Nome: N.º: endereço: data: Telefone: E-mail: Colégio PARA QUEM CURSA A ạ SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 04 Disciplina: MaTeMÁTiCa Prova: desafio nota: QUESTÃO 6 Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas realizadas em um carro sejam obtidas em metros: a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro; b) altura b entre o solo e o encosto do piloto. Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, respectivamente: a) 0, e 0,6. b), e,6. c) e 6. d) 0 e 60. e) 00 e 600. a = 00 mm = 0 cm = dm =, m b = 60 cm = 6 dm =,6 m Resposta: B
QUESTÃO 7 A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada com M w ), introduzida em 7 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. M w e M 0 se relacionam pela fórmula: M w = 0,7 + log 0 (M 0 ) Onde M 0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é dina.cm. O terremoto de Kobe, acontecido no dia 7 de janeiro de 5, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude M w = 7,. U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes. (Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: mai. 00. Adaptado.) U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy. (Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: mai. 00. Adaptado.) Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M 0 do terremoto de Kobe (em dina.cm)? a) 0 6,0 b) 0 0,7 c) 0,00 d) 0,65 e) 0 7,00 Se M W = 0,7 +. log 0 (M 0 ) e M W = 7,, então: 7, = 0,7 +. log 0 (M 0 ) log 0 (M 0 ) = 7 M 0 = 0 7 Resposta: E
QUESTÃO 8 Em uma festa com n pessoas, em um dado instante, mulheres se retiraram e restaram convidados na razão de homens para cada mulher. Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e restaram, a seguir, convidados na razão de mulheres para cada homem. O número n de pessoas presentes inicialmente na festa era igual a a) 00 b) 05 c) 5 d) 0 e) 5 Se h era o número inicial de homens e m o de mulhe res, então: h = (m ) h = (m ) h = (m ) m = 64 fi m = (h 55) h = h 65 5h = 0 h = 66 fi m + h = n = 0 Resposta: D QUESTÃO O número real x, com 0 < x < π, satisfaz a equação log ( cos x) + log ( + cos x) =. Então, cos x + sen x vale 7 8 a) b) c) d) e) log ( cos x) + log ( + cos x) = I) cos x > 0 fi + cos x > 0 0 log cos x = fi ( cos x) = fi fi < cos x < < cos x < 8 cos x = < cos x < II) Lembrando que sen x + cos x =, "x Œ e observando que cos x = que sen x =, pois 0 < x < π 8, conclui-se III) cos(x) + sen x = cos 8 x + sen x =. + = 0 Resposta: E
QUESTÃO 0 Considere a função f(x) = 4x, a qual está definida para x. Então, para todo (x + ) x e x, o produto f(x)f( x) é igual a a) b) c) x + d) x + e) (x ) I) Para x, tem-se: 4x f(x) = = (x + ) 4x = x + x + 4x x = x + = (x + ) (x + ) (x + ) (x + ) (x ) = = (x + ) x x + II) Para x, tem-se: 4( x) f( x) = = ( x) + 4x = x + x + 4x x = + x + = ( x + ) ( x) ( x) ( x) (x + ) = = (x ) III) Para x e x, tem-se: f(x). f( x) = Resposta: B x + x x x +. x + x = QUESTÃO Uma substância radioativa sofre desintegração ao longo do tempo, de acordo com a relação m(t) = c. a kt, em que a é um número real positivo, t é dado em anos, m(t) é a massa da substância em gramas e c, k são constantes positivas. Sabe-se que m 0 gramas dessa substância foram reduzidos a 0% em 0 anos. A que porcentagem de m 0 ficará reduzida a massa da substância, em 0 anos? a) 0% b) 5% c) 4% d) % e) % Se a substância sofre desintegração ao longo do tempo, de acordo com a relação m(t) = c. a kt, então: I) m(0) = c. a 0 = m 0 fi c = m 0 II) m(0) = m 0. a 0k = 0,m 0 a 0k = 0, III) m(0) = m 0. a 0k = m 0. (a 0k ) = m 0. (0,) = 0,04 m 0 = 4%. m 0 Resposta: C 4
QUESTÃO Quando se divide o Produto Interno Bruto (PIB) de um país pela sua população, obtém-se a renda per capita desse país. Suponha que a população de um país cresça à taxa constante de % ao ano. Para que sua renda per capita dobre em 0 anos, o PIB deve crescer anualmente à taxa constante de, aproximadamente, Dado: 0,05 a) 4,% b) 5,6% c) 6,4% d) 7,5% e) 8,% Sejam PIB 0, P 0 e R 0 o Produto Interno Bruto, a população e a renda per capita inicial desse país. Sejam ainda PIB 0, P 0 e R 0 o Produto Interno Bruto, a população e a renda per capita desse mesmo país, 0 anos após, e seja i a taxa de crescimento anual do PIB durante esses 0 anos. Temos: R 0 = R 0, 0 PIB R 0 = 0 PIB ( + i%) 0 e R 0 = 0 PIB = 0 + i% =. R 0 = R 0 P 0 P ( + %) 0 0 P 0,0 + i% = 0 + i%=,0.,05 + i% =,0557 i% = 0,0557 = 5,57% 5,6%,0 Resposta: B QUESTÃO Seja f uma função a valores reais, com domínio D, tal que f(x) = log 0 (log / (x x + )), para todo x Œ D. O conjunto que pode ser o domínio D é a) {x Œ ; 0 < x < } b) {x Œ ; x 0 ou x } c) {x Œ ; < x < 0} d) {x Œ ; x ou x 0} 0 e) {x Œ ; < x < } 5
I) Se f(x) = log 0 [log (x x + )] para todo x Œ D, então os elementos do conjunto D / são tais que: x x + > 0 log / (x x + ) > 0 x x + > 0 x x + < II) x x + > 0, "x, pois o gráfico de g(x) = x x + é do tipo III) x x + < x x < 0 0 < x <, pois o gráfico de h(x) = x x é do tipo IV) D {x Œ 0 < x < } e, portanto, o conjunto D pode ser o próprio conjunto {x Œ 0 < x < }. Resposta: A QUESTÃO 4 Um caminhão sobe uma ladeira com inclinação de 5. A diferença entre a altura final e a altura inicial de um ponto determinado do caminhão, depois de percorridos 00 m da ladeira, será de, aproximadamente, a) 7 m b) 6 m c) 40 m d) 5 m e) 67 m Dados:,7 q cos q sen = 6
I) Sendo sen q cos q = e q = 0, temos: sen cos 0 5 = = = 4 Assim, sen 5 = 7 0,7 00 II) sen 5 = =,7 = = 0 = = = 0.,7 5, h = = = h = 5. 5, = 5,5 0 0 00 Logo, a diferença h entre a altura final e a altura inicial de um ponto determinado do caminhão é, apro xi madamente, 6. Resposta: B QUESTÃO 5 O diretor de uma escola convidou os 80 alunos do terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincandeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez, um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há a) 0 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. b) 0 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. c) alunos a mais do que possíveis respostas distintas. d) 60 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. e) 70 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 7
O número total de possibilidades de uma persona gem esconder um dos 5 brinquedos em um dos cômodos é 6. 5. = 70. Já que as respostas devem ser sempre diferentes, algum aluno acertou a resposta porque há 0 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. Resposta: A QUESTÃO 6 O dono de uma farmácia resolveu colocar à vista do público o gráfico mostrado a seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) de certo medicamento ao longo do ano de 0. De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a menor venda absolutas, em 0, foram a) março e abril. b) março e agosto. c) agosto e setembro. d) junho e setembro. e) junho e agosto. De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respesctivamente, a maior e a menor venda absolutas, em 0, foram junho e agosto. Resposta: E QUESTÃO 7 Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 5 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que forma o monte é a). b) 4. c) 6. d) 8 e). 8
A quantidade de cartas que forma o monte é 5 ( + + + 4 + 5 + 6 + 7) = 5 8 = 4 Resposta: B QUESTÃO 8 Uma pesquisa realizada por estudantes da Faculdade de Estatística mostra, em horas por dia, como os jovens entre e 8 anos gastam seu tempo, tanto durante a semana (de segundafeira a sexta-feira), como no fim de semana (sábado e domingo). A seguinte tabela ilustra os resulta dos da pesquisa. Rotina Juvenil Durante a semana No fim de semana Assistir à televisão Atividades domésticas Atividades escolares 5 Atividade de lazer 4 Descanso, higiene e alimentação 0 Outras atividades De acordo com esta pesquisa, quantas horas de seu tempo gasta um jovem entre e 8 anos, na semana inteira (de segunda-feira a domingo), nas atividades escolares? a) 0 b) c) 4 d) 5 e) 7 A quantidade de horas semanais, de segunda-feira a domingo, que um jovem de a 8 anos gasta com atividades escolares é 5. 5 +. = 7 Resposta: E QUESTÃO Certo vendedor tem seu salário mensal calculado da se guinte maneira: ele ganha um valor fixo de R$ 750,00, mais uma comissão de R$,00 para cada produto vendido. Caso ele venda mais de 00 produtos, sua comis são passa a ser de R$,00 para cada produto vendido, a partir do 0 ọ produto vendido. Com essas informações, o gráfico que melhor representa a relação entre salário e o número de produtos vendidos é
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O salário S em função de x, para: ) 0 x 00, é S = 750 +. x ) x 0, é S = 050 +. (x 00) = x + 50 Portanto, o gráfico é do tipo: Resposta: E QUESTÃO 0 Nos shopping centers costumam existir parques com vários brinquedos e jogos. Os usuários colocam créditos em um cartão, que são descontados por cada período de tempo de uso dos jogos. Dependendo da pontuação da criança no jogo, ela recebe um certo número de tíquetes para trocar por produtos nas lojas dos parques. Suponha que o período de uso de um briquedo em certo shopping custe R$,00 e que uma bicicleta custe 00 tíquetes. Para uma criança que recebe 0 tíquetes por período de tempo que joga, o valor, em reais, gasto com créditos para obter a quantidade de tíquetes para trocar pela bicicleta é a) 5. b) 460. c) 8. d) 80. e) 066. Para que uma criança que recebe 0 tíquetes por período acumule 00 tíquetes (que lhe permitem trocá-los pela bicicleta), ela deverá jogar por 00 = 460 períodos. 0 Como o preço de cada período é de R$,00, o valor gasto será 460. R$,00 = R$ 80,00. Resposta: D