Sequências Alan Anderson 5 de dezembro de 2015 1 Denição, Intuição e Primeiros s Se você não estiver familiarizado com funções, apenas leia isso e ignore a primeira denição: Uma sequência pode ser vista como uma lista de números reais (a 1, a 2, a 3,...) onde para cada n N temos um real a n. Denição 1 Uma sequência é uma função f : N R. Denotamos o termo f(n) por a n, por simplicidade de notação. s de sequências 1. A sequência (a n ) dada por a n = 1/n (sequência harmônica): (1, 1/2, 1/3,...) 2. A sequência (a n ) dada por a n = n (dos números naturais): (1, 2, 3,...); 3. A sequência (a n ), com a n = π, n, (a sequência constante): (π, π, π,...); 4. A sequência a n = 2 n (das potências de dois): (1, 2, 4,...); 5. A sequência a n = ( 1) n /n 2 : ( 1, 1/4, 1/9, 1/16,...). 6. A sequência a n = sin(n). Observe que os termos podem ser positivos, negativos, inteiros, irracionais, etc. Apenas devemos ter os termos sendo reais. 1
Acima expressamos os termos das sequências por pequans fórmulas, mas isso não é necessário (apesar de ser útil sempre que possível). Podemos denir uma sequência apenas explicando quem é o termo a n para cada n. A sequência dos números primos a n = n-ésimo número primo: (2, 3, 5, 7, 11,...). Neste caso temos a 1 = 2, a 2 = 3,... Podemos também denir uma sequência a partir de uma recorrência, isto é, denimos alguns termos explicitamente e damos os próximos termos utilizando os termos passados. 1. A sequência de Fibonacci, dada por a 1 = 1, a 2 = 1 e para todo n 3, a n = a n 1 + a n 2 : (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...). 2. Dada uma sequência (a n ) n = (a 1, a 2, a 3,...), podemos denir a sequência dada por b 1 = a 1 e b n = b n 1 + a n, n 2. Mostre que a sequência b n acima pode ser dada por b n = a k. 2 Sequências Monótonas Denição 2 Uma sequência (a n ) n é dita monótona crescente se a n < a n+1 para todo n N. Ela é dita monótona não-decrescente se a n a n+1, n N. Dena de modo análogo o que são sequência decrescentes e não-crescentes. Observe que o fato de uma sequência não ser monótona crescente, não implica que ela seja monótona não-crescente. Veja a sequência a n = ( 1) n /n 2. 2
Quando uma função não é monótona crescente, decrescente, não-crescente ou não-decrescente dizemos que ela não é monótona. Assim a sequência a n = ( 1) n /n 2 não é monótona. Classique as sequências dos exemplos acima segundo suas monotonicidades. Decida se b n = ( 1) k k 2 é monótona. Essa sequência é limitada? 3 Sequências Limitadas 3.1 Denições Observe que para qualquer n que você tomar temos que 1 sin n 1, e 1 ( 1)n 1. O que zemos foi "cercar"cada uma das sequências por n 2 um valor (à saber, 3 no primeiro caso e 1 no segundo). Essa é a ideia por trás da próxima denição. Denição 3 Dizemos que uma sequência (a n ) n é limitada se existe K N tal que a n K para todo n N. Denição 4 Uma sequência é dita ilimitada se ela não é limitada. outras palavras,(a n ) é ilimitada se xado qualquer K N existe um n tal que a n > K. Observe que o K da denição de sequência limitada não tem que ser único (na verdade nunca será). s As sequêcias a n = 1/n e a n = π são sequências limitadas, tome K = 1 no primeiro caso e K = 4 no segundo (podemos tomar K = 4 nos dois casos). A sequência a n = n não é limitada pois dado qualquer K N existe n, a saber n = K + 1, tal que a n = a K+1 = K + 1 > K. Em 3
Mostre que a sequência a n = 2 n é ilimitada e que a sequência a n = ( 1) n /n 2 é limitada. 3.2 s a) Mostre que b n = para b n ). b) Mostre que b n = Se a k > 0, k e 1 é limitada (encontre uma fórmula mais simples 2k 1 k! é limitada. a k é limitada, então a k 1 + a k e 1 a) Mostre que b n = k(k + 1) fórmula para b n ). 1 b) Mostre que b n = k é limitada. 2 c) Mostre que se a k > 0, k e a 2 k é limitada, então limitada. d) Mostre que, para qualquer p N xo b n = a) Se a n > 1 n, então a sequência b n = a 2 k também são. é limitada (faça isso simplicando a 1 ( k p) é limitada. a k é ilimitada. b) O que acontece se trocarmos a > 1 por a > 1/3? Generalize. Determine se a sequência de Fibonacci é limitada ou ilimitada. a k k também é 4
1 a) Mostre que existe n tal que b n = k > 2015. b) Mostre que o resultado acima vale se trocarmos 2015 por qualquer K N, ou seja, que (b n ) n é ilimitada. Mostre que a denição de sequência limitada dada é equivalente a: a) Existe K > 0 tal que K a n K para todo n N. (Ou seja, podemos trocar K natural por K > 0 real). b) Existem constantes K, L R tais que L a n K. (Ou seja, basta dar uma cota por cima e uma por baixo, com a de cima independente da de baixo). c) Existem constantes K, L R tais que L < a n < K. (Ou seja, podemos trocar o sinal de ' ' pelo sinal de '<'). 4 Distância entre números Se pensarmos nos números reais como pontos de uma reta posicionados em ordem crescente da esquerda para a direita, nossa intuição pode nos levar a um conceito muito natural de distância. Por exemplo, intuitivamente, quanto teríamos de andar para sair do 4 e chegar no 9. Se sua intuição bate com a minha responderemos que temos que andar 5 (para a direita). E quanto temos que andar pra sair de 9, 5 e chegar em 4, 3, novamente, se nossas intuições são parecidas, temos que andar 5, 2 (agora para a esquerda). Observe que distância é sempre positiva. Com essa intuição em mente faremos a seguinte denição: Denição 5 Sejam x, y R. A distância de x a y é denida como sendo o valor x y. Observe que x x = 0 e x y = y x, ou seja, a distância de um número a ele próprio é zero e a distância de x a y é igual a distância de y a x (venha você a distância é a mesma - toda criança ouviu essa frase). 5
Mostre que a) x z x y + y z (essa é a chamada desigualdade triangular); b) x y x y ; c) x x r + r (Isso é um "truque"útil para mostrar que coisas são limitadas); d) x y x r + y r (Outro truque importante); e) K x K se e somente se x K. Segue então que uma sequência é limitada se existe K N tal que a n K, n N; f) x y < ε se, e somente se, y ε < x < y + ε. (Isso é importante). Considere a sequência a n = 1/n. Observe que a distância dos termos da sequência a 0 está diminuido. Esse é o primeiro objeto de interesse que teremos: descobrir quando os termos de uma sequência se aproximam de algum número xo, se aquel número é o número do qual a sequência mais se aproxima a longo prazo. Essa como veremos no futuro será a noção de limite de uma sequência. 5 Limite de sequências 5.1 Denição Começaremos com o seguinte exemplo: Considere a sequência a n = n + 1 n. a) Mostre que a sequência é monótona decrescente; b) Encontre n N tal que a n < 1 100 ; d) Seja M N, encontre n 0 N tal que a n0 < 1 M ; d) Mostre que se n > n 0 então a n < 1 M. Dica: "Irracionalize"o denomidor. 6
O que zemos no exemplo acima, como veremos na denição abaixo, foi mostrar o limite da sequência a n = n + 1 n é 0. Intuitivamente, dizemos que o L é o limite de uma sequência, se a distância entre os termos da sequência e L está cando muito pequena, ou em outras palavras, a sequência está cando muito próxima de L. Esse termo é um pouco vago, pois não sabemos ainda o que signica "muito próximo". Denição 6 Dizemos que L R é um limite da sequência a n se, xado qualquer M N, existe n 0 N tal que para todo n > n 0 tem-se a n L < 1 M. Se (a n ) n tem limite, dizemos que (a n ) n é convergente. Se L é limite de (a n ) n, dizemos que (a n ) n converge para L, denotando por a n L, ou lim a n = L. Com base na denição e na intuição acima, podemos dar signicado o que chamamos de "muito próximo". Intuitivamente, o "muito próximo"signica que dado qualquer valor M N, não importa o quão grande seja, a partir de certo momento todo mundo estará distância menor que 1 do limite L (por M menor que seja 1/M). Observe que, pela denição, uma sequência não converge para L quando: Existe M N tal que para qualquer n 0 N existe n > n 0 tal que x n L > 1/M. Mostraremos agora que lim ( 1)n = 0: n Começamos xando um M N arbitrário. Agora devemos encontrar, para esse M, um n 0 tal que para todo n > n 0 tenha-se a n 0 < 1 (aqui M L = 0). Observe que a n 0 < 1 M ( 1) n 0 n < 1 M 1 n < 1 M M < n 7
Assim, tomando n 0 = M + 1, temos que n > n 0, a n 0 = 1 n < 1 n 0 = 1 M+1 < 1 M. Encontre um limite para cada sequência abaixo: a) a n = ( 1) n /n 3 ; b) a n = e π, (ou qualquer outra constante); c) a n = 1 2 n ; d) a n = 1 1 n 1 e) a n = 2 ; k Agora vamos avaliar o que signica L não ser limite de (a n ) n. Dizer que L não é limite de (a n ) n, é dizer que não vale a sentença: para todo M, existe n 0 tal que n > n 0, tem-se a n L < 1 M. Observe que não valer a sentença é o mesmo que: existe M tal que, qualquer que seja n 0, existe n > n 0 com a n L 1 M. Pense um pouco sobre essas armações e negações. Mostraremos que 1 não é limite da sequência a n = ( 1) n. Com efeito, temos que mostrar que existe M N, tal que, qualquer que seja n 0, existe n > n 0 com a n L 1. Veja que, dado qualquer n M 0 se tomarmos n > n 0 ímpar, temos que a n 1 = 1 1 = 2 1. Assim, tomando M = 1 temos que, qualquer que seja n 0, existe n > n 0 tal que a n 1 > 1, como queríamos. M Se a sequência (a n ) n não possui limite, isto é, se ela não é convergente, dizemos que ela é divergente. Seja a n = ( 1) n. a) Mostre que 1 não é limite de a n ; b) Mostre que nenhum L R\{ 1, 1}, é limite de a n ; 8
c) Conclua que a n é divergente. 5.2 Unicidade e Existência do Limite Antes de entrarmos na próxima denição é interessante fazer um comentário linguístico: "(a n ) n possuir limite"e "(a n ) n ser limitada"são duas coisas diferentes. Ser limitada signica que existe um valor que é maior que qualquer elemento da sequência, enquanto que possuir limite signica que a sequência se aproxima de um certo valor. Como veremos a frente, existe sequência que é limitada e não possui limite, no entanto, como veremos na próxima proposição, se a sequência possui limite, ela é limitada. Proposição 1 Se (a n ) n é convergente, então é limitada. Prova: Se a n L, então dado M = 1 existe n 0 tal que n > n 0 temos a n L < 1, donde temos que a n a n L + L < 1 + L. Basta então pegar um número natural maior que os valores a 1,..., a n0, L + 1. a n = ( 1) n é limitada, porém não possui limite. Mostre que se a n L então a) b n = a n+1 converge para L. (Esse exercício é importante para calcular limites); b) b n = a 2 n converge para L 2, c n = a 3 n converge para L 3. Generalize; c) b n = c a n, onde c R é uma constante qualquer, converge para cl; d) b n = a 2n e c n = a 2n+1 convergem para L; Mostre que se mudarmos qualquer quantidade nita de termos em uma sequência convergente, a nova sequência continua convergente. Mostre que podemos trocar 1/K por ε > 0 qualquer, na denição de limite, ou seja, que a denição de lim a n = L é equivalente a: 9
Fixado ε > 0, existe n 0 N tal que n > n 0, tem-se a n L < ε. Seja x 0. Mostre que, se x < 1, K N, então x = 0. K Na denição do início da seção dissemos que L era um limite para a a n se certa condição acontecia. Na verdade provaremos a seguir que se a n tem limite, então ele é único, de modo que podemos dizer que L é o limite da sequência. Proposição 2 Se (a n ) n é convergente, então ela possui um único limite. Prova: Suponha que a n L 1 e a n L 2. Então, xado K N, existem n 1 e n 2 tais que a n L 1 1 K, n > n 1 e a n L 2 1 K, n > n 2. Seja n 0 o maior valor entre n 1 e n 2, então se n > n 0 temos que a n L 1 < 1 K, e a n L 2 < 1 K, assim L 1 L 2 = L 1 a n + a n L 2 a n L 1 + a n L 2 2 K. Portanto, pelo exercício acima, segue que L 1 L 2 = 0, logo L 1 L 2 = 0 e L 1 = L 2. Teorema 1 Toda sequência monótona limitada é convergente. Prova: (não é impossível, mas não é trivial, você precisará de uma ideia além que foi dado até aqui). Esse teorema nos diz um modo de sabermos se uma sequência é convergente, ou seja, possui limite, mesmo sem que saibamos necessariamente quem é o tal limite. Mostre que as sequências dadas por somatórios na seção 3.2 são convergentes. Mostre que as sequências a n convergem. limites? Quem você acha que são os 10
a) a n = log n n. b) a 1 = 2 e a n+1 = ( 2) an. 6 Aritimética de Limites Proposição 3 Se lim a n = 0 e (b n ) n é limitada, então lim(a n b n ) = 0. A sequência sin n n converge para 0, pois sin n é limitada e lim 1/n = 0. Proposição 4 Se lim a n = A e lim b n = B, então: a) lim(a n + b n ) = A + B; b) lim(a n b n ) = A B; c) lim(a n b n ) = A B; d) lim(a n /b n ) = A/B a) Se a n > 0, n, b n = a n converge para L; b) Dado um polinômio p(x) qualquer, mostre que se a n L, então b n = p(a n ) converge para p(l). Mostre que a sequência a n dada por a 0 = 0 e a n+1 = a n + 6 converge e encontre o seu limite. 7 Limites Innitos Considere a sequência a n = n 2. Observe que não importa qual K você xar, existe um n 0 a partir do qual a n se torna maior do que K (a saber, n 0 = K + 1). Assim a sequência a n = n 2 cresce indenidamente, ca tão 11
grande quanto desejarmos, ou seja, vai para innito. Denição 7 Dizemos que uma sequência (a n ) n tem limite innito positivo, quando xado qualquer K N existe n 0 tal que, a n > K, n > n 0. Quando a sequência (a n ) n vai para innito denotamos por a n ou lim a n =. Mostre que as sequências abaixo tem limite innito: a) a n = p(n) onde p é um polinômio mônico de grau 1. b) b n = e n ; Observe que uma sequência que vai para innito é ilimitada (portanto é também divergente). No entanto, nem toda sequência ilimitada vai para innito, como veremos abaixo. A sequência (a n ) n dada por a 2n 1 = 2n 1, n N, a 2n = 0, n N é ilimitada mas não vai para innito, pois xado K N, para qualquer n 0 N, existe n > n 0 ( podemos tomar n = 2n 0 ) de modo que a n = 0 < K. a) Mostre que a n = ( 1) n n não tem limite innito positivo. b) Mostre que a n = n não tem limite innito positivo. Denição 8 Dizemos que (a n ) n tem limite innito negativo quando - xado qualquer K N existe n 0 tal que, a n < K, n > n 0. No caso acima, denotamos a n ou lim a n =. a) Mostre que a n a n. b) Mostre que a n = n é tal que lim a n =. 12
Mostre que a) Se a n > 0 n, então a n 0 lim 1 a n =. b) Se a n 0 e a n então lim(1/a n ) = 0. c) Se a n e b n é limitada, então lim(a n + b n ) =. 8 Séries Um série, no sentido que abordaremos aqui, é uma soma de uma quantidade innita de termos. A priori, seria uma coisa muito estranha somar innitos termos, anal se cássemos somando para sempre nunca iríamos saber o resultado nal. Por isso, entender o que é uma série requer uma denição matemática, para que haja um signicado preciso. Podemos pensar no valor da soma de innitos termos como sendo o valor do qual a soma está se aproximando quando somamos muitos desses termos. Isso nos induz a denir o valor da soma através do que já sabemos sobre aproximação, ou seja, por meio de limite. Assim temos a seguinte denição: Denição 9 Dada uma sequência (a n ) n denimos sua série a k = lim n a k, sempre que esse limite existir (ou for + ou ). Mostre que se b n = a k converge, então a n 0. n=1 a n por Se você voltar um pouco no texto, pode ver que a maioria das séries que vimos são monótonas e limitadas, donde segue que são convergentes. Observer que a série dos inversos dos naturais é divergente. 9 Funções Contínuas Existem várias denições do que signica uma função ser contínua, todas elas equivalentes em um mesmo contextos. Algumas delas são intuitivas, outras 13
abstratas, em geral sendo mais abstratas as que valem em situações mais gerais. Abordaremos nesse texto uma das denições mais básicas, que muito tem a ver com o que estamos estudando em sequências. Começaremos a seção com um exercício que nos deixará a par das ideias que serão abordadas e em seguidas partiremos para uma denição do que é função contínua num ponto. Encontre sequências a n, b n com a n 0, b n 0 mas a n 0 e b n 1. Dizemos que uma função é contínua se quando pontos se aproximam as suas imagens se aproximam. No sentido do que já vimos pontos se aproximarem signica x n x (x n se aproxima de x) e imagens se aproximarem signica f(x n ) f(x) (as imagens dos x n se aproximam da imagem de x). Formalmente: Denição 10 Dizemos que a função f : (a, b) R é contínua no ponto x (a, b), se para qualquer sequência x n x, com x n (a, b) n N, temos f(x n ) f(x). Essencialmente podemos pensar na sentença "x n x f(x n ) f(x)", para pensarmos em função contínua. A hipótese de que x, x n (a, b) surgem para complementar, pois a função f tem que estar denida em x e x n para que faça sendito falar em f(x n ) e f(x). Em palavras, uma função é dita contínua, se o limite das imagens é igual a imagem do limite. Observe que pela denição de ser contínua, basta que exista uma sequência x n x tal que f(x n ) não convirja para f(x), para que f não seja contínua em x. Se f não é contínua em x dizemos que f é descontínua em x. A função f : R R dada por f(x) = x é contínua em x = 0 (na verdade ela é contínua em qualquer ponto). De fato, se x n 0 então 14
f(x n ) = x n 0 = f(0). (Essa é trivial, né?). A função f : R R dada por f(x) = x i) é contínua em x = 1/2: De fato, se x n 1/2, então dado K = 4, existe n 0 tal que 1 4 = 1 2 1 4 < x n < 1 2 + 1 4 = 3 4 para todo n > n 0, donde x n = 0 para todo n > n 0, logo lim f(x n ) = lim x n = 0 = f(0). ii) é descontínua em x = 1: Com efeito, podemos tomar a sequência x n = 1 1/n temos que x n 1 no entanto f(x n ) = x n 0 1 = f(1), ou seja, encontramos uma sequência que o limite da imagem não é imagem do limite. Mostre que a) A função f : R R dada por f(x) = x é contínua em qualquer x R; b) A função constante f : R R dada por f(x) = c é contínua em todo ponto x R. c) A função f : R R dada por f(x) = x é contínua em qualquer x R\Z e descontínua em qualquer x Z. Denição 11 Dizemos que a função f : (a, b) R é contínua, se ela é contínua em todo ponto x (a, b). Mostre que as funções abaixo são contínuas: a) f : R R dada por f(x) = 1 1 + x 2 ; b) p : R R, dada por p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 ; c) q : R + R dada por q(x) = 2n x, com n N. Mostre que se f : R R e g : R R são contínuas, então as funções abaixo são contínuas a) h(x) = f(x) + g(x); 15
b) i(x) = f(x) g(x); c) j(x) = f(x) g(x); d) l(x) = f(x)/g(x) [aqui suponha g(x) 0 x R]; e) m(x) = (f g)(x). 10 Considerações Finais Esse texto é uma introdução ao estudo de certos tópicos de Análise Real (também conhecida como Análise na Reta). Aqui mostramos os conceitos básicos de convergência e de função contínua. O leitor que for além dessas notas descobrirá que vários outros conceitos dependem dos aqui apresentados. A seguir veremos alguns exemplos. a) Derivadas e Integrais são limites especiais: Um modo simplicado de pensar em derivada (simplicado e incorreto em muitos contextos) é:. d f(t + 1 f(t) = lim ) f(t) n dt n 1 n Um modo simplicado de se pensar em integral é x 0 f(t)dt = lim n i=0 [ ( ) ( )] i + 1 i f n x f n x 1 n b) Conjuntos fechados: Conjuntos fechados são uma generalização de intervalos fechados [a, b]. Nós os denimos à partir de sequências como segue: Dizemos que um conjunto F R é fechado se para toda sequência convergente x n F, com x n x, tem-se x F. Observe que A = (0, 1) não é fechado, pois 1/n 0 sem que 0 A. c) Funções Analíticas e Séries de Potências: Dizemos que uma função é analítica, quando ela pode ser escrita como uma série de potências, isto é, quando para alguma sequência a n podemos escrever f : (a, b) R como 16
f(x) = a n x n n=0 A série acima, é o que chamamos de uma série de potências (de x). Uma série de potências é como se fosse um polinômio, só que com innitos termos (alguns dos quais podem ser 0). Observe que um polinômio de grau n é uma série de potências na qual a m = 0 para todo m > n. Nem toda função pode ser escrita como série de potências, mas a maioria daquelas com as quais estamos acostumados (polinômios, exponencial, logarítmo, trigonométricas, raízes e racionais) possuem série de potências, chamadas séries de Taylor (ver Wikipédia). d) Limites de funções: Considere uma sequência de funções (f n ) n, com f n : R R para todo n N (agora não estamos mais com sequências numéricas, cada termo da sequência é uma função, todas com o mesmo domínio e contradomínio, podendo ter imagens diferentes). Dizemos que f n f pontualmente, se para cada x R, temos f n (x) f(x). Observe que diferente do que acontece com função contínua, que a função f é xa e o termo de dentro, x n, varia, aqui o termo de dentro x é xo, e as funções f n estão variando. Para informações mais avançadas com relação a esses estudos, sugerimos que o leitor interessado procure os livros Curso de Análise vol. 1 de Elon L. Lima ou Real Analysis de Walter Rudin. 17