Potencias e raíces de números enteiros

Potencias e raíces de números enteiros Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Expresar multiplicacións dun mesmo número en forma de potencia. Realizar operacións con potencias. Traballar con potencias de base 0. Expresar números en notación científica. Calcular raíces cadradas. Realizar cálculos coa axuda dunha calculadora. Antes de empezar.potencias dun enteiro. páx. Que é unha potencia? Signo dunha potencia.operacións con potencias... páx. 6 Potencia de produtos e cocientes Produto e cociente de potencias Potencia dunha potencia.potencias de 0. Notación científica páx. 9 Potencias de base 0 Notación científica.cadrados perfectos. Raíces páx. Cadrados perfectos Raíces cadradas Exercicios para practicar Para saber máis Resumo Autoavaliación Actividades para enviar ao titor MATEMÁTICAS º ESO

MATEMÁTICAS º ESO

Antes de empezar Seguro que máis dunha vez terás falado de megas ou de xigas ao referirte a un ordenador. Pero, a que nos referimos cando nomeamos estas unidades. A unidade máis pequena para representar a información gardada nun ordenador é o bit. Un bit (de binary digit, díxito binario) equivale a escribir un 0 ou un nun ordenador. Para representar máis información úsanse grupos de bits. Por exemplo 000 é un Byte. A partir de aquí, as unidades calcúlanse usando potencias de Quilobyte equivale a 0 Bytes KB = 0 Bytes Despois do Quilobyte utilízanse dúas medidas que de seguro che soarán máis: O Megabyte, que equivale a 0 KB MB = 0 KB O Xigabyte, que equivale a 0 MB GB = 0 MB E que temos despois do Xiga? O Terabyte, TB = 0 GB O Petabyte, PB = 0 TB O Exabyte, EB = 0 PB O Zettabyte, ZB = 0 EB Para que te fagas unha idea das enormes unidades de almacenamento de información que estamos a manexar, vexamos un exemplo: O Yottabyte, YB = 0 ZB Cantos MB equivalen a YB? YB = 0 ZB = 0 EB = 0 PB = = 0 TB = 0 GB = 60 MB = = 9060686976 MB Unha potencia de base un enteiro e expoñente un natural é unha multiplicación repetida. Quizais che conveña repasar as operacións combinadas e a prioridade de operacións. MATEMÁTICAS º ESO

. Potencias dun número enteiro Que é unha potencia? Unha potencia que ten como base un número enteiro e expoñente un número natural, é un produto de factores iguais. a n = a a a a o produto faise n veces A base, a, é o factor que se repite. O expoñente, n, indica o número de veces que se repite a base. Exemplos: = (-) = (-) (-) (-) (-) 0 = 0 0 0 = (este é un caso especial, xa que non podemos multiplicar un número por si mesmo 0 veces) Signo dunha potencia Ao calcular potencias de base un número enteiro, presta atención ao signo da base e ao expoñente. Tamén debes distinguir a qué número exactamente está afectando a potencia. Non é o mesmo - que (-) En xeral calquera potencia dun número positivo será positiva. E o oposto desa potencia será sempre negativo. Se a base é negativa e o expoñente par ou cero, o valor da potencia será positivo. Pero se a base é negativa e o expoñente é impar, o valor da potencia será negativo. Exemplos: = 8 = 7 (-) 8 = 6 (-) 9 = - 8 = 6-8 = -6 (trátase do oposto da potencia anterior) 0 = - 0 = - (de novo o oposto) MATEMÁTICAS º ESO

EXERCICIOS resoltos. Calcula o valor das potencias seguintes:, -, (-) e - 0 = 6 - = -6 (-) = 6-0 = -. Calcula o valor das potencias: -, (-), (-) 0 e - 0 - = - (-) = - (-) 0 = - 0 = -. É o mesmo calcular a b que b a? En xeral non é o mesmo. Isto que quere dicir? Pois que normalmente as dúas potencias non darán o mesmo resultado, pero pode ocorrer que nalgún caso si coincidan. Por exemplo = 8, que non coincide con = 9. Isto é o que é normal. Agora ben, fíxate en e. As dúas potencias valen 6. Es capaz de atopar algún outro exemplo no que coincidan? MATEMÁTICAS º ESO

. Operacións con potencias Potencia de produtos e cocientes Para facer o produto de dous números elevado a unha mesma potencia tes dous camiños posibles, sendo o resultado o mesmo: Podes primeiro multiplicar os dous números, e despois calcular o resultado da potencia: ( ) = 0 = 60000 Ou ben podes elevar cada número por separado ao expoñente e despois multiplicar os resultados. ( ) = = 6 6 = 60000 De forma análoga podes proceder si se trata do cociente de dous números elevado á mesma potencia. =, =,06 = 8 = =,06 6 Exemplos: ( ) = 6 = 6 ( ) = = 8 7 = 6 6 = = 9 6 6 = = 6 = 9 Observa que das dúas formas obtés o mesmo resultado. Agora ben, non sempre será igual de dado das dúas formas. Así que pensa de antemán que método che vai ser máis cómodo para realizar o cálculo. n n n ( a b) = a b e n a b n a = b n Produto de potencias de igual base Observa o seguinte exemplo: 7 = ( ) ( ) = = É dicir, o resultado de multiplicar potencias de igual base é unha potencia coa mesma base, e con expoñente a suma dos expoñentes das potencias iniciais. Exemplos: 7 + 7 = = 6 + 6 ( ) ( ) = ( ) = ( ) 8 + 8 0 x x = x = x n m n+ m a a = a 6 MATEMÁTICAS º ESO

Cociente de potencias de igual base Vexamos como se faría un cociente de potencias de igual base: 7 = = = Observa que o resultado de dividir dúas potencias de igual base é outra potencia coa mesma base, e onde o expoñente é a resta dos expoñentes iniciais. n a n m = a m a Exemplos: 9 6 9 7 = 6 = 6 6 ( ) ( ) = ( ) 7 0 = 7 = 7 = 7 x 0 = x = x 0 x 9 = ( ) Potencia dunha potencia Unha potencia de expoñente un número natural equivale á multiplicación repetida da base tantas veces como indica o expoñente. Que é entón a potencia dunha potencia? Observa o seguinte exemplo: Exemplos: 8 ( ) = = 6 6 8 [ ] ( ) = ( ) = ( ) 8 8 ( y ) = y = y + + ( ) = = = = É dicir, o resultado de calcular a potencia dunha potencia é unha potencia co mesma base, e con expoñente o produto dos dous expoñentes. n m n m (a ) = a MATEMÁTICAS º ESO 7

EXERCICIOS resoltos. Calcula o valor dos seguintes produtos e cocientes: a) ) ( b) ( ) 0 c) 6 d) a) Interésanos multiplicar primeiro: ( ) = 0 = 000 b) Calculamos cada potencia por separado: ( 0 ) = 0 = 0000 8 = 80000 6 c) Primeiro dividimos: = = d) Calculámolas potencias e despois dividimos: = 6, = podes deixar o resultado expresado como fracción.) (Tamén. Expresa en forma de potencia o resultado: a) ( ) b) 7 c) 9 6 9 a) ( ) = = b) 7 9 = = 9 9 7 c) = = ( ) = 6. Ten sentido a potencia? Como debemos calculala? O problema ao calcular a potencia é saber en que orde debemos elevar. Por iso necesitamos parénteses que nos aclaren esta orde. Podemos interpretala como ( ) = ( ) 8 Pero tamén como =, que non coincide co resultado anterior. 8 MATEMÁTICAS º ESO

. Potencias de base 0.Notación científica Potencias de base 0 É moi sinxelo calcular potencias de base 0: 0 0 =, 0 = 0, 0 = 00, 0 = 000 A forma en que escribimos os números utiliza potencias de base 0. Por iso se denomina numeración decimal. Calquera número pode escribirse como unha suma de naturais que multiplican a potencias de base 0, é o que se coñece como descomposición polinómica dun número: Exemplo: 76= 0 + 0 +7 0 +6 0 0 O número ten: unidades de millar centenas 7 decenas 6 unidades 97 = 9 0 + 7 0 + 0 0 Notación Científica Para facilitar a lectura de cantidades moi grandes ou moi pequenas que aparecen con frecuencia no traballo científico utilízase a notación científica. Un número en notación científica consta dun número decimal, chamado mantisa, multiplicado por unha potencia de dez. A mantisa terá unha única cifra diante da coma decimal. Esta cifra non pode ser cero. Exemplos: 000 =, 0 76000000000 =,76 0 90000 = 9 0 0,000000 =, 0-7 0,0000000 =,00 0-6 0,007 = 7 0 - Por exemplo, a masa da terra é: m terra = 97000000000000000000000 kg En notación científica será,97 0. Observa que de efectuar a multiplicación obtemos o resultado de arriba. Outro exemplo, a masa do electrón: m elec =0,0000000000000000000000000009 g En notación científica é 9, 0-8. Notación científica: a,bcd 0 n, sendo a 0 MATEMÁTICAS º ESO 9

EXERCICIOS resoltos 7. Obtén a descomposición polinómica de 8067. 8067 = 0 + 8 0 + 0 0 + 6 0 + 7 0 0 8. Calcula a descomposición polinómica dun número que ten decenas, unidades, 8 centenas 8 7 unidades de millar. O primeiro será ordenar correctamente os datos 7 unidades de millar, 8 centenas, decenas e unidades, é dicir: 7 0 + 8 0 + 0 + 0 0 9. Expresa 60000000 en notación científica. 60000000 =,6 0 9 0. Expresa 0,000000000000 en notación científica. 0,000000000000 =, 0 -. Que número decimal se corresponde con,7 0 8?,7 0 8 = 7000000. Que número decimal se corresponde con,7 0-9?,7 0-9 = 0,000000007. O número,9 0 - non está escrito correctamente en notación científica. Escríbeo de forma correcta. O que debes facer é pasar,9 a notación científica, e despois multiplicar por 0 -,9 0 - =,9 0 0 - =,9 0 - =,9 0-0 MATEMÁTICAS º ESO

. Cadrados perfectos. Raíces cadradas Cadrados perfectos Un cadrado perfecto é un número que é o cadrado dalgún número enteiro. Como é lóxico, a raíz cadrada dun cadrado perfecto é sempre un número enteiro.. Por exemplo cadrados perfectos son: 0 porque 0 = 0, porque =, 9 porque 9 =... Para resolver unha actividade de proporcionalidade composta faise de forma ordenada co procedemento de redución á unidade. Un cadrado perfecto é a área dun cadrado. Raíces cadradas Vexamos un exemplo. Ao escribir o número fai grupos de dúas cifras, de dereita a esquerda: 7 e 9. Cálculo da raíz: Busca o número co cadrado máis próximo a 9. é. = 9, réstao de 9 e baixa as dúas cifras seguintes. Debaixo do escribe o seu dobre, 6 Busca o número 6x, tal que 6x x sexa o máis próximo a 7 sen pasarse. 6 = pásase, 6 =6 si sirve. Resta 7-6 =. Pon dous ceros e unha coma no radicando. Debaixo escribe o dobre de, 6 Busca 6x tal que 6x x sexa o máis próximo a 00 sen pasarse. 6 = é o máis próximo. Por tanto 97, Para obter máis decimais, escribe dous ceros por tras do 6 e repite o proceso. MATEMÁTICAS º ESO

EXERCICIOS resoltos. Indica se os números, 69 e 8 son cadrados perfectos. non o é, xa que = e = 69 = é un cadrado perfecto. (É a área dun cadrado de unidades de lado.) 8 non o é, xa que 6 = 6 e7 = 89. Cun decimal, calcula a raíz cadrada de 8. 6. Calcula a raíz cadrada de 798, cunha cifra decimal. MATEMÁTICAS º ESO

Para practicar. Escribe en forma de potencia: a) 7 7 7 7 7 b) (-) (-) (-) (-) (-) (-) c) d). Calcula o valor das seguintes potencias: a) - b) (-) c) - 0 d) (-) 0. Calcula o valor das seguintes potencias: a) - b) (-) c) - d) (-). Ordena de menor a maior, utilizando para iso o símbolo <. (-), (-), -,, (-) 0. Ordena de maior a menor, utilizando os símbolos > e = según os necesites. (-),, -, 0, -, (-) 0, - 0 6. Son iguais as seguintes potencias? a) 9 e b) ( ) e 7. Escribe en forma de potencia dunha potencia: a) 7 7 7 7 7 b) (-) (-) (-) 8. Escribe en forma de potencia dunha potencia: a) b) 9. Calcula o valor das seguintes potencias de produtos: a) ( ) b) (- ) c) (- ) d) [(-) (-)] 0. Calcula o valor das seguintes potencias de cocientes: a) c) 7 b) d). Calcula os seguintes produtos. Expresa o resultado en forma de potencia: a) b) (-7) (-7) 6 c) 0 d) x x. Escribe como unha potencia de dez: a) 000000000 b) 000 0000 c) 0 00 000. Que fracción elevada ao cubo da 7?. Que fracción elevada á quinta potencia da como resultado? MATEMÁTICAS º ESO

. Calcula os seguintes cocientes. Expresa o resultado en forma de potencia: a) c) 6 7 7 b) d) ( ) ( ) 8 x x 6. Calcula. Expresa o resultado en forma de potencia: a) ( ) 7 b) (x ) c) [(-) ] d) (y 8 ) 8 7. Calcula. Expresa o resultado en forma de potencia: a) b) c) 7 x 8. Escribe a descomposición polinómica dos seguintes números: a) 978 b) 7 c) 09 d) 99 9. Escribe a masa do protón en notación científica: 0,00000000000000000000000676 g 0. Escribe en notación científica a masa da lúa:. Escribe en notación científica o tamaño do virus que provoca a febre aftosa. 0,0000000 m. Escribe en notación científica o diámetro ecuatorial do planeta Xúpiter. 98000 m. Que número decimal é,88 0 -?. Que número decimal é,06 0 9?. 78,7 0, aínda estando ben escrito, non está ben expresado en notación científica. Escríbeo correctamente en notación científica. 6. 689, 0 - non está ben expresado en notación científica, aínda sendo perfectamente válido. Escríbeo de forma correcta en notación científica. 7. Indica se os números seguintes son ou non cadrados perfectos. a) b) 9 c) 600 d) 0 8. Calcula as raíces cadradas dos números seguintes, cunha cifra decimal. a) 9 b) 97 c) 9 d) 60 9. Calcula a área dun cadrado que ten de lado m (recorda que a área de un cadrado é seu lado elevado a ). 0. Calcula o volume dun cubo de lado m (recorda que o volume do cubo é o seu lado elevado a ). 790000000000000000000 kg MATEMÁTICAS º ESO

Como de grande é o buscador Google? Para saber máis En moitas ocasións usarías o buscador Google. Coñeces a historia do seu nome?. O matemático Edward Kastner pediulle ao seu sobriño de dez anos, Milton Sirotta, inventar un nome para un número moi grande: 0 00 Milton chamou a ese número, un seguido de 00 ceros, un Googol. Se che parece que non é un número tan grande, pensa no seguinte: Cando en 997 Sergey Brin e Larry Page compran un dominio para o seu novo buscador, adquiren por un erro tipográfico google.com no canto de googol.com Un googol é enorme, pero maior é seguido dun googol de ceros, un googolplex 00 googol (0 ) googolplex = 0 = 0 Unha folla de papel suficientemente grande para escribilo non cabería dentro do universo. A linguaxe dos ordenadores Os computadores usan cadeas de información formadas por ceros e uns. Un sistema de numeración deste tipo denomínase binario, igual que o que usualmente utilizamos chámase decimal, por usar 0 símbolos (0 a 9). A descomposición polinómica dun binario usa potencias de no canto de 0. Por exemplo, o binario 0 é o decimal : 0 = + + 0 + 0 = 8 + + 0 + = MATEMÁTICAS º ESO

Lembra o máis importante. Potencias dun número enteiro. Unha potencia con base un número enteiro e con expoñente un número natural, é un produto de factores iguais. Unha potencia dun número positivo é positiva. O oposto desa potencia é negativo. Se a base é negativa e o expoñente par ou cero, o valor da potencia será positivo. Se a base é negativa e o expoñente é impar, a potencia será negativa. Ao elevar un enteiro positivo ou negativo a cero, o resultado é.. Operacións con potencias. Potencia dun produto o cociente: n n ( a b) = a b n n a a = b n b Operacións con potencias de igual base: n n m n+ m a a = a n a n m = a m a Potencia dunha potencia: n m n m (a ) = a a. Potencias de base 0. Calquera número pode escribirse como unha suma de naturais que multiplican a potencias de base 0, é o que se coñece como descomposición polinómica dun número: 97 = 9 0 + 7 0 + 0 0 b. Notación científica. Un número en notación científica consta dunha mantisa multiplicada por unha potencia de dez. A mantisa terá unha única cifra non nula diante da coma decimal. 000 =, 0 0,0000000 =,00 0-6 a. Cadrados perfectos. Un cadrado perfecto é un número que é cadrado dalgún número enteiro. b. Raíces cadradas. Exemplo: A raíz cadrada dun cadrado perfecto é sempre un número enteiro. 00 é cadrado perfecto, pois 00=0 Pero 8 non o é, porque = e 6 =6 6 MATEMÁTICAS º ESO

Autoavaliación. Calcula o valor de: a) - (-) b) (-) 0 (- 8 ). Calcula o valor de: a) ( 8) b). É o mesmo ( ) 9 que ( )? ( ). Calcula. 8. Escribe a descomposición polinómica do número 89. 6. Cantos dos números comprendidos entre 0 e 0 son cadrados perfectos? 7. Que número decimal é 7,87 0 -? 8. Escribe en notación científica o número 0,0000069. 9. O número 69,7 0 - non está correctamente escrito en notación científica. Escríbeo de forma correcta. Escribe tamén o número decimal a que corresponde. 0. Calcula 68 cunha cifra decimal. MATEMÁTICAS º ESO 7

Solucións dos exercicios para practicar 6. a) 7 b) (-) 6 c) d). a) - b) c) - d). a) -7 b) -7 c) -9 d) 9. (-) < - < (-) 0 < (-) <. > 0 =(-) 0 >- 0 >- >- =(-) 6. a) sí b) sí 7. a) (7 ) b) [(-) ] 8. a) b) 9. a) b) -7 c) 0000 d) 6 0. a), b) -8 c) 0,06 d),. a) 7 b) (-7) c) 8 d) x. a) 0 9 b) 0 7 c) 0 6... a) b) (-) 7 c) 0 d) x 6 6. a) b) x 0 c) (-) d) y 6 7. a) 0 b) c) x 8. a) 0 + 0 +9 0 +7 0 +8 0 0 b) 7 0 + 0 + 0 0 c) 0 +0 0 +9 0 + 0 0 d) 9 0 +9 0 0 9.,676 0 - g 0. 7,9 0 kg., 0-8 m.,98 0 8 m. 0,000088. 060000000. 7,87 0 6. 6,89 0-9 7. a) No b) Sí c) Sí d) No 8. a), b) 9,8 c), d), 9. m 0. m = 0,06 m 6 Solucións AUTOAVALIACIÓN. a) b) -. a) 6 b) -7. Si, os dous valen. 8. 8 0 + 0 + 0 + 9 0 0 6. Hai : 6, 8, 00, e 7. 0,00787 8. 6,9 0-6 9. 6,97 0 - = 0,000697 0.,6 8 MATEMÁTICAS º ESO