Otimização COS360 Luidi Simonetti luidi@cos.ufrj.br PESC/COPPE/UFRJ 2016 Luidi Simonetti (PESC/UFRJ) Otimização 2016 1 / 11
Problemas de Otimização Um problema de otimização é aquele onde se procura determinar os valores extremos de um conjunto de restrições, com respeito a uma função. Variáveis: x 1, x 2,..., x n Função objetivo: z = min c(x 1, x 2,..., x n ) Restrições: r 1 (x 1, x 2,..., x n ) = b 1 r 2 (x 1, x 2,..., x n ) = b 2... r m (x 1, x 2,..., x n ) = b m x X R n Luidi Simonetti (PESC/UFRJ) Otimização 2016 2 / 11
Problemas de Otimização Linear Problemas de programação linear são problemas de otimização nas quais a função objetiva e as restrições são todas lineares. Obs.: Cada ponto da região viável tem uma valoração dada por uma função objetiva. Luidi Simonetti (PESC/UFRJ) Otimização 2016 3 / 11
O que é necessário para definir um Problema de Programação Linear (PPL) Variáveis de decisão - são as incógnitas a serem determinadas pela solução Restrições - são as limitações da sua região viável Função objetivo - função matemática que define a qualidade da solução em função das variáveis de decisão. Luidi Simonetti (PESC/UFRJ) Otimização 2016 4 / 11
Exemplo de uma modelagem de um problema real para um PPL Uma empresa de alimentos caninos produz 2 tipos de rações: Ração A e B que utilizam cereais e carne. Ração A utiliza 5 kg de cereais e 1 kg de carne. Ração B utiliza 4 kg de carne e 2 kg de cereais. Preço: Ração A = R$ 20 e Ração B = R$ 30. Custo: 1 kg de carne = R$ 4 e 1 kg de cereal = R$ 1. Existe a disposição 10.000 kg de carne e 30.000 kg de cereal. Como deve ser a produção para ganhar o máximo possível? Luidi Simonetti (PESC/UFRJ) Otimização 2016 5 / 11
Variáveis de decisão x i - quantidade de ração produzida do tipo i Restrições 5x A + 2x B 30.000 x A + 4x B 10.000 x A 0 e x B 0 (cereal) (carne) (não negatividade) Função objetivo Lucro: Ração A = 20-5*1-1*4 = 11 Ração B = 30-2*1-4*4 = 12 max 11x A + 12x B Luidi Simonetti (PESC/UFRJ) Otimização 2016 6 / 11
Problema da Dieta Para o bom funcionamento do organismo, uma pessoa precisa ingerir uma quantidade mínima de vitaminas. Temos 6 diferentes ingredientes que deverão ser combinados por um custo mínimo : Vitamina Quant. de vitamina/ingrediente (un/g) 1 2 3 4 5 6 Quant. mínima (un) A 1 0 2 2 1 2 9 C 0 1 3 1 3 2 19 Preço (cents/g) 35 30 60 50 27 22 Variáveis de decisão - x i, i {1,..., 6} quantidade (em grama) do ingrediente Luidi Simonetti (PESC/UFRJ) Otimização 2016 7 / 11
Problema da Dieta : Vitamina Quant. de vitamina/ingrediente (un/g) 1 2 3 4 5 6 Quant. mínima (un) A 1 0 2 2 1 2 9 C 0 1 3 1 3 2 19 Preço (cents/g) 35 30 60 50 27 22 Variáveis de decisão - x i, i {1,..., 6} quantidade (em grama) do ingrediente Restrições x 1 + 0x 2 + 2x 3 + 2x 4 + x 5 + 2x 6 9 (vit. A) 0x 1 + x 2 + 3x 3 + x 4 + 3x 5 + 2x 6 19 (vit. C) x i 0 i {1,..., 6} Função objetivo - min 35x 1 + 30x 2 + 60x 3 + 50x 4 + 27x 5 + 22x 6 Luidi Simonetti (PESC/UFRJ) Otimização 2016 7 / 11
Exemplos de problemas Problema do Plantio Uma cooperativa com 3 fazendas. A produção de cada fazenda depende da área e da água. 3 culturas em cada fazenda: milho, arroz e feijão. Existe limites de área plantada para cultura. Para evitar concorrência entre os cooperados, acertou-se que a proporção de área seja a mesma. Determine a área plantada de cada cultura em cada fazenda de modo a otimizar o lucro da cooperativa. Luidi Simonetti (PESC/UFRJ) Otimização 2016 8 / 11
Exemplos de problemas Problema do Plantio Fazenda Área Água Área Água Lucro Cultura (acres) (l) Max. (l/acre) (p/ acre) 1 400 1800 Milho 660 5.5 5000 2 650 2200 Arroz 880 4 4000 3 350 950 Feijão 400 3.5 1800 x ij - área utilizada pela fazenda i, i {1, 2, 3} pela cultura j, j {milho (m), arroz (a), feijão (f)}. Restrição de área x 1m + x 1a + x 1f 400 x 2m + x 2a + x 2f 650 x 3m + x 3a + x 3f 350 Luidi Simonetti (PESC/UFRJ) Otimização 2016 9 / 11
Exemplos de problemas Problema do Plantio Fazenda Área Água Área Água Lucro Cultura (acres) (l) Max. (l/acre) (p/ acre) 1 400 1800 Milho 660 5.5 5000 2 650 2200 Arroz 880 4 4000 3 350 950 Feijão 400 3.5 1800 Restrição de água 5.5x 1m + 4x 1a + 3.5x 1f 1800 5.5x 2m + 4x 2a + 3.5x 2f 2200 5.5x 3m + 4x 3a + 3.5x 3f 950 Restrição área plantada por cultura x 1m + x 2m + x 3m 660 x 1a + x 2a + x 3a 880 x 1f + x 2f + x 3f 400 Luidi Simonetti (PESC/UFRJ) Otimização 2016 10 / 11
Exemplos de problemas Problema do Plantio Fazenda Área Água Área Água Lucro Cultura (acres) (l) Max. (l/acre) (p/ acre) 1 400 1800 Milho 660 5.5 5000 2 650 2200 Arroz 880 4 4000 3 350 950 Feijão 400 3.5 1800 Restrição proporção [considerando que a proporção deve se manter para cada cultivo]: x 1m 400 = x 2m 650 x 2a 650 = x 3a 350 x 2m 650 = x 3m 350 x 1f 400 = x 2f 650 x 1a 400 = x 2a 650 x 2f 650 = x 3f 350 Ou [considerando que a proporção deve ser para a área total]: x 1m + x 1a + x 1f = x 2m + x 2a + x 2f 400 650 x 2m + x 2a + x 2f = x 3m + x 3a + x 3f 650 350 Luidi Simonetti (PESC/UFRJ) Otimização 2016 11 / 11