CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2016.2 Conjuntos Rafael Carvalho 7º Período Engenharia Civil
Definição Noção intuitiva: São coleções de elementos da mesma espécie. - O conjunto de todos os estudantes da UFAL. - O conjunto de todos os brasileiros. - O conjunto de todos os números naturais. Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C,..., Z. Seus componentes são formados por elementos que são denotados por letras minúsculas do alfabeto: a, b, c,..., z.
Representações: formas Compreensão A = conjunto de alunos da UFAL Implícita B x / x ; x 2 N d / d é dia da semana Explícita C a;e;i;o;u Diagrama de Euler-Venn Z
Conjuntos especiais Conjunto Vazio: o conjunto que não possui elementos Seja X um conjunto qualquer, o conjunto vazio Ø é definido por: x X / x x Conjunto Unitário: é um conjunto formado por um único elemento Ex: M = {7}
Conjuntos especiais Conjunto finito: Se for vazio ou tiver um número finito de elementos. O conjunto das cidades de Portugal O conjunto vazio. O conjunto do número de habitantes de Delmiro Gouveia Conjunto infinito: Se o conjunto tiver uma quantidade incontável de elementos. O conjunto N dos números naturais. O conjunto dos números primos. O conjunto Z dos números inteiros.
Conjuntos especiais Conjunto Universo: é o conjunto representado pela letra U de todos os elementos, J W O M Também é admitido como restrito a uma região de interesse. Ex.: - Conjunto Universo das letras - Conjunto Universo dos Conjuntos
Notações básicas
Relação de pertinência Relaciona elementos e conjuntos, informando se um elemento parte ou não de tal conjunto faz x pertence ao conjunto A Simbologia: x A x NÃO pertence ao conjunto A (lê-se: x pertence a A ) Simbologia: x A (lê-se: x NÃO pertence a A ) Exemplos 5 4; 5; 10; 23 6 1; 2; 0;1;2
Relação de inclusão 1 Relação entre conjuntos, informando se um é subconjunto do outro A A está contido em B Simbologia: A B B A A NÃO está contido em B. Simbologia: A B B A A Exemplos 5; 23 4; 5;10; 23 0; 11 10,2; 20; 1
Relação de inclusão 2 Relação entre conjuntos, informando se um é subconjunto ou superconjunto do outro: B contém A Simbologia: B A B A A B NÃO contém A Simbologia: B A B A Exemplos A 5; 23; 4;10 4; 5;10 0; 11; 3; 15 10;18; 11; 3
Conjuntos: operações União: A B (lê-se: A união B ) é o conjunto formado por elementos pertencentes a A ou a B. A A B x U ; x A x B B 1 2 3 4 5 7 6 8 9 Interseção: A B (lê-se: A interseção a B ) é o conjunto formado elementos pertencentes a A e a B. A B A B x U; x A x B por 1 3 5 2 4 7 2 4 7 9 6 8
Conjuntos: operações DIFERENÇA: A - B (lê-se: A menos B ) é o conjunto formado por elementos pertencentes a A, mas NÃO a B. A A-B B
Conjunto complementar Definição: Seja B um conjunto qualquer (portanto subconjunto do universo U), o complementar de B em relação ao conjunto universo, é simbolizado por: B ou B c O que é equivalente a: B x U; x B B U B B U U-B B
Dicas!!! Elemento neutro para a união: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a união de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
Exemplos Vamos Praticar! 1. Julgue as proposições como verdadeira ou falsa: Falso Verdadeiro Verdadeiro
Os Conjuntos Numéricos
Conjunto dos números naturais Estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza. A representação matemática deste conjunto é dada da seguinte forma: Subconjunto: (Conjuntos dos números naturais não-nulos)
Conjunto dos números inteiros A subtração de 1-4 era impossível. A ideia do número negativo, apareceu na Índia, associada a problemas comerciais que envolviam dívidas. O número zero surgiu também nesta altura, para representar o nada. A representação matemática dos números inteiros é dada da seguinte forma:
Conjunto dos números inteiros Subconjuntos: (Conjunto dos números inteiros não-nulos) (Conjunto dos números inteiros não-negativos) (Conjunto dos números inteiros positivos não-nulos)
Conjunto dos números inteiros (continuação) Subconjuntos: (Conjuntos dos números inteiros não-positivos) (Conjuntos dos números inteiros negativos não-nulos)
Vamos praticar! 1. Classifique como verdadeiro ou falso: a) A soma de dois números naturais quaisquer é um número natural. Verdadeiro b) A diferença entre dois números naturais quaisquer é um número natural Falso c) O produto de dois números naturais quaisquer é um número natural Verdadeiro
Vamos praticar! 2. Classifique como verdadeiro ou falso: Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro Falso
Como dividir 3 ovelhas para 2 herdeiros?
Conjunto dos números racionais Para resolver problemas de divisões de números inteiros (3/2), foram criados os números fracionários que unidos aos inteiros (Z), formam os números racionais (Q). A representação matemática deste conjunto é: Q = Z {números fracionários} Assim, Q={x/x a,coma Z, b Z e b 0} b Será que existe uma forma mais compacta para Q? Q { x / x a, c o m a Z, b Z * } b
Conjunto dos números racionais - Todo número que pode ser escrito na forma de fração entre dois inteiros é um número racional. Na forma decimal podem ser representados por: - Decimal Exata Ex.: 3/4 = 0,75 25/8 = 3,125-2/5 = -0,4 - Decimal Periódica Ex.: 17/6 = 2,8333... 23/99 = 0,232323... Onde, 17/6 e 23/99 são as geratrizes das dízimas periódicas, que tem, respectivamente, períodos 3 e 23. 26/44
Conjunto dos números irracionais Representam os números decimais infinitos e não-periódicos. π = 3,1415926535... 3 1/2 = 1,7320508... CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS Formado a partir da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais. A representação matemática deste conjunto é: R Q Ir {x/x Q ou x Ir}
Intervalos reais Notações intuitivas: É numa reta real onde todos os infinitos números representados de maneira crescente. reais são -3-2 -1 0 1 2 3 O - -2,7-5 - 2-1,5-1,8 2 5 1,5 1,8 2,7 Do menos infinito ao mais infinito 30/44
Intervalos reais Um intervalo é um pedaço da reta real representado por: Bolinha fechada A extremidade está incluída Bolinha aberta A extremidade está excluída (ou seja, dentro) do intervalo. (ou seja, fora) do intervalo. -4 4 O intervalo vai do -4 até o 4 O intervalo inclui o -4 mas não inclui o 4
Intervalos reais 4 x 5 x S x / x 4 S x / x 5-5 2 x S x / 5 x 2-6 3 x S x / 6 x 3
Intervalos reais INTERVALOS DESCONTINUOS DE UMA RETA -4 4 3 x S x / 4 x 4 ou x 3
Intervalos reais INTERVALOS DESCONTINUOS DE UMA RETA -4 4 3 x S x / 4 x 4 4 x 3 S [ 4,4) (4,3)
INTERVALOS REAIS UNIÃO DE INTERVALOS A B A B -4 2-2 4-4 -2 2 4 x x x S x / 4 x 4 A B [ 4,4)
INTERVALOS REAIS INTERSECÇÃO DE INTERVALOS A B A B -4 2-2 4-2 2 S x / 2 x 2 x x x A B [ 2, 2 )
Intervalos reais DIFERENÇA DE INTERVALOS A B A B -4 2 x -2 4 x -4-2 x S x / 4 x 2 A B [ 4, 2)
Intervalos reais Vamos Praticar! 1. Dados A = [0,3] e B = [1,5], calcule:
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