EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES ALVARO A. F. SOUZA

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES ALVARO A. F. SOUZA

RAIZES Necessidade de determinar um número E tal que f( )=0 Equações Algébricas de 1º,2º,algumas de 3º,4º graus e algumas transcendentes podem ter suas raízes computadas através de métodos analíticos. Polinômio de grau superior a 4 e a maioria das equações transcendentes só podem ser resolvidas por métodos que aproximam a solução. Método não fornece raízes exatas, mas sim uma aproximação de uma exatidão requerida desde que certas condições sobre f sejam satisfeitas.

RAIZES Para se calcular raízes duas etapas devem ser seguidas: Isolar a raiz, achar um intervalo [a,b], menor possível que contenha somente uma raiz da equação f(x)=0; Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até o grau de exatidão requerido;

ISOLAMENTO DE RAIZES Se uma função contínua f(x) assume valores de sinais opostos nos extremos do intervalo [a,b], isto é, f(a).f(b)<0, então o intervalo conterá no mínimo uma raiz da equação f(x)=0.

RAÍZES ÚNICAS A raíz de uma função em um intervalo será única se a derivada f (x)>0 ou f (x)<0 para a<x<b.

COROLÁRIO Uma equação algébrica de grau ímpar com coeficientes reais, tem no mínimo, uma raiz real.

VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO Dado um polinômio P(x), um problema que se coloca é o de calcular o valor de P(x) para x=x 0, ou seja, P(x 0 ). Este problema aparece, por exemplo, quando se quer isolar uma raiz.

VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO Para calcular P(x 0 ), sendo P(x) dado pelo primeiro membro do polinômio abaixo, é necessário fazer n(n+1)/2 multiplicações e n adições. Se o grau do polinômio for elevado(digamos n 20), o cálculo de P(x 0 ), além de se tornar muito laborioso, isto é, também, ineficiente em termos computacionais.

AVALIANDO P(x) = 3x +2x -10x +2x -15x -3x⁴+2x³-16x²+3x-5 no ponto 2, tem-se: P(2) = 3.2 +2.2-10.2 +2.2-15.2-3.2 +2.2³-16.2²+3.2-5 =3.512+2.256-10.128+2.64-15.32-3.16+2.8-16.4+3.2-5 =321 Número de operações requeridas: Multiplicações =9.(9+1)/2=45 Adições = 9

MÉTODO DE BRIOT-RUFFINI

DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT-RUFFINI O dispositivo de Briot-Ruffini necessita apenas de n multiplicações e n adições para um polinômio de grau n, diferente do método de divisão de polinômio que necessita de n(n+1)/2 multiplicações e n adições. a n a n-1 a n-2... a 1 a 0 c cb n +cb n-1... cb 2 +cb 1 b n b n-1 b n-2... b 1 b 0 = r

DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT-RUFFINI Dado P(x) = x³-7x²+16x-10 1-7 16-10 2 +2-10 +12 1-5 6 2 1-7 16-10 -3-3 +30-138 1-10 46-148 P(2) = 2 P(-3)= -148

DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT-RUFFINI Dado P(x) = x³-7x²+16x-10 P(1) = 0 1-7 16-10 1 +1-6 +10 1-6 10 0

ALGORITMO DE HORNER Assim como o dispositivo de Briot-Ruffini, o algoritmo de Horner necessita apenas de n multiplicações e n adições para um polinômio de grau n, diferente do método de divisão de polinômio que necessita de n(n+1)/2 multiplicações e n adições.

ALGORITMO DE HORNER O algoritmo de Horner consistem em reescrever o polinômio de forma a evitar potências.

ALGORITMO DE HORNER EXEMPLO

ALGORITMO DE HORNER EXEMPLO P(x)= Multiplicações = 9 Adições = 9

ALGORITMO DE HORNER IMPLEMENTAÇÃO Algoritmo de Horner { Objetivo: Avaliar um polinômio de grau n no ponto a } Parâmetros de entrada n, c, a { grau, coeficientes e ponto a ser avaliado, onde c é tal que } { P(x)=c(1)x n +c(2)x n-1 +...+c(n)x+c(n+1) } Parâmetros de saída y { ordenada P(a) } y<-- c(1) Para i<-- 2 até n+1 faça y<-- y*a+c(i) Fim para Fim algoritmo

OS LIMITES DAS RAÍZES REAIS - TEOREMA DE LAGRANGE Dado o seguinte polinômio (Teorema de Lagrange): Sejam a n >0, a 0 0 e k(0 k n-1) o maior índice dos coeficientes negativos do polinômio P(x). Então o limite superior das raízes positivas de um Polinômio pode ser dado por: Onde B é o máximo dos módulos dos coeficientes do polinômio ou B é o valor absoluto do maior coeficiente negativo em módulo.

EXEMPLO TEOREMA DE LAGRANGE

DEFININDO OS OUTROS LIMITES DAS RAÍZES Para determinar os limites superiores e inferiores das raízes positivas e negativas, são necessárias três equações auxiliares P 1 (x) = x n P(1/x) = 0, P 2 (x) = P(-x) = 0 e p 3 (x) = x n P(-1/x) = 0. Sendo i, i=0,1,2,...,n as raízes de P(x) = 0, então P(x) na forma fatorada é: P(x) = c n (x- 1 )(x- 2 )...(x- n ).

DEFININDO OS OUTROS LIMITES DAS RAÍZES Desse modo teremos, P 1 (x) = c n x n (1/x- 1 )(1/x- 2 )...(1/x- n ), P 1 (x) = c n (1-x 1 )(1-x 2 )...(1-x n ), cujas raízes são 1/ 1, 1/ 2,,1/ n. Similarmente, P 2 (x) = c n (-x- 1 )(-x- 2 )...(-x- n ), com raízes - 1, - 2,, - n, e P 3 (x) = c n x n (-1/x- 1 )(-1/x- 2 )...(-1/x- n ), P 3 (x) = c n (-1-x 1 )(-1-x 2 )...(-1-x n ), sendo as raízes -1/ 1, -1/ 2,,-1/ n.

LIMITES INFERIORES E SUPERIORES Se 1/ q L 1 --> q 1/L 1 => 1/L 1 + L Se - r L 2 --> r -L 2 e Se -1/ s L 3 --> s -1/L 3 => -L 2 - -1/L 3 - -L 2-1/L 3 Limites negativos + 1/L 1 L Limites positivos

NOMENCLATURA k é o índice do primeiro coeficiente negativo n é o grau do polinômio B é o valor absoluto do maior coeficiente negativo em módulo L i é o limite superior das raízes positivas de P i (x)=0 dado pelo teorema de Lagrange L são os limites superiores e inferiores das raízes positivas e negativas de P(x)=0, sendo L (P) = L, L (P1) =1/L 1,L (P2) = -L 2, L (P3) =-1/L 3.

EXEMPLO P(x)=x⁴+2x³-13x²-14x+24 = 0 L=4,74 -L 2-1/L 3 1/L 1 L

EXEMPLO

NÚMERO DE RAÍZES REAIS A regra de sinais de Descartes é uma maneira simples para determinar o número de raízes reais de uma operação algébrica. Sabendo-se os limites e o número das raízes reais, a tarefa de isolar esas raízes ficará grandemente facilitada.

REGRA DE SINAIS DE DESCARTES O número de raízes reais positivas n + de P(x)=0 é igual ao número de variações de sinais na sequência dos coeficientes ou é menor que este número por um inteiro par, sendo as raízes contadas de acordo com a sua multiplicidade e não sendo considerados os coeficientes nulos. Corolário: Se P(x)=0 não possuir coeficientes nulos, então o número de raízes reais negativas n - (contando multiplicidades) é igual ao número de permanências de sinais na sequência ou é menor que este número por um inteiro par. Não discerne entre raizes rais ou complexas.

EXEMPLO P(x)=x⁴+2x³-13x²-14x+24 = 0 n + = 2 ou 0, e n - =2 ou 0.

EQUAÇÕES TRANSCENDENTES Uma equação transcendente é uma equação que contém alguma função que não é redutível a uma fração entre polinômios, e cuja solução não pode ser expressa através de funções elementares. De modo geral, uma equação transcendente não possui uma solução exata expressa através de funções conhecidas, sendo necessário recorrer ao cálculo numérico para obter uma solução. [wikipedia]

EQUAÇÕES TRANSCENDENTES As equações transcendentes mais comuns que aparecem são: equações trigonométricas em que a incógnita aparece tanto como argumento de uma função trigonométrica quanto independente. equações logarítmicas com combinações do logaritmo e da incógnita. Uma equação transcendente pode ter infinitas soluções. [wikipedia] EX: f(x)=sen(x) =0 -> infinitas raízes, f(x)=sen(x) - 2 =0 -> não possui raízes.

FORMA DE OBTER RAÍZES O método gráfico é maneira mais simples para achar um intervalo que contenha uma única raíz. Ele consistem em fazer um esboço da função no intervalo de interesse e identificar onde a função se anula. A maior dificuldade das equações transcendentes consiste em determinar este intervalo.

CONDIÇÃO DE ERROS DE RAÍZES Algoritmo Fornecer um intervalo [a,b], no qual a função f(x) troca de sinal, ou seja f(a).f(b)<0. Apesar de a raíz não estar necessariamente isolada, pois f(a).f(b)<0 só nos diz que existe um número impar de raizes no intervalo, o algoritmo fornecerrá um intervalo de partida para o isolamento de uma raiz. Se f(a).f(b) 0 então existe um número ímpar de raízes no intervalo [a,b], se f(a).f(b)>0 então ou não existe raiz, ou existe um número par de raizes no intervalo [a,b].

REPRESENTAÇÃO DE GRÁFICOS f(x)=sen(x).

REPRESENTAÇÃO DE GRÁFICOS f(x)=2x³-cos(x-1) -3