Matrizes - Parte 1. Márcio Nascimento

Matrizes - Parte 1 Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 20171 4 de setembro de 2017 1 / 65

Sumário 1 Representação de um conjunto de Matrizes 2 Operações Soma de Matrizes Produto por escalar 3 Matrizes e Imagens Digitais 4 Transposição 5 Matriz Conjugada 6 Conjugada Transposta 7 Simetrias 8 Exercícios 2 / 65

Matriz Uma matriz nada mais é do que um conjunto de números reais (ou complexos) dispostos em linhas e colunas Por exemplo, [ ] 1 2 3 4 5 6 é uma matriz formada por números reais com duas linhas e três colunas Representaremos o conjunto de TODAS as matrizes (com elementos reais) com duas linhas e três colunas por R 2 3 4 / 65

EXEMPLOS 4 2 1 A = 2 3 1 R 3 3 0 1 7 [ ] (2i) (4 2i) (7i) (5) B = (0) ( 3 + 7i) (12i) (5 C 2 4 2i) 4 2 1 A = 2 3 1 C 3 3 0 1 7 5 / 65

GENERALIZANDO R n m - conjunto das matrizes de ordem n m com entradas reais; C n m - conjunto das matrizes de ordem n m com entradas complexas 6 / 65

NOTAÇÃO a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = Rn m (ou C n m ) a n1 a n2 a nm a rs - elemento da LINHA r e COLUNA s; Por exemplo: a 14 - elemento da LINHA 1 e COLUNA 4; a 79 - elemento da LINHA 7 e COLUNA 9; a 81,109 - elemento da LINHA 81 e COLUNA 109; A = [a rs ] n m : r {1, 2,, n} e s {1, 2,, m} 7 / 65

EXEMPLO Esboçar a matriz X = [x rs ] R 4 4 tal que x rs = (r s) + i(2r + s), onde i é a unidade imaginária dos números complexos x 11 x 12 x 13 x 14 X = x 21 x 22 x 23 x 24 x 31 x 32 x 33 x 34 x 41 x 42 x 43 x 44 8 / 65

Importante Uma vez que todo número real também é um número complexo, podemos sempre nos referir a um conjunto de matrizes usando a notação C n m 9 / 65

Considere um conjunto Ω não vazio Podemos obter uma estrutura algébrica ao definirmos uma operação ( ) entre os elementos de Ω; Os elementos de Ω, sob a influência da operação, possuem algumas propriedades; Se consideramos um conjunto de matrizes, então a Álgebra Matricial consiste da operação entre matrizes e suas propriedades 11 / 65

IGUALDADE ENTRE MATRIZES Duas matrizes são IGUAIS quando possuem a mesma ordem e os elementos correspondentes (posições) são iguais 3 9 2 = 4 1 5 0 [ ] (2 4i) [ (2 4i) (1 + 2i) ] (1 + 2i) As matrizes A = [a ij ] = [(i j) 2 ] 3 3 e B = [b ij ] = [(j i) 2 ] 3 3 são iguais? 12 / 65

Soma de Matrizes Soma de Matrizes Considere duas matrizes A, B de mesma ordem n m A soma A + B é a matriz também de ordem n m obtida pela soma das entradas de A, com as entradas de B, respeitando-se as posições [ ] [ ] 3 2 1 7 0 2 Exemplo: A =, B = 4 1 5 5 4 2 [ ] (3 + 7) (2 + 0) (1 + 2) A + B = (4 + ( 5)) ( 1 + ( 4)) (5 + 2) [ ] 10 2 3 A + B = 1 5 7 13 / 65

Soma de Matrizes Soma de Matrizes Considerando as matrizes [ ] 7 0 2 3 2 1 A =, B = 5 4 2 4 1 5 0 0 0 o que se pode dizer sobre a soma A + B? Não está definida, pois A tem ordem 2 3 e B tem ordem 3 3 14 / 65

Soma de Matrizes Soma de Matrizes Usando a notação matricial: Se A = [a rs ] n m, B = [b rs ] n m, então A + B = [(a rs + b rs )] n m 15 / 65

Soma de Matrizes Soma de Matrizes Propriedades da Soma Sejam A = [a rs ] n m, B = [b rs ] n m e C = [c rs ] n m com entradas reais ou complexas São válidas as seguintes propriedades: Associatividade: Comutatividade: A + (B + C) = (A + B) + C A + B = B + A Existência de Elemento Neutro: Existe uma matriz X 0 de ordem n m tal que A + X 0 = A qualquer que seja a matriz A de ordem n m Existência de Inverso Aditivo: Para cada matriz A de ordem n m, existe uma matriz A tal que A + A = X 0 16 / 65

Soma de Matrizes Soma de Matrizes EXEMPLO Qual o elemento neutro, com relação a operação SOMA, no conjunto de matrizes C 2 2? [ ] 0 0 = 0 = 0 0 [ ] (3 + 2i) ( 2 + i) Qual o inverso aditivo da matriz A = 5 7 em C 1 2 [? ] ( 3 2i) (2 i) = A = 5 7 17 / 65

Soma de Matrizes Subtração Dadas duas matrizes A = [a rs ] e B = [b rs ], ambas de mesma ordem, definimos a subtração da seguinte forma: A B = A + ( B) Ou seja, A B = [a rs ] + [ b rs ] = [(a rs + ( b rs ))] = [(a rs b rs )] Isto é, a subtração de duas matrizes se dá elemento a elemento 18 / 65

Soma de Matrizes Subtração EXEMPLO Considere as matrizes 3 2 1 1 2 3 A = 4 5 6, B = 6 5 4 8 9 0 0 9 8 2 0 2 A B = 2 0 2 8 0 8 2 0 2 B A = 2 0 2 8 0 8 Veja que, em geral, a subtração é NÃO COMUTATIVA 19 / 65

Produto por escalar Produto por escalar O quadro abaixo mostra o preço de 1kg de duas marcas de arroz em quatro estabelecimentos diferentes de uma mesma cidade A E 1 E 2 E 3 E 4 A 1 2, 20 2, 20 2, 10 2, 00 A 2 2, 30 2, 20 2, 20 2, 10 Os quatro estabelecimentos resolveram dar um desconto de 10% nos preços de todas as suas mercadorias Como fica o novo quadro com os preços de arroz? B E 1 E 2 E 3 E 4 A 1 1, 98 1, 98 1, 89 1, 80 A 2 2, 07 1, 98 1, 98 1, 89 20 / 65

Produto por escalar Produto por escalar Vejamos as duas tabelas A B E 1 E 2 E 3 E 4 A 1 2, 20 2, 20 2, 10 2, 00 A 2 2, 30 2, 20 2, 20 2, 10 E 1 E 2 E 3 E 4 A 1 1, 98 1, 98 1, 89 1, 80 A 2 2, 07 1, 98 1, 98 1, 89 Podemos denotar cada quadro acima usando matrizes: [ ] 2, 20 2, 20 2, 10 2, 00 A = 2, 30 2, 20 2, 20 2, 10 [ ] 1, 98 1, 98 1, 89 1, 80 B = 2, 07 1, 98 1, 98 1, 89 21 / 65

Produto por escalar Produto por escalar Qual a relação entre as entradas correspondentes das matrizes A e B? [ ] 2, 20 2, 20 2, 10 2, 00 A = 2, 30 2, 20 2, 20 2, 10 [ ] 1, 98 1, 98 1, 89 1, 80 B = 2, 07 1, 98 1, 98 1, 89 a rs /b rs é sempre igual? Se foi dado um desconto de 10%, então o novo preço (matriz B) corresponde a 0,9 do preço antigo (matriz A), isto é: b rs = 0, 9a rs para todas as entradas Escreveremos B = 0, 9A 22 / 65

Produto por escalar Produto por escalar Generalizando Seja A uma matriz de ordem n m e α um escalar (número real ou complexo) O produto do escalar α pela matriz A é definido por: αa = [αa rs ] a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m α = a n1 a n2 a nm (αa 11 ) (αa 12 ) (αa 1m ) (αa 21 ) (αa 22 ) (αa 2m ) (αa n1 ) (αa n2 ) (αa nm ) 23 / 65

Produto por escalar Produto por escalar Propriedades Sejam A, B matrizes de mesma ordem e α, β escalares α(βa) = (αβ)a α(a + B) = αa + αb (α + β)a = αa + βa Existe um escalar x 0 tal que x 0 A = A para qualquer matriz A 24 / 65

Produto por escalar Propriedades Encontremos o escalar x 0 tal que x 0 A = A para qualquer matriz A Vamos resolver a equação xa = A xa = A = x[a rs ] = [a rs ] = [(xa rs )] = [a rs ] = xa rs = a rs para todo r {1,, n}, s {1,, n} = x = 1 25 / 65

Imagens em P & B: Matrizes com entradas 0 ou 1 27 / 65

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Representac a o de um conjunto de Matrizes Operac o es Matrizes e Imagens Digitais Transposic a o Matriz Conjugada Conjugada T Imagens coloridas: tre s matrizes (R, G, B) com entradas entre 0 e 255 30 / 65

Cada uma das matrizes R, G, B guarda a intensidade da cor para cada pixel 31 / 65

Alterar o brilho de uma fotografia, significa modificar a intensidade das cores, isto é, multiplicar uma (ou duas, ou três) das matrizes R,G,B por escalar(es) 32 / 65

Representac a o de um conjunto de Matrizes Operac o es Matrizes e Imagens Digitais Transposic a o Matriz Conjugada Conjugada T r11 r21 R = [rij ]1920 1080 = r1920,1 G = [gij ]1920 1080, 1R, 1G, 1B r12 r22 r1,1080 r2,1080 r1920,2 r1920,1080 B = [bij ]1920 1080 αr αr, βg, γb 33 / 65

Considere as matrizes [ ] 1 i (2 + i) A = (2 2i) (1 + i) 4 1 (2 2i) e B = i (1 + i) (2 + i) 4 Alguma semelhança entre elas? Foi feita a transposição de cada linha de A para uma coluna de B 35 / 65

Definição (Transposta de uma Matriz) Seja A = [a rs ] uma matriz de ordem n m Se reescrevermos os elementos de A de modo que cada linha seja disposta em forma de coluna, então a nova matriz obtida terá ordem m n e será chamada transposta de A, cuja notação é A T a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm a 11 a 21 a n1 A T a 12 a 22 a n2 = a 1m a 2m a nm 36 / 65

Exemplos: 1 2 m 1 2 2 m 2 A = 1 2 n m n 1 i 1 i i 1 i 1 A = 1 i 1 i i 1 i 1 A T = 1 1 1 A T 2 2 2 2 n = m m 2 m n 1 i 1 i i 1 i 1 1 i 1 i i 1 i 1 37 / 65

Qual o conjugado do número complexo z = 3 2i? z = 3 + 2i (Conceito Algébrico) Qual o significado geométrico para o conjugado de um número complexo? Repare que z + z R Em geral: z = a + bi = z = a bi 39 / 65

Mas, e a conjugada de uma matriz? Definição (Matriz Conjugada) Seja A = [a rs ] uma matriz de ordem n m A matriz conjugada de A é definida por: A = [a rs ] onde a rs é o conjugado do número complexo a rs para cada r {1, 2,, n}, s {1, 2,, m} a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm Qual a ordem da matriz conjugada A? 40 / 65

Exemplos: 1 i 1 i 1 i 1 i A = i 1 i 1 1 i 1 i A = i 1 i 1 1 i 1 i i 1 i 1 i 1 i 1 1 3 2 1 3 2 A = 1 17 3 A = 1 17 3 4 2 0 4 2 0 41 / 65

Conjugada Transposta Podemos tomar a conjugada e a transposta de uma matriz A [ ] (3 i) ( 2 + i) 4 A = i 2i ( 1 i) (3 i) i (3 + i) i A T = ( 2 + i) 2i A T = ( 2 i) 2i 4 ( 1 i) 4 ( 1 + i) [ ] (3 + i) ( 2 i) 4 (3 + i) i A = i 2i ( 1 + i) A T = ( 2 i) 2i 4 ( 1 + i) A T = A T 43 / 65

Em geral A = a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a n1 a n2 a nm A T = a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a n2 a 1m a 2m a nm A T = a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a n2 a 1m a 2m a nm A = a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a n1 a n2 a nm A T = a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a n2 a 1m a 2m a nm A T = A T 44 / 65

Notação Quando quisermos denotar a matriz conjugada e transposta de uma matriz A, usaremos a notação Isto é, A A = A T 45 / 65

Propriedades Dada uma matriz A de ordem n m, são válidas: (A + B) T = A T + B T (A + B) = A + B (αa) T = αa T (αa) = αa 46 / 65

Prova Provemos a última igualdade: (αa) = αa (αa) = (αa) T = (α[a rs ] n m ) T = ([αa rs ] n m ) T = ([αa rs ] n m ) T = [αa sr ] m n = [αa sr ] m n = α[a sr ] m n = α[a rs ] T n m = αa 47 / 65

A transposta ou conjugada transposta de matrizes quadradas podem gerar matrizes com algumas peculiaridades, como veremos a seguir A = 1 i 1 i i 1 i 1 1 i 1 i i 1 i 1 Veja que A = A T A T = 1 i 1 i i 1 i 1 1 i 1 i i 1 i 1 49 / 65

Matriz Simétrica Definição (Matriz Simétrica) Dizemos que uma matriz quadrada A é simétrica quando A = A T Observe que em uma matriz simétrica, A 1 = A 1, A 2 = A 2, A n = A n Consequentemente a rs = a sr para cada r {1, 2,, n}, s {1, 2,, n} 50 / 65

Exemplo Seja A = [a rs ] n n a matriz tal que a rs = (r s) 2 A é simétrica? a rs = a sr? (r s) 2 = (s r) 2? Sim Portanto, A é simétrica 51 / 65

Matriz Antissimétrica Considere o seguinte caso: 0 2 1 0 2 1 A = 2 0 1 A T = 2 0 1 1 1 0 1 1 0 Observe que A T = A Definição (Matriz Antissimétrica) Seja A uma matriz quadrada Dizemos que A é antissimétrica quando A T = A Tem-se A 1 = A 1, A 2 = A 2,, A n = A n Consequentemente, a rs = a sr 52 / 65

Matriz Antissimétrica Verdadeiro ou falso? Se A é uma matriz antissimétrica então sua diagonal principal é nula Verdadeiro! a rs = a rs = a 11 = a 11, a 22 = a 22,, a nn = a nn Daí, 2a 11 = 0, 2a 22 = 0,, 2a nn = 0 Ou seja, a 11 = 0, a 22 = 0,, a nn = 0 Observação ANTISSIMÉTRICA NÃO É O CONTRÁRIO DE SIMÉTRICA 53 / 65

Matriz Antissimétrica Exemplo A = 4 2 1 5 3 2 1 78 13 45 22 15 9 11 8 7 4 3 13 9 A T = 2 2 45 11 1 1 22 8 5 78 15 7 Claramente não ocorre A T = A nem A T = A Portanto A não é simétrica, nem antissimétrica 54 / 65

Existem matrizes que são, ao mesmo tempo, simétrica e antissimétrica? Dada A = [a rs ] n n, é possível: a rs = a sr e a rs = a sr, para cada r, s {1, 2, n}? Se a rs = a sr e a rs = a sr, então a sr = a rs, isto é, a sr = 0 Portanto a rs = 0 Conclusão: A = 0 55 / 65

Matriz Hermitiana Quando consideramos a matriz conjugada transposta, temos conceitos análogos para simetria e antissimetria 2 1 i 2 + 2i Seja A = 1 + i 5 3i 2 2i 3i 4 2 1 i 2 + 2i Então Se A = 1 + i 5 3i 2 2i 3i 4 Conclusão: A = A 56 / 65

Definição (Matriz Hermitiana) Seja A uma matriz quadrada Dizemos que A é hermitiana 1 quando A = A A 1 = A 1, A 2 = A 2,, A n = A n Isto é, a rs = a sr 1 Termo em homenagem ao matemático francês Charles Hermite (1822-1901) 57 / 65

Matriz Hermitiana Verdadeiro ou falso? Se A é uma matriz hermitiana, então sua diagonal principal é formada por números reais puros Verdadeiro! Sendo A hermitiana, então A = A Isto é, a rs = a sr Em particular, a 11 = a 11, a 22 = a 22,, a nn = a nn Para a 11 = a 11, temos que a 1 + ib 1 = a 1 ib 1, ou seja, b 1 = b 1 Portanto b 1 = 0 e a 11 = a 1 + i0 = a 1 R Da mesma forma, a 22, a 33,, a nn R 58 / 65

Matriz Anti-hermitiana 2i 3 + 5i 2 7i Seja A = 3 + 5i 0 9 2 7i 9 3i 2i 3 5i 2 + 7i Então Se A = 3 5i 0 9 2 + 7i 9 3i Conclusão: A = A 59 / 65

Definição (Matriz Anti-hermitiana) Seja A uma matriz quadrada Dizemos que A é anti-hermitiana quando A = A A 1 = A 1, A 2 = A 2,, A n = A n Daí, a rs = a sr O que acontece com a diagonal principal de uma matriz anti-hermitiana? São elementos na forma ib com b R Observação ANTI-HERMITIANA NÃO É O CONTRÁRIO DE HERMITIANA 60 / 65

Exercício Mostre que (A T ) T = A Solução a 11 a 12 a 1m a 11 a 21 a n1 a 21 a 22 a 2m A = A T a 12 a 22 a n2 = a n1 a n2 a nm a 1m a 2m a nm a 11 a 12 a 1m (A T ) T a 21 a 22 a 2m = = A a n1 a n2 a nm 62 / 65

Exercício O que ocorre com (A )? Solução a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm a 11 a 12 a 1m (A ) a 21 a 22 a 2m = a n1 a n2 a nm a 11 a 21 a n1 A a 12 a 22 a n2 = a 1m a 2m a nm a 11 a 12 a 1m (A ) a 21 a 22 a 2m = = A a n1 a n2 a nm 63 / 65

Exercício Qual a solução para X = X T? Solução x 11 x 12 x 1m x 21 x 22 x 2m X = x n1 x n2 x nm x 11 x 21 x n1 X T x 12 x 22 x n2 = x 1m x 2m x nm m n x 11 x 21 x n1 X x 12 x 22 x n2 = x 1m x 2m x nm x rs = x rs x rs R X R n m m n 64 / 65

Exercício Seja A uma matriz quadrada Mostre que a matriz B = A + A T é simétrica Exercício Devemos mostrar que B T = B B = A + A T = B T = (A + A T ) T = B T = A T + (A T ) T = B T = A T + A = B T = B Seja A uma matriz quadrada Mostre que a matriz C = A A T é antissimétrica 65 / 65