Convolução de Sinais

Análise de Sinais (5001) Ficha Prática Laboratorial VII Curso: Eng. Electrotécnica Duração prevista: 2 horas Convolução de Sinais I. Sinais analógicos Operações matemáticas realizadas em sinais analógicos exigem que os sinais sejam definidos no mesmo intervalo em que a operação é realizada. Algumas das características dos sinais são referidos de seguida. Função impulso de Dirac Esta função é caracterizada pela sua duração nula, amplitude infinita, mas de área unitária. Matematicamente podem ser definidas as seguintes propriedades. 1. () t = 0 t 0 + 2. () tdt= 1 A função de Dirac pode ser usada sempre que se pretenda formular a aquisição de um sinal, usando para isso a expressão É assumido que a função x(t) é contínua e finita. + x() t = x( τ ) ( t τ) dτ Função degrau unitário A função é nula até ao momento t(0), nesse ponto apresenta uma descontinuidade e toma o valor unitário. 1 se t 0 ut () = 0 se t < 0 António Espírito Santo 1

Funções trigonométricas Este tipo de funções é central para a análise de sinais. São definidas pela frequência angular ω = 2π f, onde f é a frequência do sinal. 1. função coseno: x() t = cos( ωt) 2. função seno: x( t) = sin( ωt) Função exponencial complexa Esta função pode ser escrita como a soma de duas partes: uma real; e a outra imaginária. iωt x() t = e = cos( ωt) + isin( ωt) A relação de Euler pode aqui ser introduzida com vantagens e 1. cos( ωt) = e 2. cos( ωt) = iωt iωt + e 2 e 2i iωt iωt II. Sinais Discretos Regra geral, um sinal discreto é uma sequência de números reais ou complexos. Sendo cada elemento da sequência identificado por um índice. Por exemplo, x n-2, x n-1, x n, x n+1, x n+2. Podemos facilmente definir operações matemáticas nesses sinais. Assim, a soma, a multiplicação por uma constante ou por outro sinal, e a operação de atraso são conseguidas usando a identificação dos índices. Dadas as sequências [x n ] = [0.5 2.4 3.2 4.5] e [y n ] = [0.0 2.2 7.2 5.5]. Podemos definir a adição dos sinais discretos como sendo [z n ] = [x n ] + [y n ] = [0.5 4.6 10.4 10.0] A multiplicação por uma constante c = 2 resultará em: [w n ] = 2 *[x n ] = [1.0 4.8 6.4 9.0] Impulso de dirac O impulso unitário é sempre nulo com a excepção de na origem dos tempos ser unitário. Matematicamente pode ser definido por 1 n = 0 n = 0 n 0 com n + ], [ A função de impulso é muito útil e pode ser usada como o elemento constituinte de qualquer sinal discreto. Seja x n uma sequência, podemos definir o sinal x n como se segue. António Espírito Santo 2

x + = x n k n k k = Degrau unitário Este sinal é nulo para valores de índice negativo, e unitário para valores de índice não nulo. u n 1 n 0 = 0 n < 0 com n + ], [ Funções trigonométricas A função trigonométrica discreta é definida como se segue. Sendo n o índice da sequência e ω a frequência angular. 1. função coseno: x = cos( nω) 2. função seno: x = sin( nω ) n n Funções exponencial complexa Esta função pode ser escrita como a soma de duas partes: uma real; e a outra imaginária. x() t = i n e ω A relação de Euler pode aqui ser introduzida com vantagens e 1. cos( nω ) = e 2. cos( nω ) = iωn iωn + e 2 e 2i iωn iωn III. Convolução de sinais contínuos A operação de convolução é definida em sistemas LTI (linear and Time-Invariant), ou seja, lineares e invariantes no tempo. Tendo presente o facto anterior podemos estabelecer que: - A resposta de um sistema a uma entrada a impulso possui também uma resposta na forma de impulso; - A resposta de um impulso deslocado no tempo leva a uma resposta também deslocada no tempo, devido à característica do sistema ser invariante no tempo; António Espírito Santo 3

- Se o impulso for afectado de um factor de escala, a resposta será também afectada desse mesmo facto de escala, justificada pela linearidade da multiplicação por um escalar; - A soma de um número de entradas de impulsos afectados de um factor de escala é igual à soma das respostas aos impulsos afectadas dos mesmos factores de escala, já que a operação de multiplicação é linear; Podemos reconhecer que a soma anterior corresponde a um integral, ou seja podemos converter os dois lados, entrada e saídas, em dois integrais. Reconhecendo que a entrada é a função f(t), também reconhecemos que a saída é o integral de convolução. Como já foi referido, o integral de convolução fornece um método matemático de expressar a saída de um sistema LTI baseada num sinal arbitrário de entrada x(t), e na sua resposta a impulso h(t). O integral de convolução é expresso por + y() t = x( τ ) h( t τ) dτ A operação de convolução pode ser alternativamente representado pelo operador * Esta operação matemática possui as propriedades: y() t = x()* t y() t 1. Associativa - [ f ()* t f ()* t ] f () t = f ()* t [ f ()* t f () t ] 1 2 3 1 2 3 2. Comutativa - f1()* t f2() t = f2()* t f1() t f ()* t f () t + f () t = f ()* t f () t + f ()* t f () t 3. Distributiva - [ ] 1 2 3 1 2 1 3 4. Deslocamento - f1( t τ )* f2( t) = f1( t)* f2( t τ ) 5. Convolução com impulso - f1()* t () t = f1() t 6. Duração do resultado de convolução se duração de f () t 1 é T 1 e a duração de f () t 2 é T 2. Então a duração do resultado da convolução é T 1 +T 2. António Espírito Santo 4

7. Casualidade Se f 1 () t e f 2 () t são ambos sinais casuais então o resultado da convolução é também casual. IV. Convolução de sinais discretos O conceito da convolução de sinais discretos é em tudo idêntico ao dos sinais contínuos. Nesta situação, o integral é substituído por um somatório expresso por + y[ n] = x[ k] h[ n k] k = Tal como no caso da convolução contínua, é usado o operador *, de onde resulta a notação yn [ ] = xn [ ]* yn [ ] A operação de convolução contínua observa o mesmo conjunto de propriedades que a convolução contínua. Havendo a registar que agora a duração do resultado de convolução, no caso de f ( n ) 1 possuir N 1 amostras e f ( n ) 2 possuir N 2 amostras, ser igual é N 1 +N 2-1. V. Exemplo de convolução contínua Exemplo I Um sistema LTI é descrito por uma resposta a impulso dada por h(t) = exp(-t)u(t) (em que u(t) é um sinal em degrau). Uma entrada x(t) é aplicada ao sistema, esta entrada possui um valor de 0.6 no intervalo -1 < t < 0.5, um valor de 0.3 no intervalo 0.5 < t < 3, e um valor nulo no tempo restante (Fig. 1). Fig. 1 Resposta a impulso h(t) e entrada x(t) Fig. 2 Resposta a impulso h(t) e entrada x(t) invertida no tempo Para realizar a operação de convolução um dos sinais deve ser invertido no tempo. Neste caso optou-se por inverter no tempo o sinal x(t) (Fig. 2). António Espírito Santo 5

O próximo passo é deslocar temporalmente o sinal de entrada. Como os gráficos são feitos em ordem à variável τ, o sinal de entrada invertido e deslocado é dado por x(t-τ). O valor de t é a quantidade da qual o sinal invertido x(-τ) é deslocado no tempo. Correspondendo em simultâneo ao valor da saída y(t) fornecido por + yt () = xt ( τ ) h( τ) dτ Valor negativos de τ deslocam o sinal para a esquerda, enquanto que valores positivos deslocam o sinal para a direita. Como o valor da saída num instante particular de tempo t corresponde à área do produto de h(τ) e x(t-τ), os limites de integração correspondem às definições dos sinais. Como x(t) está definido em segmentos de tempo, o integral pode ser fraccionado nesses pequenos intervalos de tempo. O primeiro segmento corresponde a um deslocamento suficientemente para a esquerda para que não ocorra qualquer sobreposição dos sinais (Fig. 3), e logo o resultado da multiplicação é nula e também o valor de y(t). O intervalo de tempo no qual a saída do sistema apresenta um valor nulo pode ser obtido observando os sinais. A entrada x(τ) é nula para τ < -1, então x(-τ) é nulo para τ > 1. A transição do sinal x(-τ) de 0.6 para 0 ocorre sempre para valores de τ = t+1. De igual forma, a transição de 0.3 para 0.6 ocorre em τ = t-0.5, e a transição de 0 para 0.3 ocorre em τ = t-3. Podemos então concluir que o intervalo de tempo no decorrer do qual não existe sobreposição corresponde a τ <= 0, ou seja, para t+1 < 0. Logo y(t) = 0 para valores de t < -1. Fig. 3 Entrada deslocada para a esquerda sem sobreposição Fig. 4 Sobreposição do primeiro segmento Para valores de t > -1 passa a haver sobreposição (Fig. 4). Nesta primeira situação haverá sobreposição com x(t) = 0.6. Isto ocorre para t+1 > 0 e para t-0.5 < 0. Os limites de integração serão o intervalo de sobreposição. O que corresponde o intervalo de τ = 0 até τ = t +1. O intervalo de tempo para definir y(t) é dado pelo integral de -1< t < 0.5, o que corresponde a saída y(t) = 0.6*[1-0.3679*exp(-t)]. António Espírito Santo 6

Fig. 5 Sobreposição do segundo segmento Fig. 6 Sobreposição de ambos os segmentos A próxima situação corresponde a x(t-τ) completamente sobreposto e x(t-τ) = 0.3 parcialmente sobreposto a h(τ) (Fig. 5). Isto ocorre quando t-0.5 > 0 e t-3 < 0. Os limites de integração são de 0 a t-0.5 com x(t-τ) = 0.3 e de t-0.5 a t+1 com x(t-τ) = 0.6. A expressão obtida para y(t) neste intervalo de tempo é y(t) = 0.3*[1 + 0.9130*exp(-t)]. Sendo válida para o intervalo de tempo 0.5 < t < 3. A última situação corresponde a ter uma sobreposição completa de todos os segmentos (Fig. 6). Isto ocorre para t-3 > 0. Uma vez que h(t) está definida e é não nulo para todos os valores finitos de tempo, o tipo de sobreposição não varia. Os limites de integração são de t-3 até t-0.5 para x(t-τ) = 0.3 e para t-05 até t+1 para x(t-τ) = 0.6. O intervalo é definido para t > 3, e a expressão resultante para a saída y(t)= 6.2995*exp(-t). Fig. 7 Saída y(t) O problema está resolvido usando o código em Matlab listado no anexo I. Exemplo II A resposta a impulso h(t) e o sinal de entrada x(t) para um sistema LTI são fornecidas em seguida. Ambos os sinais são casuais já que são nulos para tempos negativos. O sinal de saída pode ser obtido efectuando a convolução analítica dos dois sinais. O que devolveria para a saída y(t) António Espírito Santo 7

Este resultado pode também ser obtido usando a função conv do MatLab. Mas devemos ter em atenção dois factores. O primeiro diz respeito a um factor de escala que devemos usar. Esta função aproxima o integral de convolução usando um somatório. Assumindo que os dados dos vectores x(t) e y(t) são amostras dos sinais no domínio contínuo, com um período de amostragem de dt segundo, o resultado obtido ao usar a função conv deve, neste caso, ser multiplicado por dt = 0.01 segundos. O segundo factor a que devemos prestar atenção diz respeito ao facto de que, quer o sinal de entrada x(t), quer o sinal de saída h(t), são representados por vectores de comprimento N. A aplicação da função conv devolve um vector de resultados com 2N-1 elementos, espaçados no tempo em dt segundos. A interpretação dos resultados deve ser a seguinte. - Os primeiros elementos correspondem ao resultado correcto, já que nesse intervalo de tempo possuímos valores que caracterizam a entrada e a resposta a impulso. - Os restantes N-1 elementos são calculados na assumpção de que ambos os sinais, x(t) e h(t), são nulos nos instante de tempo fora do intervalo representado pelos vectores. No nosso exemplo, ambos os sinais existem para os tempos t > 0, mas no MatLab apenas são representados nos primeiros 10 segundos. Como x(t) e h(t) não são nulos para além dos 10 segundos, apenas podemos considerar os primeiros N elementos do resultado vectorial devolvido pela função conv. Fig. 8 Entrada x(t), resposta a impulso h(t), e saída y(t) Fig. 9 Resultado da multiplicação para t = 2.6 seg O código do MatLab que resolve este problema pode ser encontrado no anexo II. VI. Exemplo de convolução discreta Uma aproximação gráfica da operação discreta pode ajudar a compreender a operação. Para isso vamos assumir que o sinal de entrada x[n] é casual e de comprimento m, e que h[n] é causal e de comprimento k. Sendo o sistema LTI, podemos escrever a soma finita como António Espírito Santo 8

m 1 y[ n] = x[ l] h[ n l] l= 0 De observar que para qualquer índice de amostra n, temos uma soma do produto da amostra x[l] com a amostra h[l-]. Ou seja, isto corresponde a multiplicar as amostras de x[n] pelas amostras de h[n] invertidas no tempo seguida da soma de todos os termos. O resultado final a obter pode ser representado graficamente por O processo de cálculo, passo a passo, pode ser representado graficamente através dos passos seguintes. António Espírito Santo 9

Este processo pode ser observado nas applets situadas em http://www.jhu.edu/~signals/ António Espírito Santo 10

Anexo I ***** MATLAB Code Starts Here ***** convolution_01_mat fig_size = [50 50 800 600]; th1 = linspace(0,10,1001); th = [0 th1]; Impulse response h(t) h1 = exp(-th1); h = [0 h1]; tx = [-1-1 0.5 0.5 3 3]; Input signal x(t) x = [0 0.6 0.6 0.3 0.3 0]; figure(1),plot(th,h,tx,x),grid,xlabel('time (s)'),ylabel('amplitude'),... title('impulse Response h(t) and Input Signal x(t)'),... axis([-5 10 0 1]),text(0.5,0.85,'h(t)'),text(3.2,0.25,'x(t)'),set(gcf,'Position',fig_size) figure(2),plot(th,h,-tx,x),grid,xlabel('time (s)'),ylabel('amplitude'),... title('impulse Response h(t) and Time-Reversed Input Signal x(-t)'),... axis([-5 10 0 1]),text(0.5,0.85,'h(t)'),text(-2.5,0.32,'x(-t)'),set(gcf,'Position',fig_size) Shifting x(t-tau) left 2 seconds (t = -2) figure(3),plot(th,h,-tx-2,x),grid,xlabel('tau (s)'),ylabel('amplitude'),... title('impulse Response h(tau) and Reversed & Shifted Input Signal x(t-tau)'),... axis([-5 10 0 1]),text(0.5,0.85,'h(tau)'),text(-2.5,0.62,'x(t-tau)'),text(6,0.65,'t = -2 s'),... set(gcf,'position',fig_size) Shifing x(t-tau) right 1.5 seconds (t = -0.5) figure(4),plot(th,h,-tx-0.5,x),grid,xlabel('tau (s)'),ylabel('amplitude'),... title('impulse Response h(tau) and Reversed & Shifted Input Signal x(t-tau)'),... axis([-5 10 0 1]),text(0.5,0.85,'h(tau)'),text(-3,0.32,'x(t-tau)'),text(6,0.65,'t = -0.5 s'),... set(gcf,'position',fig_size) Shifting x(t-tau) right 2.5 seconds (t = 2) figure(5),plot(th,h,-tx+2,x),grid,xlabel('tau (s)'),ylabel('amplitude'),... title('impulse Response h(tau) and Reversed & Shifted Input Signal x(t-tau)'),... axis([-5 10 0 1]),text(0.5,0.85,'h(tau)'),text(1.5,0.62,'x(t-tau)'),text(6,0.65,'t = +2 s'),... set(gcf,'position',fig_size) Shifting x(t-tau) right 2 seconds (t = 4) figure(6),plot(th,h,-tx+4,x),grid,xlabel('tau (s)'),ylabel('amplitude'),... title('impulse Response h(tau) and Reversed & Shifted Input Signal x(t-tau)'),... axis([-5 10 0 1]),text(0.5,0.85,'h(tau)'),text(3.5,0.62,'x(t-tau)'),text(6,0.65,'t = +4 s'),... set(gcf,'position',fig_size) ty = [-1:0.01:0.5]; 1st segment of y(t) y = 0.6*[1-0.3679*exp(-ty)]; ty1 = [0.5:0.01:3]; 2nd segment of y(t) y1 = 0.3*[1 + 0.9130*exp(-ty1)]; ty2 = [3:0.01:10]; 3rd segment of y(t) y2 = 6.2995*exp(-ty2); ty = [-5 ty ty1 ty2]; Combining the segments y = [0 y y1 y2]; António Espírito Santo 11

figure(7),plot(ty,y),grid,xlabel('time (s)'),ylabel('amplitude'),... title('output Signal y(t)'),axis([-5 10 0 0.5]),set(gcf,'Position',fig_size) ***** MATLAB Code Stops Here ***** António Espírito Santo 12

Anexo II ***** MATLAB Code Starts Here ***** CONVOLUTION_02_MAT fig_size = [232 84 774 624]; t = 0:0.01:10; time vector nt = length(t); dt = t(2); h = 2*t.*exp(-t) + exp(-2*t) - exp(-3*t); impulse response x = 1 - exp(-1.5*t); input signal figure(1),clf,plot(t,x,t,h),grid,xlabel('time (s)'),ylabel('amplitude'),... title('input x(t) and Impulse Response h(t)'),... text(2.5,0.95,'x(t)'),text(2.5,0.45,'h(t)'),set(gcf,'position',fig_size) figure(2),clf,plot(t,x,2.5-t,h),grid,xlabel('time Tau (s)'),ylabel('amplitude'),... title('input x(tau) and Impulse Response h(t-tau), t = 2.5 s'),... text(2.5,0.95,'x(tau)'),text(2.25,0.65,'h(t-tau)'),set(gcf,'position',fig_size) Calculation of the product of x(tau) & h(t-tau) for t = 2.5 s tau = t(1:251); tmtau = 2.5 - tau; hx = (1 - exp(-1.5*tau)).* ( 2*tmtau.*exp(-tmtau) + exp(-2*tmtau) - exp(-3*tmtau) ); figure(3),clf,plot(t(1:251),hx),grid,xlabel('time Tau (s)'),ylabel('amplitude'),... title('product of Input x(tau) and Impulse Response h(t-tau), t = 2.5 s'),... text(0.75,0.25,'value of y(t) at t = 2.5 s equals the area under this curve'),... set(gcf,'position',fig_size) [numh,denh] = residue([0;2;1;-1;],[-1;-1;-2;-3],0); calculation of transfer function [numx,denx] = residue([1; -1],[0; -1.5],0); calculation of input transform [numy,deny] = series(numx,denx,numh,denh); calculation of output transform [resy,poly,ky] = residue(numy,deny); partial fraction expansion for output y1 = lsim(numh,denh,x,t); calculation of output using "lsim" figure(4),clf,plot(t,y1,t,x,t,h,t(251),y1(251),'r*'),grid,xlabel('time (s)'),ylabel('amplitude'),... title('input x(t),impulse Response h(t), and Output y(t)'),... text(2.5,0.9,'x(t)'),text(3.5,0.3,'h(t)'),text(3.5,1.6,'y(t)'),... text(2.7,y1(251),sprintf('y(t=2.5) = g',y1(251))),set(gcf,'position',fig_size) y2 = conv(x,h) * dt; calculation of output using "conv" y2 = y2(1:nt); y3 = 0; figure(5),clf,plot(t,y1,'g-',t,y2,'r-.'),grid,xlabel('time (s)'),ylabel('amplitude'),... title('output y(t) from LSIM and from CONV'),set(gcf,'Position',fig_size) w = logspace(-2,3,501); frequency vector [magx,phx] = bode(numx,denx,w); frequency domain data [magh,phh] = bode(numh,denh,w); [magy,phy] = bode(numy,deny,w); António Espírito Santo 13

figure(6),clf,subplot(211),semilogx(w,20*log10(magx),w,20*log10(magh),... w,20*log10(magy)),grid,xlabel('frequency (r/s)'),ylabel('magnitude (db)'),... title('frequency-domain Magnitudes of Input Signal, System, and Output Signal'),... subplot(212),semilogx(w,phx,w,phh,w,phy),grid,xlabel('frequency (r/s)'),ylabel('phase (deg)'),... title('frequency-domain Phases of Input Signal, System, and Output Signal'),... set(gcf,'position',fig_size) ***** MATLAB Code Stops Here ***** António Espírito Santo 14