1 APLICAÇÃO DA CALCULADORA HP12C NO COTIDIANO Prezado (a) Aluno (a), Seja bem vindo ao aprendizado da utilização e aplicação da HP 12C, onde esse aprendizado será empregado em vários cursos superiores e no nosso diaa-dia. É importante salientar que quando há diálogo entre professor e aluno (vice-versa), o ensino-aprendizado flui tranquilamente, então, em decorrência disso, sempre que precisar entre em contato com o seu professor. O conteúdo desse guia além de facilitar o aprendizado de disciplinas que necessitam da sua utilização, ajuda a resolver problemas do nosso cotidiano, sendo constituído pelos seguintes tópicos: 1) Ligar e desligar a calculadora, 2) Funções amarelas e azuis, 3) Pilhas de registradores, 4) Tecla ENTER, 5) Casas decimais, 6) Ponto ou vírgula, 7) Notação científica, 8) Lógica RPN (Reverse Polish Notation), 9) Operações com funções algébricas, 10- Funções Percentuais, 11- Aplicação da Hp 12c em Matemática Financeira e 12- Cálculos Estatísticos. É relevante observar que durante o aprendizado são sugeridos ao alunado, exercícios de aprendizagem objetivando um conhecimento mais tranquilo. Sabendo da importância do uso da calculadora HP 12C no nosso dia-adia, espera-se que este estudo seja um instrumento a mais para o seu crescimento na área educacional. Anicio Bechara Arero INTRODUÇÃO As calculadoras financeiras avançadas surgiram no período de 1981 a 1985, numa série de calculadora 10C, constituída pelas máquinas HP10C, 11C, 12C, 15C E 16C. Apresentam, entre as características principais, o fato de proporcionar mais de 120 funções específicas que facilitam resolver vários tipos de problemas, entre eles, os de matemática financeira.
2 Já existem novos modelos mais avançados que a HP12C, como a HP 17BII (segundo o fabricante 15 vezes mais rápida que HP12C e com capacidade de armazenamento e processamento quatro vezes superior), contudo, apesar de ser a mais antiga entre todos os modelos, a HP12C é a mais vendida em todo mundo (http:www.hpmuseum.org). De modo geral, a HP12c apresenta como características principais, a sua durabilidade quando bem cuidada e sua facilidade de utilização. CALCULADORA HP12C Após a introdução, vamos alcançar o objetivo desse curso. 1) Ligar e desligar a calculadora Ao pressionar a tecla ON, você liga a calculadora se ela estiver desligada ou desliga se ela estiver ligada. 2) Funções amarelas e azuis As teclas cujas legendas estão em branco pertencem a função principal. Para acionar a função amarela é necessário acionar a tecla [f] antes. Para utilizar a função azul é necessário acionar a tecla [g] antes. Exemplo: na tecla [PV] da função principal, observamos outras duas teclas que representam as funções adicionais: a função [NPV] em amarelo e a função [CF 0 ] em azul. Se precisar usar a função [PV] devemos acionar a tecla [PV]. Para utilizar a função [NPV] é necessário pressionar, antes, a tecla [f] e
3 depois a tecla [NPV]. Em relação a função [CF 0 ], devemos pressionar, antes, a tecla [g] e depois a tecla [CF 0 ]. * Limpar a calculadora Para limpar apenas o visor, pressione a tecla CLX, porém, se desejar limpar todos os quatro registradores (X, Y, Z, T) que são usados para armazenar números durante as operações, as memórias fixas e as memórias financeiras, pressione f e REG (CLX). 3) Pilhas de registradores A HP12c é uma máquina que apronta 4 registradores que são representados por X, Y, Z e T. Elas se apresentam em forma de pilha, da seguinte maneira: X Y Z T Ao digitar um número na calculadora, ele fica no registrador X (visor), sendo o único que fornece o conteúdo no visor. Pressionando a tecla ENTER, após digitar um número, o mesmo duplica, onde sua cópia é transportada para o registrador Y. Já, os resultados intermediários de cálculos em cadeia são retidos automaticamente pelos registradores Z e T. 4) Tecla ENTER Ao pressionar a tecla ENTER acontecem transferências entre os registradores, isto é, o conteúdo que está no visor X é transferido para o Y e permanecendo em X; o conteúdo de y é transferido para o Z; o conteúdo Z é transferido para o T e o conteúdo de T é perdido. 5) Casas decimais Para fixar o número de casas decimais devemos pressionar a tecla [f] e, em seguida, o número de casas almejadas. Por exemplo: para trabalhar com 3 casas decimais, devemos pressionar as teclas [f] e 3. Com 5 casas decimais pressionamos as teclas [f] e 5.
4 6) Ponto ou vírgula Para separar as casas decimais, a HP 12C permite o uso de ponto ou de vírgula. Para fazer a troca de ponto para vírgula (vice-versa), devemos desligar a calculadora e, em seguida, pressionar a tecla [.] e ligar a calculadora. A calculadora alterará o separador de casas decimais. 7) Notação científica O visor da HP 12C permite a exibição de números que apresentam até 10 algarismos. Se houver necessidade de utilizar mais de 10 algarismos, a HP apresentará como resposta a mantissa multiplicada pelo expoente de 10. Por exemplo: 320.000 x 2.000.000 = [6,400000 11] = 6,400000x10 11, onde 6,400000 é a mantissa e 11 o expoente de 10. 8) LÓGICA RPN (Reverse Polish Notation) As calculadoras convencionais apresentam a tecla de igualdade que é utilizada nas operações algébricas. Já, a HP 12C, por trabalhar com a lógica RPN, não utiliza essa tecla. Outro fato é que as calculadores algébricas convencionais utilizam os operandos intercalados por operadores, enquanto a HP 12C, utiliza a lógica RPN (Notação Polonesa Inversa), ou seja, os operandos devem ser colocados primeiramente e, depois, devem ser acrescentados os operadores. Observe os exemplos: Operação Notação convencional Notação Polonesa Notação Polonesa Inversa a+b + a b a b + (a+b)/c / + a b c a b + c / ((a*b)-(c*d))/(e*f) / - * a b * c d * e f a b * c d * - e f * /
5 9) Operações com funções algébricas A calculadora HP 12C permite realizar operações com funções algébricas, tais como adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação e logaritmo. Portanto, a partir desse momento, vamos resolver algumas expressões envolvam essas funções utilizando a HP 12C. 9.1- Adição, subtração, multiplicação e divisão. a) 2 + 5 = 7 HP 12 C 2 ENTER 5 + b) 8 + 5 + 32 + 14 = 59 HP 12 C 8 ENTER 5 + 32 + 14 + c) 24 15 = 9 HP 12 C 24 ENTER 15 d) 45 12 + 28 = 61 HP 12 C 45 ENTER 12-28 + e) 32 x 4 = 128 HP 12 C 32 ENTER 4 x f) 48 6 = 8 HP 12 C 48 ENTER 6 g) (60 28)(56 7) = 4 HP 12 C 60ENTER 28-56 ENTER 7 h) (12 4) x7 = 21 HP 12 C 12 ENTER 4 7x i) [(363)-2]{[(6x5)-5]5}=2 HP 12 C 36ENTER 32-6 ENTER5X5-5 J) {60 - [ 8 x (81 9)]} = -12 HP 12 C 81 ENTER 9 8 x CHS 60 + l) -3 5 = - 8 HP 12 C 3 CHS ENTER 5 CHS + Obs.: CHS (Change Sian), significa mudança de sinal. Por exemplo: para colocar -32 no visor da HP 12C, devemos colocar o número 32 e trocar o sinal através da tecla CHS. 9.2- Potenciação, radiciação e logaritmo. a) 2 4 = 16 HP 12 C 2 ENTER 4 y x b) 6 8 = 1.679.616 HP 12 C 6 ENTER 8 y x c) 2-4 = 0,0625 HP 12 C 2 ENTER 4CHS y x
6 4 d) 81 3 HP 12 C 81 ENTER 4 1 e y x x e) 2,5 1, 201 5 HP 12 C 2,5 ENTER 5 1 e y x x Obs.: a HP12 C não apresenta a função logaritmo decimal (base 10). Ela apresenta, na função azul g, logaritmo neperiano Ln (base e = 2,718...). Para calcular Log 5 (base 10), devemos aplicar a propriedade dos logaritmos denominada mudança de base, isto é, troca-se a base 10 pela base neperiana e. Log 5 e Log 5 10 Log 10 e HP 12 C 5 gln, Ln 5 Ln 10 10 gln 1,609 2,303 0,699 f) Log 52 = 1,716 HP 12C 52 g Ln, 10 g Ln g) Log 15 1,176 HP 12C 15 g Ln, 10 g Ln h) 5 3 2-3 = 124,875 HP 12C 5 ENTER 3 y x 2 ENTER 3 CHS y x - 3 3 i) 5 4 Log 3-61,813 HP 12C 5 ENTER 3 1 e y x 4 ENTER 3 x y x 3 g Ln ENTER 10 g ENTER Ln + j) 3x 25-4xLog 7 = 11,62 HP 12C 25 g X, 7 g Ln, 10 g Ln 4x- 5 l) 45625 25 7, 1496 Log HP 12C 45625 ENTER 5 1/x y x CHS, g Ln 25, gln 10 + m) 5 8 32 12 x = 0,9672 HP 12C 32 ENTER 12-52 ENTER 25 7 x 52 25 7 x 8 x 5 1/x y x ou HP 12C 32 ENTER 12-7 ENTER 52 ENTER 25 x 8 x 5 1/x y x
7 Exercício: - Resolva as expressões utilizando a HP 12C: a) 4 6 = 4096 b) 5-2 = 0,04 c) (2/3) -3 = 3,375 d) 8 = 2,828 e) 5 3 = 1,246 f) 30 2, 45 = 1,03 g) 5 4 + 5 8 = 626,516 h) 25 1/4 2x 7 15 = -0,709 i) 5x 36-7xLog 6=-10,395 j) 5-3 + 3x 6 9 3 32-7xLog 452 = -13,233 l) 3 x 125 45-8,6868 m) 3 9 ( 25 10 ) x = 3 5 x (7 6 ) Observações: 1 a ) EEX (Enter Expoent), significa introduza o expoente. Exemplos: a) 2.000.000 - HP 12 C 2 EEX 6 b) 0,00000005 - HP 12 C 5 EEX CHS 7 c) 12 x 10-6 + 6 x 10-5 = 0,0000072 - HP 12 C 12 EEX CHS 6 ENTER 6 EEX CHS 5 + 2 a ) g n! Calcula o fatorial de um número. Exemplos: a) 5! 5 g n! No visor aparecerá 120. b) 4! 3! 4 g n!, 3 g n! No visor aparecerá 4. c) 9! 5 x 6! = 359.280 HP 12 C 9 g n! 6 g n! 5 x - 3 a ) R leva a uma permuta nos conteúdos de todos os registradores. Acionando quatro vezes consecutivas a tecla R, além de conhecermos o conteúdo dos registradores (x, y, z, t), devolve para sua posição inicial. Por
8 exemplo: entre com as teclas f REG 1 ENTER 2 ENTER 3 ENTER 4 ENTER, em seguida utilize a tecla R. 4 a ) STO (STORE armazene). Armazena num registrador valores e RCL (RECALL recupere). Recupera valores retidos na função STO. Exemplos: 1) O resultado de Ln 7 = 1,9459 pode ser armazenado no registrador 1, da seguinte maneira: 1,9459 STO 1. Após limpar o visor através da tecla CLX, esse valor pode ser recuperado utilizando a tecla RCL 1. 1,9459 STO 1 CLX RCL 1 = 1,9459 2) Tenho em conta em determinado banco a importância de R$ 8.680,00. Emitir três cheques: o primeiro de R$ 350,00, o segundo de R$ 1.250,00 e o terceiro de R$ 2.700,00. Após essas operações depositei R$ 1.450,00. Qual o valor do meu saldo? Digita-se R$ 8.680,00 e armazena-se em STO 1. Acrescenta-se 350 CHS STO 1+, 1250 CHS STO 1+, 2700 CHS STO 1+ Em seguida, digita-se 1450 STO 1+, obtendo um saldo de R$ 5.830,00. Outra maneira: 8680 STO 1 350 CHS STO + 1, 1250 CHS STO + 1, 2700 CHS STO + 1, 1450 STO + 1, RCL 1 = 5.830 3) Dada a expressão 20 + 130 45 = 105. Resolva utilizando as teclas STO e RCL. 20 STO 130 STO 1 + 45 CHS STO 1 + = 105 ou 20 STO 130 STO + 1 45 CHS STO + 1 = 105
9 5 a ) X Y troca-se o número que está no registrador X pelo número que está no registrador Y (vice-versa). Por exemplo: Resolva: 40 10 = 4 HP 12 C 10 ENTER 40 X Y = 4 Exercício: Resolva as expressões utilizando a HP 12C: a) 54 + 13 = 67 b) 75 32 = 43 c) 2 + 5 + 7 = 14 d) 25 12 + 7 = 20 e) (4 + 8) 3 = 9 f) 3 x 5 = 15 g) 40 8 = 5 h) (45 9) x 2 + 5 = 15 i) [(302) + 3] {[(3x7)-9] - 6} = 3 j) {45 - [ 6 x (72 8)]} = -9 l) 6! 3 4 + Ln 5 = 640,609 m) 4x8! 7! 5! = 161.238 n) 4 x 10-7 + 5 x 10-4 = 0,005004 10- FUNÇÕES PERCENTUAIS Para resolver problemas que envolvam cálculos percentuais, a HP 12C apresenta as seguintes funções: 1 a ) () determina a percentagem no registrador X em cima do registrador Y. Exemplos: a) Calcule 25% de 340. b) Encontre 1,5% de 1460. c) Determine o resultado da expressão 458 20% de 458. d) Ao vender um produto obtive um lucro de R$ 890,00. Gastei 42%. d.1) Quanto gastei? d.2) Quanto sobrou?
10 a) 25% de 340 = 85 HP 12C: 340 ENTER 25% b) 1,5% de 1460 = 21,9 HP 12C: 1460 ENTER 1,5% c) 458 20% de 458 = 366,4 HP 12C: 458 ENTER 20% - d) d.1) 890 ENTER 42% = R$ 373,80 d.2) 890 ENTER 42% - = R$ 516,20 2 a ) (T) encontra quantos por cento do registrador X o registrador Y vale. Exemplos: 1) Um empresário obteve, nos quatro primeiros meses do ano, os seguintes lucros: R$ 250.000,00; R$ 280.000,00; R$ 320.000,00 e R$ 350.000,00. Encontre o crescimento percentual dos lucros, tendo como base o lucro do primeiro mês. a) HP 12 C 250000 ENTER 280000 T = 112% b) HP 12 C 250000 ENTER 320000 T = 128% c) HP 12 C 250000 ENTER 350000 T = 140% 2) Encontre quantos por cento R$ 150,00 representa em relação a R$ 500,00. HP 12 C 500 ENTER 150 T = 30% 3 a ) calcula a variação percentual existente entre os registradores Y e X, nesta ordem. Exemplos: 1) Duas famílias A e B paraenses gastaram no almoço do Círio de Nossa Senhora de Nazaré em 2011, as seguintes importâncias: R$ 360,00 e R$
11 400,00. Em 2012, utilizando os mesmos alimentos, gastaram R$ 410,00 e R$ 465,00, respectivamente. Pergunta-se: a) Qual a variação percentual de gasto da família A? b) Qual a variação percentual de gasto da família B? c) Qual foi a família que apresentou maior percentual de gasto? a) HP12 C360 ENTER 410 = 13,89% (410 é 13,89% maior que 360) b) HP 12 C400 ENTER 465 = 16,25%.(465 é 16,25% maior que 400) c) Família B. 2) Um Euro que valia R$ 2,45 passou a valer R$ 2,58. Encontre sua valorização. HP 12 C 2,45 ENTER 2,58 = 5,31% (a valorização foi de 5,31%) 3) Um imóvel cujo preço de mercado era de R$ 380.000,00, foi vendido por R$ 325.000,00. Determine sua desvalorização. HP 12 C 380000 ENTER 325000 = -14,47% (a desvalorização foi de 14,47%)
12 11- Aplicação da Hp 12c em Matemática Financeira A partir desse momento aplicaremos a HP 12C em alguns problemas que envolvam capitalização composta, para isso, temos que reconhecer os registradores de séries uniformes cujas variáveis são representadas pelas seguintes teclas: n (tempo), i (taxa de juro), PV (capital inicial, valor atual ou valor presente), PMT (termo de uma série prestação), FV (montante ou valor futuro) e CHS (troca o sinal). Veremos a utilização dessas teclas através dos exemplos abaixo: 1) Encontre o valor futuro (montante) de uma aplicação de R$ 52.600,00, após 3 anos, à taxa composta de 18% ao ano, com capitalização anual. - Inicialmente, devemos arrumar os dados da seguinte maneira: FV? PV 52.600,00 n 3 a i 18 % a. a. Nota: A taxa e o tempo coincidem com o período de capitalização (anual), logo, podemos introduzir na HP 12C os dados do problema e requerer a variável solicitada. HP 12C 52000 CHS PV, 3 n, 18 i, FV = 85.437,66.
13 Atenção: 1 a ) A unidade de alusão do período deve ser a mesma da taxa de juros. 2 a ) A taxa é utilizada na forma percentual. 3 a ) Pressiona-se CHS para obedecer a conversão de sinais do fluxo de caixa. 4 a ) O procedimento do exemplo 1 deve ser seguido para calcular qualquer um dos outros parâmetros (n, i ou PV). 5 a ) Se o período é fracionário, é imprescindível que a HP 12C apresente no visor a letra C (usa as teclas STO e EEX para colocar ou para retirar). 6 a m a ) Para utilizar a conversão exponencial b FV 1 i. 1 i, utiliza-se m a C e, para utilizar a conversão linear FV 1 i. 1. i, retira-se C. 2) Encontre o montante de uma aplicação R$ 60.000,00, durante 4 anos, a taxa composta de 30% ao ano, com capitalização mensal b FV? PV 60.000,00 n 4 4 g 12 x 48 m i 30 % a. a. 30 g 12 2,5 % a. a. Nota: A taxa e o tempo não coincidem com o período de capitalização (mensal), logo, antes de introduzir na HP 12C os dados do problema e requerer a variável solicitada, devemos transformar as unidades do tempo e da taxa para o período de capitalização (mensal) da seguinte maneira: introduz o número de anos e acione g 12(x) e introduz o valor da taxa e acione g 12(). HP 12C 60000 CHS PV, 4 g 12(x),30 g 12(), FV = 196.289,37
14 3) Um corretor de imóvel recebeu pelas venda de uma casa R$ 12.000,00. Aplicou 30% desse valor em uma instituição financeira, em regime de juros compostos, à taxa 0,8% ao mês, durante 2 anos. Sabendo que a capitalização é mensal, determine o montante dessa operação. FV? PV 30 % de n 2 a 2 g 12 i 0,8 % a. m. 12000 24 mx 4000 HP 12C 12000 ENTER 30% CHS PV, 2g 12x n, 0,8 i, VF = 4358,68 4) Um apostador ganhou, em determinado sorteio, a importância de R$ 340.000,00. Resolveu aplicar 75% dessa quantia, em regime composto, em um banco, durante 2 a e 4 m, a taxa de 12% ao ano, com capitalização trimestral. Encontre o montante dessa operação. FV? PV 75 % de 340000 1 n 2 a e 4 m 9 t t 3 i 12,% a. a. 3 % a. t. 255000 9,333 % a. t. * Como o tempo é fracionário (28/3), temos duas soluções possíveis: 1 a ) Conversão exponencial: Devemos acrescentar o indicador C no visor (STO e EEX). STO e EEX 340000 ENTER 75% CHS PV, 9,333 n, 3 i, FV = 336.008,29. 2 a ) Conversão linear: Devemos eliminar o indicador C no visor. STO e EEX STO e EEX 340000 ENTER 75% CHS PV, 9,333 n, 3 i, FV = 336.041,01
15 5) Aplicou-se um capital durante 6 meses, com capitalização semestral, à taxa de 24% ao ano, tendo produzido o montante de R$ 68.800,00. Encontre esse capital. FV 68800 PV? n 6 m 1s. i 24 % a. a. 4 % a. s. HP 12C 68800 CHS FV, 1n, 4i, PV = 66.153,95 6) Um empresário aplicou, em um banco, a importância de R$ 240.00,00 por 145 dias, a uma certa taxa, tendo o mesmo produzido o montante de R$ 264.000,00. Determine a taxa mensal da aplicação. FV 264000 PV 240000 n 145 d i? HP 12C 264.000,00 FV, 145 n, 240.00,00 CHS PV, i = 0,065%a.d. Transformando para mês através da calculadora: i m id (1 100 ) 30 1 100 i m 1 0,065 100 30 1 100 HP 12C i m = 0,065 ENTER 100 1 + 30 y x 1 100 = 1,992%a.m. Fórmulas i i d m 30 i m 1 1 100 100 id (1 100 ) 30 1 100 i d e i m taxas diária e mensal. Outra maneira de resolver Transformando dias pra mês: 145dias 30 = 4,833 meses HP 12C 264.000,00 FV, 4,833 n, 240.00,00 CHS PV, i = 1,992%a.d.
16 7) Adquiriu-se um título de renda por R$ 28.000,00, resgatando o mesmo, no vencimento, por R$ 32.000,00. Sabendo que a taxa utilizada foi de 1,75% ao mês, encontre o prazo, em meses, dessa transação. ìfv = 32000 ïpv = 28000 í ïn =? îï i =1, 75%a.m. Nota: ao calcular o período, a calculadora arredonda o resultado sempre pra mais. Para evitar erro maior devemos trabalhar com taxa diária. HP 12C 1,0175 ENTER 30 1/x y x, 32000 FV, 28000 CHS PV, n = 7,7 meses ou 7 m 21d. * Se utilizarmos taxa mensal, teremos o seguinte resultado: HP 12C 1,75 i, 32000 FV, 28000 CHS PV, n = 8 m Exercícios 1) Aplicou-se R$ 80.600,00, durante 2 anos, à taxa composta de 18% ao ano. Determine o valor futuro dessa aplicação. R) 112.227,44 2) Encontre o montante de uma aplicação de R$ 26.000,00, durante 2 anos, `a taxa de 24% ao ano, com capitalização: a) Anual. b) Semestral c) Trimestral d) mensal e) diária. R) a) 39.977,60 b) 40.911,50 c) 41.440,05 d) 41.819,37 e) 42.011,22 3) Um investidor aplicou um determinado capital durante 4 anos e 6 meses, `a taxa de 20% ao ano com capitalização trimestral. Determine esse capital sabendo que no final da transação obteve um montante de R$ 52.000,00. R) 21.607,07
17 4) Calcular o valor presente que, aplicado durante 9 meses, `a taxa de 18% ao ano com capitalização trimestral, produziu um montante de R$ 128.600,00. R) 112.691,74 5) Um empresário aplicou, em uma instituição financeira, R$ 240.000,00, durante 3 anos a uma certa taxa, tendo conseguido o montante de R$ 468.000,00. Determine a taxa mensal utilizada pela instituição. R) 1,87% a.m. 6) Um apostador ganhou num dos jogos da Caixa Econômica a importância de R$ 240.850,00. Aplicou 35% desse valor em uma instituição financeira, à taxa de 1,25% ao mês. Depois de certo tempo, obteve um montante de R$ 165.200,00. Determine esse prazo, em meses. R) 54m6d CAPITALIZACAO E AMOTIZACAO COMPOSTA - SÉRIES UNIFORMES A partir desse momento iremos utilizar a HP 12C nas séries uniformes. Essas séries estão relacionadas com planos de liquidação, onde as prestações são constantes. TIPOS DE SÉRIES UNIFORMES 1 a ) IMEDIATA POSTECIPADA: quando o vencimento da primeira prestação ocorre no fim do primeiro período. Fórmulas: Pv PMT. 1 i n i. 1 i n 1 Pv valor presente PMT valor da prestação n período i taxa unitária n 1 i 1 n i. 1 i Fator de Valor Atual
18 Fv PMT. 1 i i n 1 Fv valor futuro ( mon tan te ) PMT valor da prestação n período i taxa unitária n 1 i 1 i Fator de Acumulação de Capital Exemplos: 1) Uma concessionária vendo um carro em 10 prestações mensais e iguais de R$ 3.800,00, sendo o vencimento da primeira um mês após a compra. A loja utiliza taxa de 18% ao ano, capitalizada mensalmente. Em decorrência dessas informações, encontre o valor à vista do carro. ìpmt = 3800 ïpv =? í ïn =10m îï i =18%a.a =1.5%a.m. HP 12C g END, 10 n, 3800 CHS PMT, 1,5 i, Pv = 35.044,30 2) Um magazine vende certo produto por R$ 2.500,00 à vista. Se um comprador desejar adquirir a prazo, em 7 prestações mensais, sem entrada, a primeira um mês após a compra, quanto deverá pagar por mês se a taxa de juro da loja e de 24% ao ano, com capitalização mensal. PMT? PV 2500 n 7 m i 24 % a. a 24 g 12 ( ) 2 % a. m. HP 12C g END, 7 n, 2.500 CHS Pv, 2 i, PMT = 386.28 3) Um professor pensou em comprar certo produto em 15 prestações mensais de R$ 450,00 cada uma. Contudo, resolveu quitar toda divida de uma só vez no fim do 15 o mês. Sabendo que a primeira prestação vence um mês após a compra e que a taxa contratada foi de 36% ao ano, capitalizada
19 mensalmente, encontre o valor da dívida a ser paga no final do prazo pelo professor. ìpmt = 450 ïfv =? í ïn =15m îï i = 36%a.a 12 = 3%a.m. HP 12C g END, 15 n, 450 CHS PMT, 3 i, Fv = 8.369,51 4) Um celular foi adquirido em 10 prestações mensais de R$ 120,00 cada. Sabendo que a loja utilizou a taxa de 4% ao mês, calcule o valor à vista do celular, sabendo que a primeira prestação ocorreu 12 dias após a aquisição. 1) Calcula-se o valor presente utilizando a série imediata (postecipada). PMT 120 PV? n 10 m i 4 % a. m. HP 12C g END, 10 n, 120 CHS PMT, 4 i, PV = R$ 973,31 2) Acumulam-se juros de 18 dias. FV? PV 973,31 n 18 d / 30 i 4 % a. m. 0,6 m HP 12C f FIN, STO EEX, CHS PV, 0,6 n, 4 i, FV = R$ 996,67. Nesse caso, o valor futuro encontrado representa o valor presente final (PV = R$ 996,67). 5) Uma motocicleta foi adquirido por R$ 12.600,00, sendo 9 prestações mensais a uma taxa de 2% ao mês. Calcule o valor da prestação, sabendo que a primeira prestação ocorreu 39 dias após a aquisição.
20 1) Calcula-se os juros de 9 dias. FV? PV 12.600 n 9 dias 9 / 30 i 2 % a. m. 0,3 m HP 12C STO EEX, 12600 CHS PV, 0,3 n, 2 i, FV = R$ 12.675,60. 2) O valor 12.675,60 passa ser o valor presente (PV), sendo aplicado no modelo de uma série uniforme postecipada. (continuação) HP 12C f FIN, g END, CHS PV, 2i, 9 n, PMT = R$ 1.552,96. 6) Saulo depositou R$ 2.600,00 hoje, em um banco e mais R$ 1.200,00 no fim de cada mês a contar de hoje, durante 8 meses. Se o banco paga 1.5% ao mês, quanto terá Saulo no fim do prazo. PMT 1.200 PV 2.600 n 8 m i 1,5 % a. m. HP 1200C 1200 CHS PV, 2600 CHS PMT, 8 n, 1,5 i, g END FV= R$ 23.277,17. Exercícios 1) Um veículo pode ser comercializado em 36 prestações mensais de R$ 1.980,00 cada uma. Sabendo que a loja usa taxa de 1,45% ao mês, encontre o valor a vista do veículo, sendo a primeira prestação paga um mês após a compra. R) R$ 55.226,86 2) Um apartamento foi financiado em 360 prestações mensais iguais de R$ 2.500,00. Sabendo que a instituição financeira responsável pelo financiamento utiliza taxa de 1,3% ao mês, encontre o valor a vista do apartamento, sendo a primeira prestação paga 18 dias após a compra. R) R$ 191.455,23
21 3) Comprou-se um produto utilizando o seguinte plano: R$ 20.000,00 de entrada e o restante em 15 prestações mensais de R$ 550,00 cada, a primeira vencível de hoje a um mês. Sendo a taxa utilizada na transação de 3% ao mês, encontre o valor atual do produto. R) R$ 26.565,86. Nota: para encontrar o valor presente devemos aplicar a série imediata (postecipada) e, em seguida, somar com o valor da entrada. 4) O valor de um apartamento, hoje, é de R$ 680.000,00. Um comprador solicitou um prazo de 48 meses para a compra. Sabendo que a taxa utilizada é de 2% ao mês, pergunta-se: qual o valor da prestação? R) R$ 22.169,25. 5) Uma turma de Engenharia Civil, visando sua formatura, depositou R$ 10.000,00 hoje, numa instituição financeira e mais R$ 5.400,00 no fim de cada mês a contar de hoje, durante 12 meses. Se a instituição financeira paga juro de 1,5% ao mês, quanto terá a turma no fim do contrato. R) R$ 82.378,72 2 a ) IMEDIATA ANTECIPADA: quando o vencimento da primeira prestação ocorre no inicio do primeiro período. Fórmulas: Pv 1 i 1 PMT. n. 1 i. 1 i n i Pv valor presente ( valor PMT valor da prestação n período i taxa unitária n 1 i 1 n i. 1 i Fator de Valor atual Atual )
22 Fv 1 i 1 PMT.. 1 i n i Fv valor futuro ( mon tan te ) PMT valor da prestação n período i taxa unitária n 1 i 1 i Fator de Acumulação de Capital Exemplos: 1) Uma concessionária vendo um carro em 10 prestações mensais e iguais de R$ 3.800,00, sendo o vencimento da primeira no ato da compra. A loja utiliza taxa de 18% ao ano, capitalizada mensalmente. Em decorrência dessas informações, encontre o valor à vista do carro. ìpmt = 3800 ïpv =? í ïn =10m îï i =18%a.a =1.5%a.m. - Prepara-se a calculadora no modo BEGIN (g BEG) HP 12C g BEG, 10 n, 3800 CHS PMT, 1,5 i, Pv = R$ 35.569,97 2) Um magazine vende certo produto por R$ 2.500,00 à vista. Se um comprador desejar adquirir a prazo, em 7 prestações mensais, sem entrada, a primeira no ato da compra, quanto deverá pagar por mês se a taxa de juro da loja e de 24% ao ano, com capitalização mensal. PMT? PV 2500 n 7 m i 24 % a. a 24 g 12 ( ) 2 % a. m. HP 12C g BEG, 7 n, 2.500 CHS Pv, 2 i, PMT = R$ 378,71 3) Um professor pensou em comprar certo produto em 15 prestações mensais de R$ 450,00 cada uma. Contudo, resolveu quitar toda divida de uma só vez no fim do 15 o mês. Sabendo que a primeira prestação deve ser paga no ato
23 da compra e que a taxa contratada foi de 36% ao ano, capitalizada mensalmente, encontre o valor da dívida a ser paga no final do prazo pelo professor. ìpmt = 450 ïfv =? í ïn =15m îï i = 36%a.a 12 = 3%a.m. HP 12C g BEG, 15 n, 450 CHS PMT, 3 i, Fv = R$ 8.620,60 4) Um celular foi adquirido em 10 prestações mensais de R$ 120,00 cada. Sabendo que a loja utilizou a taxa de 4% ao mês, calcule o valor à vista do celular, sabendo que a primeira prestação vence hoje. PMT 120 PV? n 10 m i 4 % a. m. HP 12C g BEG, 10 n, 120 CHS PMT, 4 i, PV = R$ 1.012,24 5) Uma motocicleta foi adquirido por R$ 12.600,00, sendo 9 prestações mensais a uma taxa de 2% ao mês. Calcule o valor da prestação, sabendo que a primeira prestação foi paga no ato da compra. PMT? PV 12.600 n 9 m i 2 % a. m. HP 12C g BEG, 12600 CHS PV, 9 n, 2 i, FV = R$ 1.513,43. 6) Saulo depositou R$ 2.600,00 hoje, em um banco e mais R$ 1.200,00 no inicio de cada mês a contar de hoje, durante 8 meses. Se o banco paga 1.5% ao mês, quanto terá Saulo no fim do prazo.
24 PMT 1.200 PV 2.600 n 8 m i 1,5 % a. m. HP 12C g BEG 1200 CHS PV, 2600 CHS PMT, 8 n, 1,5 i, FV= 23.606,05. Exercícios 1) Um veículo pode ser comercializado em 36 prestações mensais de R$ 1.980,00 cada uma. Sabendo que a loja usa taxa de 1,45% ao mês, encontre o valor a vista do veículo, sendo dada como entrada a primeira prestação. R) R$ 56.027,65 2) Um apartamento foi financiado em 360 prestações mensais iguais de R$ 2.500,00. Sabendo que a instituição financeira responsável pelo financiamento utiliza taxa de 1,3% ao mês, encontre o valor a vista do apartamento, sendo a primeira prestação paga no ato da compra. R) R$ 192.944,72 3) Comprou-se um produto utilizando o seguinte plano: R$ 20.000,00 de entrada e o restante em 15 prestações mensais de R$ 550,00 cada, a primeira vencível no ato da compra. Sendo a taxa utilizada na transação de 3% ao mês, encontre o valor atual do produto. R) R$ 26.762,84. Nota: para encontrar o valor presente devemos aplicar a série imediata antecipada e, em seguida, somar com o valor da entrada. 4) O valor de um apartamento, hoje, é de R$ 680.000,00. Um comprador solicitou um prazo de 48 meses para a compra. Sabendo que a taxa utilizada é de 2% ao mês, pergunta-se: qual o valor da prestação? R) R$ 21.734,56. 5) Uma turma de Engenharia Civil, visando sua formatura, depositou R$ 10.000,00 hoje, numa instituição financeira e mais R$ 5.400,00 no inicio de cada mês a contar de hoje, durante 12 meses. Se a instituição financeira paga juro de 1,5% ao mês, quanto terá a turma no fim do contrato. R) R$ 81.478,88
25 3 a ) DIFERIDA: quando o vencimento da primeira prestação ocorre além do primeiro período. Pv PMT n 1 i. i. 1 i 1 n m Pv valor presente PMT valor da prestação n período i taxa unitária m diferiment o Fv PMT. 1 i i n 1 Fv valor futuro ( mon tan te ) PMT valor da prestação n período i taxa unitária Obs: o prazo de diferimento não influencia no cálculo do montante. Exemplos: 1) Um professor comprou um computador em uma loja especializada em 10 prestações mensais de R$ 100,00 cada uma, sendo a primeira prestação paga 4 meses após a compra. Por ser compra a prazo, a loja cobra taxa de 36% ao ano capitalizada mensalmente. Encontre o valor à vista do computador. 0 1 2 3 4 5... 10 m 100 100 100 PMT 100 PV? n 10 m i 36 % a. a. 36 / 12 m 4 1 3 ( diferiment 3 % a. m. o ) 1) Inicialmente, calcula-se o valor presente de uma renda imediata postecipada. HP 12C g END 100 CHS PMT, 10 n, 3 i, VP = R$ 853,02.
26 2) Agora, utiliza-se o diferimento (m = 3 meses), sendo que o valor presente encontrado passa a ser o valor futuro, onde o período é o valor do diferimento. HP 12C f FIN CHS FV, 3 I, 3 n, PV = 780,63 2) O gerente de um banco liberou um empréstimo para um cliente no valor de R$ 58.000,00 para ser quitado da seguinte maneira: 15 prestações mensais, sendo a primeira vencível de hoje a 3 meses. Sabendo que a taxa de juro cobrada pelo banco é de 2% ao mês, encontre o valor da prestação. PMT? PV 58000 n 15 m i m 2 % a. m. 3 1 2 ( diferiment o ) 0 1 2 3 4 5... 15 m PMT PMT PMT PMT 1) Inicialmente, utiliza-se o diferimento (m = 2 meses), para encontrar o valor futuro. HP 12C g END 58000 CHS PV, 2 n, 2 i, FV = R$ 60.343,20. 2) O valor futuro encontrado (60.343,20) passa ser o valor presente de uma renda imediata. HP 12C f FIN CHS PV, 2 i, 15 n, PMT = R$ 4.696,24 3) Um empresário deve os seguintes títulos: R$ 20.000,00 com vencimento hoje, R$ 32.000,00 com vencimento para 35 dias, R$ 28.000,00 com vencimento para 52 dias e R$ 38.000,00 com vencimento para 75 dias. Resolveu liquidar a dívida de uma só vez hoje. Sabendo que a taxa utilizada foi de 3% ao mês, encontre o valor da dívida.
27 Como esse problema não está relacionado às séries uniformes, devemos recorrer as seguintes teclas: g CF 0 registra o valor vencível hoje. g CF j registra os valores vencíveis em época futuras. g CF j registra o número de vezes que um valor se repete periodicamente. 20000 g CF 0, (0) g CF j, 34 g N j (registra 0, que se repete 34 dias 1 até 35) 32000 g CF j, (0) g CF j, 16 g N j (registra 0, que se repete 16 dias35 até 51) 28000 g CF j, (0) g CF j, 21 g N j (registra 0, que se repete 21 dias53 até 74) 38000 g CF j (registra o valor na época 75) Calcula-se a taxa diária equivalente a 3% ao mês. 1,03 ENTER 30 1/x y x 1 100 x, i, f NPV (valor presente líquido) = R$ 112.844,78 UTILIZAÇÃO DE DATAS - Para utilizar datas devemos empregar as seguintes teclas: 1) g (D.MY) Leva a HP 12C a trabalhar em dia. MêsAno (adotada no Brasil). 2) g (M.DY) Leva a HP 12C a trabalhar em Mês.DiaAno. 3) g (ADYS) Leva a HP 12C a calcular o número de dias entre duas datas. 4) g (DATE) Leva a HP 12C a somar ou subtrair um n o de dias a uma data. Obs.: O calendário que a HP 12C fornece atua entre 15/10/1952 a 25/11/4046. Exemplo: 1) Colocar na HP 12C a data 5 de abril de 1952. a) Utilize 6 casas decimais.
28 b) Pressiona g (D.MY). c) Pressione o número de dias com 2 dígitos. Por exemplo: 05 dias. d) Pressione a tecla.. e) Pressione o mês (2 dígitos) seguido do ano (4 dígitos). HP 12C g (D.MY) 5. 041952 2) Encontre o número de dias entre 20/06/1980 e 10/10/1988. HP 12C g (D.MY) 05. 041952 ENTER g DYS (3.034 d) 3) Uma pessoa nasceu em 12/08/1958. Quantos dias de vida ela possui hoje? HP 12C g (D.MY) 12. 081958 ENTER 20/01/2013 g DYS (19.885 d) 3) Adicionar 15 dias à data 22 de abril de 2010. HP 12C g (D.MY) 22. 042010 ENTER 15 g DATE (07/05/2010 [5] sexta) 4) Um empresário deveria ter pago uma promissória em 12/06/2012. Entretanto, por algum motivo, resolveu pagar com atraso em 25/08/2012. Quantos dias de atraso ele quitou o documento? HP 12C g (D.MY) 12. 062012 ENTER 25. 082012 g DYS (74 d.) 5) Paulo nasceu em 05/04/1952. Encontre o dia da semana que ele nasceu. HP 12C 05. 041952 ENTER [0] g DATE (05.04.1952 [6] sábado) 6) Saulo fez uma dívida em 25/05/2010, cujo vencimento está previsto para daqui a 84 dias. Quando será o resgate dessa dívida? HP 12C 25. 052010 ENTER [84] g DATE (17/08/2010 [2] terça) 7) Uma operação financeira aconteceu no período de 02/07/2012 a 30/11/2012. Encontre o prazo, em dias corridos, dessa operação. HP 12C g (D.MY) 02. 072012 ENTER 30. 112012 g DYS (151 d.) 8) Uma dívida feita em 18/01/2012 teve prazo de 72 dias corridos. Encontre a data de seu vencimento. HP 12C 18. 012012 ENTER [72] g DATE (30/03/2012 [5] sexta)
29 12- Cálculos Estatísticos Antes de iniciar cálculos estatísticos, deve-se pressionar f para limpar os registradores estatísticos. Em seguida, introduzimos na HP 12C os dados do problema usando a tecla + onde, essa tecla automaticamente calcula estatísticas desses dados armazenado-os nas memórias de 1 a 6. Por exemplo: - Um cliente, solicita a um banco, um extrato de sua movimentação financeira durante o mês de abril de 2010. A instituição libera o seguinte documento: PRERÍODO HISTÓRICO VALOR SALDO N 0 DIAS 01/04 a 05/04 Saldo - 380,00 (C) 5 06/01 Depósito 140,00 520,00 (C) - 06/01 a 18/01 Saldo - 520,00 (C) 13 19/01 Depósito 100,00 620,00 (C) - 19/01 a 24/01 Saldo - 620,00 (C) 6 25/01 Cheque comp. 160,00 460,00 (C) - 25/01 a 28/01 Saldo - 460,00 (C) 4 29/01 Débito aut. 145,00 315,00 (C) - 29/01 a 30/01 Saldo - 315,00 (C) 2 O cliente, de posse do documento, solicita ao banco o seu saldo médio referente a esse mês. Então, qual a resposta do banco? HP 12C f 380 ENTER 5 + (1), 520 ENTER 13 + (2), 620 ENTER 6 + (3), 460 ENTER 6 + (4), 315 ENTER 2 + (5), RCL (6) solicita a soma de todos os produtos. Divide sempre por 30 dias. R) Saldo médio = R$ 495,00. Conclusão: Caros estudantes, chegamos ao final do nosso curso sobre Calculadora HP 12C. Esperamos que os objetivos desse curso tenham sido alcançados por vocês. É importante lembrar que o aprendizado sobre HP 12C será de grande importância tanto para seus estudos, como para o seu cotidiano.
30 Queremos, nesse momento, agradecer o esforço de todos para que o aprendizado sobre HP 12C fluísse normalmente. Caríssimos discentes, apesar do término do curso, estaremos sempre à disposição de vocês. Desejamos muito sucesso na continuidade acadêmica. Anicio Bechara Arero. BIBLIOGRAFIA CONSULTADA - ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2002. - Ayres, Jr., Frank. Matemática Financeira. McGraw-Hill do Brasil Ltda, 1972, Brasil - Crespo, Antonio Arnot. Matemática Comercial Financeira Fácil. Ed. Saraiva, 2002. http://www.infinitaweb.com.br - J MATHIAS, Washington F. GOMES, José M. Matemática Financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1996. - PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. 7ª Ed. São Paulo: Saraiva, 2006 osé Dutra. Matemática Financeira. 7ª ed. São Paulo: Atlas, 2006.