CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 02: Funções. Objetivos da Aula Denir função e conhecer os seus elementos; Reconhecer o gráco de uma função; Listar as principais funções e seus grácos. 1 Funções Consideremos A e B dois conjuntos. Uma função f é uma lei que associa a cada elemento x A um único elemento y B. O conjunto A é chamado domínio da função f, às vezes denotado também por D f, e o conjunto B é chamado contradomínio da função f. Costuma-se representar uma função pela seguinte notação: f : A B Para armarmos que a um determinado x A está associado certo y B através da função f, costumamos utilizar a notação: y = f(x) e dizemos que este y é a imagem de x por f. Denimos também o seguinte subconjunto do contradomínio, chamado conjunto imagem da função f Im f = {y B y = f(x), x A}. Isto é, o conjunto imagem de f é o conjunto de todas as imagens de pontos do domínio por f. Uma forma de representarmos uma função é por meio do diagrama de echas, como ilustrado a seguir Figura 1: Representação de uma função por um diagrama de echas Observe que a cada elemento do domínio está associado um (e apenas um) elemento do contradomínio. Por exemplo, seja A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e considere que f(1) = 2 f(2) = 3 f(3) = 4 f(4) = 5 f(5) = 6 1
Note que Im f = {2, 3, 4, 5, 6}. A representação dessa função pelo diagrama de echas é feita da seguinte forma: Figura 2: Exemplo de uma função representada por um diagrama de echas Outra forma de representar uma função é através de seus valores numéricos. Por exemplo, considere a seguinte tabela: Dia Valor da Compra 02 2, 8942 03 2, 9260 04 2, 9787 05 3, 0100 06 3, 0550 09 3, 1285 10 3, 1015 11 3, 1266 12 3, 1590 13 3, 2460 Embora não tenhamos uma regra explícita, a tabela acima é função do conjunto D = {02, 03, 04, 05, 06, 09, 10, 11, 12, 13} em R, uma vez que para cada dia t D, existe um único valor correspondente de V (t) = valor do dólar no dia t. Em muitas situações não existe uma regra explícita que estabeleça a correspondência entre os elementos do domínio e contradomínio, sendo isto feito por meio de tabela de valores. Usando técnicas apropriadas é possível encontrar uma expressão para uma função que aproxime os valores dados na tabela. Contudo, tanto o diagrama de echas quanto a tabela de valores, não são ecientes para representar uma função cujo domínio é um conjunto innito. Por isso, a representação gráca de uma função é a melhor forma de visualizá-la e entender o seu comportamento. E, para entendermos melhor esse tipo de representação, segue a denição de gráco de uma função. Denição 1. Seja f : A B uma função. O gráco de f, denotado por G f, é o seguinte subconjunto do produto cartesiano A B: G f = {(x, f(x)) A B x A} O gráco de uma função f nos dá uma imagem útil sobre o comportamento da função pois, uma vez que a coordenada y de qualquer ponto (x, y) pertencente ao gráco, é da forma y = f(x), podemos ler o valor f(x) como sendo a "altura"do ponto no gráco acima de x. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 2
Figura 3: Entendendo f(x) como uma altura do ponto x no gráco de f. Observe que cada ponto do gráco equivale a uma echa associando a um elemento do domínio um elemento do contradomínio como na gura abaixo: Figura 4: Gráco e Diagrama de Flechas Note que a representação do gráco da função como este equivale a representar "innitas echas"de forma sintética. Essa talvez seja a característica mais genial da representação gráca de uma função. O gráco também nos permite visualizar o domínio e a imagem da função f sobre o eixo y. Figura 5: Determinando a imagem e o domínio de um função através do seu gráco. Assim como no diagrama de echas, podemos determinar se uma curva desenhada no plano cartesiano xy é o gráco de uma função ou não. Para isso, utilizamos o teste da reta vertical, descrito abaixo: Uma curva no plano xy é o gráco de uma função de x se, e somente se nenhuma reta vertical cortar a curva mais de uma vez. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 3
Como exemplo, temos que o gráco abaixo é de uma função. Note que toda reta vertical (paralela ao eixo y) intersecta a curva em exatamente um ponto. Figura 6: Teste da Reta Vertical: Exemplo de curva que é gráco de uma função A seguinte curva não é gráco de uma função, pois pelo menos uma reta vertical intersecta mais de um ponto da curva. Figura 7: Teste da Reta Vertical: Exemplo de curva que não é gráco de uma função. 1.1 Restrições no domínio Quando não especicado, o domínio de uma função é o maior subconjunto A R tal que a função esteja denida. Contudo, para determinar esse maior subconjunto é necessário fazer algumas considerações, pois podem haver restrições sobre o domínio de uma função. Por exemplo, Exemplo 1. Considere a função dada por f(x) = 1 x 2. Determine o seu domínio. 1 Devemos determinar o maior subconjunto dos números reais, onde a função f esteja denida. Para isso, note que a função é dada por um quociente de funções. Com isso, note que a função no denominador não pode ser 0, pois não existe divisão por 0. Logo, os pontos onde a função não está denida são os valores que zeram a função x 2 1. Dessa forma, fazemos x 2 1 0 x 2 1 x 1 e x 1 Logo, o domínio de f é o conjunto A = {x R x 1 e x 1} Exemplo 2. Seja g(x) = 4 x 2 2x. Determine o conjunto domínio de g. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 4
Para isso, devemos notar que nenhum radical de índice par admite radicando negativo. Logo, o domínio de g devem ser os números reais tais que x 2 2x 0. Logo, x 2 2x 0 x(x 2) 0 Estudando o sinal desse produto de polinômios, obtemos que Figura 8: Estudo do Sinal de x(x 2). Logo, o domínio de g é o conjunto A = {x R x 0 ou x 2} = (, 0] [2, + ) Exemplo 3. Determine o domínio da função h(x) = 2x 4 x 3 8. Note que no denominador, agora temos uma função raiz quadrada, logo, os valores reais que anulam ou que tornam a função x 3 8 negativa não podem estar no domínio de h. Desse modo, calculamos x 3 8 > 0 x 3 > 8 x > 3 8 x > 2 Assim, o domínio de h é o conjunto D h = {x R x > 2}. 2 Funções Elementares Existem vários tipos de funções que podem modelar problemas e situações do cotidiano. Apresentaremos, a seguir, algumas funções elementares e que serão muito utilizadas ao longo deste curso. 2.1 Funções Polinomiais Denição 2 (Função Polinomial). Uma função f cuja regra é dada por: f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 onde n é um número inteiro não negativo e a n, a n 1, a n 2,..., a 2, a 1, a 0 são números reais (ou constantes) chamados de coecientes do polinômio, é chamada polinomial. O número inteiro n é chamado grau do polinômio. Dependendo do grau do polinômio, temos algumas classes de funções polinomiais que são muito conhecidas e que já foram amplamente discutidas no ensino médio. A seguir, mostraremos algumas dessas funções e seus respectivos grácos. Exemplo 4 (Função Polinomial do 1 o Grau ou Função Am). A função polinomial do 1 o grau (ou simplesmente função do 1 o grau) é toda função que associa a cada número real x o valor numérico do polinômio ax + b, com a 0. Os números reais a e b são chamados, respectivamente, de coeciente angular e coeciente linear. Simbolicamente: f : R R x ax + b Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 5
Cálculo I Aula n o 02 O grá co da funçãof (x) = ax + b é uma reta não paralela aos eixos coordenados. A depender do valor de a, a função f pode ser dita crescente (para a > 0) ou decrescente (para a < 0). Observe, a seguir, o grá co da função do 1o grau. Figura 9: Grá cos da Função A m. À esquerda, temos o grá co de uma função crescente e à direita, o grá co de uma função decrescente. Exemplo 5 (Função Polinomial do 2 Grau ou Função Quadrática). A função polinomial do 2o grau (ou o simplesmente função do 2o grau) é de nida por: f: R R x 7 ax2 + bx + c, com a 6= 0. O grá co desta função é uma parábola, com eixo de simetria paralelo ao eixo y. Se o coe ciente de x2 for positivo (a > 0), a parábola tem concavidade voltada para cima, enquanto que, se o coe ciente de x2 for negativo (a < 0), a parábola tem concavidade voltada para baixo. Observe, a seguir o grá co da função do 2o grau: Figura 10: Grá cos da Função Quadrática. À esqueda, temos o grá co de uma função quadrática com a > 0 e à direita, o grá co de uma função quadrática com a < 0. Na função quadrática, a interseção do grá co com o eixo de simetria é um ponto chamado vértice. Este ponto pode ser considerado máximo (quando a parábola tem concavidade voltada para baixo) ou mínimo (quando a parábola tem concavidade voltada para cima). Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 6
Exemplo 6 (Função Polinomial do 3 o Grau ou Função Cúbica). A função polinomial do 3 o grau (ou simplesmente função do 3 o grau) é denida por: com a 0. f : R R x ax 3 + bx 2 + cx + d, O gráco de uma função cúbica será apresentado a seguir. Figura 11: Gráco de uma função polinomial do 3 o grau. 2.2 Funções Racionais Denição 3 (Função Racional). Uma função racional f é a razão de dois polinômios: f(x) = P (x) Q(x), em que P e Q são polinômios. O domínio consiste em todos os valores de x tais que Q(x) 0. Exemplo 7. A função f(x) = x 1 x + 1 é uma função racional, cujo domínio R { 1}. Observe o gráco: Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 7
Figura 12: Gráco da Função f(x) = x 1 x + 1 Exemplo 8. A função f(x) = (x2 + 3x 4)(x 2 9) (x 2 + x 12)((x + 3) o gráco: é racional e seu domínio é R { 4, 3, 3}. Observe Figura 13: Gráco da Função f(x) = (x2 + 3x 4)(x 2 9) (x 2 + x 12)((x + 3) 2.3 Função Potência Denição 4 (Função Potência). Uma função da forma: f(x) = x α, onde α é uma constante, é chamada função potência. Observe que, se α = 1, 2, 3,... a função potência é uma função polinomial. Se α = 1/n, com n positivo, dizemos que a função é do tipo raiz e se n é negativo note que a função é do tipo racional. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 8
Cálculo I Aula n o 02 Exemplo 9. A função f (x) = x é uma função raiz, onde α = 1/2. Observe o grá co: Figura 14: Grá co da Função f (x) = x Observe que essa função só está de nida para x 0. Exemplo 10. A função f (x) = hipérbole. 1 é uma função potência. Seu grá co é um tipo de curva denominada x Figura 15: Grá co da Função f (x) = 1 x Observação 1. Uma função f é dita algébrica se puder ser construída por meio de operações algébricas (soma, multiplicação, divisão e extração de raízes) envolvendo a função identidade e funções constantes. As funções não algébricas são chamadas de transcendentes. Como exemplo de funções transcendentes, podemos citar as funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas, que serão apresentadas a seguir. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 9
Cálculo I Aula n o 02 2.4 Funções De nidas por Partes As funções de nidas por expressões algébricas distintas em diferentes partes de seus domínios são chamadas funções de nidas por partes. Vejamos alguns exemplos. Exemplo 11. Seja a função de nida por: f (x) = x2, se, x 1 1 x, se, x < 1 O domínio desta função é R e como imagem, o intervalo [0, + ). Gra camente: Figura 16: Grá co de f (x). O próximo importante exemplo pode ser visto como uma função de nida por partes: é a função modular. Exemplo 12 (Função Modular). Seja: f (x) = x = x, se, x 0 x, se, x < 0 O grá co da função modular é: Figura 17: Grá co de f (x) = x. Observe que o domínio da função modular é o conjunto R e a imagem desta função é o conjunto R+. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 10
Exemplo 13 (Função Heaviside). A Função Heaviside, muito utilizada na eletricidade para representar chaves que ligam e desligam, é denida por: H(t) = { 0, se, t < 0 1, se, t 0 Note que o domínio desta função é R e a imagem é o conjunto {0, 1}, formado apenas de dois elementos. Representamos gracamente esta função a seguir. Figura 18: Gráco de H(t). Exemplo 14 (Função Maior Inteiro ou Função Escada). A função maior inteiro denotada entre colchetes e denida por: f(x) = [x], x R representa o maior inteiro que é menor que ou igual a x. Atribuindo alguns valores para x, ela tem como imagem números inteiros. Por exemplo: [0, 8] = 0, [1, 5] = 1, [ 1, 75] = 2, [ 0, 4] = 1, [π] = 3, etc. Gracamente, temos: Figura 19: Gráco da Função Maior Inteiro. Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 11
Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas seções 1.1, 1.2 e 1.6 do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios das seções 1.1 e 1.2 do livro texto. Dica importante Utilize algum software matemático, como por exemplo o Geogebra, para plotar grácos de funções e vericar os conceitos geométricos apresentados nessa aula, como o teste da reta vertical. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 12