LISTA DE EXERCÍCIOS Funções analíticas. Suponha que f : Ω C é C-diferenciável. Denote por r (Ω) o conjunto { z; z Ω}. Mostre que g : r (Ω) C dada por g (z) := f ( z) é ainda C-diferenciável. Recíproca? 2. Suponha que f : Ω C é C-diferenciável. Mostre que valem as afirmações: i) Se existe c C tal que f (z) = c f (z) ( z Ω), então f é constante. ii) Se f (Ω) R, então f é constante. iii) Se f é constante, então f é constante. 3. Seja f : Ω C uma função C-diferenciável com R(f ) = u e I(f ) = v. Seja ainda β : Ω R uma função real. Mostre que u + iβ é C-diferenciável se, e sómente se, v β é constante. 4. Mostre que a função f : C C dada por f (z) := zr(z) é C-diferenciável apenas no ponto z =. Determine f (). 5. Mostre que a seguinte função f : C C não é C-diferenciável e z 4 z f (z) := z = embora as equações de Cauchy-Riemann sejam válidas em todo ponto 2. 6. Seja f : Ω C uma função C-diferenciável com ar(f )+bi(f )+c = para constantes a, b, c C que não são simultâneamente nulas. Mostre que f é constante. Nesta lista, a menos que se diga o contrário, Ω é um domínio (i.e. aberto e conexo) do plano. 2 Compare este exemplo com o teorema de Looman-Men shov no livro de R. Narasimhan.
7. Sejam f, g : Ω C funções C-diferenciáveis em z, g (z ) e que f (z ) = g (z ) =. Mostre que vale a seguinte regra de L Hospital: f (z) lim z z g (z) = f (z ) g (z ) 8. (Versão complexa do teorema de Rolle) Seja f : Ω C uma função holomorfa definida no domínio convexo Ω. Sejam a,b Ω tais que a b e f (a) = f (b) =. Mostre então que existem z, z 2 no segmento de reta ]a,b[ com R(f (z )) = e I(f (z 2 )) = Solução: Sejam a = R(a), a 2 = I(a), b = R(b) e b 2 = I(b). Sejam u(z) = R(f (z)) e v(z) = I(f (z)) para todo z Ω. Defina agora a seguinte função real em [,] φ(t) := (b a )u(a + t(b a)) + (b 2 a 2 )v(a + t(b a)) Assim, f (a) = f (b) = implica u(a) = u(b) = v(a) = v(b) = e portanto φ() = φ() =. Pelo teorema de Rolle real, existe t ],[ tal que φ (t ) =. Fazendo z = a + t (b a) temos = φ (t ) = (b a ) [ u x (z )(b a ) + u y (z )(b 2 a 2 ) ] + + (b 2 a 2 ) [ v x (z )(b a ) + v y (z )(b 2 a 2 ) ] Pelas equações de Cauchy-Riemann, obtemos que Portanto = u x (z ) [ (b a ) 2 + (b 2 a 2 ) 2] R(f (z )) = u x (z ) = Aplicando o que foi feito acima para a função g = if, conclui-se que existe um ponto z 2 no segmento de reta ]a,b[ de modo que = R(g (z 2 )) = v x (z 2 ) = u y (z 2 ) = I(f (z 2 )) 9. (Versão complexa do teorema do valor médio) Seja f : Ω C uma função holomorfa definida no domínio convexo Ω. Sejam a, b Ω distintos. Prove: existem números complexos z, z 2 no segmento de reta ]a,b[ tais que R(f f (b) f (a) (z )) = R( ) e I(f f (b) f (a) (z 2 )) = I( ) b a b a 2
Solução: Defina a seguinte função no domínio Ω f (b) f (a) g (z) = f (z) f (a) [ ](z a) b a Claramente temos g (a) = g (b) =. Assim, em virtude do exercício anterior, existem z, z 2 ]a,b[ tais que R(g (z )) = I(g (z 2 )) =. Mas temos que para todo z Ω. Logo, e também g (z) = f f (b) f (a) (z) b a = R(g (z )) = R(f f (b) f (a) (z )) R( ) b a = I(g (z 2 )) = I(f f (b) f (a) (z 2 )) I( ) b a. Mostre que em coordenadas polares x = r cos(θ) e y = r sin(θ), as equações de Cauchy- Riemann relativas a uma função C-diferenciável f : Ω C, com u = R(f ) e v = I(f ), são dadas pelas expressões abaixo u r = r v θ e v r = u r θ. Seja f : Ω C uma função C-diferenciável com f = u + iv. Mostre que as curvas das famílias u(x, y) = cte. e v(x, y) = cte. se cruzam formando um ângulo reto. 2. (Função logaritmo) Para cada real α, seja H α := { r e iα C; r }. Mostre que C H α é aberto e estrelado com respeito a e iα. Para cada z C H α, defina arg α (z) como sendo o argumento de z no intervalo (α π, α+π). Mostre que arg α (z) é contínua em C H α. Defina então log α : C H α C pela expressão log α (z) := log( z )+i arg α (z). Mostre que e log α (z) = z para todo z C H α e conclua que a função log α é C-diferenciável com derivada /z. 3. A função f (z) = /z é C-diferenciável no anel Ω = {z C; < z < 2}. Mostre que a função f não possui primitiva em Ω. 4. Suponha que f : Ω C é C-diferenciável. Assuma que f possui uma primitiva F em Ω. A função F possui uma primitiva em Ω? 3
5. Mostre que uma função C-diferenciável (basta ser contínua) f : Ω C possui uma primitiva em Ω se, e sómente se, para toda curva γ de classe C por partes, fechada, cuja imagem está contida em Ω temos γ f (z)dz =. 6. Sejam Ω e Ω 2 domínios do plano. Assuma que Ω Ω 2 é conexo e não vazio. Mostre que se f é uma função que possui primitiva em Ω e em Ω 2, então f possui primitiva em Ω Ω 2. Mostre com um exemplo que as hipóteses sobre Ω Ω 2 são essenciais. 7. Denote por γ a,r a circunferência de centro a C e raio r >, isto é, γ a,r (t) := a + r e it com t [,2π]. Calcule o valor da seguinte integral: γ,r (z a) n dz ( a < r < b, n,m N) (z b) m 8. Com as mesmas notações do exercício anterior, calcule as integrais abaixo: (a) γi, e z z 2 + dz (b) γ i, e z z 2 + dz 9. Mostre que se f : Ω C é C-diferenciável, então vale a seguinte igualdade ( 2 x 2 + 2 y 2 ) f 2 = 4 f 2 2. Sejam f,..., f n : Ω C funções C-diferenciáveis. Mostre que a função F : Ω R, F := f 2 +... + fn 2 é harmônica cada f j é constante. 2. Seja U C aberto e denso 3. Seja f : C C de classe C (como função de variáveis reais) com f U C-diferenciável. Mostre que f deve ser inteira. 22. Seja f : C C uma função inteira e não constante. Prove: f (C) é denso. 23. Se f : D r (c) C é C-diferenciável com f (z) para todo z D r (c), mostre que existe uma função C-diferenciável g : D r (c) C tal que f = e g 3 Ou seja, U = C. 4
24. Seja f : D r (c) C uma função C-diferenciável com f (z) para todo z D r (c). Fixe n N. Prove que existe uma função C-diferenciável h : D r (c) C de modo que f (z) = [h(z)] n para todo z D r (c). 25. Suponha que f : C C é C-diferenciável e que existe constante M R + satisfazendo R(f )(z) M para todo z C. Mostre que f é constante. 26. Sejam ω e ω números complexos que são linearmente independentes sobre R. Mostre que se f : C C é uma função inteira e que satisfaz f (z + ω) = f (z) = f (z + ω ), z C então f é constante. 27. Determine todos os pares de funções inteiras f, g : C C que satisfazem [f (z)] 2 + [g (z)] 2 =, z C 28. Seja f : C C inteira. Suponha que existem c R +, r R + e n N de modo que f (z) c z n para todo z C com z > r. Mostre que f é um polinômio de grau no máximo n. 29. Mostre que se u : C R é harmônica e u(z) > para todo z C, então u é constante. 3. Seja f : C C contínua. Suponha que f é C-diferenciável no seguinte subconjunto: {z C; I(z) }. Mostre que f é uma função inteira. 3. Mostre que se f : C C é uma função inteira que satisfaz a condição ( ) f (z) = então f é constante. 4 lim z z 32. Seja γ : [a,b] C uma curva fechada e de classe C por partes e seja z um ponto fora da imagem de γ, isto é, z C { γ(t); t [a,b] }. O índice de γ com respeito a z é a integral n(γ, z) := 2πi ξ z dξ Mostre que n(γ, z) Z para todo z γ. γ 4 Use este resultado para demonstrar o Teorema fundamental da Álgebra. 5
33. (Princípio da continuação analítica) Seja f : Ω C uma função C-diferenciável e suponha também que para algum a Ω tenhamos f (n) (a) = para todo inteiro n. Mostre que f é identicamente nula. 34. (Princípio dos zeros isolados) Seja f : Ω C uma função C-diferenciável e que não é identicamente nula. Suponha ainda que f (a) = para algum a Ω. Mostre então que existe um menor inteiro k > tal que f (k) (a) (nestas condições dizemos que a é um zero de ordem k de f ). Mostre também que f (z) = (z a) k f k (z), onde f k : Ω C é C-diferenciável e f k (a) = f (k) (a)/k!. Conclua que se A Ω possui um ponto de acumulação em Ω e se uma função C-diferenciável f : Ω C é tal que f (a) = para todo a A, então f é identicamente nula. Assim, deduza que se temos duas funções C-diferenciáveis f, g : Ω C que coincidem em um subconjunto de Ω que possui um ponto de acumulação em Ω, então f = g. 35. Mostre a regra de L Hospital: Sejam duas funções C-diferenciáveis f, g : Ω C tais que, para algum inteiro k > e um ponto a Ω, temos f (a) = f (a) =... = f (k ) (a) =, g (a) = g (a) =... = g (k ) (a) = e g (k) (a). Então, vale a igualdade f (z) lim z a g (z) = f (k) (a) g (k) (a) 36. Quais são as funções C-diferenciáveis f : D 2 () C tais que n N f ( n ) = n 2? Existe uma função C-diferenciável g : D 2 () C tal que n N tem-se g ( n ) = g ( n ) = n 3? 37. Sejam f, g : Ω C funções C-diferenciáveis que satisfazem f (z)g (z) = para todo z Ω. Mostre que f ou g. 38. Seja f : C C uma função inteira que possui a seguinte propriedade Mostre que f é um polinômio. lim z f (z) = 6
39. (Teorema da aplicação aberta) Mostre que se f : Ω C é uma função C-diferenciável e não constante, então f é uma aplicação aberta. 4. Sejam Ω e Ω domínios do plano. Suponha que f : Ω C é uma função C-diferenciável e que g : Ω Ω é uma função C-diferenciável e não constante. Suponha ainda que f (g (z)) = para todo z Ω. Mostre que f é identicamente nula. 4. (Produto de Blaschke) Suponha que f : D () C é uma função contínua. Assuma que f é C-diferenciável em D () e que f (z) = quando z =. Mostre que f tem um número finito de zeros em D (). Denote por a,..., a n os zeros de f (com repetição os que tem ordem maior do que um). Mostre que f pode ser escrita na seguinte forma f (z) = e iθ n k= z a k a k z para alguma constante e iθ D (). Conclua que se f for uma função inteira tal que f (z) = quando z =, então f (z) = cz n para alguma constante c com c = e algum natural n N. 42. Seja f : D () C uma função C-diferenciável tal que f (z) < para todo z D (). Tome a D () e faça α = f (a). Prove a estimativa f (a) α 2 a 2 (Sugestão: considere a composta ϕ α f ϕ a onde ϕ p (z) = (z p)/( pz)) Conclua que não existe uma aplicação C-diferenciável f : D () D () tal que f (/2) = 3/4 e f (/2) = 2/3. 43. Seja γ : [a,b] C uma curva de classe C por partes e suponha que f n : γ([a,b]) C, n N, é uma seqüência de funções contínuas que converge uniformemente para uma função f : γ([a,b]) C. Mostre que f (z)dz = lim f n (z)dz γ n γ 44. Seja γ : [a,b] C uma curva C por partes e suponha que temos uma seqüência de funções contínuas f n : γ([a,b]) C, n N. Prove: se a série de funções n= f n (z) converge uniformemente para f sobre γ([a,b]), então γ f (z)dz = n= γ f n (z)dz 7
45. Para cada uma das séries abaixo, determine o raio de convergência. i) z n n= z n ii) n n= iii) z n n= n 2 iv) n= z np n (p N ) Investigue ainda o comportamento no círculo de convergência. 46. Mostre que se z C é tal que z <, então valem as seguintes igualdades z z 2 + z2 z2n +... + z4 z +... = z 2n+ z 2 z + 2 2 z 2 + 3 2 z 3 +... + n 2 z n +... = z( + z) ( z) 3 z + 2z 2 + 3z 3 +... + nz n +... = z ( z) 2 ( ) p 47. Seja k N e denote por q os coeficientes binomiais. Mostre a igualdade + ( ) k+ z + ( ) k+2 2 z 2 +... + ( ) k+n n z n +... = ( z) k+ ( z < ) 48. Suponha que D := D r (c), com < r <, é o disco de convergência de uma série de potências f (z) = n= a n (z c) n. Um ponto w D é dito um ponto singular de f se não existe função holomorfa g definida em uma vizinhança U de w que satisfaz g U D = f U D. Mostre que uma tal série de potências f possui ao menos um ponto singular. Mostre ainda que o conjunto dos pontos singulares de f é fechado. Se todo ponto de D for um ponto singular de f, dizemos que D é o bordo natural de f. Mostre que a série abaixo tem D () como bordo natural f (z) := n= z 2n 49. Suponha que o raio de convergência da série de potências dada por f (z) = k= c k z k é R R + e que todos os coeficientes c k são reais não negativos. Mostre que o ponto z = R é um ponto singular da função f. 5. Suponha que r R + é o raio de convergência de uma série de potências a n z n e que em um ponto z D r () a série converge absolutamente. Mostre então que a n z n converge absoluta e uniformemente em D r (). 8
5. Mostre que D () é o disco de convergência da seguinte série de potências f (z) = z n! n= Mostre que D () é o bordo natural de f (tome pontos da forma z = r e 2πip/q, com p e q naturais positivos, e conclua que lim f (z ) = ). r 52. Mostre que D () é o disco de convergência da seguinte série de potências f (z) = z n n= n 2 Mostre ainda que é ponto singular de f (embora f seja convergente em ). 53. Mostre que D () é o disco de convergência da seguinte série de potências f (z) = z 2n n= 2 n Prove ainda que D () é o bordo natural de f (mas f é contínua em D ()). 54. Considere o logaritmo principal Log : E C (onde E := C [,+ )). Determine o desenvolvimento de Taylor de Log em torno de z = +i. Ache o disco de convergência da série encontrada. 55. (Princípio da Reflexão de Schwarz) Seja Ω C um domínio simétrico com respeito ao eixo real. Denote por Ω + e Ω os seguintes subconjuntos Ω + := Ω {z C; I(z) } e Ω := Ω {z C; I(z) }. Suponha agora que f : Ω + C é uma função contínua. Suponha também que f restrita ao interior de Ω + é holomorfa e que f (Ω + R) R. Mostre que a função g : Ω C dada por f (z) z Ω + g (z) := f ( z) z Ω é uma extensão holomorfa da função f. 56. Suponha que f é uma função inteira tal que f (R) R e f (ir) ir. Mostre que f é uma função ímpar, ou seja, f (z) + f ( z) = para todo z C. 9
57. Suponha que f : {z C; z } C é contínua. Suponha ainda que f é holomorfa em {z C; z > } e que f (z) R para todo z D (). Mostre que f possui extensão holomorfa a C (tome f (/ z) com z D ()). 58. Obtenha o desenvolvimento de Laurent para a função f (z) = i) < z < ii) < z < 2 (z )(z 2) em 59. Obtenha o desenvolvimento de Laurent para f (z) = sin( z ) em C. 6. Determine a série de Laurent para a função f (z) = z(+z 2 ) em i) < z < ii) z > 6. Obtenha o seguinte desenvolvimento no anel Ω := {z C; < z < π} sin(z) = z + [ 3! z 5! ] (3!) 2 z 3 +... 62. Obtenha o seguinte desenvolvimento no anel Ω := {z C; < z < 2π} e z = z 2 + 2 z 72 z3 +... 63. Suponha que z é um pólo de ordem m de uma função f. Suponha também que z é um pólo de ordem n de uma outra função g. Determine que tipo de singularidade isolada é z para cada uma das funções abaixo: i) f.g ii) f + g iii) f /g 64. Mostre que as singularidades isoladas de cada uma das seguintes funções são pólos e determine a ordem de cada pólo: (a) f (z) = z + z 2 2z (b) f (z) = z cos(z) ez (c) f (z) = z 2 π 2 65. Suponha que f é uma função inteira que satisfaz f ( ln(n+2) ) < n para todo n N. Mostre que f é a função identicamente nula.
66. Sejam f e g duas funções inteiras tais que f (z) g (z) para todo z C. Mostre que existe constante λ C tal que f (z) = λg (z) para todo z C. 67. Mostre que se f tem um pólo de ordem em z, então vale a igualdade Res(f, z ) = lim z z [(z z )f (z)] 68. Mostre que se f tem um pólo de ordem k N em z, então vale a igualdade Res(f, z ) = { } (k )! lim d k z z dz k [(z z ) k f (z)] 69. Considere a função f : C C dada por f (z) = e z+ z. Calcule Res(f,). 7. Calcule Res(f, z ) para as seguintes funções f e os respectivos pontos z (a) (b) f (z) = z sin(z) z 4, z = f (z) = (z 3)sin( z + 2 ), z = 2 (c) f (z) = cos(z) z 3, z = (d) f (z) = ez sin(z), z = kπ (k Z) (e) f (z) = (f ) f (z) = sin 3 (z), z = z sin(z), z = 7. Mostre que se p(z) = a n z n +... + a z + a é um polinômio de grau n 2, existe R > suficientemente grande para o qual vale a seguinte igualdade z =R p(z) dz = Conclua que a soma dos resíduos de /p(z) é zero.
72. (O princípio do argumento) Suponha que f : Ω C é uma função meromorfa 5. Seja γ : [a,b] Ω uma curva C por partes, simples, fechada, orientada positivamente, homotópica à uma constante e que não passa por nenhum zero ou pólo de f. Mostre que vale a igualdade 2πi γ f (z) f (z) dz = Z f P f onde Z f e P f são, respectivamente, o número de zeros e de pólos de f na componente limitada de C γ([a,b]) (contados com suas respectivas ordens). 73. (O Teorema de Rouché) Suponha que f, g : Ω C são duas funções meromorfas e que γ : [a,b] Ω é uma curva C por partes, simples, fechada, orientada positivamente, homotópica à uma constante e que não passa por nenhum zero ou pólo de f ou de g. Suponha ainda que g (z) < f (z) para todo z γ([a,b]). Mostre que vale a seguinte igualdade (com as notações do exercício 72). Z f P f = Z f +g P f +g 74. Seja p : C C o polinômio p(z) := z 5 + 5z 3 + z 2. Mostre que i) p tem 3 zeros em D () ii) p tem 5 zeros em D 5/2 () 75. Calcule as seguintes integrais: () 2π dθ cos(θ) 2 (2) 2π dθ 2p cos(θ) + p 2 ( < p < ) 76. Calcule as seguintes integrais impróprias: () dx ( + x 2 ) n+ (n N) (2) dx (n N) + x2n 77. Calcule a seguinte integral imprópria: cos(x) x 2 dx (a > ) + a2 5 Ou seja, holomorfa exceto em alguns pontos a Ω onde possui pólos. 2
78. (Lema de Jordan) Considere γ(θ) = Re iθ com θ [,π] (R > ). Mostre: γ e Rsin(θ) dθ < π R Solução: Observando que se θ [,π/2] temos então sin(θ) 2θ π. seguintes desigualdades são obtidas imediatamente Sendo assim, as π e Rsin(θ) dθ = 2 2 = π R < π R π/2 π/2 R = π R e Rsin(θ) dθ e 2πθ R dθ e u du e u du 79. Use o Lema de Jordan acima e calcule a seguinte integral imprópria R lim R R x sin(ax) + x 2 dx (a > ) 8. Seja f : Ω C uma função holomorfa. Dizemos que um ponto z Ω é um ponto de ordem k de f se o ponto z é um zero de ordem k para a função g (z) := f (z) f (z ). Mostre que se z é um ponto de ordem k de f, então temos a seguinte equivalência f (z ) k =. 8. Suponha que f : Ω C é holomorfa e não-constante. Suponha ainda que z Ω é um ponto de ordem k de f. Mostre que existem ɛ > e δ > tais que, dado um número complexo w D δ (f (z )), então temos exatamente k pontos distintos z D ɛ (z ) que satisfazem f (z) = w. 82. Seja f : Ω C holomorfa e não constante. Suponha que z é um ponto de ordem k = de f. Mostre que existe um disco D ɛ (z ) Ω (ɛ > ) tal que f Dɛ (z ) é injetora. 83. Seja f : Ω C uma aplicação holomorfa e injetora. Mostre que f (z) para todo ponto z Ω. 84. Mostre que D () e o anel < z < 2 não são conformemente equivalentes. 3
85. (Teorema de Montel) Seja F uma família de funções holomorfas definidas em um domínio Ω C. Dizemos que F é uniformemente limitada sobre compactos se, dado compacto K Ω, existe real B > tal que f (z) B para todo z K e para toda f F. Dizemos também que F é equicontínua sobre compactos se, dado compacto K Ω, então F é equicontínua sobre K, ou seja, dado real ɛ >, existe δ > tal que f (z) f (w) < ɛ para todos z, w K com z w < δ e para toda f F. Dizemos ainda que F é normal se, toda seqüência (f n ) n em F possui subseqüência (f nk ) k que converge normalmente em Ω. Mostre que se F é uma família de funções holomorfas uniformemente limitada sobre compactos, então F é equicontínua sobre compactos e é normal. 86. Verifique que as seguintes famílias de aplicações holomorfas são normais F = { f : Ω D r (a); f é holomorfa } G = { f : D () C; f é holomorfa, f () = e Re(f ) > } H = { f : D () C; f (z) = n= } a n z n e a n para todo n N 87. Mostre que se F é uma família normal de aplicações holomorfas, então { } F (k) := f (k) ; f F é uma família normal para cada k natural. 88. Mostre que se f : D r (a) C é holomorfa e injetora, então são válidas: i) A singularidade isolada a não é essencial. ii) Se a é removível, então a extensão holomorfa de f é injetora. iii) Se a é um pólo, então é um pólo simples. 89. Mostre que se f : C C é holomorfa e injetora, então f tem a forma f (z) = az ou f (z) = a/z (com a ). 9. Considere a seguinte família de funções holomorfas definidas em D () S := { f : D () C; f holomorfa, injetora, f () = e f () = } Mostre que a função f : D () C dada abaixo pertence à família S z f (z) = ( z) 2 4
9. Mostre que f (D ()) = C (, 4 ] onde f é a função do exercício 9. 92. Mostre que se f S e α =, então a função f α : D () C dada por f α (z) := ᾱf (αz) também pertence a S. Mostre ainda que existe função g S tal que (g (z)) 2 = f (z 2 ), z D () 93. (O Teorema da Área de Bieberbach) Suponha que f : {z C; z > } C é uma função holomorfa, injetora e com representação em série dada por Mostre que n n a n 2. f (z) = z + a + a z + a 2 z 2 + a 3 z 3 +... Solução: Sem perda de generalidade, podemos assumir que a = (caso contrário, tome f (z) a ). Como a função f é injetora, ela aplica a circunferência z = r > em uma curva simples e fechada γ. Assim, se z = re iθ com θ [,2π], então temos γ(θ) = f (re iθ ) = u(θ)+i v(θ). A área da região limitada por γ é então dada pela seguinte expressão (Teorema de Green) A = 2π u(θ) dv dθ (θ)dθ Usando a representação em série de f, temos que 2u(θ) = re iθ + re iθ + a n e inθ + a n e inθ n= { 2i dv dθ (θ) = i re iθ + re iθ r n } na n e inθ + na n e inθ Substituindo na expressão de A e integrando termo a termo, obtemos 6 A = πr 2 π n= n a n 2 r 2n Como A, temos que n n a n 2 r 2n r 2. Faça agora r n= r n 6 Use ainda o seguinte fato: se n Z, então 2π e inθ dθ n =. 5
94. (L. Bieberbach, 96) Seja f S com representação em série dada por f (z) = z + a n z n, z D () Mostre que a 2 2. n=2 95. (P. Koebe, 97) Mostre que se f S e se c f (D ()), então temos que c /4. Em outros termos, temos D /4 () f (D ()). gomes@ime.usp.br IME-USP 6