Obter as equações paramétricas das cônicas.

MÓDULO 1 - AULA 1 Aula 1 Equações paramétricas das cônicas Objetivo Obter as equações paramétricas das cônicas. Estudando as retas no plano, você viu que a reta s, determinada pelos pontos P = (x 1, y 1 ) e Q = (x, y ), se expressa por meio das seguintes equações paramétricas: x = x 1 + t(x x 1 ) s : y = y 1 + t(y y 1 ), t R. Note que essas equações expressam os valores das coordenadas cartesianas x e y dos pontos da reta s, em função de apenas uma variável, a variável t, denominada parâmetro. As retas não são as únicas curvas planas para as quais podemos obter equações paramétricas. Vejamos: Exemplo 1.1 Determinemos equações paramétricas para o círculo C, cuja equação cartesiana é x + y = 9. Curvas planas... São curvas contidas num plano. Curvas retas ou retas curvas? As retas no plano são um tipo particular de curvas planas, descritas por equações cartesianas, paramétricas e polares. Solução: Seja P = (x, y) um ponto do círculo e denotemos P 0 = (3, 0) o ponto de interseção do círculo com o semi-eixo positivo OX. Seja t a medida, em radianos, do ângulo P 0 OP (tomada no sentido anti-horário), onde O é a origem do sistema cartesiano de coordenadas. Observe que t é o comprimento do arco do círculo x + y = 1, determinado por P 0 OP (veja a Figura 1.1). Como o triângulo OP Figura 1.1: Círculo C : x + y = 9. 0 P é retângulo, as expressões das coordenadas x e y, em função do parâmetro t, são: x = 3 cos t e y = 3 sen t. Fazendo os valores de t percorrerem o intervalo [0, π), obtemos todos os pontos do círculo. 181 CEDERJ

Se quisermos, podemos considerar t percorrendo todos os valores reais. Isto implica realizar um número infinito de voltas sobre o círculo. Portanto, uma possibilidade de equações paramétricas para o círculo C é: x = 3 cos t C :, t R y = 3 sen t Observe que, para qualquer valor real a 0, as equações: x = 3 cos(at) e y = 3 sen(at), com t R, também são equações paramétricas para o círculo C, pois: x + y = (3 cos(at)) + (3 sen(at)) = 9(cos (at) + sen (at)) = 9. Note que, conforme t percorre todos os valores de R, o ponto P = (x, y) percorre todos os pontos do círculo. Por outro lado, as equações paramétricas: x = 3 cos t, t [0, π], y = 3 sen t satisfazem a equação do círculo, mas definem apenas o semi-círculo de P 0 = (3, 0) a P 1 = ( 3, 0) percorrido no sentido antihorário (veja a Figura 1.). Figura 1.: Semicírculo C. Curvas planas... Existem muitas curvas planas maravilhosas mas, às vezes, determinar suas equações paramétricas requer muito cuidado e paciência. Nesta aula vamos obter as equações paramétricas de algumas dessas curvas planas. Fazendo isso, você irá fixar diversos conceitos geométricos já aprendidos. I. Elipses. Na Aula, do Módulo, do Pré- Cálculo, você aprendeu o procedimento geométrico para traçar a elipse E : x a + y b = 1. Seja P = (x, y) E. Tracemos os círculos C 1 : x + y = a, C : x + y = b e as retas r e s, passando pelo ponto P, perpendiculares aos eixos OX e OY, respectivamente. Figura 1.3: Elipse E : x a + y b = 1. Seja P 1 = (x 1, y 1 ) um ponto de r C 1 e seja P = (x, y ) um ponto de s C, como na Figura 1.3. Note que x 1 = x e y = y sem importar o quadrante em que os pontos P 1 e P estejam. Pelo visto na Aula, do Módulo do Pré-Cálculo, os pontos P 1 e P podem ser escolhidos alinhados com O. CEDERJ 18

Seja P 0 = (a, 0) o ponto onde o círculo C 1 intersecta o semi-eixo positivo OX e seja t a medida (em radianos) do ângulo P 0 OP 1, tomada no sentido anti-horário. Como P 1 = (x 1, y 1 ) C 1 e P = (x, y ) C, temos x 1 = a cos t e y = b sen t. Como x = x 1 e y = y, as equações paramétricas de E são: x = a cos t E :, t R y = b sen t Caso E : (x x 0) + (y y 0) = 1 seja uma elipse transladada, então a b suas equações paramétricas são obtidas transladando a equação anterior para o ponto (x 0, y 0 ): x = x 0 + a cos t E : y = y 0 + b sen t, t R Para verificar isto, basta substituir as expressões de x e y dessas equações paramétricas, na equação cartesiana de E: ((x 0 + a cos t) x 0 ) + ((y 0 + a sen t) y 0 ) a b II. Hipérboles Seja H a hipérbole x a y b = 1. Vamos obter equações paramétricas para H. A seguir, assumimos 0 < b < a e você ficará encarregado de fazer as adaptações necessárias para o caso em que 0 < a < b. Acompanhe o procedimento na Figura 1.4. Sejam as retas s 1 : x = b e s : x = a. = a cos t a + b sen t b = 1. x Figura 1.4: Hipérbole H : a y b = 1. Consideremos um ponto P = (x, y) H no primeiro quadrante. Seja P 1 = (x 1, y 1 ) o ponto de interseção de s 1 com a reta paralela ao eixo OX que passa por P. Seja t a medida (em radianos) do ângulo do semi-eixo positivo OX para a semi-reta OP 1. Da Trigonometria, temos P 1 = (x 1, y 1 ) = (b, b tg t). Note que as segundas coordenadas de P e P 1 são iguais. Daí concluímos que y = y 1 = b tg t. Ou seja, P = (x, y) = (x, y 1 ) = (x, b tg t). Para obter a coordenada x do ponto P, seja P o ponto de interseção MÓDULO 1 - AULA 1 = Equações paramétricas da elipse E : x a + y b = 1 = Equações paramétricas da elipse transladada: E : (x x 0) a + (y y 0) b = 1 Reveja... Na Aula 4, do Módulo do Pré-Cálculo, a construção geométrica da hipérbole. 183 CEDERJ

da semi-reta OP 1 com a reta s. Da Trigonometria, temos OP = a sec t. Note que o círculo de centro na origem e raio OP, intersecta o semieixo positivo OX num ponto P 0 = (x 0, 0), com x 0 = OP = a sec t. Como t é um arco do primeiro quadrante, a sec t é um número positivo. Logo: x 0 = a sec t. Afirmamos que x = x 0, isto é, P = (x, y) = (x, b tg t) = (x 0, b tg t) = (a sec t, b tg t). Para verificar a afirmativa, basta mostrar que o ponto de coordenadas (a sec t, b tg t) satisfaz a equação cartesiana da hipérbole H: (a sec t) (b tg t) = sec t tg t = 1. a b b tg t 0, para π a sec t < 0 e < t π, b tg t < 0, para π < t < 3π. Na Figura 1.6 designamos por H + o ramo da hipérbole H que intersecta o semi-eixo positivo OX, e por H o ramo de H que intersecta o semi-eixo negativo OX. Com isso, a hipérbole completa é: H = H + H. Figura 1.5: Ramo de H no quarto quadrante. Figura 1.6: Hipérbole H completa. Finalmente, observe que, conforme t percorre todos os valores do intervalo [0, π ), o ponto P percorre todos os pontos da hipérbole que estão no primeiro quadrante, como vemos na Figura 1.4. Para obter os pontos do quarto quadrante, fazemos a mesma construção, variando t no intervalo ( π, 0]. Neste caso, o ponto P = (x, y) da hipérbole tem a sua segunda coordenada negativa coincidindo com b tg t, que é também um número negativo. Veja a Figura 1.5. Para obter o ramo da hipérbole que intersecta o semi-eixo negativo OX, repetimos a construção, variando t no intervalo ( π, 3π ). Neste caso, temos: Com essa análise, chegamos às seguintes equações paramétricas da hipérbole H : x a y b = 1 : CEDERJ 184

MÓDULO 1 - AULA 1 x = a sec t H : y = b tg t, t ( π, π ) ( π, 3π ) Quando t varia no intervalo ( π, π ), obtemos o ramo da hipérbole H que intersecta o semi-eixo positivo OX, e quando t varia no intervalo ( π, 3π), obtemos o ramo de H que intersecta o semi-eixo negativo OX. Observação. Podemos determinar equações paramétricas de cada ramo da hipérbole isoladamente, fazendo variar t num mesmo intervalo. De fato, já sabemos que as equações paramétricas: x = a sec t H + : y = b tg t, t ( π, π ), descrevem as coordenadas dos pontos do ramo H + de H, que intersecta o semi-eixo positivo OX. Também, como t ( π, 3π ) se, e somente se, t π ( π, π ), e: a sec t = a sec(t π) e a tg t = a tg(t π), vemos que as coordenadas dos pontos do ramo H de H, que intersecta o semi-eixo negativo OX, são dadas pelas equações paramétricas: x = a sec t H :, t ( π y = b tg t, π) Portanto, H é descrita completamente pelas equações paramétricas: x = a sec t H + :, t ( π y = b tg t, π ), H x = a sec t :, t ( π y = b tg t, π ) Observação. Podemos obter outras equações paramétricas para a hipérbole H, utilizando as funções hiperbólicas. Para isso, consideremos as equações paramétricas: x = a cosh t (1) y = b senh t x = a cosh t, t R e () y = b senh t, t R. Substituindo as equações de (1) na equação cartesiana de H: (a cosh t) (b senh t) = cosh t senh t = 1. a b Funções hiperbólicas. As funções hiperbólicas são definidas a partir da função exponencial: Cosseno hiperbólico: cosh t = 1 (et + e t ) Seno hiperbólico: senh t = 1 (et e t ) e descrevem as coordenadas x e y, respectivamente, dos pontos da hipérbole x y = 1, de maneira similar às funções cos t e sen t que descrevem as coordenadas x e y, respectivamente, dos pontos do círculo x + y = 1. Em particular, vale a relação: cosh t senh t = 1. 185 CEDERJ

O mesmo ocorre ao se substituir as equações de () na equação cartesiana de H. Além disso, variando t em R, vemos que x = ±a cosh t a percorre todos os valores em (, a] [a, + ), enquanto que y = b senh t percorre todos os valores reais. Portanto, (1) são equações paramétricas para o ramo H + de H que intersecta o Figura 1.7: Hipérbole H = H + H semi-eixo positivo OX e, () são equações paramétricas para o outro ramo H de H. III. Parábolas As equações cartesianas canônicas das parábolas se caracterizam por apresentar uma das variáveis no primeiro grau. Isso permite expressar essa variável como dependente da variável do segundo grau. Assim, escolhemos o parâmetro t igual à variável independente (do segundo grau) da equação cartesiana, percorrendo todos os valores reais. Assim, na parábola P de equação cartesiana (x a) = k(y b) (Figura 1.8), escrevemos y = 1(x k a) + b. Portanto, escolhendo a variável independente x como sendo o parâmetro t, a variável dependente y se expressa como y = 1 (t k a) + b. Figura 1.8: P : (x a) = k(y b). Portanto, P tem por equações paramétricas: x = t P : y = 1 k (t a) + b, t R Observação. O procedimento utilizado para obter equações paramétricas das parábolas se aplica para obter equações paramétricas de partes de elipses e hipérboles. Exemplo 1. Determinar equações paramétricas da elipse CEDERJ 186

MÓDULO 1 - AULA 1 E : x a + y b = 1. Solução: Colocando em evidência a variável y, obtemos: y b = 1 x a = y = b (1 x b a ) = y = ± a (a x ) = y = ± b (a a x ). Note que a expressão que aparece no radicando, no lado direito da última igualdade, está definida somente para os valores de x, tais que a x 0, ou seja, a x a. Para cada escolha de sinal na expressão de y, descrevemos uma parte da elipse E. Logo, suas equações paramétricassão: x = t E + : y = b a t, t ( a, a], E x = t : y = b, t [ a, a), a x a a onde E + é a semi-elipse contida no semiplano superior incluindo o vértice V 1 = (a, 0) e excluindo o vértice V = ( a, 0). Analogamente, E é a semi-elipse contida no semiplano inferior, incluindo o vértice V = ( a, 0) e excluindo o vértice V 1 = (a, 0). Veja as Figuras 1.9, 1.10 e 1.11. Figura 1.9: Semi-elipse E +. Figura 1.10: Semielipse E. Figura 1.11: Elipse E = E + E. Resumo Nesta aula vimos como obter as expressões de equações paramétricas das cônicas, usando relações trigonométricas básicas e observando as condições que um ponto deve satisfazer para pertencer a uma dada curva. Na Aula 13 vamos obter e analisar as equações paramétricas de outras curvas planas interessantes que não são cônicas. Exercícios x = 1 + sec t 1. Verifique que y = 3 + 3 tg t de um ramo da hipérbole (x 1) 4, π < t < π, são equações paramétricas (y 3) 9 = 1. 187 CEDERJ

. Seja a hipérbole de equação x y = 1. Dê as equações paramétricas 9 do ramo desta hipérbole que intersecta o semi-eixo positivo OX. Como são as equações paramétricas desse ramo, expressando uma variável em função da outra? 3. Determine equações paramétricas para a hipérbole H : y 4 x = 1, fazendo y = t (veja o Exemplo 1.). 4. Determine a equação cartesiana da elipse: x = 1 + cos t E :, t R. y = sen t 5. Sejam a e b números reais positivos. Verifique que o lugar geométrico cujas equações paramétricas são: x = a tg t H : y = b sec t, t R é uma hipérbole cujo eixo focal é o eixo y. Descreva a forma dessa hipérbole nos casos a < b e b < a. 6. Determine a equação cartesiana da hipérbole: x = + tan t H : y = 3 + 3 sec t, t R. 7. Determine equações paramétricas para a hipérbole H : xy = 1 fazendo uma das variáveis igual ao parâmetro. 8. Verifique que x = t 3 e y = t 6 4t 3, t R, são equações paramétricas de uma parábola. Dê a equação cartesiana dessa parábola. x = cosh t + senh t 9. Verifique que H :, t R, são equações paramétricas de um ramo da hipérbole xy = 1. y = cosh t senh t x = (cos t + sen t) 10. Verifique que E :, t R, são equações paramétricas y = 3(cos t sen t) de uma elipse. Dê a equação cartesiana dessa elipse. Auto-avaliação Se você resolveu os Exercícios de 1 a 6, aprendeu a verificar se um par de equações são equações paramétricas de uma dada curva. Ao resolver os CEDERJ 188

MÓDULO 1 - AULA 1 Exercícios de 7 a 10, você fixou as técnicas para obter equações paramétricas das cônicas em relação a uma variável. Caso não tenha conseguido resolver algum exercício, releia a aula e procure orientação com os tutores. 189 CEDERJ