Dprmo d Mmá ALGUMAS PROPRIEDADES DAS CURVAS CONVEXAS DO PLANO Aluo: Pul Muro Nus Ordor: Hr Nols Aux Irodução Nos ds us mmá fz-s prs m odos os lugrs. Ao olor um mod pr lfor ou osgur ls guém pr pr psr m odo o prosso qu dorr dsd rd d mod é síd do ojo dsjdo. Além do pso muos prlos ulzm form pr dfrção ds mods omo um mo d vr fruds. Por sso é d sum mporâ áls d form d urvur ds urvs pls. Assm sdo o osso sudo lém d r rss mmáo mém possu plçõs prás. Ojvo Ess rlo ojv lsr urvur ds urvs sus proprdds ddo êfs às urvs d lrgur os dmosrdo qu lém do írulo xsm úmrs ours urvs d lrgur os qu possum proprdds muo rsss. Todo o sudo rg ps urvs ovxs por ss rzão s proprdds dmosrds só são válds pr s po d urv. Modolog Pr osrução d um s d rfrês form ldos dmosrdos lgus orms rlodos à or ds urvs. Prourou-s o máxmo dr os oos fudms qu rm d urvur. As d udo fo prso or lgums dfçõs áss omo o qu é: urv rgulr urv ovx omprmo d ro lrgur dâmro. Dpos fo fo um sudo d lgums proposçõs lásss omo o orm d Eulr drvd d um fução ul-s m um poo xrmo ror o orm d Jord um urv pl smpls fd df um rgão dsguldd soprmér ár omprdd por um urv é smpr mor qu zro mor ou gul L /4p od L do o omprmo d urv. Com sss oos fxdos fo f um rvsão d áls d Fourr ás omo: Domposção d um fução p-pród s d Fourr: S Rlção r S S s os E um prmrzção spl d urvs srm ovxs fo osdrd. Tmém fo ord um ov dmosrção d dsguldd soprmér o so ds urvs ovxs. Por fm form lsds s urvs d lrgur os provdos os rsuldos xo: Torm : Em qulqur urv fd o dâmro lrgur máxm são gus.
Dprmo d Mmá Coroláro: A lrgur drção u é gul u -u od é fução supor d urv vd xo dfção. Além dsso s lrgur é os l é gul o dâmro. Torm : Um urv d lrgur os L m prímro Ld gul p. Torm 3: Dsguldd soprmér o so d um urv ovx: 4pA L. Torm 4: S é um urv d lrgur os s sus urvs prlls mém m lrgur os. Algums dfçõs fos lássos As d qulqur dmosrção é prso sr lgums dfçõs s omo s xprsss xo: Sj :[ ]? R prmrzção d lgum urv smpls do plo ão: Um urv é d rgulr s pr qulqur poo s s?. O omprmo L d urv é ddo por: L α α s ds O dâmro D é ddo por Ds máx{ s - } s [ ]. A lrgur L drção u é dd por Lu u -u od u máx s s u u S so é s u. Logo u é o máxmo r s dsâs ords d orgm s gs. A fução é md fução supor. S s é o prâmro d ro so é s pr odo s A urvur ks d urv m s é dd por k s. Um urv smpls é d ovx s su urvur ão mud d sl. Torm d Eulr: A drvd d um fução ul-s m um poo xrmo. Torm d Jord: Um urv pl smpls df um rgão ror. Dsguldd soprmér: A ár A d rgão ror d um urv pl smpls d omprmo L ssfz dsguldd 4pA L. Além dsso s 4pAL urv é um írulo. Frrm prpl: prmrzção d um urv ovx por su drção orm l:
Dprmo d Mmá -s os os s Sj um urv ovx prmrzd por d od são dus fuçõs rs. Logo sdo orml gul os g gul -s s os d os -s s os Como ssummos qu urv é ovx podmos ssumr qu um drção orrspod um úo poo d urv. Vmos drmr d modo qu sj o vor orml uáro à urv d. Sdo - drvdo-s d oém-s: d' d' orml mpl qu: < d' > poro d Além dsso < d > ou sj é fução supor. Osrvmos mém qu d' m prulr ão pod ulr-s. Poro ssumrmos qu >. Como - p olu-s qu lrgur d d drção é gul p usdo o oroláro do Torm. Rsumdo: podmos prmrzr um urv ovx d sgu mr: d od é qulqur fução p pród l qu >. Além dsso é fução supor d urv su lrgur drção é p. Dmosrção dos Torms p A. Dmosrção do Torm Em qulqur urv fd o dâmro lrgur máxm são gus: Sj Ds o dâmro ss fução g su máxmo m s l qu: D D τ s α s α τ α s α s s s Afrm-s sso pl plção do orm d Eulr qu dz qu odos os poos d máxmo êm drvds gus à zro.
Dprmo d Mmá Por dfção odos os poos d urv são odos r s ss dâmro é gul à lrgur w drção d s omo dmosrmos. Logo D w máx. Agor pgumos u S s [ ]. Eão: wu u -u α s u α -u αs -α u αs -α Do qu oluímos qu D wu pr qulqur u. Logo oluímos qu D wu omo qurímos dmosrr. Colusão: Curvs ovxs d lrgur os êm su dâmro rlzdo por odos os poos p d urv sus rspvos prs p qu são sudos orml p um dsâ D w qu é os. Coroláro: A lrgur drção u é gul u -u. Além dsso s l é os l é gul o dâmro. B. Dmosrção do Torm Um urv d lrgur os w m prímro Ld gul wp: Supomos um urv d lrgur os L p w ão Ld pw. S d m lrgur os w ão usdo prmrzção spl: L δ d d δ d d d d d d wd w d Coroláro: o omprmo d urvs ovxs é smpr pw dpd d lrgur sr os ou ão. C. Dmosrção d dsguldd soprmér so ds urvs ovxs: Clulmos gor ár do ror d urv ulzdo prmrzção por o orm d Gr. y dxdy Ro F dxdy < F > dl od F logo RoF Ω Ω x γ d d
Dprmo d Mmá d d d d d d d d s s s d d d s s s A γ os os os os. os os Pr omprr s xprssão om o omprmo vmos roduzr sér d Fourr d : Sj w os s os s 3 os3 3 s3. Logo: - s os - s os - 3 3 s3 3 3 os3 - os - s - 4 os - 4 s - 9 3 os3-9 3 s3 w - 3 os - 3 s - 8 3 os3-8 3 s3 < Z N os w s A d d d d A Podmos fzr ss susução pos fmíl é oroorml om rspo o produo slr <>. Logo A p Σ- < > 4 4 w w Flm mos A p w p Σ -.
Dprmo d Mmá Como o sgudo rmo é gvo já qu - é gvo mos A p w poro : 4pA 4p w. Por ouro ldo vmos o Coroláro do Torm qu Lp w logo L 4p w. Coluímos ão qu : 4pA L qu é dsguldd dsjd. D. Dmosrção do Torm 4 s é um urv d lrgur os s sus urvs prlls mém êm lrgur os: S d é prmrzção d um urv o su vor orml uáro ão urvs prlls são prmrzds por d d. Usdo prmrzção spl: d logo: d ou sj fução supor d urv prll é : Dorr qu s urv d m lrgur os w so é p w rmos: p p w ssm urv prll d m lrgur os gul w. Rsuldos odos Ess psqus lém d dmosrr orms já odos ur oos dsos fldo o sudo dsss urvs osgu propor um ov dmosrção pr dsguldd soprmér o so d urvs ovxs. Colusão Com ss psqus frá ms fál d dqurr odo o omo áso ssáro pr s fzr um áls ms profud d urvur ds urvs sus proprdds. El pod sr o omço d mus psquss ss ár.