Teoria do Controlo Síntese de controladores Controladores PID MIEEC!
Esquema de controlo r - G c (s) G p (s) y TCON 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Controlador com pura ação proporcional (P) G c (s) = K K > 0 constante. Localização dos polos em malha fechada LGR O tipo do sistema original não se altera. Caso seja mantida a estabilidade da malha fechada, o aumento de K: - aumenta as constantes de erro em regime permanente - melhora o regime permanente TCON 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Exemplo G p (s) = 1 (s+1)(s+2)(s+3), G c(s) = K 5 Root Locus gp(s)=1/(s+1)(s+2)(s+3) 4 3 2 Imaginary Axis 1 0 1 K=60 2 3 4 1.5 Step Response Resposta ao degrau em malha fechada Gp(s)=1/(s+1)(s+2)(s+3); K indicado 5 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 Real Axis 1 K = 40 Amplitude 0.5 K = 5 0 0 5 10 15 20 25 Time (sec) TCON 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Controlador com pura ação integral (I) G c (s) = K I s = 1 T I s O tipo do sistema original é aumentado de 1. Usa-se para melhorar o desempenho em regime permanente. Para G p (s) de tipo 0, é eliminado o erro estacionário de seguimento de entradas em degrau. Pode haver pior desempenho transitório. TCON 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Exemplo G p (s) = 1 (s+1)(s+2)(s+3), G c(s) = 5 s vs G c(s) = 5 1.5 Step Response Gp(s)=1/(s+1)(s+2)(s+3) Gc(s)=5/s 1 Amplitude 0.5 Gc(s)=5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 Time (sec) TCON 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Controlador com pura ação derivativa (D) G c (s) = K D s Não tem praticamente aplicação. Para sistemas com polos na origem, diminui em 1 o tipo do sistema. Anula entradas em degrau, impedindo o seu seguimento se G p (s) for de tipo 1. TCON 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Controlador com ação proporcional e integral (PI) G c (s) = K + K I s = K(1 + 1 T I s ) K - ganho proporcional; K I - ganho integral Forma alternativa G c (s) = K s+z s Controlador com um polo na origem e um zero no SPE, s = z (que pode ser usado para cancelar um polo do processo). Usa-se para melhorar o desempenho em regime permanente, tal como no caso da ação integral pura. O zero de G c (s) no SPE permite melhor desempenho da malha fechada no domínio das frequências que no caso da ação integral pura. TCON 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Controlador com ação proporcional e integral (PI) - Projeto G c (s) = K + K I = K(1 + 1 ) = K s+z s T I s s (1) z: escolhido de modo a cancelar um pólo de G p (s) (habitualmente o mais lento (dominante)). (2) K: escolhido posteriormente de forma a cumprir algum requisito de regime transitório (ζ ou ω n de pólos dominantes em malha fechada), de margens de estabilidade,... TCON 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Controlador com ação proporcional e derivativa (PD) G c (s) = K P + K D s = K(s + z) K P - ganho proporcional; K D - ganho derivativo Controlador com um zero no SPE (s = z) (que pode ser usado para cancelar um polo do processo). O zero do controlador no SPE tem um efeito benéfico no desempenho da malha fechada no domínio das frequências. TCON 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Controlador com ação proporcional e derivativa (PD) - Projeto G c (s) = K P + K D s = K(s + z) (1) z: pode ser usado para cancelar o polo mais lento (dominante) do processo. (2) K: escolhido posteriormente de forma a cumprir algum requisito distinto. TCON 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Controlador com ação proporcional, integral e derivativa (PID) G c (s) = K + K I s + K Ds = K(1 + 1 T I s + T Ds) K - ganho proporcional; K I - ganho integral; K D - ganho derivativo Forma alternativa G c (s) = K (s+z 1)(s+z 2 ) s Controlador com um polo na origem e dois zeros no SPE, s = z 1 e s = z 2 (que podem ser complexos). O polo contribui para melhorar o desempenho em regime permanente, pois aumenta em 1 o tipo do sistema compensado. Os zeros de G c (s) no SPE permitem melhorar o regime transitório. TCON 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Controlador PID - Projeto G c (s) = K + K I s + K Ds = K(1 + 1 T I s + T Ds) = K (s+z 1)(s+z 2 ) s Controlador com 3 parâmetros possibilidade de ajustar 3 grandezas relacionadas com o desempenho pretendido para o sistema em malha fechada. Zeros podem ser usados para cancelar polos do processo ou para alterar a configuração do LGR. Ganho permite o ajuste dos polos dominantes ou de margens de estabilidade. TCON 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Controladores P/PI/PID - Projeto - outros critérios Outros critérios para a sintonização de controladores P/PI/PID: minimização de funcionais de erro de seguimento (ex: integral do valor absoluto do erro, integral do erro quadrático, etc). Procedimento: Os parâmetros do controlador são dados por fórmulas obtidas por diferentes investigadores, de acordo regras heurísticas. Os métodos de sintonização podem dividir-se em métodos de malha aberta e métodos de malha fechada. TCON 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Controladores P/PI/PID - Sintonização em malha aberta 1) Conforme o método de malha aberta escolhido, supõe-se que o processo é modelado por G p (s) = K pe T s τ s+1 ou por G p (s) = K p e T s s. 2) Determinam-se os valores dos parâmetros K p, T e τ ou K p e T através da resposta ao degrau do processo. 3) Usam-se estes valores nas correspondentes fórmulas. TCON 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Controladores P/PI/PID - Sintonização em malha fechada 1) Determinam-se o ganho crítico K c e o correspondente período crítico P c para os quais o sistema em malha fechada com G c (s) = K c apresenta oscilação persistente (i.e., tem polos dominantes s = ±jω c no eixo imaginário). Equações para a determinação de K c, ω c e P c : 1 + K c G(jω c ) = 0 P c = 2π ω c Nota: K c corresponde à margem de ganho do processo e ω c à frequência de travessia de fase. 2) Usam-se estes valores nas correspondentes fórmulas. TCON 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Controladores P/PI/PID - Fórmulas de Ziegler-Nichols Controlador Malha aberta Malha fechada P K = 1 T K p K = 0.5K c PI K = 0.9 T K p T I = 3.33T K = 0.45K c T I = 0.833P c PID K = 1.2 T K p T I = 2T T D = 0.5T K = 0.6K c T I = 0.5P c T D = 0.125P c TCON 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Controladores P/PI/PID - Sintonização em malha fechada - Exemplo G p (s) = 1 (s+1)(s+2)(s+2) Ganho crítico K c = 60 (ver slide 3) Frequência crítica ω c 3.32 rad/s Período crítico P c = 2π ω c 1.89 s Parâmetros do controlador PID Método de Ziegler-Nichols: K = 0.6K c = 36; T D = 0.125P c = 0.24; T I = 0.5P c = 0.95. TCON 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Determinação do período e ganho críticos através de um relé G p (s) - processo com margem de ganho finita Montagem com relé RELÉ e(t) A m(t) - - A Gp(s) PID O sistema realimentado entra automaticamente em oscilação com frequência ω c e amplitude a. TCON 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Determinação do período e ganho críticos através de um relé Período crítico: P c = 2π ω c Ganho crítico: K c função da amplitude de oscilação a Para determinar a relação entre K c e a, analisemos o efeito do relé: e(t) = a sin(ω c t) relé m(t) = onda quadrada de amplitude A e ( ) frequência ω c 4A π sin(ω ct) ( ) Aproximação pelo primeiro harmónico da série de Fourier. Quando o processo G p (s) é de tipo passa-baixo, com decaimento de pelo menos -60dB/dec às altas frequências, o seu efeito sobre m(t) é praticamente o mesmo que sobre a sua aproximação. O método exposto aplica-se apenas nestas condições. TCON 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Determinação do período e ganho críticos através de um relé Portanto: Para entradas do tipo e(t) = a sin(ω c t) o relé comporta-se como um ganho puro igual a 4A aπ Como há oscilação, este ganho é igual ao ganho crítico, que por sua vez coincide com a margem de ganho (MG) do processo, isto é K c = MG = 4A. A frequência de oscilação aπ ω c é a frequência de travessia de fase. 1 + 4A aπ G(jω c) = 0 TCON 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Sintonização automática do PID usando um relé Resumindo, a sintonização automática do PID usando um relé é feita do seguinte modo: 1. Procede-se à montagem do relé, como indicado no esquema 2. Verifica-se qual a amplitude a e a frequência ω c de oscilação do sistema realimentado 3. Calcula-se P c = 2π ω c e K c = 4A aπ 4. Determina-se os parâmetros do PID de acordo com as fórmulas. TCON 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21