Prismas, Cubos e Paralelepípedos - 1. (Unesp 015) Uma chapa retangular de alumínio, de espessura desprezível, possui 1 metros de largura e comprimento desconhecido (figura 1). Para a fabricação de uma canaleta vazada de altura x metros são feitas duas dobras, ao longo do comprimento da chapa (figura ). Se a área da secção transversal (retângulo ABCD) da canaleta fabricada é igual a então, a altura dessa canaleta, em metros, é igual a a),5. b),75. c),50. d),50. e),00. 18 m,. (Unisc 015) Um reservatório cúbico de 60 cm de profundidade está com 1 de água e precisa ser totalmente esvaziado. O volume de água a ser retirado desse reservatório é de a) 7, litros. b) 7 litros. c) 1,6 litros. d) 16 litros. e) 5 litros. www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 14
. (Uepa 015) Otimização é uma área do conhecimento que se nutre das ciências exatas para solucionar problemas práticos e efetivos independentemente do contexto onde surgem. As indústrias buscam sistematicamente otimizar o processo fabril visando minimizar o desperdício de material e, em decorrência disso, reduzir custos e ofertar produtos com qualidade a preços menores. Nesse sentido, uma empresa pretende cortar, nos cantos de uma folha de papelão, quadrados de lado x cm, de modo que o volume da caixa aberta seja máximo, conforme a figura abaixo. Nessas condições, e sabendo que a medida do lado do quadrado a ser cortado corresponde a uma das raízes da equação 1x 8 Lx L 0 o volume máximo dessa caixa será obtido quando o lado do quadrado a ser cortado nos cantos da folha de papelão medir: a) L cm 6 b) L cm 5 c) L cm 4 d) L cm e) L cm 4. (Cefet MG 015) Uma caixa sem tampa no formato de um cubo, cuja aresta mede metros, está sobre uma superfície plana e com água até uma altura de metros em relação à sua base, conforme mostra a FIG. 1. A caixa será inclinada de tal forma que a aresta AB ficará totalmente em contato com a superfície plana e haverá perda no volume de água, conforme a FIG.. Sabendo-se que o ângulo formado, após a inclinação, entre a face ABCD e a superfície plana é de 0 e, desprezando-se a espessura das faces da caixa, a quantidade de água que sobrará na caixa, em m, é de a) 9. b) 18. c) 4. d) 9. e) 17. 4 www.nsaulasparticulares.com.br Página de 14
5. (Imed 015) Após a limpeza de um aquário, que tem o formato de um paralelepípedo, com dimensões internas de 1,0 m de comprimento, 1m de largura e 50 cm de profundidade, constatou-se que o nível da água atingiu 80% de sua altura máxima. Nessa situação, a quantidade de água que falta para encher completamente o aquário, em litros, corresponde a: a) 80. b) 100. c) 10. d) 40. e) 480. 6. (Enem PPL 014) A caixa-d'água de uma casa tem a forma de um paralelepípedo retoretângulo e possui dimensões externas (comprimento, largura e altura) de, respectivamente, 4,0 m,,0 m e,5 m. É necessária a impermeabilização de todas as faces externas dessa caixa, incluindo a tampa. O fornecedor do impermeabilizante informou ao dono da casa que seu produto é fornecido em galões, de capacidade igual a 4,0 litros. Informou, ainda, que cada litro impermeabiliza uma área de 17.700 cm e são necessárias demãos de produto para garantir um bom resultado. Com essas informações, para obter um bom resultado no trabalho de impermeabilização, o dono da casa precisará comprar um número mínimo de galões para a execução desse serviço igual a a) 9. b) 1. c) 19. d) 5. e) 45. 7. (Uepa 014) A natureza é uma fonte inesgotável de comunicação de saberes necessários à sobrevivência da espécie humana, por exemplo, estudos de apicultores americanos comprovam que as abelhas constituem uma sociedade organizada e que elas sabem qual o formato do alvéolo que comporta a maior quantidade de mel. Texto Adaptado: Contador, Paulo Roberto Martins. A Matemática na arte e na vida ª Ed. rev. São Paulo: Editora Livraria da Física, 011. Um professor de matemática, durante uma aula de geometria, apresentou aos alunos pedaços de cartolina, cada um medindo 6 cm de largura e 1 cm de comprimento, divididos em partes iguais, conforme figuras abaixo: Dobrando os pedaços de cartolina nas posições indicadas, obtemos representações de prismas retos com as mesmas áreas laterais e base triangular, quadrangular e hexagonal. Sendo V o volume do prisma de base triangular, V 4 o volume do prisma de base quadrangular e V 6 o volume do prisma de base hexagonal, é correto afirmar que: www.nsaulasparticulares.com.br Página de 14
Adote: 1,7. a) b) c) 6 4 V V V. 4 6 V V V. 4 6 V V V. 6 4 d) V V V. 6 4 e) V V V. 8. (Enem 014) Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, tem as dimensões, em centímetros, mostradas na figura. Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e volume, de tal modo que as dimensões de sua base sejam 5% maiores que as da lata atual. Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em a) 14,4% b) 0% c),0% d) 6,0% e) 64,0% 9. (Enem 014) Um fazendeiro tem um depósito para armazenar leite formado por duas partes cúbicas que se comunicam, como indicado na figura. A aresta da parte cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da medida da aresta da parte cúbica de cima. A torneira utilizada para encher o depósito tem vazão constante e levou 8 minutos para encher metade da parte de baixo. Quantos minutos essa torneira levará para encher completamente o restante do depósito? a) 8. b) 10. c) 16. d) 18. e) 4. www.nsaulasparticulares.com.br Página 4 de 14
10. (Ufg 014) O projeto Icedream é uma iniciativa que tem como meta levar um iceberg das regiões geladas para abastecer a sede de países áridos. A ideia do projeto é amarrar a um iceberg tabular uma cinta e rebocá-lo com um navio. A figura a seguir representa a forma que o iceberg tem no momento em que é amarrada à cinta para rebocá-lo. Considerando que o iceberg é formado somente por água potável e que, após o deslocamento, 10% do volume do bloco foi perdido, determine qual a quantidade de água obtida transportando-se um iceberg com as dimensões, em metros, indicadas na figura apresentada. 11. (Enem PPL 014) Uma fábrica de rapadura vende seus produtos empacotados em uma caixa com as seguintes dimensões: 5 cm de comprimento; 10 cm de altura e 15 cm de profundidade. O lote mínimo de rapaduras vendido pela fábrica é um agrupamento de 15 caixas dispostas conforme a figura. Qual é o volume do lote mínimo comercializado pela fábrica de rapaduras? a).750 cm b) c) d) e) 18.750 cm 9.750 cm 468.750 cm.4.750 cm www.nsaulasparticulares.com.br Página 5 de 14
1. (Espm 014) No sólido representado abaixo, sabe-se que as faces ABCD e BCFE são retângulos de áreas 6cm e 10cm, respectivamente. O volume desse sólido é de: a) 8 cm b) 10 cm c) 1 cm d) 16 cm e) 4 cm 1. (Enem PPL 014) Um agricultor possui em sua fazenda um silo para armazenar sua produção de milho. O silo, que na época da colheita é utilizado em sua capacidade máxima, tem a forma de um paralelepípedo retângulo reto, com os lados da base medindo L metros e altura igual a h metros. O agricultor deseja duplicar a sua produção para o próximo ano e, para isso, irá comprar um novo silo, no mesmo formato e com o dobro da capacidade do atual. O fornecedor de silos enviou uma lista com os tipos disponíveis e cujas dimensões são apresentadas na tabela: Tipo de silo Lado Altura (em metros) (em metros) I L h II L h III L h IV 4L h V L 4h Para atender às suas necessidades, o agricultor deverá escolher o silo de tipo a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. 14. (Acafe 014) Num reservatório com a forma de um paralelepípedo reto retângulo, de 1 metro de comprimento, metros de largura e 5 metros de altura, solta-se um bloco de concreto. O nível da água que estava com 60% da altura do reservatório eleva-se até 4 da altura. O volume de água deslocado (em litros) foi de: a) 4500. b) 1500. c) 5500. d) 6000. www.nsaulasparticulares.com.br Página 6 de 14
15. (Enem PPL 014) Uma pessoa comprou um aquário em forma de um paralelepípedo retângulo reto, com 40 cm de comprimento, 15 cm de largura e 0 cm de altura. Chegando em casa, colocou no aquário uma quantidade de água igual à metade de sua capacidade. A seguir, para enfeitá-lo, irá colocar pedrinhas coloridas, de volume igual a 50 cm cada, que ficarão totalmente submersas no aquário. Após a colocação das pedrinhas, o nível da água deverá ficar a 6 cm do topo do aquário. O número de pedrinhas a serem colocadas deve ser igual a a) 48. b) 7. c) 84. d) 10. e) 168. 16. (Ucs 014) O volume de um prisma reto, cuja base é um retângulo com lados de medidas 4m e 6 m, é igual a 10 m. Qual será o volume, em m, do prisma reto que tem como base o polígono com vértices nos pontos médios da base do prisma anterior e que tem o triplo da altura do prisma anterior? a) 0 b) 60 c) 10 d) 180 e) 00 17. (Enem 014) Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá-la no solo, compactá-la e protegê-la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais comuns são os horizontais, cuja forma é a de um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado na figura. Considere um silo de m de altura, 6m de largura de topo e 0m de comprimento. Para cada metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5m a mais do que a largura do fundo. Após a silagem, 1 tonelada de forragem ocupa m desse tipo de silo. EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: www.cnpgc.embrapa.br. Acesso em: 1 ago. 01 (adaptado). Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, é a) 110. b) 15. c) 10. d) 0. e) 60. www.nsaulasparticulares.com.br Página 7 de 14
18. (Enem 014) O condomínio de um edifício permite que cada proprietário de apartamento construa um armário em sua vaga de garagem. O projeto da garagem, na escala 1:100, foi disponibilizado aos interessados já com as especificações das dimensões do armário, que deveria ter o formato de um paralelepípedo retângulo reto, com dimensões, no projeto, iguais a cm, 1cm e cm. O volume real do armário, em centímetros cúbicos, será a) 6. b) 600. c) 6.000. d) 60.000. e) 6.000.000. 19. (Upe 014) Como atividade recreativa, o professor Leocádio propôs que seu aluno Klécio montasse novas peças a partir da representada abaixo, mudando a posição de, apenas, um cubo. Dentre as peças representadas abaixo, assinale a que não pode ter sido confeccionada por Klécio. a) b) c) d) e) www.nsaulasparticulares.com.br Página 8 de 14
0. (Enem PPL 014) Um lojista adquiriu novas embalagens para presentes que serão distribuídas aos seus clientes. As embalagens foram entregues para serem montadas e têm forma dada pela figura. Após montadas, as embalagens formarão um sólido com quantas arestas? a) 10 b) 1 c) 14 d) 15 e) 16 1. (Fgv 014) Uma piscina vazia, com formato de paralelepípedo reto retângulo, tem comprimento de 10m, largura igual a 5m e altura de m. Ela é preenchida com água a uma vazão de 5.000 litros por hora. Após três horas e meia do início do preenchimento, a altura da água na piscina atingiu: a) 5cm b) 7,5cm c) 0 cm d),5 cm e) 5 cm. (Uem 01) Considere dois prismas retos de mesma altura, h 6cm, e com bases sendo hexágonos regulares, de modo que um seja inscrito no outro. Os vértices do prisma inscrito são os pontos médios das arestas das bases do outro prisma, e as arestas da base do prisma inscrito medem cm. Com relação a esses prismas, assinale o que for correto. 01) As arestas das bases do prisma maior medem 4 cm. 0) A área lateral do prisma maior mede 48 cm. 04) O volume do prisma menor é 6 cm. 08) A diferença entre os volumes dos prismas é de 1 cm. 16) O quociente entre os volumes do prisma maior e do menor é 4.. (Fgv 01) Um prisma reto de base triangular tem área de uma face lateral igual a 0 cm. Se o plano que contém essa face dista 6 cm da aresta oposta a ela, o volume desse prisma, em cm, é igual a a) 18. b) 6. c) 48. d) 54. e) 60. www.nsaulasparticulares.com.br Página 9 de 14
Gabarito: Resposta da questão 1: [E] Sabendo que (1 x) x 18 m, vem x 6x 9 0 (x ) 0 x m. Resposta da questão : [B] O volume de água no reservatório é igual a 1 1 60 16000 7000cm 7dm 7 L. Resposta da questão : [A] O volume da caixa é dado por V (L x) x. Resolvendo a equação 1x 8Lx L 0, obtemos ( 8L) ( 8L) 4 1 L 8L 4L x x 1 4 L L x ou x. 6 Portanto, como V 0 para L x cm, só pode ser L x cm. 6 Resposta da questão 4: [D] Considere a vista frontal, em que o ponto E é tal que DE é paralelo à superfície plana na qual a caixa está apoiada. O volume de água que sobra na caixa corresponde ao volume do prisma triangular reto cuja base é o triângulo retângulo de catetos AE e AD, e cuja altura é igual à aresta do cubo. Portanto, a resposta é 1 9 AD tg0 m. www.nsaulasparticulares.com.br Página 10 de 14
Resposta da questão 5: [C] Sendo a profundidade igual a altura máxima do aquário, o nível total preenchido de água foi: 0,5 80% 0,40 m, ou seja, restam apenas 0,10 m 10 cm não preenchidos. Calculando-se o volume do espaço a ser preenchido de água, tem-se: 0,1 11,0 0,1 m Sendo 1m 1000 L, então Resposta da questão 6: [D] 0,1 m 10 L. A área que deverá ser impermeabilizada corresponde a (4 4,5,5) 59 m 590.000cm. Portanto, o número mínimo de galões para a execução do serviço é igual a 590000 5. 4 17700 Resposta da questão 7: [B] Tem-se que 4 V 6 40,8cm, 4 e V6 6 61,cm. Portanto, conclui-se que V V4 V 6. Resposta da questão 8: [D] Se H é a altura da lata atual, então seu volume é igual a 4 Hcm. Agora, sabendo que as dimensões da nova lata são 5% maiores que as da lata atual, e sendo h a altura da nova 5 16 lata, temos 4 h 4 H h H h 64% H, isto é, a altura da lata atual deve 4 5 ser reduzida em 100% 64% 6%. www.nsaulasparticulares.com.br Página 11 de 14
Resposta da questão 9: [B] Sendo a medida da aresta da parte cúbica de cima, tem-se que a aresta da parte cúbica de baixo mede. ( ) Por conseguinte, se a torneira levou 8 minutos para despejar 4 unidades de volume, 4 então ela levará 8 10 minutos para encher completamente o restante do depósito. 4 Resposta da questão 10: A quantidade de água obtida é dada por 56 16 0,9 1 18 56 (5 18) 1 4.105,6 m. Resposta da questão 11: [D] O volume pedido é dado por Resposta da questão 1: [C] Temos (ABCD) AB BC AB 6 e AB cm (BCFE) BC BE BE 10 BE 5cm. 15 5 10 15 468.750cm. Logo, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABE, obtemos AE 4cm. Por conseguinte, o resultado pedido é AB AE 4 BC 1cm. Resposta da questão 1: [A] O volume do silo que o agricultor possui é igual a deverá ter volume igual a L h m. L h m. Desse modo, o silo a ser comprado Portanto, dentre as opções apresentadas pelo fornecedor, a única que apresenta a capacidade desejada é o silo I. www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 14
Resposta da questão 14: [B] Como 0,75, segue-se que o resultado pedido é 4 1 5 (0,75 0,6) 1,5 m 1500 L. Resposta da questão 15: [A] Lembrando que o volume de líquido deslocado é igual ao volume do corpo submerso, segue que o número de pedrinhas a serem colocadas deve ser igual a 40 15 (10 6) 48. 50 Resposta da questão 16: [D] Seja h a altura do prisma retangular. Desde que 4 6h 10, e sabendo que o polígono com vértices nos pontos médios dos lados do retângulo é um losango, concluímos que o resultado é igual 4 6 h 10 180 m. Resposta da questão 17: [A] Como h m, segue-se que b 6 0,5 5 m. Logo, segue que o volume total do silo é 6 5 igual a 0 0 m. Em consequência, sabendo que 1 tonelada de forragem ocupa m, podemos concluir que o resultado pedido é 0 110 toneladas. Resposta da questão 18: [E] Seja V o volume real do armário. O volume do armário, no projeto, é 6 1 V 6.000.000cm. V 100 Resposta da questão 19: [D] 1 6cm. Logo, temos A única peça que não pode ser obtida por meio do deslocamento de apenas um cubo é a da alternativa [D]. Resposta da questão 0: [D] O sólido formado será um prisma pentagonal. Logo, o número de arestas é igual a 5 15. www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 14
Resposta da questão 1: [E] O volume de água despejado na piscina após três horas e meia é igual a,5 5000 17.500 litros. Portanto, a altura h atingida pela água é tal que 10 5 h 17,5 h 0,5 m 5cm. Resposta da questão : 01 + 0 + 08 = 11. [01] Correto. Seja a medida do lado do hexágono maior. Sabendo que os ângulos internos de um hexágono regular medem 10, pela Lei dos Cossenos, vem 1 cos10 4 4 4 16 4 cm. [0] Correto. A área lateral do prisma maior mede 4 6 h 6 6 48 cm. [04] Incorreto. O volume do prisma menor é dado por 6 6 6 cm cm. [08] Correto. O volume do prisma maior é igual a 4 6 48 cm. Portanto, a diferença entre os volumes dos prismas é 48 6 1 cm. [16] Incorreto. De [04] e [08], vem 48 4 4. 6 Resposta da questão : [E] Sejam h e, respectivamente, uma aresta lateral e uma aresta da base, de tal modo que h 0cm, conforme o enunciado. Sabendo que a distância do plano que contém essa face até a aresta oposta é igual a 6cm, segue-se que essa distância corresponde à altura do triângulo que é base do prisma. Portanto, o resultado pedido é igual a 6 h h 0 60cm. www.nsaulasparticulares.com.br Página 14 de 14