaturaKdestacurvaplananumdeterminadopontocomoataxadevariação deste ângulo por unidade de comprimento medida na curva, isto é, v= v = dl ds = (x (s)) 2 +(y (s)) 2 tanθ= y (s) x (s) ouθ=arctan K= dθ dl ( ) y x N v Curva,velocidadeeoânguloθ(s) Para calcular K em função da parametrização, simplesmente use ( ( )) K= dl dl dθ d arctan y ds = x 1 dl v = 1 ( 1+ y K= y x x y ((x ) 2 +(y ) 2) 3/2 x ) 2 y x x y (x ) 2 1 (x ) 2 +(y ) 2 Emparticular,notequeadefiniçãodeKdependeapenasdoformatodacurvaenãodavelocidadeemqueapercorremos, istoé,dadaumacurva,k nãodepende daparametrização escolhida 9. Exemplo 15 UmapossívelparametrizaçãodeumcírculoderaioRé x(s)=rcosws; y(s)=rsinws Nestecaso,umautilizaçãodiretadaexpressãoparaκnosdá ( Rw 2 sinws ) ( Rwsinws) ( Rw 2 cosws ) (Rwcosws) K= (( Rwsinws) 2 +(Rwcosws) 2) 3/2 = R2 w 3 R 3 w 3 = 1 R confirmandoaidéiaintuitivadequek émaiorquandoacurvaémaisfechada. NotequenemacurvanemK dependemde w(queapenasmudaaparametrização). ValeapenanotarqueemgeralK éoinversodo raiodecurvatura deumacurva. Com esta definição de curvatura, o seguinte teorema é bastante intuitivo(apesar de sua demonstração fornal em[1] ser complicada): Teorema16 (doíndice de Rotação) Para uma curva regular simples fechada Q:[0,B] R 2 orientada no sentido anti-horário, tem-se B 0 KdL=2π. 9 Paraserexato,acurvaturadependesomentedadireçãoemqueacurvaépercorrida;seusarmosumaparametrizaçãoquereverteessadireção, a expressão da curvatura muda de sinal. É comum se exigir que tal parametrização siga o sentido anti-horário para curvas fechadas. 10

4.2 Parametrização por comprimento de arco Se parametrizamos a curva por comprimento de arco (isto é, v = velocidade é também o vetor tangente unitário T. Assim: (x ) 2 +(y ) 2 =1 d/dl x x +y y =0 T = v=x ı+y j dt dl = a=x ı+y j (x ) 2 +(y ) 2 = 1, ou seja, ds = dl), então o vetor e portanto vemos que v = T e a = dt dl são perpendiculares, isto é, dt dl é um múltiplo de N. Para encontrar o fator multiplicativo, note que } N= y ı+x j ( K=y x x y KN= x y y +x (y ) 2) ( ı+ (x ) 2 y x x y ) j= ( = (x ) 2 +(y ) 2) ( x ı+ (x ) 2 +(y ) 2) y j=x ı+y j= dt dl Demaneiraanáloga,podemosencontrartambém dn dl,obtendoasequaçõesdefrenetparacurvasplanasparametrizadas por comprimento de arco dt dl =KN dn dl = KT É comum definir-se curvatura a partir das expressões acima, ou como K= dt dl apesar desta última definição perder o sinal de K e ser inconveniente para nossos propósitos. Exercício17 SuponhaqueQ(s)nãoéparametrizadapor comprimento de arco. Nestecaso,definaa métricade umacurvaparametrizadaq(s)comog(s)= dl ds = Q (s),istoé,q (s)=gt. Mostreque e, consequentemente T (s)=gkn(s) N (s)= gkt(s) Exercício18 UmacurvaregularfechadasimplesQ(s,t)=(x(s,t),y(s,t))éparametrizadapors [0,B]eevoluicom otempotdeacordocomaleiq t (s,t)=n(s,t). a)usequeq st =Q ts paramostrarque g t = Kg T t = N t =0 Emparticular,istomostraqueanormalunitáriaéconstantecomrelaçãoat. b) Lembremos que o comprimento desta curva e a área por ela delimitada são, respectivamente, L(t) = A(t) = 1 2 B 0 B 0 g ds (xy s yx s )ds= 1 2 B 0 Q, N Mostreque,enquantoacurvafordeclasseC 1 (istoé,antesdoschoques),tem-se L (t) = 2π A (t) = L g ds c)mostrequeafunçãocurvaturak(s,t)satisfaz e, portanto K t =K 2 K= K 0 1 tk 0 ondek 0 éacurvaturanopontocorrespondentedacurvaoriginal. [Dica: derivet s =gkn comrelaçãoat.] 11

4.3 Curvatura de curvas de nível DadaumafunçãoF(x,y)queassumavaloresreais,comocalcularacurvaturadacurvadenívelF(x,y)=Cnumdeterminado pontoregular 10 deseudomínio? Notemosque(utilizandoíndicesparaderivadasparciais) F =F x ı+f y jestánadireção normalàcurvadenível,portantoovetor T =F y ı F x jétangenteàmesma. Assim,podemosencontrarumaparametrização (x(s),y(s))comtalvelocidade,istoé Podemos então calcular x =F y (x(s),y(s)); y = F x (x(s),y(s)) x =F xy x +F yy y =F xy F y F yy F x y = F xx x F xy y = F xx F y +F xy F x ondeomitimosdanotaçãooponto(x(t),y(t))ondetodasasderivadasparciaistemdesercalculadas. Estamos prontos para calcular a curvatura de uma curva de nível de F num ponto P = (x(t),y(t)). De fato, basta utilizar a expressão da subseção anterior y x x y K= ( (x ) 2 +(y ) 2) = ( F xxf y +F xyf x )( F y ) (F xyf y F yyf x )F x 3/2 ( F 2 x +Fy) 2 3/2 K= F xxf 2 y 2F xy F x F y +F yy F 2 x ( F 2 x +F 2 y) 3/2 e temos uma expressão para K em função de derivadas (cartesianas) de F. Uma maneira mais simples de escrever esta expressão é ( ) F K=div F cuja verificação deixamos ao leitor. NotequeumarotaçãoouumatranslaçãodoseixoscartesianosnãomudaoformatodascurvasdeníveldeF e,portanto, não muda a expressão de K. Já que temos liberdade em escolher tais coordenadas, por que não escolher um sistema de coordenadas locais que simplifique as expressões encontradas? Para tanto, dada uma função F(x, y) e um ponto regular P(x 0,y 0 ),definiremososistema de coordenadas gradiente(denotadoporu,v)colocandoaorigemnopontop,oeixo OutangenteàcurvadeníveldeF passandoporp eadireção OvnadireçãodogradientedeF nopontop. Segueimediatamenteque,nopontoP,temosF u =0eF v = F. ComoaexpressãodeK éamesmanestesistemade coordenadas,podemossubstituirf u =0naexpressãodeK paraobtersimplesmente 11 K= F uu F v Referências [1] Manfredo Perdigão Do Carmo. Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies. SBM, Rio de Janeiro, 2005. [2] Marcos Craizer, Sinésio Pesco, and Ralph Teixeira. A numerical scheme for the curvature equation near the singularities. Journal of Mathematical Imaging and Vision, 22:89 95, 2005. [3] Marcos Craizer and Ralph Teixeira. Evolution of an extremum by curvature motion. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 293:721 737, 2004. [4] M. Gage and R. S. Hamilton. The heat equation shrinking convex plane curves. Journal of Differential Geometry, (23):69 96, 1986. 10 Istoé,um pontonão crítico ouum ponto P tal que F(P) 0. 11 Éimportantenotarqueascoordenadasuevdependem dopontop escolhido;podemosimaginarqueaexpressãodek éválidaparaqualquer pontodo domíniodef seimaginarmosqueascoordenadasuevvariam de acordo com opontoescolhido. Note quef u =0somenteno pontop; portanto,nãopodemosescreverquef uu =0. Emoutraspalavras,oupensequeF u =0éválidosomenteem P paraufixo(efiqueàvontadepara diferenciar qualquercoisa com relação a u), ou pense que F u =0em todos os pontos P do domínio (mas então uvaria com o ponto P escolhido, e não faz sentido diferenciarcom respeito a u). O truque é manterambasas interpretações em mente ao mesmo tempo... 12

[5] Michael E. Gage. An isoperimetric equation with application in curve shortening. Duke Mathematical Journal, 50(4):1225 1228, 1983. [6] Michael E. Gage. Curve shortening makes convex curves circular. Inventiones Mathematicae,(76):357 364, 1984. [7] B.B.Kimia,A.R.Tannenbaum,andS.W.Zucker.Ontheevolutionofcurvesviaafunctionofcurvature,i: theclassical case. Journal of Mathematical Analysis and Applications,(163):438 458, 1992. [8] Benjamin B. Kimia, Allen R. Tannenbaum, and Steven W. Zucker. Towards a computational theory of shape: an overview. Technical Report CIM-89-13, McGill University, Department of Eletrical Engineering, Montreal, Canada, June 1989. 13