Modelo Físco/ (EFD)? Problema Real? (avão, carro,...) Modelo Matemátco (CFD) Túnel de Vento Modelo Condções de Frontera Escala Approx. nas eqs., (ν t ) Equações (modelo de turbulênca) Instrumentos de Medda Precsão Erros Numércos Solução Numérca Quantdades de Interesse U Valdação Quantdades de Interesse U Modelos Físcos - Factor de escala (gualdade do número de Reynolds) - Condções de rontera - Turbulento versus Lamnar (transção orçada) Instrumentos de Medda - Precsão - Pós-processamento
Modelos Matemátcos - Aproxmações assumdas (ludo-pereto, camada lmte, méda de Reynolds, modelo de turbulênca,...) Soluções numércas - Erros Numércos - Pós-processamento Erro Numérco - Erro de Arredondamento (Round-o) Precsão nta dos computadores - Erro Iteratvo (Iteratve) Equações não lneares, correcções deerdas, métodos de solução teratvos,... - Erro de Dscretzação (Dscretzaton) Aproxmações geométrcas, derencação, ntegração...
Erro de Arredondamento (Round-o) - Não é possível determnar o erro de arrendondamento exacto porque sera necessáro uma máquna de precsão nnta para o azer - Comparação entre precsão smples e dupla (ou quadrúpula) dá uma boa estmatva do erro de arredondamento - Em problemas mal condconados, o erro numérco pode ser domnado pelo erro de arredondamento Erro de Arredondamento (Round-o) - Interpolação polnomal de ordem N pol N pol y a + ax + ax +... + a N + x ( ) ( ) Funções y sn πx e y ln x + no ntervalo 0 < x < - N pol + pontos equdstantes denem um sstema de N pol + equações algébrcas - Erro de nterpolação máxmo determnado no ponto médo dos pontos que denem o polnómo pol
Erro de Arredondamento (Round-o) 0 0 Precsão Smples Precsão Dupla sn(πx/) sn(πx/) log(x+) log(x+) 0 0 0 0 L (y-y exacto ) 0-0 0-0 Precsão Quadrupula sn(πx/) log(x+) 0-30 0 0 0 30 40 N pol - Não lneardade das equações - Soluções segragadas (modelo de turbulênca resolvdo separadamente do balanço de quantdade de movmento) - Correcções deerdas no processo de dscretzação ( upwnd de prmera ordem mplícto e correcções para obter segunda-ordem no lado dreto do sstema) - Método teratvo na solução dos sstemas de equações lneares
- Nível mínmo do erro teratvo é o erro de arredondamento - Uma boa estmatva do erro teratvo pode ser determnada convergndo a solução até à precsão da máquna (a solução exacta para a determnação do erro teratvo muda com o renamento da malha, aumento do número de graus de lberdade) - O erro teratvo não é gual à derença entre terações sucessvas ou resíduos normalzados - Exemplo: Solução de duas equações não-lneares ( x) ln( x + ) x + x exp( x) 0 ( x) ln( x + ) x + x exp( x) + x cos( x) 0 - As duas equações têm uma solução exacta em x 0 - Soluções numércas obtdas com o valor ncal em dos métodos: a) Newton-Raphson b) Iteração de ponto xo x 0
0.5 0 (x) (x) (x) -0.5 - -.5 - -0.5 0 0.5 x - Newton-Rahpson x ( x ) '( x ) - Iteração de ponto xo ( x ) '( x ) ( x ) e x + x, x, Res +, t + ( x) 0 x ln( x + ) x + exp( x ) + ( ) exp( x ) ( x) 0 x ln( x + ) x + + x cos( x ) + - Montorzação da convergênca teratva x x ( x+ ) et x + x, Res, +
0 0 Newton-Raphson φ 0-5 0-0 0-5 x Res e t 0-0 0-5 0-30 0-35 4 6 8 Iteratons ( x) ln( x + ) x + x exp( x) 0 0 0 Iteração de ponto xo 0-5 0-0 x Res φ 0-5 e t 0-0 0-5 0-30 ( x) ln( x + ) x + x exp( x) 0 0-35 3 4 5 6 7 8 9 0 Iteratons
0 0 Newton-Raphson 0-5 0-0 φ 0-5 x 0-0 0-5 Res e t 0-30 0-35 0 0 30 40 50 60 70 80 90 00 Iteratons ( x) ln( x + ) x + x exp( x) + x cos( x) 0 0 x Iteração de ponto xo 0 0 0 - Res e t 0 - φ 0-3 0-4 0-5 0-6 0-7 0 0 0 0 0 3 0 4 Iteratons ( x) ln( x + ) x + x exp( x) + x cos( x) 0
Erro de Dscretzação (Dscretzaton) - Consequênca da transormação das equações para o meo contínuo num sstema de equações algébrcas - Pode ter uma componente geométrca, que pode até ser a contrbução domnante em domínos lmtados por superíces de curvatura elevada - Habtualmente é a maor contrbução para o erro numérco Erro de Dscretzação (Dscretzaton) - Só pode ser determnado com o conhecmento da solução exacta - Tende a dmnur com o aumento do número de graus de lberdade (renamento da malha) - Estmatvas do erro de dscretzação podem ser obtdas a partr de estudos de renamento de malha - Erros teratvo e de arredondamento devem ser desprezáves quando comparados com o erro de dscretzação
Erro de Dscretzação (Dscretzaton) - Exemplos de determnação e estmatva do erro de dscretzação são apresentados nos sldes dedcados à Vercação: Vercação de Códgos (Code Vercaton) Vercação de Soluções (Soluton Vercaton)