TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO

Universidade Federal de Minas Gerais Escola de Engenharia Especialização em Estruturas TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO Considerações sobre a Formulação de Diversos Elementos Finitos em Exemplos de Aplicação Professor: Fernando Amorim de Paula Aluna: Erika Marinho Meireles Leitão

LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura 1: Elementos de Mola... 1 Figura : Elementos de Treliça... 14 Figura 3: Diagrama de Barras e Nós da Treliça... 14 Figura 4: Elementos de Viga, Mola e Treliça... 19 Figura 5: Diagrama das Barras de Pórtico e de Treliça e de Nós... Figura 6: Estrutura Formada por Elementos de Pórtico e de Treliça... 3 Figura 7: Elementos Finitos Bidimensionais Modelando uma Viga Curta... 9 Figura 8: Malha de Elementos Finitos... 33 Figura 9: Malha de Elementos Finitos... 37 Figura 1: Elemento Finito Triangular de Seis Nós... 4 Figura 11: Malha de Elementos Finitos de um Sólido Axissimétrico... 45 Figura 1: Sistema Estrutural Composto por uma Placa e um Cabo... 48 Figura 13: Placa de Concreto... 5 Figura 14: Elemento de Placa de Reissner-Mindlin... 53

RESUMO O desenvolvimento de soluções exatas para problemas de engenharia de estruturas pode ser muito complicado por meio da Teoria da Elasticidade, além de apresentar algumas limitações. Diante disso, muitas vezes são necessárias simplificações que podem levar a resultados pouco precisos. Uma alternativa para resolver os problemas complexos de forma aproximada é utilizar o Método dos Elementos Finitos, que consiste na discretização de um meio contínuo em elementos de tamanhos finitos que possuam propriedades físicas representativas do problema analisado. A imposição de compatibilidade interna de deslocamentos e atendimento às condições de carregamento e às condições de contorno geométricas garantem a obtenção da solução aproximada para o problema. Apesar da grande disponibilidade de programas computacionais de modelagem de estruturas utilizando este método, o conhecimento de sua base conceitual é muito importante para se fazer bom uso destes programas. Neste trabalho, são mostrados alguns exemplos do cálculo manual de estruturas pelo Método dos Elementos Finitos, ou seja, sem a utilização de programas computacionais. Palavras-chave: Método dos Elementos Finitos.

ABSTRACT The development of accurate solutions for structural engineering problems can be very complicated by the Theory of Elasticity and presents some limitations. Therefore, there are often necessary simplifications that can lead to some results without accuracy. An alternative to solve complex problems in an approximate way is to use the Finite Element Method, which consists in a discretization of a continuous medium in finite elements possessing the representative physical properties of the analyzed problem. The imposition of internal displacement compatibility and compliance with loading conditions and geometric boundary conditions assure obtaining approximate solution to the problem. Despite the wide availability of computer programs of modeling structures using this method, the knowledge of its conceptual basis is very important to make good use of these programs. In this work, some examples of structures are manually calculated by the Finite Element Method, that is, without the use of computer programs. Keywords: Finite Element Method.

SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 7 1.1 Objetivo 8 APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 9.1 Elemento de Mola 9. Elemento de Treliça 13.3 Elemento de Viga 18.3.1 Exemplo 1 19.3. Exemplo 3.4 Elementos Bidimensionais 7.4.1 Exemplo 1 9.5 Formulação Isoparamétrica 3.5.1 Exemplo 1 33.5. Exemplo 37.5.3 Exemplo 3 39.6 Sólidos Axissimétricos 44.7 Elementos Finitos de Placas 47.7.1 Exemplo 1 47.7. Exemplo 5

.7.3 Exemplo 3 53 3 CONCLUSÃO 58 REFERÊNCIAS 59 ANEXO I MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO FINITO TRIANGULAR DE TRÊS NÓS 6 ANEXO II MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO FINITO RETANGULAR DE QUATRO NÓS 61 ANEXO III COEFICIENTES PARA QUADRATURA DE GAUSS 6 ANEXO IV MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO DE PLACA RETANGULAR DE QUATRO NÓS MZC 63

1 INTRODUÇÃO O objetivo geral de uma análise estrutural é determinar os deslocamentos de todos os pontos da estrutura, os esforços internos causados pelas deformações decorrentes destes deslocamentos e as reações entre os vínculos da estrutura. Antes da existência dos computadores, havia grandes dificuldades na resolução de análises estruturais devido ao elevado número de incógnitas dos sistemas de equações. Para facilitar os cálculos, foram desenvolvidos algoritmos, com os quais se obtêm resultados com a precisão exigida. O avanço da tecnologia possibilitou o desenvolvimento de programas computacionais que, utilizando o Método dos Elementos Finitos (MEF) e a análise matricial, realizam análises estáticas ou dinâmicas de grandes estruturas. No âmbito da Engenharia de Estruturas, o Método dos Elementos Finitos (MEF) tem como objetivo a determinação do estado de tensão e de deformação de um sólido de geometria arbitrária sujeito a ações exteriores. (AZEVEDO, 3, p. 1). O MEF consiste na discretização de um meio contínuo em elementos de tamanhos finitos que possuam as mesmas propriedades. Para formular o MEF, é necessária uma equação integral, tal que seja possível substituir a integral de um volume complexo V, por um somatório de integrais de volumes Vi de geometria simples. Cada volume Vi corresponde a um elemento finito. Como exemplo, tem-se a Equação a seguir. = Segundo AZEVEDO (3), foi nas décadas de 196 e 197 que o MEF mais se desenvolveu para chegar ao formato que hoje apresenta maior aceitação, mas só na década de 199, com a proliferação dos computadores, o MEF finalmente chegou aos projetistas de 7

estruturas. Isso se deve ao fato de que a utilidade prática do MEF depende da disponibilidade de um computador, devido à grande quantidade de cálculos necessária na aplicação do método. Porém, para que estes softwares sejam utilizados corretamente, é importante conhecer os conceitos por trás do método. Se o engenheiro não sabe modelar o problema sem ter o computador, ele não deve fazê-lo tendo o computador. (ALVES FILHO, 1). 1.1 Objetivo Este trabalho tem como objetivo desenvolver o cálculo de algumas estruturas utilizando o Método dos Elementos Finitos, para ilustrar como eles são efetuados sem o uso de programas computacionais. São apresentados exemplos de aplicação contendo elementos de mola, treliça e viga e elementos bidimensionais. São demonstradas algumas ferramentas matemáticas utilizadas nesse método, como a formulação isoparamétrica e a integração numérica por Quadratura de Gauss. 8

APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS.1 Elemento de Mola O elemento de mola é o de formulação mais simples dentre os diversos elementos finitos. Apresenta-se a seguir o elemento de mola que transmite apenas forças axiais e, consequentemente, sofre deslocamentos axiais. A deformação de um elemento de mola é dada pela diferença entre os deslocamentos dos dois nós que compõem este elemento, ou seja: δ = u u 1 A força axial resultante na mola é: F = k x δ = k(u -u 1 ) Para que haja equilíbrio, é necessário que a soma das forças nodais seja nula, portanto: F 1 + F = F 1 = -F F 1 = -k(u -u 1 ) F = k(u u 1 ) Este sistema de equações pode ser representado na seguinte forma matricial: = = ou [k e ] {u} = {F} Portanto, a matriz de rigidez de um elemento de mola, que representa a relação entre ações e deslocamentos, é dada por: [k e ] = 9

Para uma estrutura formada por vários elementos de mola, pode-se obter sua matriz de rigidez por meio da rigidez de cada um de seus elementos. A montagem da matriz de rigidez da estrutura inteira deve levar em conta o arranjo dos elementos na estrutura e como estão conectados entre si. Os termos das matrizes de rigidez de cada elemento são montados em uma única matriz, sendo que alguns termos ficam sobrepostos, em decorrência do modo com os elementos são arranjados na estrutura. Nos termos onde há superposição, as rigidezes devem ser somadas. Este procedimento garante a continuidade de deslocamento ao longo de toda a estrutura. Para exemplificar um problema envolvendo elementos de mola, considere o sistema estrutural mostrado na Figura 1, composto por um arranjo de molas e corpos rígidos. Os dados deste problema são: Figura 1: Elementos de Mola F B = 5kgf F C = 5kgf F D = 6kgf F E = 1kgf K 1 = 3kgf/mm K = K 5 = 6kgf/mm K 3 = K 6 = 8kgf/mm K 4 = 5kgf/mm U F =,mm 1

Para determinar os deslocamentos incógnitos e o valor da força no ponto F (F F ), procedese como mostrado a seguir. Matrizes de rigidez dos elementos de mola: 3 3 [K 1 ] = 3 3 6 6 [K ] = [K 5 ] = 6 6 8 8 [K 3 ] = [K 6 ] = 8 8 5 5 [K 4 ] = 5 5 Matriz de rigidez da estrutura: 3 3 3 3 + 6 + 8 + 5 [K] = 6 8 5 6 8 6 8 + 6 6 5 6 5 + 8 8 8 6 + 8 Observa-se que há somas nos termos k, k 44, k 55 e k 66. Isto ocorre devido ao arranjo estrutural do problema. Há mais de uma mola passando pelas posições B, D, E e F, que correspondem às linhas e colunas, 4, 5 e 6 da matriz de rigidez. Por isso, devem-se somar os valores de rigidez de cada elemento que se encontra nestas posições, a fim de se obter o valor correto para o termo da matriz de rigidez de toda a estrutura, como mostrado a seguir: [K] = 3 3 3 6 8 5 6 8 6 14 6 5 6 13 8 8 14 O procedimento adotado neste exemplo para obtenção da matriz de rigidez da estrutura a partir das matrizes de rigidez de cada elemento será adotado para os demais tipos de elementos abordados neste trabalho. 11

Equações de equilíbrio da estrutura: {F} = [K] x {U} F A = 3 U A 3 U B F B = 5 = -3 U A + U B 6 U C 8 U D 5 EU F C = 5 = -6 U B + 6 U C F D = 6 = -8 U B + 14 U D 6 U F F E = 1 = -5 U B +13 U E 8 U F F F = -6 U D 8 U E +14 U F Como U A = e U F =,mm, conforme condições de contorno, o sistema para obtenção dos deslocamentos incógnitos fica: 6 8 5 6 6 = 8 14 6 x 5 13 8 6 8 14 Ou, invertendo a matriz de rigidez, tem-se: =,33333,33333,33333,33333,33333,33333,5,33333,33333,33333,33333,33333,43995,373874,3991 =,33333,33333,373874,468468,4798,33333,33333,3991,4798,4875 Resolvendo este sistema, a solução deste problema é: F F = -16644,16kgf U B = 3,186mm U C = 4,19mm U D = 3,16mm U E = 3,5mm 1

forma: Pode-se, ainda, determinar as forças internas em cada mola, procedendo-se da seguinte F = K x d F 1 = K 1 x (U B U A ) = 3 x (3,186 ) F 1 = 955,8kgf F = K x (U C U B ) = 6 x (4,19 3,186) F = 499,8kgf F 3 = K 3 x (U D U B ) = 8 x (3,16 3,186) F 3 = -64,kgf F 4 = K 4 x (U E U B ) = 5 x (3,5 3,186) F 4 = 19,5kgf F 5 = K 5 x (U F U D ) = 6 x (, 3,16) F 5 = -663,6kgf F 6 = K 6 x (U F U E ) = 8 x (, 3,5) F 1 = -98,kgf. Elemento de Treliça O elemento de treliça, ou barra articulada nas extremidades transmite apenas forças axiais de tração ou compressão. Estas forças externas, normalmente, são aplicadas nos nós. Em casos excepcionais, em que as cargas são aplicadas no interior do membro, elas são substituídas por cargas equivalentes que atuam nos nós, chamadas de Cargas Nodais Equivalentes. O elemento de treliças contabiliza apenas a rigidez axial do membro estrutural. A matriz de rigidez do elemento de treliça relaciona o módulo de elasticidade do material, a área da seção transversal e o comprimento da barra. Estas relações resultam do Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV), que afirma que o trabalho interno de deformação é igual ao trabalho realizado pelas forças externas. Efetuando-se os cálculos necessários, chega-se à forma usual da matriz de rigidez do elemento de treliça: [k e ] = Seja a treliça mostrada na Figura. Todas as barras desta treliça têm a mesma seção transversal e o mesmo módulo de elasticidade: A = 15cm² e E = 1mmmMPa. Para obter a 13

resposta estrutural, elaborou-se um diagrama com a numeração dos nós e das barras da estrutura, como mostrado na Figura 3. Figura : Elementos de Treliça Figura 3: Diagrama de Barras e Nós da Treliça 14

Neste diagrama, a numeração dos nós (1 e ), indica o sentido do eixo local de cada barra, que vai no sentido de 1 para. As setas indicam os graus de liberdade de cada nó. De acordo com os dados do problema, podem-se obter os valores da Tabela 1. Tabela 1 Ângulos α para as barras do modelo da estrutura Elemento α λ = cos α µ = sen α λ² µ² λ µ a 1 1 b 9 1 1 c 18-1 1 d 7-1 1 e 51,34,6,8,36,64,48 f 38,65 -,6,8,36,64 -,48 por: A expressão geral da matriz de rigidez de um elemento de treliça no sistema global é dada [K] e = λ² λ μ λ μ μ² λ² λ μ λ μ μ² λ² λ μ λ μ μ² λ² λ μ λ μ μ² Matriz de Rigidez da Estrutura no sistema global de coordenadas: 15

96,89 4,19 4,19 95,6 78,75 [K] = 18,14 4,19 4,19 3,6 63 78,75 96,89 4,19 4,19 95,6 63 18,14 4,19 4,19 3,6 18,14 4,19 4,19 3,6 63 96,89 4,19 4,19 95,6 78,75 63 19,14 4,19 4,19 3,6 78,75 96,89 4,19 4,19 95,6 Como um dos apoios da estrutura é inclinado em relação ao sistema global de referência, deve-se elaborar a matriz de transformação que permite a imposição das condições de contorno. Esta matriz, que transforma os deslocamentos globais do nó A em coordenadas x -y, é dada por: [T] =,5,866,866,5 1 1 1 1 1 1 Fazendo o produto T K T T, tem-se a matriz de rigidez K*, que é igual a: 74,7 11,39 11,39 117,43 39,375 68, [K*] = 11,88 7,8 15,84 37,8 54,56 31,5 39,38 68, 96,89 4,19 4,19 95,6 63 18,14 4,19 4,19 3,6 11,88 15,84 7,8 37,8 63 96,89 4,19 4,19 95,6 78,75 54,56 31,5 19,14 4,19 4,19 3,6 78,75 96,89 4,19 4,19 95,6 Sistema de equações para obtenção dos deslocamentos incógnitos: 16

1 =,6 74,7 39,38 15,84 1 3 = = 39,375 96,89 x 3 + 4,19 ( 1,5 1 ) 6 =,3 15,84 95,6 6 63, ( 1,5 1 ) Resolvendo este sistema, obtêm-se os deslocamentos incógnitos: 1 =,998mm 3 =,31mm 6 = -,843mm Sistema de equações para obtenção das reações de apoio: 11,39 7,8 31,5 95,6 4,19 3,6 1,5 = 7,8 96,89 78,75 x 4,19 78,75 96,89 4,19 31,5 3.6 4,19 95,6 Portanto, as reações de apoio são: F = F 4 = 14,89kN F 5 = F 7 = 36,9kN F 8 = -48,39kN Força interna na barra a (Sistema Local de Referência): 17

F a = x x F a = 78,75MN/m x 1 (,31,998) 1 x (1,5 ) 1 F a = 76,15 kn De maneira análoga, podem-se obter as forças internas nas demais barras da treliça: F b = -147,61 kn F c = -.3 Elemento de Viga F d = F e = -64,17 kn F f = 59,54 kn O elemento de viga consiste em uma barra reta que pode transmitir, além de forças axiais, momentos fletores, forças cortantes e momentos de torção. Nas estruturas reticuladas compostas por vigas, as uniões entre os elementos são rígidas, dando origem, assim, às vigas contínuas, aos pórticos planos e aos pórticos espaciais. Da mesma forma que é feita nas treliças, as forças aplicadas nos vãos da viga são substituídas por cargas nodais equivalentes. Quando o elemento de viga possui rigidez axial, ele pode ser chamado de elemento de pórtico. A matriz de rigidez do elemento de viga com rigidez axial a rigidez à flexão é dada por: 1 6 [k e ] = 6 4² 1 6 6 ² 1 6 6 ² 1 6 6 4² onde, a = e refere-se à rigidez axial e b = e refere-se à rigidez à flexão do elemento de viga. ³ 18

.3.1 Exemplo 1 e treliça. Seja o sistema estrutural mostrado na Figura 4, constituído por elementos de pórtico, mola Figura 4: Elementos de Viga, Mola e Treliça A barra 1 tem área A 1 = 5cm² e momento de inércia I 1 = 15x1-5 m 4. A barra tem área A = 1cm². O material utilizado tem módulo de elasticidade E = 1GPa. Portanto: EA 1 = 15MN EA = 1MN EI 1 = 31,5MNm² Desejando obter o valor da constante de mola, K 1, que resulte em um deslocamento vertical no ponto B de 3,mm, elaborou-se um diagrama com a numeração dos nós e das barras da estrutura, como mostrado na Figura 5. 19

Figura 5: Diagrama das Barras de Pórtico e de Treliça e de Nós De acordo com os dados do problema, podem-se obter os valores da Tabela. Tabela Ângulos α para as barras do modelo da estrutura Elemento α λ = cos α µ = sen α λ² µ² λ µ 36,87,8,6,64,36,48 por: A expressão geral da matriz de rigidez de um elemento de viga no sistema global é dada [K] e = 1 6 6 4² 1 6 6 1 6 6 ² 1 6 6 4² onde: a = = 1MN/m b = ³ =,5MN/m Então, para o elemento de viga (barra 1), temos:

1 3,4 7,56 [K] 1 = 7,56 5, 1 3,4 7,56 7,56 1,6 1 3,4 7,56 7,56 1,6 1 3,4 7,56 7,56 5, Já a barra, que é um elemento de treliça, tem a matriz de rigidez do tipo: [K] = λ² λ μ λ μ μ² λ² λ μ λ μ μ² λ² λ μ 6,88,16 λ μ μ²,16 15,1 = λ² λ μ λ μ μ² 6,88,16,16 15,1 6,88,16,16 15,1 6,88,16,16 15,1 E a matriz de rigidez da mola é: [K 1 ] = Matriz de rigidez da estrutura: 1 3,4 7,56 7,56 5, 1 [K] = 3,4 7,56 7,56 1,6 1 3,4 7,56 7,56 1,6 36,88,16,16 18,144 7,56 7,56 5, 6,88,16,16 15,1 6,88,16,16 15.1 6,88,16,16 15,1 Sistema de equações para obtenção dos deslocamentos incógnitos e da constante de mola K 1 : 1

= 36,88,16 =,1 =,16 18,144 7,56 x 3 1 = 7,56 5, Portanto, os deslocamentos são: 4 =,55 x 1-3 m 6 = -,9 x 1-3 m E a constante de mola é: K 1 = 1917,93kN/m Força interna na mola: F mola = K 1 (U 5 U 9 ) = 1917,93 x (-3 x 1-3 ) Força interna na barra : F mola = -57,51 kn F = x x = x,8,6 x F = 67,3kN Forças e momentos fletores na barra 1: 1 3,4 = 7,56 1 3,4 7,56 1 7,56 5, 1 7,56 1,6 3,4 7,56 7,56 1,6 x,55 1 3,4 7,56 3 1 7,56 5,,9 1 Portanto, F Bx = F Bx = 53,55kN F Ay =,7kN

F By = -,7kN M A = 11,34kN M B =.3. Exemplo Outra estrutura formada por elementos de pórtico e de treliça é mostrada na Figura 6. Neste caso, existe uma carga q(x) distribuída ao longo do vão do elemento de viga (barra 1). Sabe-se que: E cabo =,5 x 1 8 kn/m² A cabo = 1, x 1-3 m² E pórtico =, x 1 7 kn/m² A pórtico = 5, x 1 - m² I pórtico = 1,5 x 1-3 m 4 Figura 6: Estrutura Formada por Elementos de Pórtico e de Treliça Para obter a força no cabo, adotou-se como sistema global de referência, o eixo X na direção do apoio inclinado. Matriz de transformação para o elemento 1: 3

cos sin sin cos = 1 cos sin sin cos 1 Como α é o ângulo do sistema global para o sistema local, α = -36,87 :,8,6,6,8 = 1,8,6,6,8 1 Matriz de rigidez do elemento 1 no sistema local: [K] 1 = Fazendo o produto T K T T, tem-se a matriz de rigidez K*, no sistema local. Porém, de acordo com as condições de contorno, sabe-se que = = = = =. Logo, só é necessária a rigidez global relativa ao deslocamento em d x : () = cos + sin =,64, +,36,, = () = 18864 4

Carregamento nodal equivalente: A matriz N (função de forma) do elemento 1 é: = 1 3 + + 3 + O carregamento, no sistema local, é dado por: q f 1 eq = () E, no sistema global, é: () () = 3 + = +. 5( + 5 4) = 3 + 5 135,8,6,6,8 9 61 61 = 1 =,8,6,6,8 5 135 1 9 61 61 Matriz de transformação para o elemento : cos sin sin cos = 1 cos sin sin cos 1 5

Como é o ângulo do sistema global para o sistema local, neste caso, = 45 :,77,77,77,77 T =,77,77,77,77 Matriz de rigidez do elemento no sistema local: [K] = Fazendo o produto T K T T, tem-se a matriz de rigidez K*, no sistema local. Porém, de acordo com as condições de contorno, sabe-se = = =. Logo, só é necessária a rigidez global relativa ao deslocamento em d x : () = cos =,5 x 1 1 x 1 = 5,5 Cálculo do deslocamento incógnito:. = + ( + ). = + = 135 (18864 + 5) 6

d x = -3,77 x 1-4 m Cálculo da força no cabo: cos sin 3,7738 x 1 d = T x d sin cos d = cos sin sin cos x d =,66849 x 1 d =,66849 x 1 1 1,66849 x 1 x x,66849 x 1 = 1 1 6,685 = 6,685 Portanto, a força no cabo é de tração e vale 6,685kN..4 Elementos Bidimensionais Para este tipo de elemento, os conceitos de rigidez do elemento e rigidez da estrutura continuam presentes, como no caso dos elementos unidimensionais, porém sua determinação, neste caso, é de forma aproximada. De acordo com GESUALDO (1), funções aproximadoras são utilizadas nas formulações usando o MEF, de modo a estabelecer o comportamento do elemento. Nestas funções, os deslocamentos são as incógnitas. 7

Considerando uma barra simples com rigidez apenas às forças axiais, cujo nó 1 está na coordenada x= e o nó na coordenada x=l e adotando que os deslocamentos ao longo do elemento sejam dados por u = a + bx, observa-se que esta função representa os deslocamentos ao longo do comprimento da barra de forma exata. Com o intuito de determinar uma função u, escrita em termos de u 1 e u, que são os deslocamentos nos nós 1 e, pode-se escrever u = N 1 u 1 + N u, onde N 1 e N são funções de forma. Para ilustrar, aplicam-se as condições de contorno na barra: Para x = : u = u 1 u = a + b x = u 1 a = u 1 Para x = L: u = u u = a + b x L = u b = (u - u 1 )/L Portanto, u(x) = a + bx = u 1 + x u(x) = u 1 + u onde = N 1 e = N, que são as funções de forma do problema de elemento de barra. De maneira análoga, são obtidas as funções de forma de elementos bidimensionais, porém, neste caso, as funções dependem das coordenadas x e y dos nós. Para um elemento finito triangular de três nós, suas funções de forma são: onde: Ni = (a i + b i x +c i y), i = 1,, 3 a i = X j Y k - X k Y j b i = Yj Y k 8

c i = X k - X j A é a área do elemento triangular; i, j, k representam os nós que compõem o elemento, variando de 1 a 3. Com as funções de forma, pode-se montar a matriz de rigidez de um elemento triangular de três nós, mostrada no ANEXO I..4.1 Exemplo 1 Uma viga curta biengastada é modelada com elementos retangulares de quatro nós e elementos triangulares de três nós, conforme Figura 7. Figura 7: Elementos Finitos Bidimensionais Modelando uma Viga Curta Sabe-se que: E = 1,9 x 1 7 horizontal no ponto P. kn/m² e ν =,. Deseja-se calcular a tensão normal Montagem da matriz de rigidez do elemento 1: 9

= 1 1 1 (1 ) = 1,9 x 1 1, 1, 1,, 1 =, x 1 (1,), 1,4 Apenas os nós 3 e 4 sofrem deslocamento nesta estrutura. Estes nós correspondem às linhas e colunas 4 e 6 da matriz de rigidez de um elemento finito retangular de quatro nós, mostrada no ANEXO II. A matriz de rigidez reduzida a estas posições é dada por: () ( + 5) red = + 5 ( + 5 ( + 5) = Como a = / = 1 e b = ½ =,5:.. 6. b.. 6. b +.. 6. a ).. +.. 6. b 6. a +.. 6. a (.. 6. b +.. 6. a ) (),96 x 1,57 x 1 =,57 1,96 x 1 red Montagem da matriz de rigidez do elemento : Apenas o nó 3 sofre deslocamento no elemento. Este nó corresponde à posição K 44 da matriz de rigidez do elemento triangular de três nós, mostrada no ANEXO I. (). red = + = 4 (1 + ) ( ). + 4 (1 + ) ( ) Como este problema está no Estado Plano de Tensões, e = 1 ν =,8, então: () = red 1,9 x 1 x, 1,9 x 1 x, 4 1. 1. ( ) + (1 +,).,8 4 1.,4. ( 1) (1 +,).,8 () red = 4 x 1 3

Matriz de rigidez reduzida da estrutura para os deslocamentos dos nós 3 e 4: () 3,36 x 1,57 x 1 =,57 x 1,96 x 1 red Carregamento nodal equivalente do elemento 1: = = + ) + ) Para os nós 4 e 5: (. + ) = = (. + ) Cálculo dos deslocamentos do nó 4: F = K d 3,36 x 1,57 x 1 =,57 x 1,96 x 1 x v 3 = -1, x 1-4 m v 4 = -1,36 x 1-4 m Cálculo da tensão horizontal no ponto P: σ = E ε = DBd, onde B = L N 31

e B 4 : Como os nós e 5 estão no engaste e não sofrem deslocamentos, precisa-se apenas de B 3 (1 ) = (1 + ) e (1 + ) (1 ) (1 + ) = (1 + ) (1 + ) (1 + ) Como a = 1, b =,5, Y P =, X P = 1, então: = = = e = = = 1. Assim:, Logo:,5,5 = e B 4 =,5,5,5,5 =. =,5,5 1, x 1 = 1,36 x 1 6,5 x 1 1,163 x 1 1, 6,8 = =, x 1, 1 6,5 x 1 = 134,4 1,163 x 1 93,4 Portanto, a tensão normal horizontal no ponto P é igual a: -6,8kN/m².5 Formulação Isoparamétrica Segundo ALVES FILHO (1), a manipulação das funções de interpolação em notação matricial deve ser feita de modo mais eficiente possível, para que o MEF seja implementado computacionalmente. Nem sempre, a representação no sistema cartesiano oferece esta possibilidade. Outra forma de representar estas funções de interpolação dos elementos é 3

utilizando o sistema de coordenadas naturais. A seguir, alguns exemplos ilustram o uso de coordenadas naturais (ξ, η) em formulação isoparamétrica..5.1 Exemplo 1 A Figura 8 mostra uma malha de elementos finitos. Figura 8: Malha de Elementos Finitos Cálculo da matriz de transformação Jacobiana para o elemento 1: As funções de forma do elemento finito 1 são: = (1 + )(1 )(1 ) = (1 + )(1 )(1 + ) = 1 = (1 )(1 ) 4 (1 + )(1 )(1 ) 4 = (1 )(1 ) 4 33

N = N N = ()() ()()() N = ()() N = N 1 N = (1 ξ)(1 + η) 4 (1 + η)(1 η)(1 ξ) 4 N = η(1 ξ)(1 + η) 4 = 1 (1 + )(1 + ) (1 + )(1 )(1 + ) = N 4 4 = (1 + )(1 + ) 4 Como o elemento 1 não tem distorção nos seus lados, pode-se dizer que: = Como a = 1 e b =, o Jacobiano usa a metade de cada lado. Assim: =, = Cálculo do componente horizontal do carregamento nodal equivalente no nó 5: = L(, ) = (. ).16 + (. ).15 + (. ).1 L(, ) Onde L vale: L(, ) = + = ( + 1 ) = 1 34

= (16 + 15 + 1 ) As funções de forma já foram mostradas anteriormente. Substituindo ξ = -1 em cada função de forma: = (1 )( 8 + 8 + 15 15 + 6 + 6 ) = (1 )( + 15) = ( + 16 + 15) = 5 + 16 3 + 15 =, Cálculo da matriz B do nó 1: Considerando problema de estado plano de deformações e integração por Quadratura de Gauss de ordem 3x3, tem-se, para um dos pontos de Gauss, a matriz B associado ao nó 1, como segue., =,,, Usando o Jacobiano para transformar as funções de forma de coordenadas naturais, para coordenadas cartesianas, tem-se: 35

, =, = 4,, 1 ( 1)(1 ) 4 Para o ponto de Gauss ξ = e η = :, =, 1 1 4 Portanto: = Cálculo da componente do vetor carregamento nodal equivalente no nó 1: Considerando problema de estado plano de deformações e integração por Quadratura de Gauss de ordem 3x3, tem-se, em um dos pontos de Gauss, a componente do vetor carregamento nodal equivalente no nó 1 é dada por: 1 = e 1 = Para o ponto de Gauss em ξ = e η = e w i = w j =,8888888889, tem-se: = = 36

1 1 = 4 1. 1. 1. (,8888888889) 1 4, =.5. Exemplo Para a malha de elementos finitos da Figura 9, deseja-se obter a componente horizontal no nó 4 do carregamento nodal equivalente às tensões, que foram calculadas por Quadratura de Gauss com dois pontos, cujos valores são mostrados na Tabela 3. Sabe-se que: t =,5u.c., L = 9u.c. e h = 1,6u.c. Figura 9: Malha de Elementos Finitos Tabela 3 Valores de Tensão nos Pontos de Gauss 37

Para o nó 4: = ()()() e, = ( 1);, = Como os elementos não têm distorção nos lados, seu Jacobiano vale: Onde a = L/6 e b = h/. Logo: = 9 3 = 6 1,6 = 1,5 =,8 4 5 Usando o Jacobiano para transformar as coordenadas naturais em cartesianas:, =, = 3 ( 1),, 5 1 4 Para o ponto de Gauss em = e = :, = 3, 5 3 1 4 3 38

Assim, a matriz B do nó 4 fica: 4 9 = 5 1 5 4 1 9 Portanto: 4 5 =,5 9 1 5 4 1 9 1,45e + 4. 1,5e + 3 3 4 5 6,5458e + 1, =,.5.3 Exemplo 3 A Figura 1 mostra um elemento finito triangular de seis nós, submetido a uma carga linearmente distribuída sobre a linha A B. Deseja-se obter o carregamento nodal equivalente no nó 1, utilizando integração numérica com dois pontos de Gauss ao longo da linha de carga. 39

Figura 1: Elemento Finito Triangular de Seis Nós Para a carga linear ao longo de A B tem-se: = (, ) = Deve-se considerar um eixo, ζ, que passa por A e B. Para o nó 1, tem-se: = (,, ) () Para dois pontos de Gauss, a carga é: 4

1 (, ) = = 1 1 + 4 1 + As funções de forma deste elemento são: = (1 )( ) (1 1)( 1) = 1 = = (1 )( ) (1 1)( 1) = 1 = = (1 )( ) (1 1)( 1) = 1 = = = = Portanto, a matriz das funções de forma é: (1 )(1 ) = 4 (1 )(1 ) = 4 (1 )(1 ) = 4 = 4 4 4 4 4 4 Para o ponto de Gaus ζ = - : 1 (, ) = = 1 1 + 4 1 + (, ) = 3,1547 41

Sabe-se que: = e = Então: = + = = + = Para definir ξ 1, ξ e ξ 3 deve-se fazer: (1 ). 3,5 + (1 ). 5 + (1 + ). 7 = 4,396 (1 + ). = 4,366 1 = =, onde: = = = 1 56 5 6 3 1.18 15 7 4 4 4,396 1 4 7 4,366,346 =,8,4456 Substituindo estes valores para obter vetor de forças:,1649,1649,115,115,4848 =,4848,883,883,3711,3711,6177,6177 3,1547 4,6978 4

Assim, para o primeiro termo: = [,1649 ] 3,1547 4,6978 =,.. Para o ponto de Gaus ζ = + : 1 (, ) = = 1 (, ) =,8453 1 + 4 1 + Sabe-se que: = e = Então: = + = = + = Para definir ξ 1, ξ e ξ 3 deve-se fazer: (1 ). 3,5 + (1 ). 5 + (1 + ). 7 = 6,64 (1 + ). =,634 1 = =, onde: = = = 1 56 5 6 3 1,1538.18 15 7 4 4 4,375 =,65 1 4 7 4,5,11 Substituindo estes valores para obter vetor de forças: 43

,1649,1649,15655,15655,1333 =,1333,3846,3846,5593,5593,136,136,8453 4,6978 Assim, para o primeiro termo: = [,1649 ],8453 4,6978 =,.. Portanto, o carregamento nodal equivalente no nó 1 vale: =,7743,748 =,...6 Sólidos Axissimétricos Considera-se que os sólidos com simetria axial têm propriedades independentes de sua coordenada circunferencial. Quando as cargas exteriores que atuam sobre ele também são de revolução, o deslocamento de um ponto de uma estrutura considerada como sólido de revolução é considerado apenas com componentes nas direções radial e axial. O estudo destas estruturas por elementos finitos segue os mesmos passos dos problemas de elementos bidimensionais, desde as cargas também sejam de revolução. Caso contrário, análise tridimensional deve ser realizada. 44

Seja a malha de elementos finitos da Figura 11, onde a = 1,uc. Supondo uma pressão interna de uf/uc² atuando neste sólido axissimétrico, a integral que permite calcular a componente horizontal do carregamento nodal equivalente no nó 5 do elemento destacado é dada como mostrado a seguir. Figura 11: Malha de Elementos Finitos de um Sólido Axissimétrico A força nodal equivalente é dada por: = Onde: = + A função de forma do nó 5 é: = = = = 1 (1 + )(1 )(1 ) Substituindo na integral que permite calcular o carregamento nodal equivalente: 45

ó = ó ( ó + + ó ).1. + = ()()() ( ) [( + )( )] + ( + ).. + Considerando que houve uma deformação inicial relativa a um aumento de 1,% no comprimento da circunferência do centroide do elemento, deseja-se indicar a integral que permite calcular a componente horizontal do carregamento nodal equivalente no nó 5 do elemento destacado, sendo que o material é elástico linear isotrópico com E = 1,uf/uc² e ν =,. A força equivalente nodal para esta deformação inicial é dada por: = = A matriz constitutiva do problema é: = (1 + )(1 ) Como E = 1,uf/uc² e ν =,, tem-se: 1 1 1 1 1 = 1 1 (1 ) 46

Para o nó 5, a matriz B vale:,, =,, Substituindo estas matrizes, tem-se a integral que permite calcular a força nodal equivalente no nó 5: =,,.,.,,.7 Elementos Finitos de Placas A teoria de placas se baseia em simplificações dos problemas tridimensionais. A teoria mais clássica de placas é a de Kirchhoff, em que as retas normais ao plano médio se mantêm retas e ortogonais à deformada deste plano. Teorias mais avançadas como a de Reissner-Mindlin mantêm a condição de deformação reta da normal, mas não exigem sua ortogonalidade com a deformada do plano médio..7.1 Exemplo 1 Seja o sistema estrutural da Figura 1, composto por uma placa fina engastada nos 4 lados e pendurada em um cabo. Deseja-se calcular a força no cabo quando a placa está submetida a uma carga uniformemente distribuída de 4kN/m². 47

Valendo-se da condição de simetria, adota-se um elemento finito MZC e um elemento de treliça para discretizar a porção correspondente a 1/4 do sistema estrutural (parte superior esquerda), sendo E=4,x1 8 kn/m², ν=,3 e A cabo = 8x1-4 m². Figura 1: Sistema Estrutural Composto por uma Placa e um Cabo Somente haverá deslocamento vertical no ponto onde se encontra o cabo, não havendo rotação em nenhuma das direções, ou seja, no nó. Para a rigidez, deve-se somar a contribuição do elemento MZC à do elemento de treliça: K = K treliça + K MZC De acordo com a matriz de rigidez de elemento de placa retangular de quatro nós MZC, mostrada no ANEXO IV, tem-se: = 1(1 ) = 4x1 x,4 1(1,3 ) = 56 1,9 = 344,33 () = + + 1(1 ) + 3 x D = 1 1 + 1,3 + 1.1.1 1(1,3) + 344,3 3.1.1 () = 6189,19 48

Para a treliça: = = 1 1 1 1 1 = 4 x 1 x 8 = 16 Mas o cabo está ligado a 4 elementos de placa MZC, então a rigidez do modelo de treliça deve ser reduzida. Logo: Portanto, a rigidez reduzida vale: = 1 4. 16 = 4 = [6189,19 + 4] = [46189,19] O carregamento nodal equivalente à carga distribuída é: () = 4 1 4 = 4( 4).1.1 1 4 () = 4 Para calcular a força no cabo, deve-se fazer: =. 4 = [46189,19] = 5,196 x 1 =. 49

= 16 1 1 1 1 5,196e 4, =,.7. Exemplo Seja a placa de concreto (γ c = 5kN/m³), de 1cm de espessura, engastada em dois de seus lados e livre nos outros dois, mostrada na Figura 13. Utilizando um único elemento finito retangular de quatro nós (MZC) para discretizar a porção correspondente a ¼ da placa e, considerando, além do peso próprio da laje, quatro cargas concentradas de valor P = 8kN, atuando nos pontos A, B, C e D, calcula-se a flecha no ponto A como mostrado adiante. Figura 13: Placa de Concreto 5

De acordo com a matriz de rigidez de elemento de placa retangular de quatro nós MZC, mostrada no ANEXO IV, tem-se: = 1(1 ) = e7.,1 1(1, ) = 11,5 =1736,1111 Na porção hachurada da placa, apenas os deslocamentos no ponto inferior esquerdo a ela (ponto O) são incógnitas. De acordo com a tabela do ANEXO IV: = () + () + () + () Onde: = + + +1(1 ) 3.=, + +.. +1(1,).1736,1111 3.. =, = = ++ +(1 ) 1.= ++,. +(1,) 1..1736,1111 = =, = 4 (1 ) 3 +++4.= 4. (1,) 15 3. +++4..1736,1111 15.. =, Logo, a matriz reduzida é: 1154,5139 14,355 = 14,355 685,185 Carregamento nodal equivalente ao peso próprio: 1 1 1 () = 4 4 = 4(,5).. 4 = 1 1 1 3 51

Carregamento nodal equivalente à carga concentrada no centro na porção hachurada: Somando as cargas nodais equivalentes: 1 () = 8 4 = 1 4 1 = () + () = + 1 1 = 6 3 3 O sistema para obter o valor da flecha é: 1154,5139 14,355 =. 14,355 685,185 1 = 6 3 Assim: = 1,1383 x 1 = 1,1146 x 1 Cálculo da flecha no ponto A: = + = [(1 + )(1 + )( + + )] 8 + [( 1)( + )(1 + )] 8 Para o ponto A (ξ=η=), conhecendo-se os deslocamentos em ξ i =η i =-1, tem-se: = + 5

[(1 + )(1 + )( + + )] [( = x( 1,1383 x 1 1)( 1)(1 + )] ) + (1,1146 x 1 ) 8 8 = 8 x ( 1,1383 x 1 ) + 8 1,114 x 1 3 =,.7.3 Exemplo 3 Seja o elemento finito de placa de Reissner-Mindlin da Figura 14. Para calcular a parcela da matriz de rigidez de cisalhamento de um dos nós no centroide do elemento, procede-se como apresentado a seguir. Figura 14: Elemento de Placa de Reissner-Mindlin As funções de forma do elemento de 6 nós são: = (1 )( ) (1 1)( 1) = 1 = = (1 )( ) (1 1)( 1) = 1 = 53

= (1 )( ) (1 1)( 1) = 1 = = = = (1 )(1 ) = 4 (1 )(1 ) = 4 (1 )(1 ) = 4 Como = 1, as derivadas em relação a ξ 1 e ξ são:, = 4 1, =, = 3 + 4 + 4, = 4, = 4, = 4(1 ), =, = 4 1, = 3 + 4 + 4, = 4, = 4(1 ), = 4 Assim, a matriz formada pelas derivadas é: utilizadas: =,,,,,,,,,,,, = 4 1 3 + 4 + 4 4 4 4(1 ) 4 1 3 + 4 + 4 4 4(1 ) 4 Para o Jacobiano, como os lados são retos, apenas as funções de forma do nó 3 serão =, com i = 1, e 3 N = Como = 1, as respectivas derivadas em relação a ξ 1 e ξ são: 54

, = 1, =, = 1 A matriz formada pelas derivadas é:, =, = 1, = 1 =,,,,,, = 1 1 1 1 Assim, tem-se o Jacobiano e sua inversa: = = 1 1 3 1 1 6 1 = 4 4 5 = 1 4 = 1 1 4 = 1 6 1 1 1 A matriz formada pelas derivadas globais é: = = 1 6 1 1 1 4 1 3 + 4 + 4 4 4 4(1 ) 4 1 3 + 4 + 4 4 4(1 ) 4 A posição do centroide do elemento em função de ξ 1, ξ e ξ 3 é: 1 =, onde: = = = = 1 3 4 4 1.6 1 1 4 = 1 4 1 4 18 4 3 4 55

= 1 1 3 1 1 Assim: = 1 6 1 1 1 4 1 3 + 4 + 4 4 4 4(1 ) 4 1 3 + 4 + 4 4 4(1 ) 4 1 = 9 1 18 1 18 1 18 1 18 9 3 3 1 4 9 9 A matriz B c (relativa ao cortante), para o primeiro nó, é: A matriz D c é: 1 1 = 9 9 1 18 1 9 = (1 + ) (1 + ) = Assim, a parcela da rigidez para o nó 1 fica: =. 1 Portanto, a parcela da matriz de rigidez de cisalhamento do nó 1 é: 56

5 = 5 6. 1 34. 1.G.t 1 81 1 16 1 81 1 16 1 81 1 81 =. 57

3 CONCLUSÃO Para elaboração de qualquer modelo em elementos finitos, a escolha dos elementos tem papel primordial. Deve-se estudar como cada trecho da estrutura se comporta, a fim de se escolher os elementos que a representam da melhor forma. Portanto, conhecer a essência do Método dos Elementos Finitos é imprescindível para sua correta utilização. Os exemplos apresentados neste trabalho são casos simples, mas que dão uma visão de como funciona o método, para que ele não seja usado indiscriminadamente por meio de programas computacionais. 58

REFERÊNCIAS ALVES FILHO, Avelino. Elementos Finitos: A Base da Tecnonologia CAE. 5ª Ed. São Paulo.1951. AZEVEDO, Álvaro F. M. Método dos Elementos Finitos. 1ª Ed. Universidade do Porto. 3. FERNANDO AMORIM DE PAULA. Notas de Aula da Disciplina Análise e Modelagem de Estruturas I. Universidade Federal de Minas Gerais. 13. FRANCO, Victor. Fundamentos do Método dos Elementos Finitos. ENIDH, 11-1. Disponível em: http://www.enautica.pt/publico/professores/vfranco/fundamentos_metodo_elementos_finitos.pdf GESUALDO, Francisco A. R. Método dos Elementos Finitos. Universidade Federal de Uberlândia. 1. Disponível em: http://www.feciv.ufu.br/sites/feciv.ufu.br/files/anexos/bookpage/notas%de%aula%mef.pdf NETO, Gustavo C. S.; LOPES, Rogério C.; LOPES, Arlindo P. O Método dos Elementos Finitos em Treliças Planas na Disciplina de Mecânica Computacional. XXXV Congresso Brasileiro de Educação em Engenharia. 7. Disponível em: http://www.abenge.org.br/cobengeanteriores/7/artigos/434-gustavo%cunha.pdf OÑATE, Eugenio. Calculo de Estructuras por Metodo de Elementos Finitos. Ed. CIMNE. 1991. ROQUE LUIZ PITANGUEIRA. Notas de Aula da Disciplina Método dos Elementos Finitos. Universidade Federal de Minas Gerais. 13. WEAVER Jr., W.; JOHNSTON, P. R. Finite Elements for Structural Analysis. Ed. Englewood Cliffs, New Jersey. 1984. 59

ANEXO I Matriz de Rigidez do Elemento Finito Triangular de Três Nós K = K 1 + K é K 1 = é K = Para Estado Plano de Tensões: e 1 = 1 ; e = 1 ν ; e 3 = ; e 4 = ( ) ; e 5 = e 4 e 3 Para Estado Plano de Deformações: e 1 = 1 ν ; e = 1 ν ; e 3 = ; e 4 = ( ) ; e 5 = e 4 e 3 Fonte: WEAVER Jr., W.; JOHNSTON, P. R (1984) 6

ANEXO II Matriz de Rigidez do Elemento Finito Retangular de Quatro Nós K = K 1 + K K 1 = é K = é s 1 = s = s 3 = s 4 = s 5 = s 6 = Fonte: WEAVER Jr., W.; JOHNSTON, P. R (1984) 61

ANEXO III Coeficientes para Quadratura de Gauss n ± W 1 1,5773569 1,774596669,55555556 3,88888889 4,96179846,369689 5,53846931,4786867,57,93469514,1713449 6,6619387,3676157,38619186,46791393,9491791,1948497 7,41795918,9689857,11854 8,183434643,3668378,86113631,741531186,796666477,34785485,797539,3813,33998144,45845151,555341,6514515,381835,3137665 Fonte: WEAVER Jr., W.; JOHNSTON, P. R (1984) 6

ANEXO IV Matriz de Rigidez do Elemento de Placa Retangular de Quatro Nós MZC () = [ () + () + () + () ] D = ( ) Fonte: OÑATE, Eugenio (1991) 63