Séries de agamentos Agora vamos estudar as operações financeiras que envolvem pagamentos ou recebimentos parcelados. Consideremos os pagamentos, 2,, n nas datas, 2,, n, respectivamente de um Valor resente (V). Deste modo definimos uma série de pagamentos como uma sucessão de recebimentos, desembolsos ou prestações, de mesmo valor, divididos regularmente num período de tempo. Diagrama de Fluxo de Caixa Fluxo de caixa é uma sucessão temporal de entradas e de saídas de dinheiro no caixa de uma entidade. As convenções utilizadas para a elaboração de gráficos de fluxos de caixa são as seguintes: Escala Horizontal expressa unidade temporal, podendo ser: dias, semanas, meses, anos etc.; Setas para cima consistem em entrada ou recebimento de dinheiro; Setas para baixo consistem em saídas ou pagamentos. Uma operação financeira envolve duas partes (o credor e o tomador) com fluxos de caixa absolutamente simétricos. A que é entrada de caixa para uma das partes, é saída de caixa para a outra e vice-versa. ) O preço à vista da geladeira é R$.500,00, mas o pagamento pode ser financiado em quatro parcelas iguais mensais de R$ 400,00. Se você faz a compra e opta pelo financiamento, você terá quatro desembolsos mensais sucessivos de R$ 400,00. A loja terá quatro entradas mensais de $ 400,00. Tanto para você como para a loja esse fluxo de caixa é equivalente a $.500,00 na data 0. A loja recebe 4 pagamentos mensais Você paga 4 parcelas mensais Séries de agamentos (ostecipados) Dado um conjunto de valores monetários na data, 2 na data 2, e assim por diante até o valor n na data n, chamamos de Valor resente desse conjunto, a uma taxa i, ao valor indicado por V, que, aplicado à taxa i, gera as rendas, 2,, n, isto é: s 2) Uma pessoa tem dívidas de R$ 2000,00, R$ 3500,00 e R$ 5000,00 que vencem dentro de 2, 5 e 6 meses, respectivamente. Quanto deverá aplicar hoje, a juros compostos e à taxa de % ao mês para poder pagar os compromissos? O valor que deve ser aplicado hoje, para fazer frente aos compromissos, corresponde ao valor presente dos compromissos à taxa de % ao mês e vale: V = 2000 (,0) 2 + 3500 (,0) 5 + 5000 (,0) 6 = 2000,020 + 3500,0500050 + 5000,065205060 = 960,59 + 3330,3 + 470,23 0000,95 ortanto o valor a ser aplicado é R$ 0000,95.
2 Seqüência uniforme de pagamentos Consideremos um valor financiado V que deve ser pago em prestações iguais de valor nas datas, 2, 3,..., n e (ou seja, = 2 = = n ) suponhamos que a taxa de juros compostos cobrada no financiamento seja i por período de tempo. Chamamos esse conjunto de seqüencia uniforme de pagamentos. 3) Um conjunto de sofás é vendido a prazo em 5 prestações mensais de R$ 400,00 cada uma, sendo a primeira um mês após a compra. Se o pagamento for à vista, o preço cobrado é R$ 750,00. Qual a melhor alternativa de pagamento de um comprador que consegue aplicar seu dinheiro a juros compostos, à taxa de juros compostos igual a 2% ao mês? ara podermos comparar as duas alternativas, temos de obter o valor presente das duas alternativas e escolher a de menor valor presente. O valor atual do pagamento a prazo é dado por: V = 400 (,02) + 400 (,02) 2 + 400 (,02) 3 + 400 (,02) 4 + 400 (,02) 5 = = 400,0 + 400,0404 + 400,06208 + 400,0824326 + 400,040808032 = 392,6 + 384,47 + 376,93 + 369,54 + 362,29 885,39 o valor atual do pagamento à vista é R$ 750,00. Como o valor atual do pagamento à vista é menor do que o valor atual do pagamento a prazo, a melhor alternativa é o pagamento à vista. Teorema : O Valor resente (V) de uma serie de capitais uniformes postecipados de n, valores iguais (), onde i é a taxa de juros composto, é igual a: V = ( ( + i) n) i Demonstração: ode-se verificar que o valor presente equivalente a uma série de pagamentos na: V = + i + ( + i) 2 + + ( + i) n + ( + i) n Multiplicando os dois lados da igualdade por ( + i), temos: V( + i) = + + i + ( + i) 2 + + ( + i) n 2 + ( + i) n Assim V( + i) V = ( + i) n Vi = ( ( + i) n) V = ( ( + i) n) i ara demostrar esse teorema podemos usar a fórmula da soma dos primeiros n termos de uma rogressão Geométrica. 4) Como poderíamos calcular o somatório do exemplo (3) Segundo o Teorema, temos: 400 V = ( (,02) 5) 0,02 = ( ) 20000 ( 0,90573)20000,040808032 0,0942699 20000 885,39 s 24 25
Como calcular o valor da parcela em uma seqüência uniforme de pagamentos Corolário : O valor da parcela de uma serie de capitais uniformes postecipados de n com o Valor resente V, onde i é a taxa de juros composto, é: = Vi ( + ( + i) n ) Demonstração: elo Teorema temos V = ( (+i) n) logo i = Vi ( ) = Vi ( (+i)n ) = Vi + (+i) n (+i) n ((+i)n ). ortanto = Vi ( + (+i) n (+i) n ) 5) Um televisor, cujo preço à vista é R$.200,00, é vendido em 8 prestações mensais iguais, a primeira sendo paga um mês após a compra. Se os juros são de 9% ao mês, determine o valor das prestações. Os dois esquemas de pagamento aqui representados são equivalentes: Igualando os valores na época 0 (zero), obtemos: 200 =,09 +,09 2 +,09 3 +,09 4 +,09 5 +,09 6 +,09 7 +,09 8 elo corolário do teorema temos: = 200 0,09 ( +,09 8 ) = 08 ( +,09 8) 08 ( +,9925624 ) = 08 ( + ) 08( +,00749308) 08 2,00749308 0,9925624 Logo 26,8092534. ortanto que cada prestação na compra a prazo será de R$ 26,8. Cálculo da taxa de juros de uma Seqüência uniforme de pagamentos O Teorema nos oferece uma equação que não tem uma solução analítica quando extemos procurando a taxa de juros num determinado tempo. ara tal situação, podemos utilizar alguns métodos numéricos. ela equação do Teorema obtemos: V = ( ( + i) n) i i = ( ( + i) n) V Deste modo podemos formar uma seqüência de aproximações i k+ = ( ( + i k ) n) V 6) Um televisor é vendido por um preço a vista de R$ 250,00 ou financiado em 6 prestações sem entrada de R$255,50. Qual é a taxa de juros aplicada neste financiamento? Temos uma sequência 255,5 i k+ = ( ( + i k ) 6) 250 = 0,2044 ( ( + i k ) 6) começando arbitrariamente com i 0 = 0, e admitindo um erro de ε < 0 5 obtém-se:
k i k i k i k+ k i k i k i k+ 0,08902529 0,0097847 6 0,062376508 0,00083462 2 0,0886445 0,00757077 7 0,062229288 0,0004722 3 0,0769949 0,00494496 8 0,062022 0,0008266 4 0,073366764 0,003552728 9 0,06205932 9,509E-05 5 0,07074290 0,002623863 0 0,06939422 7,65092E-05 6 0,068765657 0,00977244 2 0,06877828 6,5939E-05 7 0,0672534 0,0052543 22 0,0682829 4,9609E-05 8 0,066082762 0,0070352 23 0,06788249 3,99707E-05 9 0,0656985 0,00093577 24 0,06756034 3,2245E-05 0 0,0644552 0,00078033 25 0,06730065 2,59695E-05 0,063883775 0,000567377 26 0,0670926 2,09392E-05 2 0,063433545 0,00045023 27 0,0669224,68859E-05 3 0,063075077 0,000358468 28 0,0667862,3689E-05 4 0,062788908 0,00028669 29 0,06667636,0985E-05 5 0,06255997 0,000228937 30 0,06658774 8,8632E-06 Logo i 0,0665, ou seja, a taxa de juros é aproximadamente igual a 6,65%. Outra forma de resolver esse problema é aplicar o método de Newton-Raphson. ela equação do Teorema obtemos: V = ( ( + i) n) i iv = ( ( + i) n) iv = ( + i) n ( + i) n (iv ) = ( + i) n (iv ) + = 0 Assim f(i) = ( + i) n (iv ) + = 0, logo temos que estimar as raízes de uma função f(i). O método de Newton é representado da seguinte forma: i k+ = i k f(i k) f (i k ) A derivada de f(i) é f (i) = n( + i) n (iv ) + ( + i) n V = ( + i) n (n(iv ) + ( + i)v) ortanto podemos formar a seguinte seqüência de aproximações ( + i k ) n (i k V ) + i k+ = i k ( + i k ) n (n(i k V ) + ( + i k )V) = ( + i k )(i k V ) + ( + i = i k k ) n (i k V ) + ( + i = i n(i k V ) + ( + i k )V k k ) n V n ( + i k ) (i k V ) + 7) Um televisor é vendido por um preço a vista de R$ 250,00 ou financiado em 6 prestações sem entrada de R$255,50. Qual é a taxa de juros aplicada neste financiamento? A partir do método de Newton-Raphson obtemos a seguinte sequência i k+ = i k (i k 255,5 250 ) + 255,5 ( + i k ) 6 250 6 ( + i k ) (i k 255,5 = i k 250 ) + tomando com i 0 = 0, e admitindo um erro de ε < 0 5 obtém-se: (i k 0,2044) + 0,2044 ( + i k ) 6 6 ( + i k ) (i k 0,2044) +
k i k i k i k+ k i k i k i k+ 0,0745007 0,025498983 4 0,0662933 9,29858E-05 2 0,0638968 0,00609336 5 0,0662765,6806E-07 3 0,067498 0,00276762 Logo i 0,0662, ou seja, a taxa de juros é aproximadamente igual a 6,62%. As calculadoras, ditas financeiras contêm funções para o cálculo de taxas de juros. Série de agamento erpétua Quando em uma série uniforme de pagamentos, o número de períodos é muito grande, pode ser conveniente considerá-la como infinita. Essa série é denominada série perpétua, sendo também chamadas infinita. Um exemplo desse tipo de série é o caso dos fundos de aposentadorias. ara determinar a relação do valor presente (V) e o valor das prestações () de uma série uniforme e infinita, conhecendo a taxa de juros por período (i). Sabemos que aplicando o limite para n, temos: lim n ( + i) n = 0 Logo pela equação do Teorema temos: V = lim ( n ( + i) n) i = i lim ( n ( + i) n) = i ( lim lim n n ( + i) n) = = i ( 0) = i ortanto V = /i. 8) As ações preferenciais de uma determinada empresa pagam dividendos anuais de R$ 5,00 por ação. Determinar o valor da ação preferencial desta empresa sabendo que a taxa de juros utilizada no mercado é de 8% ao ano. V = i = 5 0,08 = 62,5 ortanto o valor da ação é R$ 62,50. Exercícios Exercícios 53 55 56 57 58 ) Jussara deveria efetuar seis pagamentos mensais sucessivos, de R$ 50,00 cada. Renegociou a dívida, para efetuar apenas dois pagamentos iguais, nas épocas do segundo e do quinto pagamentos. Se a taxa de juros é de 0% ao mês, qual o valor desses novos pagamentos? Sugestão: Transfira tudo para a época do º pagamento. Na primeira opção esse valor seria de: 50 + 50 + 50 2 + 50 3 + 50 4 + 50 5 Faça o mesmo com a segunda opção e iguale os dois resultados. 2) Uma loja, no Rio de Janeiro, oferecia, no Natal, as alternativas de pagamento: a) pagamento de uma só vez, um mês após a compra; b) três pagamentos mensais iguais sem juros, o primeiro no ato da compra. Se você fosse cliente dessa loja e o dinheiro valesse para você 0% ao mês, qual seria sua opção? 3) Uma pessoa tem dívidas de R$ 9000,00 e R$ 8000,00 que vencem dentro de e 2 meses, respectivamente. Quanto deverá aplicar hoje, a juros compostos. para fazer frente aos compromissos? Considere cada uma das seguintes taxas de aplicação:
a) 2% a.m. b),5% a.m. c) % a.m. d) 0,5% a.m, e) 0% a.m. 4) Quanto uma pessoa deve aplicar hoje, a juros compostos c à taxa de,4% a.m., para poder pagar uma dívida de R$ 3600,00 daqui a 3 meses e outra de R$ 8700,00 daqui a 5 meses? 5) Uma televisão é vendida à vista por R$ 900,00 ou a prazo em 3 prestações mensais de R$ 305,00 cada uma. A primeira prestação vence um mês aluís compra. Qual a melhor alternativa de pagamento para um comprador que aplica seu dinheiro a juros compostos, se a taxa for: a),5% a.m. b) 0,5% a.m. 6) O preço à vista de um automóvel é R$ 8000,00, mas pode ser vendido a prazo com 20% de entrada mais 5 prestações mensais de R$ 3000,00 cada uma. Qual a melhor alternativa de pagamento para um comprador que aplica seu dinheiro a juros compostos à taxa de,6% a.m.? 7) Suponha que um investimento de R$ 00.000,00 gere retornos anuais de R$ 25.000,00. ara uma taxa mínima de 20% ao ano, qual o Valor resente Líquido (VL) para uma vida: a) de 0 anos; b) de 50 anos; c) de 60 anos; d) de 70 anos; e) infinita. 8) Uma loja vende um televisor 42 por R$.000,00 à vista ou em 5 pagamentos mensais e iguais (entrada + 4 vezes) de R$ 00,00. Tomando como base essas informações, determine a taxa de juro mensal que a loja está embutindo no preço a prazo? (Resposta: 6,53% a.m. Valor obtido, por exemplo, via método de Newton-Raphson). 9) Um microcomputador é encontrado à venda em duas condições de pagamento; em 3 prestações mensais de R$ 024,00 cada uma, sem entrada; em 4 prestações mensais de R$ 778,00 cada uma. sem entrada. Qual a melhor alternativa de pagamento para um comprador que aplica seu dinheiro a juros compostos e à taxa de % a.m.? 0) Quanto devemos depositar em um fundo com a finalidade de receber para sempre a importância anual de R$ 2.000,00 considerando uma taxa anual de juros igual a 0%? ) Qual a menor quantia que um grupo empresarial deve cobrar hoje, para oferecer uma renda anual de R$ 6.000,00? 2) Uma loja de eletroeletrônicos vende um conjunto de som por R$ 300,00 de entrada e mais três parcelas mensais de R$ 400,00. O preço a vista desse conjunto de som é R$.400,00. Qual a taxa de juro mensal que a loja está embutindo no preço a prazo? (Resposta: 4,48% a.m. Valor obtido, por exemplo, via método de Newton-Raphson). 3) Qual a taxa de juros que relaciona o valor presente e os pagamentos do fluxo de caixa exibido na figura a seguir: (Resposta: 8,43% ao período. Valor obtido, por exemplo, via método de Newton- Raphson).