FO / Matemática - omplemento e Errata Razões e Proporções INTRODUÇÃO Quando escrevemos dois números na forma de a b, com b ; dizemos que temos uma razão entre eles. Ao escrever estamos escrevendo a razão entre e, onde a parte de cima é chamada de antecedente e a de baixo de conseqüente. As razões, 6 8, e são chamadas de razões equivalentes porque representam o mesmo valor e é chamada de forma irredutível porque é a forma mais simplificada possível de se escrever essa razão. À igualdade de duas razões equivalentes damos o nome de proporção. Quando escrevemos estamos escrevendo uma proporção que lê-se: está para assim como está para 1. O primeiro e o último termos são chamados de extremos da proporção ( e 1 são os extremos). O segundo e o terceiro termos são chamados de meios da proporção ( e são os meios). Ao último termo de uma proporção chamamos de quarta proporcional (no exemplo anterior 1 é a quarta proporcional) Quando o segundo e o terceiro termos são iguais chamamos de proporção contínua. é uma proporção contínua, e nesse caso o último 8 termo (8) é chamado de terceira proporcional. Propriedades das proporções 1. Numa proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos:. Uma proporção não se altera ao alternarmos os seus meios, ou os seus extremos: Nesse caso, toda vez que trocarmos os termos teremos uma nova proporção.. Numa proporção, a soma (ou diferença) dos antecedentes está para a soma (ou diferença) dos conseqüentes assim como cada antecedente está para seu respectivo consequente: + 6 e + Nesse caso o resultado da soma ou da diferença é um número proporcional às razões dadas. hamamos de Sequências Diretamente Proporcionais àquelas sequências numéricas nas quais a razão formada pelos seus termos correspondentes é sempre constante. Ex: as sequências {, 6, 9, 1, 1} e {,, 6, 8, 1} são diretamente proporcionais, porque quando escritas na forma de razão teremos sempre valores proporcionais 6 9 constante 6 8 Sequências Inversamente Proporcionais são aquelas na qual o produto formado pelos termos correspondentes é constante. Ex: as seqüências {1,,,, 6} e {6,,, 1, 1} são inversamente proporcionais porque o produto formado pelos seus termos correspondentes é sempre o mesmo. Ou seja: 1 6 1 6 1 constante Divisão em Partes Diretamente Proporcionais Ex: dividir o nº 6 em partes diretamente proporcionais a, e. Esse número será dividido em três partes que chamaremos de A, B e, e a soma das partes deverá ser igual a 6: A + B + 6 Representando essas divisões na forma de proporções: A B Usando a propriedade : A B A + B + 6 6 + + Ao resultado dessa divisão chamamos de constante de proporcionalidade. Para determinar os valores de A, B e, vamos igualar cada um deles com a constante de proporcionalidade: A 6 A 6 7; B 6 B 6 8; 6 6 8 Divisão em Partes Inversamente Proporcionais Ex: dividir o número 96 em partes inversamente proporcionais aos números, e. Esse número será dividido em três partes que chamaremos de A, B e, e a soma das partes deverá ser igual a 96: A B Usando a propriedade após tirar o MM. A B A B 6 A B A + B + 96 6 + + 6 6
Igualando a constante com os valores obtidos depois do mmc, temos: A 6 A 6 B 6 B 6 6 6 6 6 96 6 Exercícios resolvidos 1) (Fundep/Aux. Adm./Fhemig/) Uma prova de matemática, a razão de número de questões que Talita acertou para o número total de questões foi de para 7. Quantas questões Talita acertou sabendo-se que a prova era composta de questões? a) 1 questões c) questões b) questões d) 8 questões Vamos chamar de as questões que ela acertou e de T ao total de questões, daí podemos fazer: T veja que ao construir uma proporção devemos conservar a ordem na qual os dados do problema foram 7 fornecidos. Mas o número total de questões da prova é de. Substituir T por : T 7 7 7 ) (Vunesp/Escrit./Pref. Louveira/7) No 1º semestre houve avaliações de matemática, cada uma delas com quantidade diferente de questões. A tabela mostra a quantidade de questões que determinados alunos acertaram em cada prova. Os valores são tais que os números de acertos foram proporcionais aos números de questões por prova. O número de questões que Luana acertou na ª prova foi Aluno Nº de questões por prova Nº de questões acertadas Meire Fran 8 Luana 16 x a) 8. b) 9. c) 1. d) 11. e) 1. omo os valores são proporcionais aos números de questões da prova, podemos escrever que: x 8 6 Nesse caso, para encontrar o valor de x, basta igualar duas dessas razões: x 8 8x 6 8x 8 x 8 6 8 ) (esgranrio/assistente/epe/7) Gabriel fez refresco misturando 1 ml de suco concentrado e ml de água. omo o refresco ficou aguado, sua mãe resolveu acrescentar mais suco concentrado à mistura, até que a quantidade de suco correspondesse a 1/ da quantidade de refresco. A mãe de Gabriel precisou acrescentar uma quantidade de suco: a) menor do que ml. b) entre ml e ml. d) entre ml e ml. c) entre ml e ml. e) maior do que ml. No início temos 1 ml de suco e ml de água, ou seja, temos 6 ml de refresco. Vamos indicar a quantidade de suco que a mãe acrescentou de x. Depois de adicionar x ml de suco, a razão entre o suco e o refresco passou a ser 1/: + x 6 + veja que ao se aumentar a quantidade de x suco, a quantidade de refresco também aumenta. Vamos fazer os cálculos: + x 6 6 + ( + x) x + x + x 6 + x x x 6 x x x ml O euro, moeda oficial da União Européia, que existe como moeda e cédula desde 1º/1/, é adotado hoje, por 1 dos 7 Estados-membros. O último Estado-membro a adotar o euro foi a Eslovênia, em 1º/1/7, que estabeleceu a conversão de 9,6 tolares - o tolar era a moeda até então oficial da Eslovênia - para cada euro Tendo o texto por referência, julgue o item a seguir: ) ( ) (UnB/Escrit./BB/7 - Alterada) onsidere que o alfa fosse a moeda oficial de um dos 1 Estados-membros que adotaram o Euro como moeda oficial. onsidere, ainda, que 6 tolares equivaliam a 11 alfas no dia 1/1/7. Nessa situação, nesse mesmo dia, um euro equivalia a mais de alfas. A proporção entre tolar e euro é a seguinte: t e 9, 6 Vamos isolar t: t 9, 6 A proporção entre tolar e alfa é a seguinte: t a 6 a Vamos isolar t: t 6 9, 6 e a omo as expressões t e t 6 são iguais a t, podemos igualar as duas entre si para poder achar a relação entre euro e alfa: e
9, 6 e 6 a e 6 e 6 a x9, 6 a. 66, Dividindo a segunda razão por 6, temos: e a 9, Ou seja, cada euro corresponde a 9, alfas. Resposta: Errado ) (F.. hagas/téc./ TRT/) onsidere que a carência de um seguro-saúde é inversamente proporcional ao valor da franquia e diretamente proporcional à idade do segurado. Se o tempo de carência para um segurado de anos, com uma franquia de R$ 1., é meses, o tempo de carência para um segurado de 6 anos com uma franquia de R$ 1., é a) meses b) meses e meio d) meses e meio c) meses e) 6 meses Vamos chamar a carência de, a franquia de F e a idade do segurado de I. De acordo com o problema teremos: é inversamente proporcional a F e F I diretamente proporcional a I. Igualar esses valores a uma constante de proporcionalidade que chamaremos de K. K F I Pelo enunciado sabemos que quando um segurado tem anos e franquia de R$ 1.,, sua carência é de dois meses. Substituindo esses valores na proporção acima para encontrar o valor da constante: K.. F I.. Agora vamos igualar a constante com a segunda situação onde temos um segurado de 6 anos e uma franquia de R$ 1.,: K F I 6 6.. 6 6. meses.. Alternativa A 6) (esgranrio/assistente/pref. Manaus/) Há dez anos, a razão entre as idades de Maria e Rita era. Daqui a dois anos, será. O número de anos correspondente à 9 soma das duas idades é: a) 6 b) 8 c) d) 6 e) 8 Vamos chamar a idade atual de Maria de M, sua idade há 1 anos de M 1 e sua idade daqui a anos de M +. Usaremos uma simbologia semelhante para Rita: R, R 1 e R +. Há 1 anos: Daqui há anos: M R M + R + Vamos multiplicar cruzado e construir duas equações: 9 M M R R M R + M R M + 9M + 8 R + R + 9 9M R 8 9M R Temos então o seguinte sistema de equações: M R 9M R Multiplicar a1ª equação por ( ) 9M + R 9M R Somando as duas equações, temos: R R R 6 Substituir o resultado encontrado na primeira equação: M R M. 6 M 6 M 6 M 8 A questão pede a soma das duas idades: 16 + 18 anos. 7) (Fumarc/IPREM/7) Na compra de um apartamento em sociedade, Letícia investiu R$ 8., e Gustavo, R$.,. Depois de um certo tempo, venderam o imóvel por R$ 1.,. Então, a quantia que Gustavo recebeu após a venda foi de: a) R$ 6.,. c) R$ 6.,. b) R$ 8.,. d) R$.,. Nesse caso temos uma divisão em partes diretamente proporcionais porque quem investiu mais vai receber mais na hora da venda do apartamento. A soma das partes que os dois vão receber é igual ao valor total, daí podemos escrever: L + G 1. ada parte é proporcional ao valor investido: L G 8..
Sabemos que se somarmos antecedentes e conseqüentes ao mesmo tempo, o resultado será proporcional aos valores iniciais: L G L + G. 8.. 8. +. 9. 9 omo queremos saber quanto Gustavo recebeu, faremos a igualdade: G. G.. 68 6. 8) (Fumarc/BHTRANS/7) A soma de dois números naturais é 16. O maior está para 1 assim como o menor está para. Nessas condições, é incorreto afirmar que: a) o maior número é um número primo. b) a diferença entre os números é 7. c) os dois números são múltiplos de. d) o menor número é um múltiplo de. Vamos chamar esses números de A e B, e como a soma é 16, temos que: A + B 16. Supondo que o maior deles seja A, daí podemos construir a proporção: A B Usando a propriedade : A B A + B 6 9 + 8 Igualando as duas razões à constante: A 9 A 9 7 B 9 B 9 Verificando as alternativas do exercício observamos que a diferença entre eles é 117 7 9) (NE/Adm./Infraero/) Flora tem uma pequena loja de produtos naturais e duas funcionárias, Joana e arolina. No mês de julho Flora decidiu dividir um bônus de R$ 16, entre as duas funcionárias, de forma que cada uma receberia um valor inversamente proporcional ao número de faltas naquele mês. arolina faltou vezes e Joana faltou. A quantia recebida por Joana, em reais, é igual a: a) b) 6 d) 96 c) 8 e) 18 Fazer uma divisão em partes inversamente, sabendo que a soma das partes é igual a 16: + J 16 omo a divisão é inversamente proporcional: J Tirar o mmc dos denominadores e depois cancelá-los J J J + J 6 + 6 6 Para encontrar o valor recebido por Joana, igualar o valor correspondente a ela com a constante. J J 96 Alternativa D 1) (esgranrio/assistente/epe/7) onsidere um segmento AB com metros de comprimento. Deseja-se colocar um ponto sobre esse segmento, em uma posição entre A e B, de tal forma que AB A Nessas condições, A mede, em A B metros: a) ( 1)/ b) ( + 1)/ d) 1 c) e) Temos a seguinte situação: A B omo estamos procurando o valor de A, vamos chamá-lo de x. om isso poderemos chamar B de x A x x B Então a proporção AB A poderá ser escrita da seguinte forma: x A B x x Vamos multiplicar cruzado x x ( x) x x x x x + x que é uma equação do segundo grau. b ac ( ) + 6 b x ± ± ±. a ± ( ± ) ± omo um segmento nunca é negativo, somente a raiz positiva será solução do problema: x + Alternativa D
Regra de Três IntroduÇÃO Regra de três é um método para solucionar problemas que contém grandezas, sendo uma grandeza algo que pode ser medido, como, por exemplo, distância, tempo, número de pessoas etc. Quando o problema possui somente duas grandezas, dizemos que é uma regra de três simples e quando tiver três ou mais grandezas é uma regra de três composta. A primeira coisa que devemos fazer para resolver um problema de regra de três é verificar se as grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Grandezas diretamente proporcionais São aquelas que se comportam de maneiras iguais (à medida que uma grandeza aumenta a outra também aumenta). Grandezas inversamente proporcionais São aquelas que se comportam de maneiras inversas (à medida que uma grandeza aumenta a outra diminui). Ex: vinte funcionários de uma indústria produzem. peças em 1 dias de trabalho. Em quantos dias 1 funcionários com a mesma eficiência deverão produzir. peças do mesmo produto? Nesse caso temos uma regra de três composta, porque há três grandezas; número de peças, dias e número de funcionários. Inicialmente vamos colocar as grandezas uma sobre a outra representando as duas situações do problema, chamando a incógnita de x. Funcionários Peças dias. 1 1. x Para verificar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais, escolher uma grandeza para servir de referência. Para ficar mais fácil, essa grandeza sempre será aquela que estamos procurando - nesse exemplo será o número de dias. omparar essa grandeza com as outras, mas uma de cada vez, e quando estivermos comparando duas grandezas não vamos nos preocupar com a terceira grandeza. omparar número de dias com quantidade de peças produzidas. Essas duas grandezas são diretamente proporcionais porque para se produzir mais peças são necessários mais dias (uma grandeza aumenta a outra também aumenta). omparar agora o número de dias com a quantidade de funcionários. Essas grandezas são inversamente proporcionais porque quanto mais funcionários estiverem trabalhando gastarão menos dias para fazer um trabalho (quando uma grandeza aumenta a outra diminui). onstruir uma proporção entre as grandezas colocando sempre a grandeza onde estiver a incógnita X de um lado e o produto das outras grandezas do outro lado. obs: Quando as grandezas forem inversamente proporcionais devemos invertê-las. x.. Observando a proporção ao lado vemos que o número de funcionários está invertida em relação à situação original... x. x 6. 6 x 6 x dias x 6 Exercícios Resolvidos 1) (UnB/Prof./SEED/PR/) Os alunos formandos de uma escola estão organizando a sua festa de formatura e 9 desses estudantes ficaram encarregados de preparar os convites. Esse pequeno grupo trabalhou durante horas e produziu. convites. Admitindo-se que todos os estudantes sejam igualmente eficientes, se todos os formandos tivessem trabalhado na produção desses convites, o número de convites que teriam produzido nas mesmas horas seria igual a a) 7.987. b) 8.91. d) 9.8. c) 8.77. e) 8.96. Dados do exercício: Alunos onvites 9. x Veja que a quantidade de horas não está sendo colocada no problema porque ela não se altera. Essas grandezas são diretamente proporcionais porque quanto maior for o número de pessoas trabalhando maior será a quantidade de convites produzidos (uma grandeza aumenta então a outra também irá aumentar). Temos a seguinte proporção:. 9 9x. x.. x 78 8. 9 convites 9 ) (FUNDEP/Téc./ALMG/8) João e Antonio têm seus passos aferidos.o passo de Antônio mede,9 m e o de João, 1,1 m. Para ir de A até B, um deu 6 passos a mais que o outro. Nessas condições, é correto afirmar que a distância de A até B a) é menor que 6 m b) está entre 6 m e 8 m c) está entre 8 m e m d) é maior que m Para resolver esse problema vamos indicar por x o número de passos que João deu e por x + 6 o número de passos que Antônio deu (como o passo de Antônio é menor, ele tem que dar mais passos). Temos: Tamanho passos,9 x + 6 1,1 x
6 Nesse caso as grandezas são inversamente proporcionais, porque quanto maior for o tamanho do passo, menos passos ele tem que dar para chegar a seu destino. Vamos inverter uma das grandezas:, 9 x, x, 9 ( x + 6), x + 6, x, 9x +, x, 9x, x x 7 passos, Acabamos de determinar a quantidade de passos que João deu, mas temos que determinar a distância percorrida por ele. Para isso, basta multiplicar o número de passos pelo tamanho de cada passo: 7 1,1 97 metros ) (FO/) Um cadete do FO gasta 1h1min para dar 1 voltas na PAM (Pista de Aplicação Militar), com velocidade de km/h. Reduzindo sua velocidade para 18 km/h para fazer o mesmo percurso, ele gastará a mais, o tempo de: a) 8mins c) 1min b) 9mins d) 1min1s onstruir a primeira situação do problema: Tempo (min) voltas velocidade 7 1 Veja que passamos o tempo para minutos para facilitar o cálculo. Segunda situação: Tempo (min) voltas velocidade 7 1 x 1 18 omo o nº de voltas é igual, estas não entrarão na resolução do exercício. As grandezas tempo e velocidade são inversamente proporcionais porque à medida que a velocidade vai diminuindo o tempo que ele gastará para percorrer o mesmo percurso irá aumentar - temos que inverter uma das grandezas: 7 8. 8x. x x 8 Mas essa divisão não é exata. 1 18 8 e dá resto 6. omo dividimos por 18, podemos dizer que o resto é igual a 6 de minutos, e para transformar em segundos, basta 8 multiplicar esse valor por 6: 6 6 segundos Ele irá gastar 8 minutos e segundos. Mas a pergunta é quanto ele gastará a mais de tempo, deve-se diminuir o valor inicial ao resultado obtido: 8 min seg 7 min 8 min seg Alternativa A ) (esgranrio/téc./bndes/) O estoque de pó de café em um escritório é suficiente para seus 16 funcionários durante 6 dias. Depois de 1 dias, passam a trabalhar no escritório mais funcionários. Passados mais 1 dias, 1 funcionários são transferidos para outro escritório. Quantos dias mais durará o estoque de pó de café? a) b) c) d) e) Situação inicial: Funcionários dias 16 omo se passaram 1 dias, a quantidade de café irá durar para 6 1 dias com a quantidade inicial de funcionários. omo o número de funcionários aumentou em mais quatro, temos na segunda situação funcionários: Funcionários dias 16 x Essas grandezas são inversamente proporcionais porque quanto mais funcionários houver, menos dias o café irá durar (uma grandeza aumenta e a outra diminui). Vamos inverter uma das grandezas: 8 x 8 x dias x 6 Então agora, o café irá durar mais dias. Mas vão se passar mais 1 dias - o café irá durar por mais 1 dias, quando o número de funcionários irá diminuir de 1, daí teremos: Funcionários dias 1 x As grandezas são inversamente proporcionais: x x dias x Alternativa E ) (NE/ANA/) Suponha que A, B,, D sejam engrenagens acopladas, com,, 6 e 1 dentes, respectivamente. A D B Se A faz 1 voltas por minuto, então o número de voltas por minuto para D é: a) b) d) 1 c) 6 e)
O número de voltas que uma engrenagem dá e o número de dentes que ela possui são grandezas inversamente proporcionas, porque quando estiverem acopladas cada volta que a engrenagem grande der vai fazer com que a engrenagem pequena dê um número maior de voltas. Relacionar as engrenagens duas a duas: Engrenagem A com a engrenagem B Dentes voltas 1 x omo as grandezas são inversamente proporcionais, vamos inverter uma das grandezas: 6 x 6 x voltas x Ou seja, enquanto a engrenagem A dá voltas, a engrenagem B irá dar voltas. Engrenagem B com engrenagem : Dentes voltas 6 x As grandezas são as mesmas e continuam sendo inversamente proporcionais, daí temos: 6 6 6x 6 x x 6 voltas A engrenagem irá dar 1 voltas. Engrenagem com engrenagem D: Dentes voltas 6 1 1 x As grandezas também são inversamente proporcionais, daí temos: 6 x 6 x x 6 6 6 voltas 6) (TSP/6) Paula digita uma apostila em horas, enquanto Ana o faz em horas. Se Paula iniciar o trabalho, digitando nos primeiros minutos; o tempo necessário para Ana terminar a digitação da apostila é: a) 1 minutos c) 9 minutos b) 9 minutos d) 1 minutos omo elas trabalharam separadamente, deve-se primeiro determinar quanto do trabalho foi feito por Paula. Para fazer o cálculo, vamos trabalhar em minutos, usamos 1 minutos para indicar o tempo que Paula demoraria para fazer uma apostila: Tempo apostila 1 1 x Essas grandezas são diretamente proporcionais porque quanto menor for o tempo que ela digitar, menor será o número de páginas digitadas (quando uma grandeza diminui a outra também diminui). Vamos multiplicar cruzado: x x da apostila. Então Paula digitou 7. om isso ficaram faltando da apostila, que será feito por Ana, cuja capacidade de produção é de uma apostila em horas (18 minutos). Tempo apostila 18 1 7 x As grandezas continuam sendo diretamente proporcionais, porque são as mesmas da situação anterior. 7 x 8, simplificando 18 e 1 por 1 obtemos; x 7 1 1 minutos 7 Alternativa D 7) (Fumarc/BHTRANS/7) Uma máquina funcionando 6 horas por dia conclui um trabalho de perfuração fazendo 6 furos por minuto durante 1 dias. Se essa máquina for programada para fazer furos por minuto trabalhando horas por dia, a tarefa de perfuração será concluída em: a) 1 dias. c) 18 dias. b) 1 dias. d) dias Vamos representar o problema: Horas/dia furos/min dias 6 6 1 x As grandezas horas/dia e dias são inversamente proporcionais porque quanto menos horas por dia a máquina trabalhar, mais dias irá gastar para fazer o serviço. As grandezas furos/min e dias também são inversamente proporcionais porque quanto menos furos a máquina fizer por minuto mais dias ela irá demorar. As grandezas horas/dia e furos/min devem ser invertidas x 6 x 6 6 x 6 6 x 8 dias 8) (VUNESP/Escrevente/TJ/SP/7) Numa editora, 8 digitadores, trabalhando 6 horas por dia, digitaram / de um determinado livro em 1 dias. Então, desses digitadores foram deslocados para um outro serviço, e os restantes passaram a trabalhar apenas horas por dia na digitação desse livro. Mantendo-se a mesma produtividade, para completar a digitação do referido livro, após o deslocamento dos digitadores, a equipe remanescente terá de trabalhar ainda a) 18 dias. b) 16 dias. d) 1 dias c) 1 dias. e) 1 dias.
8 Na primeira situação temos: Digitadores horas/dia livro dias 8 6 / 1 Na segunda situação teremos digitadores a menos, ou seja, 6 digitadores e, para terminar o livro, ainda faltarão / do mesmo para fazer. A nossa montagem fica: Digitadores horas/dia livro dias 8 6 / 1 6 / x As grandezas digitadores e dias são inversamente proporcionais porque quanto menos digitadores estiverem trabalhando, mais dias eles gastarão. As grandezas horas por dia e dias também são inversamente proporcionais porque quanto menos horas eles trabalharem por dia, mais dias irão gastar. A grandeza livro (quantidade digitada) e dias são diretamente proporcionais porque quanto menos trabalho eles tiverem, menos dias vão gastar. As grandezas digitadores e horas por dia devem ser invertidas: 6 x 8 6 Veja que pelo fato dos denominadores serem iguais não será necessário usá-los na hora dos cálculos. Simplificar o 6 do numerador com o 6 do denominador: x 6 dias (como os numeradores são iguais, podemos simplificá-los) x 8 x 6 9) (F..hagas/TRF/ES/7) Em uma gráfica, foram impressos 1. panfletos referentes à direção defensiva de veículos oficiais. Esse material foi impresso por três máquinas de igual rendimento, em horas e meia de funcionamento. Para imprimir. desses panfletos, duas dessas máquinas deveriam funcionar durante 1 horas, a) 1 minutos e segundos b) minutos e segundos c) 7 minutos e segundos d) minutos e segundos e) 8 minutos e segundos Representando o problema: Panfletos máquinas tempo ( segundos ) 1. 9.. x Para passar de horas para segundos, basta multiplicar por.6 (,.6 9. seg). As grandezas panfletos e tempo são diretamente proporcionais porque, quanto mais panfletos tiverem que ser impressos, mais tempo vai demorar a impressão. As grandezas máquinas e tempo são inversamente proporcionais porque, quanto mais máquinas estiverem trabalhando, menos tempo elas gastarão para fazer a impressão. Vamos inverter somente a grandeza máquinas 9.. 9.. x. x.. x 9.. 9.. x 6. segundos. Dividindo por.6: 6. :.6 1 horas e sobram. segundos. Dividindo o resto por 6:. : 6 7 minutos e sobram segundos. Elas irão demorar 1 horas 7 minutos e segundos 1) (F..hagas/Téc./TRT/) Uma indústria tem máquinas. Sabe-se que 18 dessas máquinas têm todas a mesma eficiência e executam certo serviço em 1 horas de funcionamento contínuo. Se as máquinas restantes têm % a mais de eficiência que as primeiras, funcionando ininterruptamente, executariam o mesmo serviço em a) 7 horas e 1 minutos b) 7 horas e minutos d) 8 horas e minutos c) 7 horas e minutos e) 8 horas e minutos Para indicar a eficiência das 18 primeiras máquinas, vamos usar 1%. A partir daí, podemos dizer que as outras 16 máquinas têm uma eficiência de 1% (% a mais). Então temos: Máquinas eficiência horas 18 1 1 16 1 x Vamos analisar as grandezas: As grandezas quantidades de máquinas e quantidade de horas são inversamente proporcionais, porque quanto mais máquinas estiveram trabalhando, menos tempo elas gastarão para fazer um serviço. As grandezas eficiência e tempo são inversamente proporcionais porque quanto maior a eficiência de uma máquina menos tempo ela irá gastar para fazer um determinado serviço. 6 como as grandezas são inversamente proporcionais invertemos as duas na hora de resolver o x 8 problema. 6 8 x 8 x 9 x 8 x 8 Para 8 x transformar 7, horas a parte decimal do número em minutos basta multiplicá-lo por 6., 6 minutos. A resposta é 7 horas e minutos.
Porcentagem O que significa um por cento? Um por cento representa uma parte em cem partes, ou seja quando dizemos um por cento (1%) de duzentos significa que devemos pegar o número duzentos e dividi-lo por cem. O resultado representa 1% de duzentos (:1), então é 1% de duzentos. No caso de %, deve-se pegar duas partes, ou seja, % de é. Para o cálculo de porcentagem pode-se fazer três tipos de conta: Usando fração Para isso deve-se escrever uma porcentagem na forma de fração: 1% ; 1% ; 1%. alcular % de :. 8, 8 Usando regra de três A maneira mais usada para o cálculo de porcentagem é através de uma regra de três. Para isso deve-se sempre comparar um valor a uma porcentagem. alcular % de 8 Não se pode esquecer que o total de alguma coisa será o nosso 1%. Nesse exemplo, o nosso 1% será 8: 8 1% x % Ou seja, colocar valor embaixo de valor e porcentagem embaixo de porcentagem. Multiplicar cruzado: x 8 x x Usando a representação decimal de uma porcentagem Por exemplo, ao dizer 1% significa que estamos dividindo 1 por 1, que dá como resultado,1. alcular 1% de 1.,1 1. 1 Exercícios resolvidos 1) (ESGRANRIO/Guarda Port./RO/7) Em 6, foram embarcadas, no Porto de Porto Velho, cerca de 19.76 toneladas de madeira a mais do que em, totalizando 6.11 toneladas. Assim, em relação a, o embarque de madeira aumentou aproximadamente x %. Pode-se concluir que x é igual a: a) b) 8 d) 7 c) 6 e) 8 Se, em.6, foram embarcadas 19.76 toneladas a mais do que em., iremos determinar a quantidade de madeira embarcada em. fazendo a diferença: 6.11 19.76 6. toneladas Para o cálculo do aumento percentual deve-se considerar a quantidade embarcada em. como sendo o nosso 1%, daí calculamos a diferença percentual entre. e.6, fazendo: Toneladas % 6. 1 19.76 x Multiplicando cruzado, temos: 976 6x 976 x 7% 6 Alternativa D ) (F.. hagas/soldado/ma/6) Em dezembro de., a análise de uma amostra de água de um reservatório acusou um aumento de 18% de impurezas, em relação ao mês anterior. Em janeiro de.6, analisada outra amostra do mesmo reservatório, observou-se que houve uma redução de % de impurezas em relação às detectadas em dezembro. Relativamente ao mês de novembro, é correto afirmar que, em janeiro, as impurezas aumentaram em a) 1% b) 1,% d) 1% c) 1,1% e) 11,8% onsiderar 1 como sendo a quantidade de impurezas no mês de novembro. No mês de dezembro, tivemos um aumento de 18% de impurezas: 8 8, dando um total de 1 + 18 118 impurezas. No mês de janeiro houve uma redução de % em relação ao preço de dezembro: 8. 9 Temos 118,9 11,1 impurezas De novembro a janeiro tivemos um aumento de 11,1 1 1,1 o que corresponde a 1,1% de 1 ) (NE/Adm. Finanças/Infraero/) João constatou que, no mês de dezembro, a venda de garrafas de água mineral em sua mercearia teve um aumento percentual de 1% com relação ao mês anterior. Sabendo que a mercearia de João vendeu 171 garrafas de água mineral em dezembro e que x representa o número de garrafas de água mineral vendidas em novembro, podemos afirmar que x é um número entre: a) 1 e 19 b) 19 e 16 d) 1 e 17 c) 16 e 1 e) 17 e 16 9
1 Em dezembro a venda foi de 171 garrafas, e essa quantidade representa 1% a mais do que em novembro. Pode-se dizer que 171 garrafas corresponde a 11% da quantidade vendida em novembro (para isso consideramos 1% a quantidade vendida em novembro). Deve-se resolver a seguinte regra de três: garrafas % 171 11 x 1 Multiplicando cruzado temos: 7 x 7 x garrafas ) (NE/ANTT/) Um comerciante aumentou o preço de um certo produto em %. omo a venda do produto caiu, o comerciante, arrependido, pretende dar um desconto no novo preço de modo a fazê-lo voltar ao valor anterior ao aumento. Nesse caso, o comerciante deve anunciar um desconto de, aproximadamente: a) 1% b) 19% d) 8% c) % e) % Supor um preço inicial de R$ 1,. Inicialmente o comerciante deu um aumento de %: o preço do produto passará a ser de R$ 1, + R$, R$ 1, Para voltar ao preço original, deve-se retirar os R$, de R$ 1,, mas agora o nosso 1% será R$ 1,. R$ % 1 1 x Multiplicando cruzado, temos: x x % ) (Vunesp/Monitor/Pref. Louveira/7) Em uma sala, 7% da área total está livre, isto é, sem móveis ou objetos, e nesse espaço será colocado um tapete de, m por, m, que ocupará % desse espaço livre. A área total de sala corresponde a a) 16m b) 1m c) 1m d) 1m e) 8m : Vamos determinar a área do tapete multiplicando suas duas medidas: A, x,,8m Esse valor corresponde a % da área livre. alcular a área livre fazendo: Área %,8 x 1 Multiplicando cruzado, temos: 8 x, 8 x m Mas a área livre corresponde a 7% da área total. alcular a área total: Área % 1 7 x 1 Multiplicando cruzado, temos: 7x x 6m 7 Alternativa A 6) (TSP/6) Uma loja vende seus artigos nas seguintes condições: à vista com % de desconto sobre o preço da tabela ou no cartão de crédito com 1% de acréscimo sobre o preço de tabela. Um artigo que à vista sai por R$ 7.,, no cartão sairá por: a) R$ 7.7, c) R$ 1., b) R$ 1.1, d) R$ 11., O preço à vista está com um desconto de %, ou seja, esse valor representa 7% do preço de tabela. alcular o preço de tabela: R$ % 7. 7 x 1 Multiplicando cruzado temos: 7 7x 7 x 7 Ou seja R$ 1., é o preço de tabela, agora vamos determinar o acréscimo de 1% sobre esse preço: O preço no cartão será de R$ 1., + R$ 1., R$ 11., Alternativa D 7) (Fundep/Aux. Adm./Fhemig/7) Paulo comprou um aparelho de som e o revendeu com um lucro de % sobre o preço de venda. Nesse caso, o lucro que Paulo obteve sobre o preço de compra é de a) 1% b) % c) % d) % omo o lucro foi calculado sobre o preço de venda, vamos considerar esse preço de R$ 1,, temos um lucro de: Se o lucro foi de R$,, o preço de custo é dado pela expressão: usto + lucro venda custo venda lucro 1 8 O preço de custo dessa mercadoria foi de R$ 8,. Para calcular o percentual de lucro em relação ao custo, considerar o custo como 1%, daí temos: R$ % 8 1 x Multiplicando cruzado, temos: 8x x % 8
8) (esgranrio/téc./petrobras/8) Uma empresa tem, em sua tabela de preços de venda de produtos aos clientes, o valor sem desconto (cheio) para pagamento à vista de seus produtos. No mês de janeiro de 8, a empresa deu aos clientes um desconto de % sobre o valor da tabela. Já em fevereiro, o desconto passou a %. No mês de fevereiro, comparativamente a janeiro, houve, em relação aos preços, a) aumento de % b) aumento de 1% d) redução de % c) redução de 1% e) redução de % Para resolver esta questão, vamos supor um produto cujo preço seja de R$ 1,. Em janeiro foi dado um desconto de %: Se o desconto foi de R$,, então ele deverá pagar R$ 1, R$, R$,. Em fevereiro foi dado um desconto de %: Se o desconto foi de R$,, então ele deverá pagar R$ 1, R$, R$ 6, Vamos, agora, comparar os preços de janeiro e fevereiro. omo se quer saber qual o aumento que houve de janeiro para fevereiro, deve-se considerar o preço de janeiro como sendo 1%. Determinar a diferença entre os preços: R$ 6, R$, R$ 1, onsiderando o valor de janeiro como 1%, determinar qual a porcentagem que a diferença entre os preços representa através de uma regra de três: R$ % 1 1 x Multiplicando cruzado, temos: x x % Alternativa A 9) (ESAF/Téc./GU/8) Uma pequena cidade possui 1. habitantes, dos quais % são produtores rurais e 6% são do sexo masculino. Sabe-se que % das mulheres são produtoras rurais. Desse modo, o número de habitantes do sexo masculino e que são produtores rurais é igual a: a) 17 b) d) 6 c) e) 6 Nessa cidade 6% dos habitantes são do sexo masculino: 6 6.. omo o restante é do sexo feminino, temos: 1. 6.. mulheres Em que % delas são produtoras rurais: 6.. Então 1.6 mulheres são produtoras rurais. 11 Mas no problema foi dito que % dos habitantes dessa cidade são produtores rurais:.. Temos então. produtores rurais, e 1.6 deles são mulheres. O número de homens que são produtores rurais é igual a:. 1.6. 1) (F.. hagas/téc./trf/6) Em agosto de.6, Josué gastava % de seu salário no pagamento do aluguel de sua casa. A partir de setembro de.6, ele teve um aumento de 8% em seu salário e o aluguel de sua casa foi reajustado em %. Nessas condições, para o pagamento do aluguel após os reajustes, a porcentagem do salário que Josué deverá desembolsar mensalmente é a),% b) % d) % c) 7,% e),% Vamos supor que o salário de Josué seja de R$ 1,, daí tem-se que ele pagava de aluguel: Mas o salário dele teve um aumento de 8% 8 8 O novo valor de seu salário é de R$ 1, + R$ 8, R$ 18, Mas o aluguel teve um aumento de % 7 Daí o novo valor do aluguel será de R$, + R$ 7, R$ 7,. Determinar qual a porcentagem que o novo aluguel representa do novo salário: R$ % 18 1 7 x Multiplicando cruzado, temos: 7 8x 7 x % 8 Alternativa D
1 11) (Fundep/Auxiliar/Fhemig/) Numa loja, o preço de um produto sofreu dois descontos consecutivos: o primeiro de 1% e o segundo de 18%. Qual a porcentagem equivalente se o desconto fosse feito de uma única vez? a) 11,8% b) 6,% c) 18,8% d) 8% omo neste exercício não foi dado o valor do produto, usar R$ 1, como referência. O primeiro desconto foi de 1%: 1% de 1 é igual a Diminuir esse valor do valor inicial: R$ 1 R$ 1 R$ 9 O segundo desconto irá incidir sobre o valor que sobrou, ou seja, sobre R$ 9,. 8 9 6 6, Descontar esse valor de R$ 9: R$ 9 R$ 16, R$ 7,8 Após os dois descontos temos R$ 7,8, e para saber a porcentagem de desconto, (se ele fosse feito de uma única vez) basta subtrair R$ 7,8 do valor inicial: R$ 1, R$ 7,8 R$ 6, omo o nosso valor de referência foi de R$ 1,, então R$ 6, irá corresponder a 6,% desse valor 1) (UFG/Bibliotecário/7) Paulo trabalha em uma empresa e obteve uma promoção que acarretou um aumento de % em seu salário. No mês seguinte, todos os funcionários da empresa obtiveram um aumento salarial de 1%. Assim, em relação ao salário antes da promoção, o aumento salarial que Paulo obteve foi de a) %. b) %. c) %. d) %. Somar esse valor ao valor inicial: R$ 1, + R$, R$ 1, O segundo aumento irá incidir sobre esse novo valor. alcular então, 1% de R$ 1,: Somando R$ 1, com o valor do aumento temos: R$ 1, + R$ 1, R$ 1,. Em relação a R$ 1, ele teve um aumento total de R$, o que equivale a %. 1) (Fundep/Téc./âm. Mun./) Antônio comprou um aparelho de televisão, cujo preço à vista é R$,. Entretanto preferiu fazer o pagamento em duas parcelas iguais. A primeira delas foi paga no ato da compra. Nessa venda, o vendedor cobrou juros de % ao mês. Então é correto afirmar que o valor de cada parcela foi a) R$, b) R$,9 c) R$, d) R$ 6, omo não sabemos o valor da primeira parcela vamos chamá-la de x. A segunda parcela será o valor que falta para completar o pagamento depois de pagar a primeira parcela e podemos indicá-la por x, mas essa parcela será acrescida de % de juros, então devemos multiplicá-la por 1,., % + % +,. A segunda parcela será dada por 1, ( x). O enunciado diz que as parcelas devem ser iguais: x, ( x) x, x x +, x, x x,, 9 Supor um valor para o salário de Paulo, no caso de porcentagem, o melhor valor é R$ 1,. Inicialmente calcular % de R$ 1,
Juros Podemos dizer que juro é o rendimento de uma aplicação financeira como no caso de uma caderneta de poupança, ou é o valor que você paga pelo empréstimo de um dinheiro como no caso de uma financeira. Temos dois tipos de juro: simples e composto. Juro Simples O sistema de juro simples é aquele em que o rendimento é calculado sobre o capital inicial. Para o cálculo de juro simples i t usamos a seguinte fórmula: J onde : capital ou nominal (o valor aplicado ou emprestado ) i taxa de juro t tempo de aplicação. Nessa fórmula, a taxa de juros e o tempo deverão estar na mesma unidade (se a taxa de juros for mensal o tempo tem que estar também em meses). Montante é o valor final da aplicação, ou seja : M + J Juro omposto O sistema de juro composto é calculado sobre o último montante, ou seja, ele é atualizado periodicamente. Quando trabalhamos com o sistema composto, calculamos o montante da aplicação através da fórmula: M (1+i) n Onde n é o tempo da aplicação (número de períodos). Ao trabalhar com esta fórmula, a taxa ficará na sua forma unitária ou centesimal, ou seja, quando tivermos uma taxa de % devemos usar i, ( dividido por 1). DESONTO Imagine que você tem um título que vence daqui a vários meses mas você está precisando do dinheiro desse título hoje. Você procura uma instituição financeira para descontar esse título. Essa instituição irá descontar o título, mas irá cobrar pelo serviço. O valor cobrado pela instituição é chamado de desconto. Vamos chamar o valor do título na data de seu vencimento de Valor Nominal ou Valor Futuro. O valor que você irá receber nessa operação é chamado de Valor Atual ou Valor Presente. O desconto será a diferença entre eles: D N V A Há duas modalidades de desconto: Desconto simples e Desconto composto. DESONTO SIMPLES O desconto simples é aquele calculado usando-se o conceito de juro simples. Existem duas modalidades de desconto simples: comercial e racional. Vamos agora ver como calcular o valor atual nesses dois casos: 1 Desconto comercial simples (por fora) No caso do desconto comercial simples calculamos o valor presente (atual) multiplicando o valor nominal pelo fator (1 i n). V A N (1 i n) Em que o desconto é dado por: D N V A Ex: Um título no valor de R$., é descontado dois meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que para essa operação foi usada uma taxa de desconto comercial simples de % ao mês. alcule o valor do desconto. Solução: VA N ( i. n). (, ). (, )., 96 9. 68 D N V A. 9. 68 8 Desconto racional simples (por dentro) Neste caso calculamos o valor presente dividindo o valor Nominal pelo fator (1+ i n) E o desconto é dado por: D n v A Ex: Um título no valor de R$., é descontado dois meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que para essa operação foi usada uma taxa de desconto racional simples de % ao mês, calcule o valor do desconto. N V A ( + i n).. V A 9. 7, ( +,. ), D N V A. 9. 7, 788, 6 DESONTO OMPOSTO No desconto composto também temos as duas modalidades, comercial e racional. A diferença é que agora devemos usar o fator de acumulação de capital ( 1 + i ) n para fazer os cálculos. Desconto comercial composto (por fora) No caso do desconto comercial composto, calculamos o valor presente multiplicando o valor nominal pelo fator (1 i) n : V N i A ( ) n Onde o desconto é dado por: D n v A Ex: Um título no valor de R$., é descontado dois meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que para essa operação foi usada uma taxa de desconto comercial composto de % ao mês, calcule o valor do desconto.
1 Solução: n VA N ( i) V A. (, )., 96 9. 688, D N V A. 9. 688, 8, 8 Desconto racional composto (por dentro) Neste caso calculamos o valor presente dividindo o valor nominal pelo fator de acumulação de capital (ou seja, estamos descapitalizando o valor futuro). N VA n ( + i) E o desconto é dado por: D n v A Ex: Um título no valor de R$., é descontado dois meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que para essa operação foi usada uma taxa de desconto comercial composto de % ao mês, calcule o valor do desconto. N VA n ( + i).. V A 9. 7, 96 ( +, ), D N V A. 9. 7, 96 796, Resumindo: Valor Atual omercial (por fora) Racional (por dentro) Simples VA N ( i n ) V N A ( + i n) omposto n VA N ( i) N VA n ( + i) O desconto bancário é o desconto omercial (podendo ser simples ou composto) às vezes acrescido de taxas bancárias. Exercícios resolvidos 1) (onesul/arteiro/sp/6) Aplicando-se R$ 6, durante quinze meses a uma taxa de juros simples de 1,7% ao mês, ao final do período o montante será, em reais, igual a a) 8,6. b) 81,7. d) 8,. c) 81,87. e) 8,7. Nesse exercício temos: 6,; t 1 meses e i 1,7% ao mês. Aplicar a fórmula de juro simples: i t 6, 7 7. 6, J 7, 6 omo o montante é a soma do capital aplicado com os juros obtidos, temos que: M 6, + 17,6 8,6 Alternativa A ) (Fumarc/MGI/) Uma concessionária vende um automóvel por R$., à vista. A prazo, vende por R$.97,, sendo R$., de entrada e o restante daqui a meses. Na venda a prazo, a taxa de juros simples mensal cobrada foi de: a),% c),% b),% d),% Vamos inicialmente abater a entrada do valor total:.,., 17., que é o valor que será financiado. O valor a prazo que o automóvel será vendido é de R$.97,, abatendo a entrada temos: R$.97,., 19.97, O que nós dá um total de juros cobrados de 19.97, 17.,.97, Aplicar a fórmula de juros simples sabendo que o prazo em que será efetuado o pagamento é de meses: i t 7. i J. 97. 97 8 i. 97 i, % ao mês 8 ) (Vunesp/Oficial/MPE/SP/6) Um certo capital foi aplicado a juro simples durante 8 meses, gerando um montante de R$ 9.6,. Esse montante foi novamente aplicado por mais meses, à mesma taxa de juro da aplicação anterior e gerou R$ 96, de juros. O capital inicialmente aplicado foi a) R$ 7.,. b) R$ 7.,. d) R$ 7.9,. c) R$ 7.8,. e) R$ 8.,. Para resolver essa questão, fazer a parte final primeiro, em que temos: J 96,; t meses e 9.6, (o montante da aplicação anterior é o capital desta aplicação). Determinar a taxa usada através da fórmula de juro simples: i t 96 i J 96 96 96 8 i i, 8 A taxa de juros usada foi de,% ao mês Vamos calcular o montante inicial através da primeira aplicação onde temos: M 9.6,; t 8 meses e i,% ao mês Substituir na fórmula do montante: M + J +, 8 96 96 +, 96 96, 8., Alternativa E
) (Fumarc/BHTRANS/7) Uma entidade assistencial dividiu a aplicação de R$ 1., em duas aplicações: a primeira parte rendeu juros de 8% ao ano e a segunda parte foi remunerada a uma taxa de 1% ao ano. Se, no prazo de um ano, os juros recebidos pelas aplicações foram iguais, o capital inicial referente à primeira e à segunda aplicação são, respectivamente, iguais a: a) R$., e R$ 6.,. b) R$ 6., e R$.,. c) R$ 7., e R$.,. d) R$ 8., e R$.,. O capital de R$ 1., foi dividido em duas partes, mas como não sabemos se elas são iguais vamos chamar uma delas de x e a outra de 1. x que representa o que sobrou da primeira aplicação. Quando a aplicação tem duração de 1 período não faz diferença usar juros simples ou composto, então usaremos juros simples. No exercício foi dito que os juros das duas aplicações são iguais, então vamos fazer: J 1 J i t i t ou seja: ortando os denominadores e substituindo os valores do problema: x 8 ( x) 8x x 8x + x x x 6 Ou seja, foi aplicado R$ 6., na primeira aplicação, e conseqüentemente R$., na segunda aplicação. ) (F.. hagas/téc./trt/) Um capital foi aplicado a juros simples da seguinte maneira: metade à taxa de 1% ao mês por um bimestre, à taxa de % ao mês por um trimestre e o restante à taxa de % ao mês durante um quadrimestre. O juro total arrecadado foi de R$ 8,. O capital inicial era a) R$.8, b) R$ 8., d) R$ 1., c) R$ 1., e) R$ 1.8, O capital foi dividido em três aplicações: Aplicação 1: ; i 1% ao mês; t meses (1 bimestre) Aplicação : ; i % ao mês; t meses (1 trimestre) Na terceira aplicação foi usado o restante. Para calcular o seu valor, primeiro determinar quanto já foi aplicado: + 7 + 1 Então o restante é (o que falta para completar um inteiro), então temos: Aplicação : ; i % ao mês; t meses (1 quadrimestre) O juro total, ou seja, das três aplicações juntas, foi de R$ 8,. Vamos aplicar a fórmula de juro simples, sabendo que o juro foi obtido da soma das três aplicações: i t i t i t J + + Substituindo os valores temos: 8 8 6 6 + + + +.... O mmc de, e 1. é 1. 8 6 6 8. 6 + + + +..... ortando os denominadores e somando os numeradores, temos: 8. 8 8.. 8 6) (NE/ANTT/) Você está pensando em contrair uma dívida em um banco que cobra 1% de juros mensal sobre o saldo devedor. Por exemplo, se você pegar R$1, emprestados, ao final de um mês estará devendo R$11,. Se, ao final desse primeiro mês, você pagar apenas R$, dos R$11,, deverá, no mês seguinte, R$99, (os R$9, que ficou devendo mais os 1% de juros). Imagine que você resolva tomar emprestados R$, e que seu plano seja pagar R$1, ao final do primeiro mês, R$1, ao final do segundo mês, R$1, ao final do terceiro mês e quitar a dívida no quarto mês. Nesse caso, você terá de pagar, no quarto mês, a seguinte quantia, em reais: a), b) 6, d) 98,9 c) 67,9 e) 1, Valor emprestado: R$, Juro do primeiro mês Valor pago no primeiro mês: R$ 1, Saldo devedor do primeiro mês: R$, + R$, R$ 1, R$, Juro do segundo mês Valor pago no segundo mês: R$ 1, Saldo devedor do segundo mês: R$, + R$, R$ 1, R$ 9, Juro do terceiro mês: 9 9, Valor pago no terceiro mês: R$ 1, Saldo devedor do terceiro mês: R$ 9, + R$ 9, R$ 1, R$, Juro do quarto mês:,, Saldo devedor no quarto mês: R$, + R$, R$ 67,9
16 7) (esgranrio/téc./petrobras/8) Se o capital for igual a / do montante e o prazo de aplicação for de anos, qual será a taxa de juros simples considerada? a) % a.a. b) 16,67% a.a. d) 16,67% a.m. c) % a.m. e) 1,% a.m. Neste exercício temos: M e t anos O montante de uma aplicação é a soma do capital mais os juros: M + J Então temos: M M M M M + J J J i t Mas J, então: M i t M M M i i M M M i i % ao ano M Alternativa A 8) (Fundep/Téc./âm. Municipal/) Antônio comprou um aparelho de televisão, cujo preço à vista é R$,. Entretanto preferiu fazer o pagamento em duas parcelas iguais. A primeira delas foi paga no ato da compra. Nessa venda, o vendedor cobrou juros de % ao mês. Então é correto afirmar que o valor de cada parcela foi a) R$, b) R$,9 c) R$, d) R$ 6, Neste caso não sabemos o valor de cada parcela, então chamaremos a primeira de x. A segunda parcela será a diferença entre o valor do aparelho menos o valor da primeira parcela, ou seja, x, mas esta parcela tem que ser acrescida de % de juros, então temos: x +. ( x ) x +, ( x) x +,x 1,x A primeira parcela vale x e a segunda 1,x, mas como as duas parcelas têm que ser iguais, devemos igualá-las:, x x x +, x, x x, 9, 9) (Fundep/Auxiliar/Fhemig/) Qual é o montante de um capital de R$1.,, aplicado a juros compostos, durante meses, à taxa de 1% ao mês? a) R$ 1.1, b) R$ 1., c) R$ 1.1, d) R$ 1., Para o cálculo do montante vamos usar a fórmula M (1 + i ) n, onde 1.; n meses e i,1 (devemos sempre dividir o valor por 1). M ( + i) n. ( +, )., Em que:,,,,, Daí temos: M.,.,,., Alternativa A 1) (Fundep/BDMG/) Pedro fez uma certa aplicação a juros compostos de 6% ao mês. No fim do primeiro trimestre de aplicação, o montante era de R$.,. Nesse caso, o capital investido por Pedro foi de, aproximadamente a) R$ 16., b) R$ 16.79, c) R$ 16.989, d) R$ 17.1, Nesse problema temos n meses, i,6 ( 6% ao mês) e M.. Para descobrir o valor do capital aplicado vamos usar a fórmula do montante a juros compostos: n M ( + i). ( +, 6)., 6 alcular primeiro o valor de, 6, 6, 6, 6, 9 Substituindo na expressão anterior:, 9 6. 79, 9
Testes 1) (AADEPOL/Esc./MG/) Numa delegacia de Belo Horizonte, dos 7 detentos 6 são mulheres, destas já foram condenadas. Pode-se afirmar que o percentual de mulheres detidas que não foram condenadas é, aproximadamente: a) 11% b) 16,7% d) 18,7% c) 18% e),% ) (AADEPOL/Esc./MG/) Do total de policiais que servem certa região do estado de Minas Gerais, % são mulheres. Destas, 1% ingressaram na polícia na década de 9. Se o número de mulheres policiais que não ingressaram na década de 9 é, o total de policiais dessa região é: a) 68 b) 1. d) 1. c) 8 e) 7 ) (AADEPOL/Esc./MG/7) Três pessoas A, B, e formaram uma empresa, tendo contribuído, respectivamente, com os capitais de R$1.,, R$1., e R$1.,. No final de um ano, a empresa lucrou o montante de R$111.,. Deste lucro, a terça parte foi utilizada para investimentos na própria empresa e o restante distribuído aos sócios A, B e, em partes proporcionais aos seus capitais de participação na sociedade. Desta forma, pode-se concluir que o sócio B retirou: a) R$9., c) R$6., b) R$., d) R$., ) (AADEPOL/Esc./MG/7) onsidere a tabela abaixo: Evolução das receitas do café industrializado Agosto/Novembro - MESES VALOR (US$ milhões) Agosto 7, Setembro 89,7 Outubro 6, Novembro 99,8 Total 8,1 Dados fictícios. Pode-se afirmar que a redução percentual da receita do mês de outubro para o mês de setembro foi de, aproximadamente: a) 7,1% c),67% b) 7,8% d) 18,17% ) (AADEPOL/Esc./MG/) Em determinada ala de um presídio, há 1 detentos. Sabendo que 98% tem abaixo de anos, o número de presidiários dessa faixa etária que precisam sair dessa ala para que o percentual citado caia para 96% é a) 1 b) d) 8 c) e) 17 6)(AADEPOL/Perito/MG/) Um agiota foi detido e, em seu depoimento, disse que emprestava dinheiro a uma taxa de % ao mês. Sabendo que ele descontava os juros no momento do empréstimo, a taxa mensal efetivamente cobrada pelo agiota é de a),% b) 1% d) % c),% e) % 7) (acafe/prof./pref. Jaraguá do Sul/7) O governo federal, ao efetuar a restituição de impostos, permite que os contribuintes consumam mais. O gasto de cada contribuinte torna-se receita para outros contribuintes que, por sua vez, fazem novos gastos. ada contribuinte poupa 1% de suas receitas, gastando todo o resto. O valor global, em bilhões de reais, do consumo dos contribuintes a ser gerado por uma restituição de impostos de bilhões de reais, é: a). c) 6. b) 6. d) 18. 8) (acafe/senai/6) Duas garotas realizam juntas, em dias, um serviço de digitação. Se trabalhar sozinha, a primeira leva dias e meio menos que a segunda para fazer o mesmo serviço. O tempo, em dias, que cada uma leva para fazer o serviço, é: a) e, b) e 7, d) e, c) e 6, e), e 6 9) (acafe/senai/6) Um senhor fez um testamento para dividir seu patrimônio de R$ 18., entre seus dois netos, um de anos e outro de anos. alculando que o mais novo gastaria mais dinheiro para se formar, enquanto o mais velho já estava ganhando com seu trabalho, quis que a divisão fosse feita inversamente proporcional às suas idades. omo o avô morreu anos após ter feito o testamento, o neto mais novo herdou, em reais, a quantia de: a) 1 mil b) 8 mil d) 9 mil c) 1 mil e) 1 mil 1) (AAFE/FMP/7) om relação à dengue, o setor de vigilância sanitária de um determinado município registrou o seguinte quadro, quanto ao número de casos positivos: em fevereiro, relativamente a janeiro, houve um aumento de % em março, relativamente a fevereiro, houve uma redução de %. Em todo o período considerado, a variação foi de a) Não houve variação. c) 1%. b) - %. d) - %. 11) (AAFE/FMP/7) om uma lata de tinta é possível pintar m de parede. Para pintar as paredes de uma sala de 8m de comprimento, m de largura e m de altura (desconsidere as janelas e portas) se gasta uma lata e mais uma parte da segunda lata. Qual a porcentagem de tinta que restou na segunda lata após o término do serviço? a) 6% b) % c) % d) %
18 1) (AAFE/FMP/7) Uma pizzaria vende pizzas com preços proporcionais às suas áreas. Se a pizza média tiver raio igual a 8% do raio da grande e a pizza pequena tiver como raio a metade do raio da média, pode-se afirmar: (considere π,1). a) O preço da pizza média é o dobro da pizza pequena. b) O preço da pizza média é 6% do preço da pizza grande. c) Se a pizza grande custar R$, a pizza média custará R$ 16,. d) Se a pizza grande custar R$, a pizza média custará R$ 8,. 1) (AAFE/FO/6) Em uma cidade existem dois cursos, A e B, que preparam alunos para o vestibular. Se A aprovou 18 de 7 alunos e B aprovou 99 de alunos, está correto afirmar que a aprovação dos alunos do curso A é: a) igual ao do B. b) % superior ao do B. c) % inferior ao do B. d) 9% superior ao do B. e) 9% inferior ao do B. 1) (UERJ/7) João abriu uma caderneta de poupança e, em 1º de janeiro de 6, depositou R$, a uma taxa de juros, nesse ano, de %. Em 1º de janeiro de 7, depositou mais R$ 1.,. Para que João tenha, nessa poupança, em 1º de janeiro de 8, um montante de R$ 1.8,, a taxa de juros do segundo ano deve corresponder a: a) 1% b) 1% c) 16% d) 18% 1) (UFMG/7) Após se fazer uma promoção em um clube de dança, o número de frequentadores do sexo masculino aumentou de 6 para 8 e, apesar disso, o percentual da participação masculina passou de % para %. onsiderando-se essas informações, é correto afirmar que o número de mulheres que frequentam esse clube, após a promoção, teve um aumento de a) 76%. b) 81%. c) 8%. d) 9%. Gabarito 1) A ) B ) ) A ) E 6) D 7) 8) B 9) E 1) D 11) A 1) B 1) 1) B 1) D Errata - ódigo 89 1 - Matemática Gabarito Página 1, questão n 1, item b onde se lê 1, leia-se. Página 1, questão n 8, item d onde se lê, leia-se. Página 17, questão n, item e onde se lê 1,6, leia-se 1,. Página 1, questão n 6, item c onde se lê, leia-se. Página 1, questão n 6, item d onde se lê 6, leia-se 9 6. Página 6, questão n onde se lê 7 cm, leia-se 18 cm. Página 7, questão n 7 onde se lê D, leia-se A. Página 9, questão n onde se lê D, leia-se B. Página 9, questão n 1, item c onde se lê c) 6, leia-se c). Página, questão n 1, item d onde se lê V {( 1, 1 )}, leia-se V {(1, 1)}. Página 1, questão n onde se lê 1, leia-se 9. Página 1, questão n onde se lê ± 6, leia-se ±. Página, questão n 9 onde se lê, leia-se. Página 61, questão n, item c onde se lê x y, x + leia-se x y +. x Página 6, questão n 1, Aprendizagem e Fixação onde se lê A 1, leia-se A. Página 68, questão n 1 onde se lê S 8 1.91, leia-se S 8 1.. Página 69, questão n, item a onde se lê 7.1 livros, leia-se 7.8 livros. Página 69, questão n, item b onde se lê dias, leia-se dias. Página 7, item 6, completar a teoria quando multiplicamos ou dividimos uma linha por um número, o determinante fica multiplicado ou dividido também por esse número. Página 7, item 7, completar a teoria quando multiplicamos ou dividimos uma coluna por um número, o determinante fica multiplicado ou dividido também por esse número. Página 81, questão n onde se lê 7, leia-se 6. Página 8, questão n, onde se lê x + 1x + x + 18x + 81, leia-se x + 1x + x + 18x + 81. a. Página 116, questão n onde se lê a, leia-se Página 1, questão n 9 onde se lê D, leia-se A. Página 1, questão n 1 onde se lê A, leia-se D. Estudo Real Edições - 8 1